Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни

2

Как политики выбирают своих избирателей

Анк-Морпорк, наигравшись с множеством форм управления, остановился на форме демократии, известной как «Один Человек, Один Голос». Тем самым Человеком был патриций; ему же принадлежал единственный Голос.

Древние греки много чего подарили миру: поэзию, драму, скульптуру, философию, логику. Кроме того, они дали нам геометрию и демократию, которые, как оказалось, связаны между собой теснее, чем кто-либо мог предположить, и меньше всего сами греки. Конечно, политическая система Древних Афин представляла собой очень ограниченную форму демократии – голосовать могли только свободные мужчины, но не женщины и не рабы. Так или иначе, в эпоху наследных правителей, диктаторов и тиранов афинская демократия была заметным шагом вперед. Как и греческая геометрия, которая в изложении Евклида Александрийского подчеркивала, как важно делать базовые предположения ясными и четкими, а все остальное выводить из них строго логически и системно.

Но как математика может использоваться в политике? Политика – это сфера человеческих отношений, соглашений и обязательств, а математика – это холодная абстрактная логика. В политических кругах риторика берет верх над логикой, а бездушные математические расчеты кажутся очень далекими от политических споров. Но демократическая политика подчиняется правилам, а у них бывают следствия, которые не всегда можно предвидеть, когда правила вводятся. Новаторские работы Евклида по геометрии, собранные в его знаменитых «Началах», установили стандарт того, как нужно делать выводы из правил. Фактически это неплохое определение математики в целом. В любом случае сегодня, всего лишь через 2500 лет, математика начинает проникать и в политический мир.

Как ни странно, в условиях демократии политики, на словах преданные идее о том, что решения должен принимать «Народ», всеми силами стараются не допустить этого. Такая тенденция восходит к той самой первой демократии в Древней Греции, где право голоса давалось только мужчинам-афинянам, составлявшим около трети взрослого населения. Одновременно с зарождением идеи выбирать руководителей и направления политики путем народного голосования появилась еще более привлекательная идея подмять под себя этот процесс и взять под контроль тех, кто голосует, и результаты голосования. Это несложно, даже когда каждый избиратель имеет один голос, потому что результаты голосования зависят от контекста, в котором оно происходит, а контекст всегда можно подтасовать. Как деликатно выражается профессор журналистики Уэйн Докинз, в итоге политики начинают выбирать своих избирателей, а не избиратели политиков{6}.

Вот здесь-то и вступает в игру математика. Не в политических дебатах, а в структуре правил этих дебатов и в контексте, в котором они проводятся. Математический анализ – обоюдоострое оружие. Он может открывать новые, хитроумные методы подтасовки голосов, а может и выявлять подобную практику, указывать на ее свидетельства и способствовать предотвращению.

Кроме того, математика подсказывает, что в любой демократической системе должны присутствовать элементы компромисса. Невозможно получить все, что вы хотите, каким бы желанным это ни было, поскольку список желаемого всегда внутренне противоречив.

Газета The Boston Gazette подарила 26 марта 1812 года миру новое слово: джерримандер (gerrymander), что означало манипуляции с нарезкой избирательных округов. Первоначально это слово писалось через дефис – «джерри-мандер» – и было результатом словослияния, которым впоследствии широко пользовался Льюис Кэрролл, то есть сложения частей двух общеизвестных слов. Часть «мандер» представляла собой концовку слова «саламандра», а часть «джерри» – концовку имени Элбриджа Джерри, губернатора штата Массачусетс. Точно неизвестно, кто первым сложил две концовки вместе, но историки считают, что это был один из редакторов газеты: Натан Хейл, Бенджамин Рассел или Джон Рассел.

Что же такого сделал Элбридж Джерри, что его имя навсегда соединилось с названием похожего на ящерицу существа, жившего, согласно средневековому фольклору, в огне? Подтасовал результаты выборов.

Говоря точнее, именно Джерри протолкнул закон, изменивший границы избирательных округов в Массачусетсе на выборах в сенат штата. Деление на избирательные округа, как это называют, естественным образом связано с определением границ. Это обычное дело и сегодня, и в давние времена для большинства демократий. Очевидная причина деления на округа – практические соображения: неудобно принимать решения, если по каждому предложению должна голосовать вся страна. (Наглядный пример – Швейцария: до четырех раз в год федеральный совет отбирает предложения для голосования граждан и устраивает, по существу, серию референдумов. При этом женщины там не имели права голоса до 1971 года, а один из кантонов даже продержался до 1991 года.) Существует освященная временем традиция избирать всеобщим голосованием сравнительно небольшое число представителей и уже этим представителям давать право принимать решения. Один из наиболее справедливых методов – пропорциональное представительство, когда число представителей той или иной политической партии пропорционально числу полученных ею голосов. Чаще всего население разбивают на округа, и каждый округ избирает определенное число представителей, примерно пропорциональное числу избирателей в нем.

