Случайность под контролем: вероятность и статистика, 9-й класс
- -
- 100%
- +
Есть и ещё одно ограничение: эти два сбора проходили не одновременно. Результаты могли отличаться не только из-за способа опроса, но и из-за того, что часть учеников не участвовала в первом сборе или передумала к следующему дню. Поэтому нельзя объявить: «Онлайн-анкета сама по себе заставляет людей выбирать иначе». Мы можем сказать осторожнее: единая анкета дала более полные и сопоставимые ответы для нашего класса.
Бумажный опрос тоже может быть хорошим. Например, каждому ученику выдают одинаковый анонимный бюллетень, каждый выбирает один вариант, а затем все бюллетени складывают в коробку. Электронная форма тоже удобна, если все могут ею воспользоваться и система не позволяет отправить несколько ответов. Важнее не то, бумага это или экран, а то, получают ли участники одинаковые условия, может ли каждый ответить и можно ли проверить число ответов.
Если цель — выбрать фильм для всего класса, самый честный следующий шаг — напомнить двум неответившим об анкете, а затем принять решение по ответам класса. Если цель — узнать мнение всей школы, даже 22 ответа из одного класса будут лишь небольшой выборкой, а не точным портретом всех учеников.
Мини-практикум: попробуй сам
Представь, что собраны такие восемь ответов: комедия, фантастика, комедия, приключения, комедия, фантастика, ужасы, приключения.
Составь для них таблицу с абсолютной частотой и долей. Проверь, что сумма частот равна числу ответов.
Проверка: комедия — 3 ответа, фантастика — 2, приключения — 2, ужасы — 1. Всего 3 + 2 + 2 + 1 = 8. Доли равны соответственно 3/8 = 37,5%, 2/8 = 25%, 2/8 = 25% и 1/8 = 12,5%. Вместе они составляют 100%.
А теперь добавь к списку ответ «комедия и приключения», хотя вопрос разрешал выбрать только один вариант. Как поступить? Не угадывать за человека. Если можно, уточнить его выбор; если нет — отметить ответ отдельно и применить заранее выбранное правило. Главное — не менять правила подсчёта после того, как стало ясно, какой вариант лидирует.
Сбор данных похож на сбор улик: каждая мелочь важна, но сама по себе ещё не раскрывает всю картину. Чёткий вопрос задаёт направление, аккуратная процедура защищает от повторов и пропусков, таблица помогает увидеть частоты, а описание выборки не позволяет сказать больше, чем показывают ответы. Сначала мы выясняем, что именно узнали и от кого, и только потом решаем, какой вывод выдерживает проверку.
Именно такой порядок помогает не спутать отдельные ответы с общей картиной. Чтобы данные можно было проверить, важно заранее определить, что считать, собирать ответы по одним и тем же правилам, а затем записывать их так, чтобы были видны частоты. И всегда нужно помнить, кого именно мы опросили: выводы о выборке не обязательно верны для всех.
Таблица показывает, сколько раз встречается каждый вариант, но не всегда сразу подсказывает, что можно сказать о данных в целом. Чтобы найти их характерные значения и понять, насколько сильно они различаются, пригодятся среднее, медиана, мода и размах.
Находим главное в данных: среднее, медиана, мода и размах
Случайность под контролем: вероятность и статистика, 9-й класс — максимально простым и понятным языком
В тренерской комнате спорили два тренера. У каждого на столе лежал список очков, набранных ведущим игроком его команды за пять матчей.
Первый список: 18, 19, 19, 19, 20.
Второй: 12, 17, 19, 21, 26.
— В среднем оба игрока набирали по 19 очков за матч, — сказал один тренер. — Значит, результат одинаковый.
— Средний — одинаковый, а вот игра совсем разная, — возразил второй. — Мой игрок почти всегда приносит команде около 19 очков. А твой то проваливается, то выдаёт рекорд.
Оба тренера были правы — каждый со своей стороны. Среднее действительно совпало. Но одно число не рассказало всей истории. Чтобы разобраться, понадобятся четыре показателя: среднее, медиана, мода и размах. Они не спорят за единственное звание «главного». Каждый отвечает на свой вопрос.
Одна карточка — четыре показателя
Начнём с первого списка: 18, 19, 19, 19, 20. Данные уже расположены по порядку — от меньшего значения к большему. Это удобно: некоторые показатели ищутся именно в упорядоченном ряду.
Представим, что перед нами лежит карточка с четырьмя подписями.
Карточка
Как найти
Что показывает
Среднее
(18 + 19 + 19 + 19 + 20) / 5 = 95 / 5 = 19
Сколько очков приходилось на матч в среднем
Медиана
Среднее, третье значение в ряду: 19
Какое значение находится посередине
Мода
Чаще всего встречается 19
Какой результат повторяется чаще других
Размах
20 − 18 = 2
Насколько различаются крайние значения
Одна карточка — четыре разных взгляда на одни и те же данные. Теперь разберём, чем каждый полезен и где может подвести.
Среднее: если сложить всё и поделить поровну
Среднее арифметическое знакомо многим: складываем все значения и делим сумму на их количество.
Среднее = сумма всех значений / количество значений.
В нашем примере игрок набрал 18 + 19 + 19 + 19 + 20 = 95 очков за пять матчей.
95 / 5 = 19.
