Пиксель. История одной точки

Танцы с тиранами

Триумфальным достижениям в науке не сопутствовал столь же блестящий успех в политике. Продолжились танцы с Наполеоном, осложнившие последний год Фурье на посту префекта Изера. Наполеон отрекся от престола в апреле 1814 года. На трон взошел король Людовик XVIII. Бывший император отправился в свое первое изгнание на остров Эльба примерно в 30 милях к востоку от Корсики и почти в 200 милях к юго-востоку от Парижа. Вполне естественно, что его путь пролегал через Гренобль. В нормальных условиях префекту провинции полагалось бы естественным поприветствовать человека, которому он обязан назначением на столь высокий пост. Фурье должен был принять у себя бывшего императора. Но времена настали необычные, поэтому встреча обещала быть неловкой.

Реставрация Бурбонов не затронула положение Фурье, но не сочтет ли Наполеон подчинение королю предательством, перебежничеством? Фурье не собирался выяснять это. Путем закулисных интриг он внес в маршрут Наполеона коррективы, предупредив, что бывшему императору в Гренобле грозит опасность. Замысел сработал. Встречи с Наполеоном удалось избежать. Новому правительству предстояло утвердить Фурье в должности префекта. Младший брат нового короля граф д’Артуа, впоследствии ставший королем Франции Карлом X, нанес ему визит, завершив этот процесс.

Но танцы с Наполеоном не закончились. 2 марта 1815 года Фурье получил от префекта соседней провинции пугающее письмо:

Имею честь сообщить вам, что Бонапарт во главе 1700 человек высадился вчера в бухте Жуан [и] направляется в Лион через Сен-Валье, Динь и Гренобль. Какой бы необычной ни показалась вам эта новость, она абсолютно правдива.

Наполеон триумфально вернулся из ссылки, чтобы свергнуть короля и еще 100 дней править Францией. Он возвращался с юго-востока по тому же роковому маршруту, соединявшему Эльбу и Корсику с Греноблем, Осером и Парижем. Фурье снова пришлось искать способа избежать опасной встречи, особенно после того, когда он с таким успехом выставил себя лояльным роялистом.

Он подготовил резиденцию префектуры к встрече императора. Фурье оставил приветственную записку для Наполеона, в которой объяснил причины своей лояльности новому королю и конфликта интересов. Затем он спешно покинул Гренобль и приближался к Лиону, когда Наполеон триумфально вошел в город через главные ворота.

Разгневанный Наполеон потребовал сместить Фурье с поста префекта. Как мог узурпатор – так назвал Наполеона Фурье – сместить назначенного префекта? Сила этого человека заключалась в том, что он сделал это, а Фурье и граждане Гренобля сочли его решение законным.

Впрочем, друзья Фурье из окружения Наполеона успокоили императора, показав ему «Историческое введение» Фурье к «Описанию Египта», полное похвал гению Бонапарта. Гнев его остыл, и он попросил встречи с Фурье. Они встретились в Бургуэне, где Фурье некогда занимался осушением болот. Сложно понять, что сыграло решающую роль в динамике их отношений. Слабость к интеллектуалам, особенно к математикам? Сохранившиеся со времен Египетской экспедиции отношения как между старыми товарищами? Как бы то ни было, император не только простил Фурье, но и назначил его префектом департамента Рона, управляемого из Лиона! Фурье вступил в новую должность 12 марта 1815 года, всего через десять дней после получения письма, сообщавшего о возвращении Наполеона с Эльбы. В тот год события развивались очень быстро. 18 июня Наполеон потерпел поражение при Ватерлоо, а 8 июля на престол вновь взошел Людовик XVIII.

Второе имперское правление Наполеона продлилось знаменитые Сто дней, но вторая префектура Фурье оказалась еще короче – около шестидесяти. Одним из последних своих актов Наполеон – всего за две недели до Ватерлоо – назначил Фурье пенсию в связи с уходом в отставку. Акт должен был вступить в силу через две недели. Конечно, положенных выплат Фурье так и не получил. Итак, Наполеон отправился в ссылку на остров Святой Елены, а Фурье остался без работы, без пенсии и с запятнанной политической репутацией.

Но, по крайней мере, его изгнание наконец закончилось. Теперь он мог вернуться в Париж и создать свою музыкальную теорию тепла.