Например, на президентских выборах в США каждый штат голосует за определенное число «выборщиков» – членов коллегии выборщиков. Выборщики имеют по одному голосу, и кто станет президентом, определяется простым большинством их голосов. Эта система появилась в те времена, когда доставить сообщение из американской глубинки в центр можно было лишь верхом или в экипаже, запряженном лошадьми. Железнодорожные магистрали и телеграф появились позже. В те дни процесс подсчета голосов громадного числа людей шел слишком медленно{7}. Но эта система, помимо прочего, передавала контроль в руки членов коллегии выборщиков. В случае британских парламентских выборов страна делится (в основном географически) на избирательные округа, каждый из которых выбирает одного члена парламента. Затем партия (или коалиция партий), получившая максимальное число мест в парламенте, формирует правительство и выдвигает одного из своих членов парламента на пост премьер-министра. Премьер-министр Великобритании обладает значительными полномочиями и во многом напоминает президента.

Существует еще одна скрытая причина для передачи процедуры принятия демократических решений в руки небольшого числа «проводников»: так проще манипулировать голосами. Все подобные системы имеют внутренние недостатки, которые часто приводят к странным результатам, а при случае ими можно воспользоваться, чтобы игнорировать волю народа. В наши времена уже не раз на президентских выборах в США полное число голосов избирателей, отданных за проигравшего кандидата, было больше, чем у победившего кандидата. Хотя нынешний метод выборов президента не зависит от воли избирателей, при современных средствах коммуникации единственная причина, по которой США не переходят на более справедливую систему, видится в том, что многих власть имущих устраивает именно такой вариант.

Основная проблема здесь – «бесполезные голоса». В каждом штате кандидату для победы нужна половина общего числа проголосовавших плюс один голос (или полголоса, если общее число нечетное). Голоса, полученные сверх этого порога, никак не влияют на то, что происходит на этапе работы коллегии выборщиков. Так, на президентских выборах 2016 года Дональд Трамп получил 304 голоса выборщиков, а Хиллари Клинтон – 227 голосов, но число проголосовавших за Клинтон избирателей было на 2,87 млн больше, чем у Трампа. Так что Трамп стал пятым президентом США, получившим этот пост при проигранном общенародном голосовании.

Джерримандер – подтасовка голосов по рецепту Джерри. Считается, что эту карикатуру нарисовал в 1812 году Элкана Тисдейл

Границы американских штатов практически неизменны, так что проблемы манипуляции ими нет. А вот внутри границы округов могут изменяться, причем обычно это делает партия, находящаяся у власти, и здесь проявляется еще более коварный порок системы. Дело в том, что партия может проводить границы таким образом, чтобы гарантировать конкурирующей партии потерю необычно большой доли голосов. Возьмем Элбриджа Джерри и выборы в сенат. Когда массачусетские избиратели увидели карту избирательных округов, они не заметили почти ничего необычного. Однако один из округов заметно отличался от остальных. Он объединял 12 административных районов запада и севера штата и имел сложную форму. Политическому карикатуристу, автору рисунка, который вскоре появился в The Boston Gazette, – скорее всего, это был художник, дизайнер и гравер Элкана Тисдейл, – этот округ показался очень похожим на саламандру.

Джерри принадлежал к Демократической республиканской партии, конкурировавшей в то время с Федералистской партией. На выборах 1812 года федералисты завоевали палату представителей штата и пост губернатора, в результате чего Джерри остался без места. Однако проведенное им разбиение на округа на выборах в сенат штата позволило Демократической республиканской партии одержать победу.

Математика манипуляций по рецепту Джерри начинается с анализа того, как они делаются. Существуют две основные тактики разбиения на округа: концентрация и распыление. При концентрации ваши собственные голоса распределяются как можно равномернее для получения небольшого, но решающего большинства в как можно большем числе округов, а остальные округа сдаются врагу. Прошу прощения, оппозиции. Распыление предполагает разбивку голосов оппозиции так, чтобы она проиграла в как можно большем числе округов. Пропорциональное представительство, при котором число представителей пропорционально полному числу голосов, полученному каждой партией (или предельно близко к нему), позволяет избежать подобных фокусов и является более справедливым. Неудивительно, что Конституция США делает пропорциональное представительство незаконным, потому что, согласно ей, каждый округ должен иметь только одного представителя. В 2011 году Великобритания провела референдум по другой альтернативе, системе единого передаваемого голоса: народ проголосовал против предлагавшихся изменений. Референдума по пропорциональному представительству в Великобритании никогда не было.

