Математика шахматной доски

Полимино

Клетчатые фигурки, о которых пойдёт речь в этом параграфе, известны людям с древности. Однако публикации различных результатов, связанных с ними, относятся к первой половине ХХ века, а сам термин «полимино» (от греческого πολύς «многий, множественный») ввёл в употребление американский математик Соломон Голомб, в 1953 г. выступивший с докладом о «новой математической забаве» в Гарвардском математическом клубе. Он же впервые использовал названия для конкретных фигур: мономино (состоящее из одной клетки), домино (из двух), тримино, тетрамино, пентамино и гексамино. Впоследствии Мартин Гарднер значительно поспособствовал популяризации этих терминов. В книгах [1], [2] и [3] можно найти ещё много любопытной информации.

Как обычно, за сто с лишним лет после первого появления этих задач (и шестьдесят с лишним после появления названия) задачи, связанные с полимино, сильно помолодели – если тогда их решали взрослые, дипломированные и остепенённые математики, то теперь основными решателями таких задач стали школьники. Некоторые из них вполне доступны даже первокласснику (что проверено на реальных первоклассниках), поскольку не требуют никаких знаний.

Итак, полимино – это клетчатый многоугольник, между любыми двумя клетками которого существует маршрут шахматной ладьи. Это не просто красивая связь с шахматами, а, видимо, самый наглядный способ объяснить школьнику, почему мы не рассматриваем фигурки, в которых клетки соединяются только вершинами.

Первый естественный вопрос, связанный с полимино, это их количество для каждого вида. То, что мономино всего одно, сомнений не вызывает. Как получить все варианты для домино? Достаточно добавить одну клетку к мономино. Легко увидеть, что во всех четырёх случаях получается одно и то же (с точностью до поворота), поэтому фигурка из двух клеток (домино) всего одна.

Рисунок 1. Получаем домино из мономино

Двигаясь дальше, выясняем, что тримино бывают уже двух видов: прямое и угловое.

Рисунок 2. Получаем тримино из домино

Точно так же добавляем клетки и получаем пять различных видов тетрамино (см. рисунок 3) и 12 различных видов пентамино (это упражнение предлагается самостоятельно выполнить читателю, соответствующая картинка приведена в Приложении 2).

Рисунок 3. Получаем тетрамино из тримино

Тетрамино имеют устоявшиеся названия, которыми мы будем пользоваться в дальнейшем (на рисунке 3 слева направо и сверху вниз: прямое тетрамино, T-тетрамино, косое тетрамино, L-тетрамино и квадратное тетрамино).

Аналогично можно получать и все фигурки большего размера.

Разрезания шахматной доски на полимино

Достаточно естественным образом встаёт вопрос: из каких полимино можно составить доску? Чаще всего задача формулируется в другую сторону: на какие полимино можно разрезать всю доску (без остатка)? При этом слово «разрезать» здесь не следует трактовать буквально (хотя в моей практике был школьник, который именно так и поступал: брал бумажный квадрат 8×8 и резал его на заявленные части – однако даже к нему быстро пришло понимание, что результат такой работы будет практически невозможно продемонстрировать педагогу).

Ясно, что на мономино шахматная доска разбивается достаточно легко. Не вызывает особенных проблем и её разбиение на домино.

Рисунок 4. Разбиение на мономино

Рисунок 5. Разбиение на домино

Попытка разбить на прямые тримино приводит к тому, что остаётся одна клетка, не входящая ни в одну фигурку. Младшие школьники обычно либо в растерянности (им в принципе непривычно, что на вопрос «можно ли» бывает отрицательный ответ), либо говорят, что разрезать невозможно, потому что у них осталась одна лишняя клетка.

Школьник постарше, знакомый с понятием делимости, сразу формулирует это иначе: доску нельзя разрезать на тримино (хоть на прямые, хоть на угловые), потому что её площадь не делится на 3 (не делится без остатка, как принято называть это явление в школе2). Интересно, что на резонный вопрос «А почему она должна делиться?» некоторые из них ответить не могут, то есть это наблюдение настолько интуитивно очевидное, что далеко не всегда ребёнок задумывается над его причинами.

Итак, если шахматную доску (а, вообще говоря, любую клетчатую фигуру с целой площадью) можно разбить на полимино определённого вида (а, вообще говоря, на любые фигуры с целой площадью), то и площадь доски (большей фигуры) обязательно должна делиться на площадь этого полимино (меньшей фигуры). Более того, частное при этом делении равно количеству фигурок, получающихся при разрезании (это наблюдение пригодится нам в дальнейшем).

