Álgebra clásica

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Álgebra Clásica

Gonzalo Masjuán T., Fernando Arenas D. y Felipe Villanueva M.

© Inscripción N° 163.030

Derechos reservados

Enero 2008

I.S.B.N. edición impresa 978-956-14-0931-6

I.S.B.N. edición digital 978-956-14-2547-7

Primera edición

Diseño: Francisca Galilea R.

Diagramación digital: ebooks Patagonia

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C.I.P - Pontificia Universidad Católica de Chile

Masjuán Torres, Gonzalo.

Algebra/Gonzalo Masjuán, Fernando Arenas,

Felipe Villanueva.

1. Algebra

Prólogo

Esta obra se inserta en el esfuerzo común de tres académicos de la Facultad de Matemáticas de la Pontificia Universidad Católica de Chile para renovar tanto la enseñanza como el interés que posee el educando en el cultivo de la Matemática.

Dada la necesidad de contar con un texto que se adecúe más fielmente a los requerimientos actuales, hemos intentado vaciar la experiencia obtenida durante bastantes años en la enseñanza del Álgebra. La idea fundamental es que con este libro pretendemos entregar un apoyo efectivo para el proceso de en- señanza-aprendizaje, o sea, prestar utilidad en las carreras regulares en que se imparte esta asignatura y, en particular, para los educandos que la estudian en la Pontificia Universidad Católica de Chile.

En este texto, los capítulos uno, tres, cuatro y cinco (inducción, sumatorias, progresiones y binomio) son del tipo estándar en cualquier curso de Álgebra. El capítulo dos presenta una forma bastante novedosa para resolver recurrencias en algunos casos. El capítulo seis es una introducción a la combinatoria, incluyendo algo sobre funciones generatrices. El capítulo siete es una aplicación de los números complejos al Álgebra y a la Geometría. El capítulo ocho entrega un tratamiento formal de polinomios y ecuaciones.

Insistimos, como autores, en que el estudiante necesita un buen nivel de razonamiento y habilidad algebraica. Cada capítulo contiene un buen número de ejercicios resueltos para que el estudiante aprenda métodos de resolución y para que también vaya madurando el proceso de aplicación de los conocimientos que va adquiriendo a medida que avanza. En cada capítulo, el lector encontrará problemas propuestos y al final de éstos podrá ubicar sus respuestas.

El nivel de dificultad de los problemas propuestos es gradual, llegándose a ejercicios bastante difíciles para el estudiante; esto lo advertimos para que quien trate de resolverlos en su totalidad no se desanime en el caso de no obtener resultados inmediatos para alguno o algunos. La ejercitación en Matemática es muy importante y la dificultad no puede ser, en general, sencilla. Por tal motivo, en los problemas resueltos presentados, se ha pretendido que el alumno pueda visualizar la idea central usada en la resolución y, a su vez, aplicarla en los ejercicios propuestos.

En todo texto que se publica hay errores. Los autores piden ser disculpados por los de éste, ya que, por mucho que se revise, siempre se deslizan algunos. Los autores agradecerían se los hicieran saber.

Es deber nuestro agradecer a la Vicerrectoría Académica, quien, a través del Fondo de Desarrollo para la Docencia, hizo posible este texto. También agradecemos a la Facultad de Matemáticas tanto por su apoyo como por darnos el tiempo necesario para dedicarnos al libro. A su vez, agradecemos al numeroso alumnado que nos conoció y nos colaboró con los distintos apuntes y guías que les dimos por muchos años, es por ellos que principalmente se dirige este texto a los futuros alumnos nuestros.