Нарезка избирательных округов в Джерримандии. Вверху слева: 50 районов следует разделить на пять округов по 10 районов в каждом. Предпочтения избирателей (голосуют они за Темную или за Светлую партию) отражены на карте оттенком серого. Вверху справа: концентрация дает Светлым три округа, а Темным только два. Внизу слева: распыление отдает Темным все пять округов. Внизу справа: такое разбиение обеспечило бы пропорциональное представительство

Вот как работают концентрация и распыление в вымышленном примере с очень простой географией и столь же простым распределением голосов.

В государстве Джерримандия за власть борются две политические партии, Светлые и Темные. В этом государстве 50 районов, которые следует распределить по пяти избирательным округам. На недавних выборах Светлые получили большинство в 20 северных районах, тогда как Темные имели большинство в 30 южных районах (рис. вверху слева). Правительство Светлых, которые с минимальным перевесом победили в предыдущем голосовании, изменило границы избирательных округов, обеспечив большинство своих сторонников в трех округах (вверху справа), так что теперь Светлые побеждают в трех округах, а Темные получают только два. После этого Темная партия оспаривает изменение границ в суде на том основании, что форма и границы новых избирательных округов с очевидностью говорят о подтасовке, и умудряется получить контроль над изменением границ перед следующими выборами. Темные используют метод распыления (внизу слева), чтобы обеспечить себе победу во всех пяти избирательных округах.

Если избирательные округа должны состоять из 10 небольших квадратных районов каждый, лучшее, что могут получить Светлые методом концентрации, это три округа из пяти. Им необходимо выиграть выборы в шести районах из 10, чтобы победить в округе в целом, а всего они контролируют 20 районов. Это дает им три шестерки плюс еще два района, которые оказываются бесполезными. Лучшее, чего могут добиться Темные методом распыления, – это получить все пять округов. Пропорциональное представительство дало бы Светлым два округа, а Темным – три, как показано на рисунке внизу справа. (На практике пропорциональное представительство не достигается разбиением на избирательные округа.)

Страны с диктаторским или близким к нему режимом в большинстве своем проводят выборы, чтобы показать миру, насколько они демократичны. Результаты этих выборов обычно подтасовываются, и даже если их разрешено оспорить в суде, разбирательства никогда не бывают успешными из-за небеспристрастности судов. В демократических странах можно не только опротестовать изменение границ избирательных округов, но и выиграть дело, потому что суды не зависят от правящей партии. Если, конечно, судьи не назначаются по партийной принадлежности.

В подобных случаях основная проблема, с которой сталкиваются судьи, носит неполитический характер. Все упирается в поиск объективного способа, позволяющего определить, имела ли место подтасовка. На каждого «эксперта», который посмотрит на карту и заявит, что видит явный случай подтасовки, всегда найдется другой «эксперт», который придет к противоположному выводу. Необходимы более объективные методы, чем личное мнение и словесные аргументы.

Здесь определенно нужна математика. Формулы и алгоритмы позволяют количественно оценивать разумность и справедливость границ округов и выявлять их необъективность в четко определенном смысле. Сама по себе разработка этих формул и алгоритмов не объективный процесс, конечно, но, как только они становятся общепринятыми (а это отчасти процесс политический), каждый может воспользоваться ими и проверить результаты независимо. Это дает суду логическую основу для принятия решения.

Разобравшись в коварных методах, которые дают политикам возможность изменять границы избирательных округов в свою пользу, можно придумать математические критерии или правила, позволяющие распознавать применение этих методов. Ни одно подобное правило не может быть идеальным – более того, существует доказательство, что это невозможно, к которому я перейду, как только мы поймем суть правил. В настоящее время используются пять подходов:

• Выявление избирательных округов странной формы.

• Выявление несоответствия в соотношении получаемых мест и числа голосов.

• Оценка количества бесполезных голосов, создаваемого данным делением на округа, и его сравнение с тем значением, которое законно считается приемлемым.

• Анализ всех возможных конфигураций округов и оценка вероятного результата при каждой из них с точки зрения количества полученных мест на основе существующих данных об избирателях, чтобы понять, является ли предложенная карта статистической аномалией.