Жозеф и Софи

Была ли у Фурье личная жизнь? Может быть, не в провинциальном Гренобле, а в столице? Конечно, хотелось бы, чтобы у создателя концепции мира-как-музыки случился драматический роман, подобный тому, который десятилетием ранее закрутился у Бенджамина Франклина с овдовевшей хозяйкой известного французского салона.[1]

Возможно, дело в странных недугах Фурье, но он так и не встретил свою мадам Гельвецию. Нам, к сожалению, вообще не известно ни об одном его романтическом увлечении. Единственный намек на близкие отношения – очевидно, чисто платонические – это его глубокая дружба с Мари-Софи Жермен. Она стала первой женщиной, получившей математическую премию Академии наук, и разочаровала «огромную толпу, которая, несомненно, была привлечена желанием увидеть новый вид виртуозности в науке», тем, что не явилась на ее вручение. Однако даже достигшая таких высот женщина не могла получить приглашение на заседания Академии. Она добилась постоянного разрешения посещать séances, или собрания академиков, только спустя семь лет после начала постоянной переписки с Фурье. Именно он сделал это возможным.

Сохранился небольшой архив с письмами Фурье к Мари-Софи. Все они формальны, кроме одного, написанного, судя по неровному почерку, в последние годы. Оно адресовано «Ch. S.» (Chère Sophie, дорогой Софи) и подписано «J» (Joseph, Жозеф). Еще в одном письме Фурье обращался к врачу с просьбой о конфиденциальной помощи для дорогого, но неназванного друга, у которого имелись проблемы со здоровьем:

Она достойна всего вашего внимания по причине редчайших и прекраснейших качеств. Что касается меня, нежно любящего ее, то, поскольку это совершенно непредвиденное событие может совершенно уничтожить чувства, которые я питаю к ней, я был бы глубоко благодарен за все, что вы могли бы сделать для нее и для меня.

Точно неизвестно, о ком идет речь, но Софи Жермен действительно умерла от рака молочной железы. Какие чувства обуревали его, если это действительно была Софи?

Стать бессмертным

Фурье наконец-то стал членом Академии наук в Париже (рис. 1.8). В 1821 году состоялась публикация полной версии его теории под названием «Аналитическая теория тепла». К нему постепенно приходило признание. Французская академия наук избрала Жан-Батиста Жозефа Фурье постоянным секретарем, а Королевское общество Ньютона в ноябре 1823 года сделало его иностранным членом. Он, так завидовавший Ньютону в возрасте 21 года, в 55 лет, на последнем десятке лет своей жизни, проложил себе путь в бессмертие. Его внесли в официальный список immortel – «бессмертных» Французской академии наук – в 1826 году, а Гюстав Эйфель в 1889-м поместил его имя в числе 72 выдающихся французских ученых и инженеров на цоколе балкона первого яруса знаменитой башни.

Рис. 1.8

После смерти Наполеона Фурье получил пенсию. Поначалу королевское правительство выражало недовольство, что Фурье согласился стать префектом Роны в роковые Сто дней. Первый раз он попытался добиться назначения пенсии сразу после ссылки Наполеона на остров Святой Елены. Просьбу отклонили. Он пытался снова в 1816, 1818 и 1821 годах, но каждый раз получал отказ. Только пятая попытка, уже после смерти Наполеона, увенчалась успехом.

Политические баталии для него закончились, но усугубились проблемы со здоровьем. Он постоянно страдал от тех или иных недугов. В пожилом возрасте его так беспокоили проблемы с дыханием, что он построил для себя специальный ящик. Эта конструкция поддерживала тело в вертикальном положении во время письма, чтения лекций или сна. Наружу оставались торчать только голова и руки. Возможно, одышка возникла из-за удушающей атмосферы в шкафу, где Фурье проводил ночи, будучи подростком, или была признаком застойной сердечной недостаточности.

Фурье умер от сердечного приступа в 1830 году, пережив Наполеона всего на несколько лет. Его могила на знаменитом парижском кладбище Пер-Лашез украшена синусоидальными волнами и египетскими мотивами. По обе стороны от его бюста выгравированы лилии с очень длинными стеблями – осями волн. Каждая лилия заканчивается вздыбленной коброй, увенчанной солнечным диском.

