Математика без страха и слёз: математика, 5-й класс

Математика без страха и слёз: математика, 5-й класс

Сергей Яснов

Первые шаги в математике: числа, цифры, разряды и натуральный ряд

Математика без страха и слёз: математика, 5-й класс — максимально простым и понятным языком

В школьной библиотеке решили пересчитать книги. На одной полке лежали триста пять экземпляров справочников, а на соседней — триста пятьдесят сборников. Библиотекарь записала оба числа в журнал, но торопилась и перепутала цифры: в графе со справочниками появилось число 350, а в графе со сборниками — 305.

— Ничего страшного, — сказал ученик, помогавший с подсчётом. — Здесь ведь одни и те же цифры: три, ноль и пять.

Но библиотекарь покачала головой: записи похожи, а количества разные. Триста пять — это не то же самое, что триста пятьдесят. Почему? Чтобы раскрыть эту маленькую числовую загадку, нужно понять три важные вещи: что такое цифра, что такое число и почему место цифры имеет значение.

Цифры — это знаки, числа — то, что ими записывают

Представь, что цифры — это буквы, а число — слово, составленное из этих букв. Буквы сами по себе ещё не составляют любое слово: важно, в каком порядке они стоят. Так же и цифры: они помогают записывать числа, а их порядок влияет на результат.

В нашей десятичной системе всего десять цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Из них можно составить сколько угодно чисел. Например, цифра 7 может быть отдельным числом 7, а может входить в записи 17, seventy? Нет: 70, 472 или 7 005. Запись 472 состоит из трёх цифр: 4, 7 и 2. Но само число — четыреста семьдесят два.

В обычной речи мы часто говорим «число 472», имея в виду и количество, и его запись. Для начала достаточно помнить простое различие: цифры — знаки для записи, число — количество, которое записано этими знаками.

Устный вопрос. Сколько цифр в числе 58? А сколько цифр в числе 909?

Короткая проверка. В 58 две цифры: 5 и 8. В 909 три: 9, 0 и 9. При этом одна и та же цифра может встретиться в записи несколько раз.

Разрядная таблица: у каждой цифры есть своё место

Вернёмся к библиотечному журналу. В числе 305 цифра 3 стоит на месте сотен, 0 — на месте десятков, 5 — на месте единиц. В числе 350 цифра 3 тоже обозначает три сотни, но цифра 5 стоит уже на месте десятков, а 0 — на месте единиц.

Удобно представить это в разрядной таблице:

Число

Сотни

Десятки

Единицы

305

3

0

5

350

3

5

0

472

4

7

2

Разряды считаются справа налево. Самое правое место — единицы, левее — десятки, ещё левее — сотни.

Одна единица — это один предмет. Десять единиц составляют один десяток, а десять десятков — одну сотню. Поэтому цифра на каждом месте сообщает, сколько таких групп есть в числе.

Разберём 472:

Разряд

Что показывает цифра

Значение

Сотни

4 сотни

400

Десятки

7 десятков

70

Единицы

2 единицы

2

Значит, число 472 можно разложить так:

472 = 400 + 70 + 2

Это не новое число, а другой способ показать, из каких частей оно состоит: четырёх сотен, семи десятков и двух единиц.

Теперь посмотри, что произойдёт с цифрой 7, если изменить её место.

Число

Сотни

Десятки

Единицы

Значение цифры 7

472

4

7

2

70

742

7

4

2

700

427

4

2

7

7

Цифра осталась той же, но её значение изменилось. В 472 она означает семь десятков, то есть 70. В 742 — семь сотен, то есть 700. В 427 — семь единиц.

Устный вопрос. Какое значение имеет цифра 6 в числе 631? А в числе 316?

Короткая проверка. В 631 цифра 6 стоит на месте сотен и означает 600. В 316 она стоит на месте единиц и означает 6.