• Выработка процедур, гарантирующих, что итоговое решение будет справедливым, что его сочтут справедливым и что обе партии согласятся с его справедливостью.

Пятый подход – самый удивительный, но, как ни странно, его на самом деле можно реализовать. Рассмотрим эти подходы по очереди, оставив удивительное напоследок.

Во-первых, округа странной формы.

Еще в 1787 году Джеймс Мэдисон писал в «Записках федералиста», что «естественным пределом любой демократии является расстояние от центральной точки, которое позволит самым далеко живущим гражданам собираться так часто, как того требуют их общественные функции». Если воспринимать это буквально, он предлагал делать избирательные округа приблизительно круглыми и не настолько большими, чтобы время пути от периферии до центра было чрезмерным.

Предположим, например, что основную поддержку политическая партия получает в прибрежных районах. Включение всех живущих там избирателей в один округ приведет к тому, что округ получится длинным, узким и извилистым и будет тянуться вдоль всего побережья. Это совершенно неестественно в сравнении с остальными компактными и разумными по форме округами. Нетрудно прийти к выводу, что здесь происходит что-то подозрительное, а границы проведены так, чтобы сделать бесполезными как можно больше голосов избирателей этой партии. Странная форма перекроенных избирательных округов часто свидетельствует о манипуляциях, как это было в случае необычного округа губернатора Джерри.

Правоведы могут спорить до умопомрачения о том, какую именно форму следует считать странной. Поэтому в 1991 году юристы Дэниел Полсби и Роберт Поппер предложили способ количественной оценки необычности формы, известный сегодня как тест Полсби – Поппера{8}. Он вычисляется по формуле:

4π × площадь округа/квадрат периметра округа.

Человек, хоть немного знакомый с математикой, сразу обратит внимание на множитель 4π. Подобно приятелю Вигнера, который не понимал, как численность населения связана с окружностями, мы можем спросить, какое отношение окружности имеют к политическим играм с избирательными округами. Ответ необычайно прост и прямолинеен: круг – самая компактная из геометрических фигур.

Этот факт имеет давнюю историю. Согласно древнегреческим и древнеримским источникам, а именно поэме Вергилия «Энеида» и «Филипповой истории» Гнея Помпея Трога, основательницей города-государства Карфагена была царица Дидона. Историческое повествование Трога кратко пересказал Юниан Юстин в III веке, и в его рассказе мы находим поразительную легенду. Дидона и ее брат Пигмалион были наследниками неназванного царя города Тира. После смерти царя народ хотел, чтобы им правил Пигмалион, несмотря на юный возраст. Дидона вышла замуж за своего дядю Акербаса, который, по слухам, обладал несметными сокровищами. Пигмалион захотел получить эти сокровища, а потому убил Акербаса. Дидона сделала вид, что выбросила его сокровища в море, хотя на самом деле утопила просто мешки с песком. Опасаясь, вполне разумно, гнева Пигмалиона, она бежала сначала на Кипр, а затем на северное побережье Африки. Там Дидона обратилась к берберскому царю Ярбу с просьбой выделить небольшой участок земли, где она могла бы пожить какое-то время. Тот ответил, что разрешает ей забрать себе столько земли, сколько удастся окружить бычьей шкурой. Дидона разрезала шкуру на тонкие полоски и охватила ими близлежащий холм, который до сего дня носит название Бирса, что значит «шкура». Основанное там поселение стало городом Карфагеном, и, когда он вырос и разбогател, Ярб сказал Дидоне, что она должна выйти за него замуж – или ее город будет разрушен. Дидона принесла множество жертв на громадном костре, сделав вид, что хочет почтить таким образом своего первого мужа и подготовиться к браку с Ярбом, затем взошла на костер, сказала, что скорее присоединится к первому мужу, чем уступит притязаниям Ярба, и пронзила себя мечом.

Мы не знаем, существовала ли Дидона на самом деле (хотя Пигмалион определенно существовал, и в некоторых источниках наряду с ним упоминается и Дидона). Поэтому говорить об исторической точности этой легенды бессмысленно. Как бы то ни было, в исторической легенде кроется легенда математическая: Дидона использовала шкуру, чтобы окружить холм, выложить из ремешков окружность вокруг него. Почему окружность? Потому что – как утверждают математики – она знала, что именно окружность охватывает максимально большую площадь для заданного периметра{9}. Этот факт носит впечатляющее название «изопериметрическое неравенство». Он был известен еще в Древней Греции, но строгое доказательство получил только в 1879 году, когда математик Карл Вейерштрасс заполнил пробел в пяти различных доказательствах, опубликованных геометром Якобом Штейнером. Штейнер доказал, что если оптимальная фигура существует, то это должна быть окружность, но он не сумел доказать ее существование{10}.