Возможно, именно Египет довел Фурье до одержимости теплом, так что символика надгробия прославляет как причину, так и следствие.

Другой выдающийся гражданин Гренобля – Жан-Франсуа Шампольон, первый профессор египтологии, – скончался через два года и тоже похоронен на Пер-Лашез. Его брат Жак-Жозеф Шампольон-Фижак написал одну из самых ранних биографий Фурье. «Дорогая Софи», близкая подруга Фурье Софи Жермен – Фурье вряд ли вел себя как frileux рядом с ней – тоже покоится на Пер-Лашез.

Незадолго до своей смерти Жермен сделала взнос в фонд на создание надгробного памятника Фурье на Пер-Лашез. Пуассон, до последнего противостоявший им обоим, отказался пожертвовать деньги на это. Не вполне удачно складывалась и судьба «Воспоминаний…», оригинального шедевра Фурье 1807 года, где впервые была сформулирована великая теория. Рукопись пропала более чем на 160 лет, пока наконец не обнаружилась в библиотеке Национальной школы мостов и дорог (École nationale des ponts et chaussées). Это не так странно, как кажется на первый взгляд. Эта школа – старейшее инженерно-строительное учебное заведение в мире, даже старше самого Фурье.

Природа гения

Почему великая идея Фурье встретила такое сопротивление? Проблема, по мнению его критиков, заключалась в следующем: как может что-то непостоянное – например, некая песня или картина – быть эквивалентно сумме регулярных волн?

В математике ничто не принимается на веру: либо доказано, либо нет, либо доказана недоказуемость. Сам Фурье, несмотря на удивительную интуицию, не сумел покорить эту вершину истинности в математическом выражении своей теории. Восполнить оставшиеся пробелы удалось молодому Петеру Густаву Лежёну Дирихле. Он приехал в Париж в 1826 году, познакомился с Фурье и был очарован им. Под руководством пожилого наставника Дирихле с математической строгостью обосновал теорию и опубликовал свои изыскания в 1829-м, в последний год жизни Фурье.

Тем не менее некоторых математиков все еще беспокоят дальние эзотерические заводи математики Фурье. А вот у инженеров дела обстоят иначе. В конце 1960-х я прошел чрезвычайно важный базовый курс по рядам Фурье у Рона Брейсвелла в Стэнфорде. Он усердно подчеркивал существование математических трудностей на периферии теории Фурье и строгие пределы ее применения. Но он также пояснил, что математические тонкости не мешают использовать ее при анализе явлений реального мира. Или, скорее, он четко дал понять, что реальный мир находится в пределах, установленных такими математиками, как Дирихле.

Математики имеют дело со всеми возможными узорами, а не только с теми, которые мы действительно встречаем в реальном мире. Математики изучают абстракции, а инженеры работают с физическими реалиями: теплом, светом, звуком, дорогами и мостами, изображениями. Для инженеров частоты и амплитуды Фурье такие же «физические», как и весь физический мир, который они описывают. Если Мать-природа создает закономерность, то великая идея Фурье почти всегда подходит для ее описания.

Ньютон и Эйнштейн знали, что обращаются с целой Вселенной, так же как об этом знают их последователи. Фурье, как и другие ученые, жившие в его время, не предвидел или не мог предвидеть, насколько универсальной окажется его великая музыкальная идея. У нас нет слов для обозначения гениальности, накапливающейся с течением времени или связанной с обширными последствиями развития идеи. Обычное представление о гениальности привязано к человеческой жизни – как в достижениях, так и в признании.

Тем не менее на протяжении двух столетий инженеры успешно и широко использовали гармоническую идею Фурье для нашего комфорта и развлечения. На ней основаны все современные средства передачи информации. Пиксель и история Цифрового Света – лишь один из последних примеров.

Несомненно, теперь Фурье оценен по заслугам, и неважно, будем ли мы называть его гением или нет. Если мы пройдем по тонкой линии, разделяющей гуманитарную и техническую культуры, то без труда заметим, что он известен и уважаем с обеих сторон.