Почему ноль нельзя просто вычеркнуть

Особенно внимательно нужно обращаться с нулём. Он показывает, что в определённом разряде нет десятков, единиц или сотен. Но, даже если в этом разряде пусто, место всё равно необходимо обозначить.

В числе 405 четыре сотни, ноль десятков и пять единиц:

405 = 400 + 5

Ноль здесь сообщает: между четырьмя сотнями и пятью единицами нет десятков. Если убрать его и записать 45, получится другое число: всего четыре десятка и пять единиц.

Сравни:

Число

Сотни

Десятки

Единицы

Разложение

405

4

0

5

400 + 5

450

4

5

0

400 + 50

45

0

4

5

40 + 5

Ноль не добавляет предметов, но помогает сохранить правильные места цифр. Его можно сравнить с пустым стулом за длинным столом: на стуле никто не сидит, однако сам стул показывает, где в ряду находится свободное место. Если его убрать, легко перепутать порядок.

Ноль может быть и отдельным числом: например, если на полке нет книг, их количество — 0. Но в записи 405 он прежде всего цифра, которая обозначает отсутствие десятков. Это разные роли одного знака.

В некоторых учебниках и математических традициях ноль включают в натуральные числа, а в школьном курсе России натуральный ряд обычно начинают с единицы. В этой главе будем придерживаться привычной школьной записи: натуральные числа — это 1, 2, 3 и так далее. Ноль при этом остаётся важным числом и необходимой цифрой.

Короткое задание. Запиши число, в котором 6 сотен, 0 десятков и 3 единицы. Что изменится, если ноль пропустить?

Ответ. Получится 603. Если ноль пропустить и записать 63, значение числа изменится.

Как прочитать и составить число

Чтобы прочитать трёхзначное число, удобно двигаться справа налево при разборе, но произносить его — начиная с сотен: сначала сотни, затем десятки и единицы.

Например:

• 472 — четыреста семьдесят два;

• 305 — триста пять;

• 350 — триста пятьдесят;

• 609 — шестьсот девять.

Ноль обычно не произносят как отдельный разряд. Число 609 читают не «шестьсот ноль десятков девять», а «шестьсот девять». Но при разборе мы всё равно замечаем, что в нём нет десятков.

Составить число по описанию тоже несложно. Например, дано: 8 сотен, 2 десятка и 4 единицы. Помещаем цифры на соответствующие места: 8 — в сотни, 2 — в десятки, 4 — в единицы. Получаем 824.

Если сказано «7 сотен, 0 десятков и 6 единиц», записываем 706. Ноль нужен, чтобы цифра 6 осталась на месте единиц.

Вот удобный порядок действий:

1. Определи, сколько в числе сотен, десятков и единиц.

2. Поставь соответствующие цифры в нужные разряды.

3. Если какого-то разряда нет, обозначь его нулём.

4. Проверь число по разрядной таблице и прочитай вслух.

Попробуй сам. Составь число из 5 сотен, 3 десятков и 8 единиц. Затем составь число из 9 сотен, 0 десятков и 2 единиц.

Проверь себя. Получаются 538 и 902.

А теперь разложим числа на части. В записи 639 цифра 6 обозначает 600, цифра 3 — 30, цифра 9 — 9:

639 = 600 + 30 + 9

В числе 802 цифра 8 обозначает 800, ноль показывает отсутствие десятков, цифра 2 обозначает две единицы:

802 = 800 + 2

Такое разложение помогает не только учиться читать числа, но и выполнять вычисления. Например, гораздо легче увидеть, что 802 — это восемь сотен и две единицы, чем воспринимать три цифры как случайный набор знаков.

Натуральный ряд: счёт шагает вперёд

Чтобы узнать, сколько в корзине яблок, мы считаем их по одному: одно, два, три, четыре. С каждым предметом связываем одно числовое слово, не пропуская яблок и не считая одно и то же дважды. Последнее произнесённое число показывает общее количество. Если последним оказалось «четыре», значит, яблок четыре.