Условие делимости площадей является необходимым, то есть если площадь доски не делится на площадь маленьких фигурок, то разрезать точно не удастся. Обратное неверно!

Но для тримино всё работает идеально в нужную сторону: площадь шахматной доски (64 клетки) не делится на площадь тримино (3 клетки), поэтому её невозможно разрезать ни на прямые, ни на угловые тримино.

Так как 64 делится на 4, то никаких очевидных проблем с разрезанием доски на тетрамино не предвидится. Действительно, на прямые, квадратные, L- и T- тетрамино её разрезать можно.

Рисунок 6. Разбиение на прямые тетрамино

Рисунок 7. Разбиение на квадратные тетрамино

Рисунок 8. Разбиение на L-тетрамино

Рисунок 9. Разбиение на T-тетрамино

С косыми тетрамино ситуация оказывается интереснее. Иногда школьники, не поверившие в то, что необходимого условия может оказаться недостаточно, просто говорят, что площадь делится на 64, поэтому разрезать можно. На просьбу показать пример отвечают, что у них не получилось.

На самом деле разрезать шахматную доску (как и любой другой прямоугольник) на косые тетрамино нельзя. Классическое доказательство этого факта такое: предположим, что у нас получилось, тогда каждая клетка доски входит в какое-то косое тетрамино. Рассмотрим угловую клетку, у неё есть всего два варианта, какой тетраминошкой она покрыта (на самом деле эти варианты одинаковы с точностью до поворота доски).

Рисунок 10. Варианты покрытия угловой клетки косым тетрамино

Тогда третья от угла клетка покрыта однозначно, тогда и пятая от угла покрыта однозначно, а для покрытия седьмой от угла уже не остаётся никакой возможности.

Рисунок 11. Покрытие стороны косыми тетрамино

Такое же рассуждение можно провести и для прямоугольника любого другого размера.

Получилась важная вещь: необходимого условия вовсе не достаточно, чтобы утверждать, что разрезание возможно. Эту информацию можно донести до школьника и на более очевидном примере (я особенно люблю полоску 1×64), но иногда школьнику кажется, что если доска будет достаточно широкой, чтобы хотя бы одно полимино на неё поместилось, то никаких проблем с разрезанием он не встретит. Шахматная доска лучше подходит для развенчания этого мифа.

Доска 6×6

Увеличивать размер полимино бессмысленно, задачи по разрезанию от этого становятся проще и, как минимум, менее интересными. Зато достаточно любопытные вещи открываются, если вместо шахматной доски (8×8) в качестве базовой фигуры взять другой квадрат (или даже произвольный прямоугольник). Причём необязательно брать что-то большое. Достаточно квадрата 6×6.

Здесь увлекательно и достаточно содержательно обсудить возможность разбиения квадрата на тетрамино. Попытки нарисовать картинку приводят к тому, что возможно разбить на 9 квадратных тетрамино. На косые, как мы уже обсудили выше, нельзя разбить никакую доску. С остальными тоже не выходит: постоянно остаются хотя бы 4 свободные клетки. Младшие школьники пытаются сформулировать своё доказательство, по аналогии с делимостью площади: «раз всегда остаётся 4 клетки, значит разрезать нельзя». Однако, что значит «всегда»? Один, два раза, может быть пять раз попробовали нарисовать картинку? Это не аргумент.

Конечно, существует полный перебор (и для доски 6×6 он даже не вызывает острого желания воспользоваться помощью компьютера), но это не самое удовлетворительное решение. Как же быть?

T-тетрамино

Докажем, что доску 6×6 невозможно разделить на T-тетрамино. Для этого представим, что наша доска – часть обычной шахматной, то есть все её клетки покрашены в чёрный и белый цвета.

Рисунок 12. «Шахматная» доска 6×6

Заметим, что клеток каждого цвета на доске по 18, а каждое T-тетрамино, которое мы можем вырезать из неё содержит три клетки одного цвета и одну клетку другого.

Рисунок 13. T-тетрамино на шахматной доске

Заметим, что если мы сумели всю доску разрезать на T-тетрамино, то все 18 чёрных клеток как-то распределились по этим девяти фигуркам: и в каждую попало либо 1, либо 3 чёрных клетки. Однако сумма девяти слагаемых, каждое из которых нечётно, должна быть тоже нечётной, поэтому определённо не равна 18. Это означает, что желаемое разрезание невозможно.