2. Отсчеты Котельникова: нечто из ничего

Разбрасыватель

Идея состоит в следующем: цифровое может достаточно точно представлять аналоговое. Дискретное, прерывистое и импульсное может точно представлять гладкое, непрерывное и плавно изогнутое. Прерывистая последовательность может точно представлять последовательную непрерывность. Возможно, сейчас вас это не удивляет, но я надеюсь все-таки удивить вас, потому что оказывается, что мы можем отбросить поразительное – фактически бесконечное – количество информации, практически ничего не теряя. Эта ключевая идея сделала возможным Цифровой Свет (а также цифровой звук). Эта фундаментальная истина лежала в основе Великой цифровой конвергенции и, следовательно, всего современного мира.

Подобно тому как волна – это форма, представляющая частоты Фурье, существует форма, представляющая отсчеты, или выборки, Котельникова (см. рис. 2.1). Вскоре мы увидим, что это тесно связано с «формой» пикселя. Математики называют это «каменной стеной» или sinc-фильтром, а инженеры – реконструкционным или восстанавливающим фильтром. Поскольку оба названия не вполне понятны, я буду называть эту прекрасную форму «разбрасывателем». Вскоре вы поймете почему.

Обратите внимание, что она напоминает одну из волн Фурье, гребни и впадины которой постепенно уменьшаются до тех пор, пока в любом направлении не сводятся к нулю. На самом деле это именно то, ради чего все и затеяно. Соответствующая волна везде имеет амплитуду, равную центральному горбу, и частоту, равную частоте колебаний «разбрасывателя» (рис. 2.2).

«Разбрасыватель» пришел из математики, а не из реального мира, но он напоминает расходящиеся круги от брошенного в воду камня – их высота тоже уменьшается с увеличением расстояния. Подобно им, его волна бесконечно движется в каждом направлении, но на некотором расстоянии от центрального горба гребни ее становятся настолько низкими, что уже не имеют значения. Как мы увидим, это очень важно в реальном мире. Самое раннее изображение «разбрасывателя», которое я нашел, в правильном контексте появляется в классической статье Владимира Котельникова, опубликованной в 1933 году (рис. 2.3).

Впервые я узнал об этой замечательной идее в начале 1960-х на электротехническом факультете. Нам рассказывали, что ее выдвинул Гарри Найквист, американский инженер и настоящий герой для нас, инженеров-электронщиков. Он работал в легендарной «Лаборатории Белла» (Bell Labs) в AT&T – мы все мечтали трудоустроиться туда. Но в конце 1960-х, когда я учился в Стэнфорде, информатика наконец-то стала отдельной дисциплиной и автором великой идеи начали называть Клода Шеннона, нашего нового героя во всем, что касалось цифровых технологий. Он первым использовал слово «бит» в печати. И он тоже работал там в качестве младшего коллеги Найквиста.

Но это американская версия событий, и здесь вступает в действие закон Стиглера: «Никакое научное открытие не было названо в честь первооткрывателя». (Сам Стиглер, кстати, считал, что этот закон открыт Робертом Мертоном.) Так что в России, безо всяких колебаний, лавры первооткрывателя всегда отдают Котельникову. В Японии эти заслуги приписывают Исао Сомея. В Англии – сэру Эдмунду Уиттекеру. В Германии – Герберту Раабе. Впрочем, если на то пошло, Найквист родился в Швеции. И только Шеннон – истинный американец, родившийся в Мичигане. Можно ли считать желание приписать ему лавры первооткрывателя проявлением нездорового патриотизма? Все вышеперечисленные сформулировали свои версии этой идеи раньше Шеннона, кроме Сомея – он опоздал на несколько месяцев. Получается, что чести дать свое имя теории – во всяком случае, в Соединенных Штатах – удостоился человек, сформулировавший ее практически последним.

Несмотря на всю путаницу с именованием, факты говорят сами за себя: великую идею – в том виде, в котором она используется в Цифровом Свете, – впервые четко, ясно и обстоятельно изложил и доказал Котельников в 1933 году. Нам на Западе трудно поверить, что такая фундаментальная идея появилась в худшие дни сталинской России. Во время холодной войны нас учили, что советская наука если не фальшивка, как биология Лысенко, то в лучшем случае основана на украденных идеях или раздута пропагандой. Придется смириться, что авторство Котельникова неоспоримо.

Рис. 2.1