Так мы встречаем натуральные числа: ими считают предметы и называют количество. В школьном курсе их ряд обычно начинается так:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11…

Каждое следующее натуральное число на единицу больше предыдущего. После 16 идёт 17, после 17 — 18. Если к числу прибавить 1, получится следующее число: 48 + 1 = 49.

У ряда нет последнего числа. Какое бы число ни встретилось, можно назвать следующее: после миллиона идёт миллион один, после миллиона одного — миллион два. Числа можно продолжать бесконечно.

При этом у числа 1 нет предыдущего натурального числа в принятом здесь школьном ряду: перед ним не стоит другое число для счёта предметов. А у остальных натуральных чисел предыдущие есть: перед 12 стоит 11, перед 100 — 99.

Иногда мы начинаем считать не с единицы, а, например, продолжаем с 58 или считаем шагами по десять: 10, 20, 30. Это не отменяет натурального ряда: мы просто выбираем удобный способ счёта. Важно видеть, что обычное движение по ряду происходит по одному шагу.

Устный вопрос. Какие числа стоят между 27 и 31?

Ответ. 28, 29 и 30.

Короткое задание. Продолжи ряд: 96, 97, 98, …; затем 348, 349, …

Ответ. В первом случае: 99, 100, 101. Во втором: 350, 351. Переход через круглое число не останавливает счёт: после 99 идёт 100, а после 999 — 1000.

Числовое расследование: проверяем записи

Пора вернуться в библиотеку и провести расследование самостоятельно. Помни, что каждая цифра занимает своё место, а ноль сохраняет место, даже если соответствующего количества нет.

Задание 1. Прочитай числа.

286, 407, 630.

Задание 2. Разложи числа на сотни, десятки и единицы.

519, 804, 270.

Задание 3. Составь числа по описанию.

а) 3 сотни, 8 десятков, 1 единица;

б) 7 сотен, 0 десятков, 4 единицы;

в) 2 сотни, 6 десятков, 0 единиц.

Задание 4. Продолжи натуральный ряд.

а) 196, 197, 198, … б) 508, 509, 510, …

Ответы для проверки.

1. 286 — двести восемьдесят шесть; 407 — четыреста семь; 630 — шестьсот тридцать.

2. 519 = 500 + 10 + 9; 804 = 800 + 4; 270 = 200 + 70.

3. а) 381; б) 704; в) 260.

4. а) 199, 200, 201; б) 511, 512.

Если какой-то ответ не совпал, не спеши считать себя «невнимательным к математике». Вернись к таблице, поставь каждую цифру на своё место и проверь, какой разряд она обозначает. Разрядная таблица — не костыль, а хороший инструмент: опытные люди тоже записывают данные в таблицы, когда важно ничего не перепутать.

Теперь ты знаешь главное: цифр всего десять, но из них складываются бесконечно разные числа. Значение цифры зависит от её места, а ноль помогает это место сохранить. Натуральные числа дают нам надёжный порядок для счёта: одно, два, три — и дальше без конца. В следующей главе мы научимся сравнивать числа, округлять их и отмечать на числовом луче, чтобы видеть не только то, как число устроено внутри, но и где оно находится среди других.

Натуральные числа: сравнение, округление и координатный луч

Папа разложил на кухонном столе карту, а Миша поставил рядом две карточки: «286 км» и «318 км». Это расстояния до двух городов, куда семья собиралась съездить на выходных. Какой город дальше? На сколько примерно? И сколько времени займёт дорога?

«Можно просто посмотреть на числа», — сказал папа.

Но числа не всегда сразу раскрывают ответ. Иногда они похожи, иногда одно длиннее другого, а иногда для поездки важна не точность до километра, а примерная оценка. Чтобы уверенно ориентироваться, мы научимся сравнивать числа, округлять их и отмечать на числовом маршруте.

Сначала сравним расстояния

Посмотрим на карточки: 286 и 318. У обоих чисел по три цифры, значит, сравним их по разрядам — слева направо, начиная с самого старшего.