Fernando Arenas Daza,

Gonzalo Masjuán, Torres,

Felipe Villanueva Mansilla

Santiago, julio de 2007

ÍNDICE GENERAL

Capítulo 1 Números naturales

1.1 Conjuntos inductivos

1.2 Principios de inducción

1.2.1 Primer principio de inducción

1.2.2 Segundo principio de inducción

1.2.3 Otros conceptos

1.3 Problemas resueltos

1.4 Problemas propuestos

Capítulo 2 Ecuaciones en diferencias finitas

2.1 Introducción

2.2 Operadores sobre sucesiones

2.3 Resolución de (E — aI)yn = 0

2.4 Resolución de (E — αI)(E — βI)yn = 0

2.4.1 Raíces reales y distintas

2.4.2 Raíces reales y iguales

2.4.3 Raíces complejas

2.4.4 Órdenes superiores

2.5 Resolución de P(E)yn = f(n)

2.5.1 El caso P(E)yn = a

2.2.2 El caso P(E)yn = a · bn

2.5.3 El caso P(E)yn = Q(n)

2.5.4 El caso P(E)yn = anQ(n)

2.6 Problemas resueltos

2.7 Problemas propuestos

2.8 Respuestas a los problemas propuestos

Capítulo 3 Sumatorias

3.1 Definición y ejemplos

3.2 Propiedades de las sumatorias

3.2.1 Algunas sumas importantes

3.3 Algo sobre sumatorias dobles

3.4 Problemas resueltos

3.5 Problemas propuestos

3.6 Respuestas a los problemas propuestos

Capítulo 4 Progresiones

4.1 Progresión aritmética

4.2 Progresión geométrica

4.2.1 La serie geométrica

4.3 Progresión armónica

4.4 Problemas propuestos

4.5 Respuestas a los problemas propuestos

Capítulo 5 Teorema del binomio

5.1 Coeficientes binomiales

5.2 Teorema del binomio

5.3 Problemas resueltos

5.4 Teorema del multinomio

5.4.1 Introducción

5.5 Serie binomial

5.6 Problemas propuestos

5.7 Respuestas a los problemas propuestos

Capítulo 6 Combinatoria

6.1 Introducción

6.1.1 Un ejemplo de arreglo

6.1.2 Cubrimiento de un tablero de ajedrez

6.1.3 Problema de los cuadrados móagicos

6.2 Principios de conteo

6.2.1 Principio aditivo

6.2.2 Principio multiplicativo

6.2.3 Principio de los casilleros

6.2.4 Principio inductivo

6.2.5 Principio de inclusion-exclusion

6.3 Otros conceptos

6.4 Permutaciones y combinaciones

6.4.1 r-Permutaciones sin repeticióon

6.4.2 r-Permutaciones con repeticióon

6.4.3 r-Combinaciones sin repeticion

6.4.4 r-Combinaciones con repeticion

6.5 Problemas de entretención

6.6 Funciones generatrices

6.6.1 Para combinaciones sin repetición

6.6.2 Para combinaciones con repeticion

6.6.3 Para permutaciones sin repeticion

6.6.3 Para permutaciones con repeticion

6.7 Problemas propuestos

6.8 Respuestas a los problemas propuestos

Capitulo 7 Números complejos

7.1 Introduccion

7.2 Algebra de complejos

7.2.1 (C, +, •) es campo

7.2.2 La unidad imaginaria

7.2.3 La conjugacion compleja

7.2.4 Modulo de un complejo

7.3 Forma polar de un número complejo

7.4 Raíces de un número complejo

7.4.1 Raíces cuadradas de z0

7.4.2 Raíces n-esimas de

7.5 Gráficos elementales. Multiplicacion de un complejo por un complejo unitario

7.5.1 Grúaficos elementales

7.5.2 Complejo por complejo unitario

7.6 La recta y la circunferencia en el plano complejo

7.6.1 Ecuacion de la recta

7.6.2 Ecuacion de la circunferencia

7.7 Simetral de un trazo. Circunferencia de Apolonio

7.7.1 Simetral de un trazo

7.7.2 Circunferencia de Apolonio

7.8 Argumento de un trazo dirigido y úangulo entre trazos dirigidos

7.8.1 Trazo dirigido

7.8.2 Ángulo entre trazos

7.9 Arco capaz de y con cuerda AB

7.10 Problemas resueltos

7.11 Problemas propuestos

7.12 Respuestas a los problemas propuestos

Capitulo 8 Polinomios y ecuaciones

8.1 Series formales

8.2 Polinomios

8.2.1 Metodo de división sintetica

8.2.2 Maximo común divisor entre dos polinomios

8.2.3 Evaluacion de polinomios

8.2.4 Resultados clúasicos

8.2.6 Relacion entre raíces y coeficientes

8.3 Ecuaciones

8.3.1 Transformacion de ecuaciones

8.3.2 Ecuaciones recúprocas

8.3.3 La ecuaciún cúbica

8.4 Problemas propuestos

8.5 Respuestas a los problemas propuestos

Bibliografía

Capítulo 1

NÚMEROS NATURALES

En la presentación efectuada en la enseñanza media, se introdujeron los números reales. Este conjunto no vacío, que se simbolizo por

1.1 Conjuntos inductivos

Definición 1.1.1 Sea A un conjunto de números reales, entonces:

A es inductivo

Notas:

Hacemos ver que si A es inductivo, entonces 1 ∈ A, (1 + 1) = 2 ∈ A, tambien 2 + 1 = 3 ∈ A, etc.