Получается, в среднем он набирал 19 очков за матч. Среднее удобно, когда нужно оценить общий уровень, сравнить результаты или, например, рассчитать, сколько товара в среднем продаётся за день.
Есть и наглядный образ: среднее похоже на точку равновесия. Если представить числа на числовой прямой, их отклонения от среднего в сумме уравновесят друг друга. Для нашего ряда среднее равно 19: значение 18 отстоит от него на 1 влево, а значение 20 — на 1 вправо. Остальные числа стоят прямо на отметке 19.
Но у среднего есть важная особенность: в его расчёт входят все значения. Поэтому необычно большое или маленькое число может заметно его сдвинуть.
Вернёмся ко второму списку: 12, 17, 19, 21, 26.
12 + 17 + 19 + 21 + 26 = 95.
95 / 5 = 19.
Среднее такое же, как в первом списке. Но второй игрок набирал то 12 очков, то 26. Первое значение гораздо ниже среднего, второе — заметно выше. Среднее сложило их влияние в один результат, но не показало, насколько неровно шла игра.
Это не ошибка среднего. Просто оно отвечает на конкретный вопрос: «Какова сумма результатов, если разделить её поровну между всеми наблюдениями?» Оно не обещает, что именно такое значение встретилось в данных или что каждый отдельный результат был на него похож.
Выброс: одно необычное значение меняет картину
Представь, что ты записываешь, сколько минут уходит на дорогу до школы. За пять обычных дней получилось: 12, 13, 13, 14 и 15 минут.
Среднее:
12 + 13 + 13 + 14 + 15 = 67.
67 / 5 = 13,4 минуты.
А теперь на шестой день автобус задержался из-за перекрытой дороги, и путь занял 53 минуты. Если сравнить пять дней, где последний результат заменён на этот необычный, получится ряд: 12, 13, 13, 14, 53.
12 + 13 + 13 + 14 + 53 = 105.
105 / 5 = 21 минута.
Среднее выросло с 13,4 до 21 минуты. Один очень долгий путь сильно изменил картину. Такое заметно отличающееся значение часто называют выбросом.
Важно не перепутать «необычное» с «неправильным». Если 53 появилось из-за ошибки при записи, данные нужно проверить и исправить. Если автобус действительно задержался, значение настоящее. Его не стоит молча выкидывать: лучше указать, что произошло, и подумать, отвечает ли среднее на нужный вопрос. Например, для оценки обычного пути до школы может быть полезнее медиана, а для планирования поездки с учётом возможных задержек необычный случай тоже важен.
Медиана: середина упорядоченного ряда
Чтобы найти медиану, сначала расположи значения по порядку. Медиана — это значение, которое оказывается в середине этого ряда.
В примере с обычными поездками данные уже упорядочены:
12, 13, 13, 14, 15.
Здесь пять значений. Среднее, третье по счёту, — 13. Значит, медиана равна 13 минутам.
Если добавить очень долгую поездку, ряд станет таким:
12, 13, 13, 14, 53.
Посередине по-прежнему стоит 13. Медиана не изменилась, хотя среднее заметно выросло. Это полезное свойство: медиана обычно меньше зависит от крайних значений, потому что важнее всего её место в упорядоченном ряду, а не точное расстояние до каждого числа.
Если количество значений чётное, одного центрального числа нет: посередине стоят два. Тогда медиана равна среднему арифметическому этих двух значений.
Например, упорядоченный ряд: 6, 8, 8, 10, 13, 15. Два центральных значения — 8 и 10.
(8 + 10) / 2 = 9.
Медиана равна 9. Её не обязательно встретить в исходных данных: в этом ряду такого значения нет. Это нормально — медиана показывает центр упорядоченного ряда, а не обязательно одно из наблюдений.
Медиана особенно удобна, когда данные содержат редкие, но очень большие или маленькие значения. Например, если в группе доходы большинства людей похожи, но у одного человека доход во много раз выше, среднее может оказаться выше того, что получает типичный участник. Медиана в такой ситуации часто лучше передаёт центральное положение данных. Но и она не расскажет, насколько разбросаны значения вокруг центра.
Мода: самое частое значение
Мода — это значение, которое встречается чаще других.
В первом списке, 18, 19, 19, 19, 20, мода — 19: это число появилось три раза. Мода отвечает на практический вопрос: «Какое значение встречается чаще всего?» Например, какой размер обуви чаще покупают в магазине или какой маршрут чаще выбирают пассажиры.
У моды есть особенность: она может быть не единственной. В ряду 1, 2, 2, 3, 3, 4 чаще других встречаются и 2, и 3. Значит, мод две.
А иногда моды нет. Во втором списке с баскетбольными результатами каждое число встречается один раз: 12, 17, 19, 21, 26. Ни одно значение не встречается чаще других, поэтому единственной наиболее частой величины здесь нет. В таких данных говорят, что мода отсутствует.
Конец ознакомительного фрагмента.
Текст предоставлен ООО «Литрес».
Прочитайте эту книгу целиком, купив полную легальную версию на Литрес.
Безопасно оплатить книгу можно банковской картой Visa, MasterCard, Maestro, со счета мобильного телефона, с платежного терминала, в салоне МТС или Связной, через PayPal, WebMoney, Яндекс.Деньги, QIWI Кошелек, бонусными картами или другим удобным Вам способом.