В числе 286 в разряде сотен стоит цифра 2, а в числе 318 — цифра 3. Уже этого достаточно: 3 сотни больше 2 сотен. Значит, 318 больше 286.

Записывают так:

286 < 318

Знак «<» читается «меньше». Если нужно показать, что первое число больше второго, используют знак «>»:

318 > 286

Удобная подсказка: раскрытая часть знака смотрит на большее число. А острый угол — на меньшее.

Представь, что сравниваешь два ряда коробок. В одном — две сотни коробок, в другом — три сотни. До десятков и единиц даже не нужно добираться: сотни уже решили спор.

А если цифра сотен совпадает? Тогда проверяем следующий разряд.

Сравним 5 472 и 5 439. В обоих числах по четыре цифры. Тысячи одинаковые: 5 и 5. Сотни тоже одинаковые: 4 и 4. А вот в десятках стоят 7 и 3. Семь десятков больше трёх десятков, поэтому:

5 472 > 5 439

До единиц мы снова не дошли. Это важное правило: как только нашли первый разряд, в котором цифры различаются, сравнение закончено. Все младшие разряды уже не могут изменить результат.

Если же разряды совпали до конца, числа равны. Например:

7 206 = 7 206

Если числа разной длины

Теперь сравним 999 и 1 000. Здесь легко заметить: в первом числе три цифры, во втором — четыре. Четырёхзначное число больше любого трёхзначного.

У натуральных чисел количество цифр подсказывает размер числа: если цифр больше, то и число больше. Это работает потому, что каждая новая цифра слева означает переход к следующему крупному разряду: от сотен — к тысячам, от тысяч — к десяткам тысяч.

Например:

8 999 < 12 000

В числе 8 999 четыре цифры, а в числе 12 000 — пять. Значит, второе число больше. Сравнивать отдельные цифры здесь уже не требуется.

А если цифр поровну, возвращаемся к сравнению слева направо. Вот короткий порядок действий:

1. Посчитай цифры в обоих числах. Если их разное количество, больше число с большим количеством цифр.

2. Если цифр поровну, сравнивай их начиная с самой левой.

3. На первом различающемся разряде определи, какая цифра больше. Это и даст ответ.

Полезно помнить: перед нами не соревнование последних цифр. Самое важное обычно происходит слева, в старших разрядах.

Когда нужна оценка, а не точное число

Для поездки знать расстояние точно полезно, но не всегда необходимо. Если маршрут составляет 286 км, можно сказать, что это примерно 300 км. Так проще прикинуть время, запас топлива или длительность остановок.

Число 300 здесь не заменяет точное расстояние. Это оценка.

286 ≈ 300

Знак «≈» означает «приблизительно равно». Числа 286 и 300 не равны: первое — точное расстояние на табло, второе — удобное округлённое значение.

Чтобы округлить число, сначала нужно решить, до какого разряда округляем: до десятков, сотен, тысяч или другого. Затем смотрим на цифру, стоящую сразу справа от этого разряда.

Алгоритм округления: три шага

1. Найди разряд, до которого округляешь. Например, для округления до десятков запомни цифру десятков.

2. Посмотри на цифру справа от него. Именно она подскажет, что делать.

3. Если справа стоит 0, 1, 2, 3 или 4 — оставь цифру разряда без изменения. Если 5, 6, 7, 8 или 9 — увеличь её на 1. Все цифры справа замени нулями.

Это обычное школьное правило округления: цифры от 0 до 4 «не поднимают», а от 5 до 9 «поднимают».

Округлим 286 до десятков. Разряд десятков — это цифра 8. Справа от неё стоит 6. Шестёрка велит увеличить 8 на 1, а единицы заменить нулём:

286 ≈ 290

Теперь округлим 286 до сотен. Цифра сотен — 2, а справа от неё, в разряде десятков, стоит 8. Она поднимает 2 до 3. Десятки и единицы превращаются в нули:

286 ≈ 300

Проверим другое расстояние — 318. До десятков получим 320: справа от цифры десятков 1 стоит 8, значит, десятки увеличиваем на единицу. До сотен получим 300: справа от цифры сотен 3 стоит 1, а она не меняет цифру сотен.