Algunos ejemplos de conjuntos inductivos son

Como ejemplos de conjuntos no inductivos tenemos

Definición 1.1.2 El conjunto de los números naturales se define como:

Nota:

La definición anterior nos dice que

Haremos ver que

1, 2, 3, 4, ⋯ , n, (n + 1), ⋯

Por tal motivo deberemos entregar la definición de función sucesor.

Definición 1.1.3 La función sucesor s :

El objetivo principal al entregar la definición anterior es para que el teorema que viene a continuacion quede bien expresado.

Teorema 1.1.1 Se tiene:

(1) ∈

(2) ∀n ∈

(3) ∀n ∈

(4) ∀n ∈

(5) ∀n ∈

(6) ∀n ∈

Demostración:

Sólo entregaremos la demostración de (3). Pues bien, sea A = {n ∈

En primer lugar, 1 ∈ A, pues sabemos que 1 > 0, esto es a causa de la axiomática de que (

Por lo tanto, tenemos que A es inductivo, en consecuencia, resulta

Nota:

El esquema que se utilizó en la demostración anterior es el siguiente:

(1) Se construye el conjunto A = {n ∈

(2) Se demuestra que el conjunto A definido en (1) es inductivo, es decir:

(2.1) 1 ∈ A, lo que es equivalente a demostrar que 1 tiene la propiedad p, es decir p(1).

(2.2) n ∈ A s(n) ∈ A, o sea si n ∈ A, entonces p(n) → p(n + 1).

(2.3) Se concluye que

El esquema anterior es lo que se conoce como Primer principio de inducción matemática, este principio nos entrega un metodo para demostrar cualquier propiedad p(n) para todos los números naturales.

1.2 Principios de inducción

1.2.1 Primer principio de inducción

El enunciado de este principio es el siguiente:

Sea p(n) una formula en n, entonces:

[p(1) ∧ ∀n ∈

Nota:

Tenemos:

2 + 4 + 6 + ⋯ 2n = 2(1 + 2 + 3 + ⋯ + n),

ahora bien, veremos en el problema resuelto [1.3.2] que:

1 + 2 + 3 + ⋯ + n =

con lo que:

2 + 4 + 6 + ⋯ + 2n = 2(1 + 2 + 3 + ⋯ + n) = 2 ·

sin embargo, si consideramos la proposición falsa:

2 + 4 + 6 + ⋯ + 2 n = n2 + n + 1,

como verdadera para n, sumando (2n + 2) a cada lado de ésta, se cumple que:

2 + 4 + 6 + ⋯ + 2 n + (2n + 2) = n2 + n + 1 + (2n + 2) =

= n2 + 2n + 1 + n + 1 + 1 = (n + 1)2 + (n + 1) + 1,

vemos que se satisface la hipótesis inductiva. No se puede tener la igualdad para un primer n, por ejemplo, para 1, 2, etc.

Al no cumplirse para n = 1, 2, 3, · · · no podemos concluir que es falsa, pues podría ser verdadera por ejemplo para n = 2789341.

Nota:

El siguiente resultado es equivalente con el primer principio de inducción y proposición el metodo para resolver aquellos casos en que se desea demostrar inductivamente una propiedad p(n) no necesariamente para todo natural n, sino que para aquellos n mayores o iguales a algún natural a.

Teorema 1.2.1 Sea n0 ∈

[p(n0) ∧ ∀n ∈

Demostración:

Si n0 = 1 se tiene el primer principio de induccion y el teorema es cierto. Consideremos, entonces para n0 ∈

I1 = {n ∈

Haremos ver que I1 es un conjunto inductivo.

En primer lugar, tenemos que 1 ∈ I1 puesto que: