Уравнения математической физики. Лекция 19

В лекции рассматриваются два основных численных метода решения дифференциальных уравнений в частных производных: метод конечных разностей (МКР) и метод конечных элементов (МКЭ). Объясняется идея МКР — замена производных конечно-разностными аппроксимациями на сетке, приводятся явные, неявные и усреднённые схемы для уравнения теплопроводности, обсуждаются вопросы устойчивости и сходимости. Подробно излагается МКЭ, основанный на слабой формулировке задач, построении сетки, выборе базисных функций и сборке глобальной системы уравнений. Приводятся примеры реализации линейных конечных элементов в одномерном случае, оценки погрешности и сравнение методов. Рассматриваются практические аспекты построения сеток, программной реализации, верификации и валидации, а также современные направления развития численных методов. Материал лекции служит основой для применения вычислительных подходов к решению сложных прикладных задач с нерегулярной геометрией и различными типами граничных условий.