И вот интересное наблюдение: если округлить оба расстояния до сотен, получится 300 км. По такой грубой оценке маршруты как будто одинаковые. Но точные числа говорят, что 318 км больше 286 км. Округление удобно, когда нужна простая оценка, но оно может скрыть разницу. Поэтому всегда спрашивай себя: «Насколько точный ответ мне нужен?»

Посмотрим на примеры с тысячами:

• 7 482 до тысяч округляется до 7 000: справа от цифры тысяч стоит 4.

• 7 582 до тысяч округляется до 8 000: справа стоит 5, значит, цифру тысяч увеличиваем.

• 1 250 до сотен округляется до 1 300: справа от цифры сотен стоит 5.

Иногда цифру разряда нужно увеличить, хотя там уже стоит 9. Тогда возникает перенос в следующий разряд. Например, 9 968 до сотен округляется до 10 000. Цифра сотен 9 увеличивается, и это изменение затрагивает тысячи; все цифры справа становятся нулями.

Прикидываем путь и время

Семья рассматривает маршруты длиной 286 км и 318 км. Если округлить их до десятков, получится примерно 290 км и 320 км. Уже видно, что второй маршрут длиннее примерно на 30 км.

Можно прикинуть и время. Допустим, машина в среднем проходит около 60 км за час. Тогда путь в 300 км — это примерно пять таких часовых отрезков. А разница между 318 и 286 км составляет 32 км — чуть больше половины расстояния, которое машина проходит за час. Значит, при одинаковой средней скорости второй маршрут займёт примерно на полчаса больше.

Это только оценка. В жизни скорость меняется, бывают пробки, остановки и объезды. Округлённые числа помогают составить план, но не обещают, что дорога закончится ровно через пять часов.

Бумажная шкала-маршрут

Чтобы увидеть числа, а не только сравнивать их в уме, сделаем бумажную шкалу. Проведи горизонтальный луч и отметь его начало числом 0. Выбери масштаб: например, пусть каждый сантиметр на листе соответствует 50 км. Затем нанеси отметки 0, 50, 100, 150 и так далее до 400 км. Расстояния между соседними отметками должны быть одинаковыми: иначе шкала будет вводить в заблуждение.

Теперь найди место для карточки «286 км». Она окажется между отметками 250 и 300, причём ближе к 300. Карточка «318 км» попадёт между 300 и 350. Значит, 286 находится левее 318, а 318 — правее 286.

Такой рисунок — масштабная модель маршрута. На настоящем числовом луче расстояния тоже связаны с числами, но единичный отрезок, то есть расстояние от 0 до 1, на бумажной схеме может быть очень маленьким. Поэтому для удобства мы показываем крупные шаги, например по 50 км.

Что такое координатный луч

Числовой луч помогает расположить числа по порядку. У него есть три главные части:

• начало отсчёта — точка с координатой 0;

• единичный отрезок — выбранная длина от 0 до 1;

• направление — от начала луча вправо, в сторону увеличения чисел.

Сначала отмечают 0. На расстоянии одного единичного отрезка от него ставят 1, ещё через такой же отрезок — 2, затем 3 и так далее. Одинаковые промежутки обязательны: расстояние от 2 до 3 должно быть таким же, как от 7 до 8.

У каждого отмеченного места есть координата — число, которое ему соответствует. Если точка A стоит на отметке 4, говорят: «Координата точки A — 4» и записывают A(4).

Главное правило луча простое: чем правее расположена точка, тем больше её координата. Точка с координатой 9 будет правее точки с координатой 3, потому что 9 больше 3.