Изопериметрическое неравенство гласит, что

квадрат периметра больше или равен 4π × площадь.

Это применимо к любой плоской геометрической фигуре, у которой есть периметр и площадь. Более того, постоянная 4π – наилучшая из возможных (ее невозможно сделать больше), и вариант «больше или равно» превращается в равенство только в том случае, когда фигура – круг{11}. Именно изопериметрическое неравенство навело Полсби и Поппера на мысль о том, что величина, которую я назвал тестом Полсби – Поппера (ПП), может служить эффективным способом оценки округлости геометрической фигуры. Вот несколько примеров:

Круг: ПП = 1;

Квадрат: ПП = 0,78;

Равносторонний треугольник: ПП = 0,6.

Для избирательного округа по Джерри ПП составляет примерно 0,25.

Однако у ПП есть серьезные недостатки. Необычные формы избирательных округов иногда бывают неизбежными из-за таких особенностей местной географии, как реки, озера, леса и очертания побережий. Более того, избирательный округ может быть аккуратным и компактным и при этом очевидно организованным с целью манипуляций. Так, карта избирательных округов на выборах 2011 года в законодательное собрание штата Пенсильвания выглядела очень причудливо и неестественно, и в 2018 году республиканцы подготовили предложения по ее изменению. Предложенные округа полностью соответствовали пяти параметрам, определенным Верховным судом штата, но математический анализ распределения голосов в округах показал, что границы все равно не были объективными и заметно влияли на результаты голосования.

Даже масштаб карты может вызвать проблемы. Основная из них – фрактальность геометрии. Фрактал – это геометрическая фигура с детальной структурой во всех масштабах. Многие природные формы больше похожи на фракталы, чем на евклидовы треугольники и окружности. Береговые линии и облака можно очень эффективно моделировать в виде фракталов, что позволяет отразить их замысловатую форму. Термин «фрактал» пустил в обращение в 1975 году Бенуа Мандельброт, разработавший и активно продвигавший новую область – фрактальную геометрию. Береговые линии и реки представляют собой чрезвычайно извилистые фрактальные кривые, и их длина при измерении сильно зависит от того, насколько мелкий масштаб при этом используется. На самом деле длина фрактальной кривой теоретически бесконечна, что в переводе на язык повседневной реальности звучит так: «Измеренная длина возрастает безгранично по мере того, как вы рассматриваете объект все в больших подробностях». Так что юристы могут спорить до бесконечности об измерении периметра, не говоря уже о том, был ли данный избирательный округ изменен с целью манипуляции.

Поскольку странность формы такой неточный параметр, имеет смысл попробовать что-нибудь более определенное. Соответствуют ли результаты голосования статистическим избирательным паттернам электората?

Если на выборах идет борьба за 10 мест, а симпатии избирателей распределяются 60:40, то можно ожидать, что шесть мест получит одна партия, а четыре – другая. Если же одна партия получит все 10 мест, то можно заподозрить подтасовку. Однако на самом деле все не так просто. Результат такого рода обычен в мажоритарных системах голосования. Так, во время всеобщих выборов 2019 года в Великобритании Консервативная партия получила 44 % голосов, но 365 из 650 мест, что составляет 56 % всех мест. Лейбористы получили 32 % голосов и 31 % мест. Шотландские националисты с 4 % голосов получили 7 % мест (хотя это особый случай, поскольку их избирательная база целиком находится в Шотландии). Либеральные демократы получили 12 % голосов и 2 % мест. Большая часть несоответствий здесь была следствием региональных избирательных паттернов, а не странно проведенных границ избирательных округов. В конце концов, если результат двухпартийных выборов одного человека, скажем президента, решается простым большинством, то 50 % голосов (плюс один голос) будет достаточно для получения поста целиком.

Вот американский пример. В штате Массачусетс на федеральных и президентских выборах с 2000 года республиканцы получали в целом более трети голосов. Тем не менее в последний раз республиканцы занимали в этом штате хотя бы одно место в палате представителей аж в 1994 году. Подтасовка? Похоже, нет. Если эта треть республиканских избирателей распределена по территории штата более или менее равномерно, то, как бы вы ни проводили границы округов – исключая экстремальные варианты, при которых границы огибают дома отдельных граждан, – доля сторонников Республиканской партии в каждом округе составит приблизительно одну треть. Демократы победят везде. Именно так и происходило все эти годы.