Точка 0 нужна как начало отсчёта. Даже если в вашем учебнике натуральные числа начинаются с 1, ноль всё равно остаётся на луче и помогает отсчитывать расстояния.

На бумажной шкале-маршруте это правило работает так же: карточка с большим расстоянием должна располагаться правее карточки с меньшим. Если числа стоят вразнобой, их можно переставить слева направо от меньшего к большему. Например, карточки 120, 318, 286 и 400 после упорядочивания окажутся так: 120, 286, 318, 400. На луче этот порядок виден сразу.

Проверь себя

Реши задания самостоятельно, а затем сверь ответы.

1. Сравни расстояния: 3 475 км и 3 547 км.

• до десятков;

• до сотен;

• до тысяч.

3. Две поездки стоят 1 286 рублей и 1 319 рублей. Какая дороже? До какой сотни округляется цена каждой поездки? Станут ли округлённые цены различимы?

4. На луче отмечены точки с координатами 7, 3 и 9. Расположи их слева направо.

5. На маршрутной шкале каждая крупная отметка означает 50 км. Между какими отметками окажется число 175?

Ответы и короткая проверка

1. 3 475 < 3 547. Цифры тысяч одинаковы, а в разряде сотен 4 меньше 5.

2. До десятков: 6 840. До сотен: 6 800. До тысяч: 7 000.

3. 1 319 рублей дороже. До сотен обе цены округляются до 1 300 рублей, поэтому округление скрывает точную разницу.

4. Слева направо: 3, 7, 9.

5. Между 150 и 200 км.

Перед дорогой дальше

Сравнение помогает понять, какое число больше, а округление — быстро оценить величину, когда точность до последней цифры не нужна. Координатный луч превращает порядок чисел в видимый маршрут: меньшее число находится левее, большее — правее. Но важно не путать точное значение с округлённым: 286 км — это точное расстояние, а 300 км — удобная оценка до сотен.

Если число кажется непонятным, проверь его разряды, выбери нужную точность и, если помогает, поставь его на числовую шкалу. Тогда числа перестают быть просто длинными рядами цифр и становятся понятными ориентирами. А когда маршрут уже намечен, пора узнать, как вычислять его длину и стоимость: впереди сложение, вычитание, умножение и деление.

Сложение, вычитание, умножение и деление натуральных чисел

Математика без страха и слёз: математика, 5-й класс — максимально простым и понятным языком

На школьной ярмарке шумно: кто-то раскладывает открытки, кто-то пересчитывает значки, кто-то уже торгуется за последний бумажный цветок. А у тебя важное поручение: выяснить, сколько денег нужно собрать на материалы, сколько сдачи получить и как поровну раздать готовые наборы между столами.

Ты смотришь на числа и думаешь: «Какое действие здесь нужно? Сложение? Вычитание? Может быть, умножение?» Не спеши угадывать знак. В математике знак выбирают не по настроению и не потому, что число выглядит знакомым. Сначала нужно понять, о чём спрашивает задача.

Представь, что для ярмарки приготовили 36 синих закладок и 28 жёлтых. Сколько закладок всего? Потом 19 продали — сколько осталось? На каждом столе лежит по 4 одинаковых набора — сколько наборов приготовили? А если 72 значка нужно поровну разложить по 8 коробкам — сколько значков попадёт в каждую?

Это четыре разных вопроса. И у каждого есть своё действие.

Сначала пойми вопрос

Перед вычислением полезно пройти короткий маршрут:

1. Прочитай задачу и назови, что известно. Например: 36 синих закладок и 28 жёлтых.

2. Скажи своими словами, что нужно найти. В этой задаче — общее количество закладок.

3. Выбери действие по смыслу. Нужно объединить две части — значит, сложить.

4. Вычисли и проверь ответ. Проверь обратным действием или прикинь, похож ли результат на правдоподобный.

Вот карточка-подсказка, которую можно держать в голове:

Что происходит в задаче?

Какое действие помогает?

Количества объединяют, и предметов становится больше