Основы R-анализа

5. К новой модели бесконечно большого количества

В итоге мы начинаем постепенно входить в работу с аппаратом R-анализа. В основе этого аппарата, как видим, лежат R-функции.

В силу изоморфизма, обратная базовая R-функция R-1М позволяет полностью воспроизвести всю структуру вещественных чисел и связанных с нею дополнительных конструкций на интервале (-М,М). Например, мы можем определить R-сложение ⊕ между элементами х* = R-1M (х) и у* = R-1М (у) по правилу:

х*⊕у* = R-1М (R+1М (х*) + R+1М (у*)) = R-1М (х + у) = (х + у) *.

Аналогично поступаем и для всех остальных операций и предикатов.

Казалось бы, R-изоморфизм не даёт ничего нового уже по определению. Но, как было представлено выше, кроме изоморфных отношений, появляется также момент внешней метрики, который выходит за границы изоморфизма и позволяет оперировать с бесконечно большим количеством как с конечным числом.

Это означает, что за границами R-изоморфизма начинает проступать какая-то более богатая структура, которая хотя и скоординирована с R-изоморфизмом, но более или менее может выходить за его границы. Задача R-анализа теперь состоит в том, что всё более проявлять и оформлять такую структуру.

Попробуем сделать первый шаг в оформлении такой R-структуры на примере бесконечно большого как актуальной величины.

Когда мы сжимаем прообразное множество вещественных чисел R (0) обратной базовой R-функцией R-1М в интервал (-М,М) на образном множестве вещественных чисел R (1), мы по сути начинаем иметь дело с двумя количественными системами Q (0) и Q (0,1). Первая из них представлена множеством R (0), вторая – множеством R (1). Разница их состоит хотя бы в том, что у них разные границы качества. Если у первой количественной системы Q (0) качеством является конечность, которая своей верхней границей имеет бесконечно большое ∞, то вторая количественная система Q (0,1) делает границу ∞ первой системы конечной, в виде числа R-1М (∞) = М, и обладает более глобальным качеством конечно-бесконечного (финфинитного) (см. рис. 3).

Рис. 3. Соотношение двух количественных систем – системы конечного количества Q (0) с множеством R (0) как своим внутренним количеством (внизу) и системы конечно-бесконечно-большого количества Q (0,1) с множеством R (1) (вверху). Система Q (0) отображается в систему Q (0,1) обратной базовой R-функцией R-1М (изображена изогнутыми стрелками, направленными снизу вверх).

На рис. 3 вместо декартовской системы координат, где числовые оси аргумента и функции изображаются перпендикулярно друг другу, изображена другая система представления функции, где числовые оси аргумента и функции параллельны друг другу. Такая система имеет свои плюсы и минусы. Минус в том, что мы не видим график функции, но плюс состоит в том, что на плоскости можно изображать многократные функции от функций.

Строго говоря, вещественные числа х∈R (0) и х∈R (1), даже если это одно число х, следует различать между собой, поскольку это количества разных качеств. Это означает появление новой степени свободы при определении числа-количества – это параметр качества. Коль скоро мы вводим разные количественные системы, даже обладающие изоморфными количествами, то всё же эти количества теперь приходится различать, поскольку у них разные качества. Далее я буду называть новую степень свободы, связанную с качеством количественной системы, слоем или количественным слоем. По сути, слой – синоним качества количества.

Итак, количественные системы Q (0) и Q (0,1) обладают разными качествами-слоями, и параметр слоя открывает новые измерения и многообразия в организации количества, вводя качественные параметры в математику наряду с количественными.

Как более операционально выразить принадлежность одного и того же вещественного числа х к разным слоям?

Положим, что слой количества – это новое измерение в некотором многомерном пространстве. Тогда одно число х разных слоёв будет лежать как бы в разных измерениях, что можно выразить парами (х,0) – х одного слоя, (0,х) – х другого слоя.

Пусть, например, первая координата в паре (х,у) выражает элемент х из первой количественной системы Q (0), второй элемент у – из второй системы Q (0,1). Слой количества в этом случае будет выражен номером координаты в паре.

Хорошо, пусть будут пары. Но тогда должна возникнуть некоторая структура на этих парах. Что это за структура?

Вернёмся вновь к смыслу пар (х,у). Элемент х выражает количество системы Q (0), которая представлена множеством R (0), а элемент у – это элемент из множества R (1) системы Q (0,1). Внутри себя эти элементы полностью воспроизводят структуры вещественных чисел, т.е. для частного случая пар (х,0) и (0,у) можно просто задать структуру поля вещественных чисел и связанные с нею конструкции. Проблема возникает, когда мы имеем дело с двукоординатной парой (х,у), где х и у не равны нулю. Как работать с такими парами?

Здесь мы должны вспомнить об R-функции, которая сжимает множество R (0) в интервал (-М,М) на множестве R (1). Тем самым она делает элементы у≥М на множестве R (1) бесконечно большими для R (0). То есть множество R (1) – это область бесконечно большого количества для количества из R (0). По крайней мере, это верно для элементов у≥М из R (1).

А как быть с элементами у∈ (-М,М) из R (1)?

Эти элементы изоморфны элементам из множества R (0), которое выражает конечное количество. Следовательно, множество R (1) включает в себя как конечные элементы системы Q (0), так и бесконечные относительно неё элементы. Это и значит, что система Q (0,1) является конечно-бесконечным количеством относительно системы Q (0). Она финфинитна.

Только бесконечность системы Q (0,1) – это не бесконечно малое, а то бесконечно большое, которое выражает как плюс-, так и минус-бесконечность. Можно называть такое бесконечно большое модульным, обозначая его символом ±∞. На множестве R (1) модульному бесконечно большому будут соответствовать полуинтервалы (-∞, -М] и [M+∞). Количественную систему, определённую на этих полуинтервалах, обозначим через Q (1) – как систему модульного бесконечно большого количества.

Таким образом, качество системы Q (0,1) объединяет в себе конечное и модульное бесконечно большое, если представлять это качество со стороны системы Q (0).

Если в системе Q (0) между конечным и модульно бесконечно большим, как ±∞, определена бесконечная несоизмеримость, то в системе Q (0,1) эти состояния количества соизмеряются между собой как две конечности: интервал (-М,М) и объединение двух полуинтервалов (-∞, -М] ∪ [M+∞).

Если мы будем находиться в одной количественной системе, то получим свои виды конечного и бесконечного с бесконечной несоизмеримостью между ними. Только координация двух и более количественных систем позволяет ввести новые состояния количества – бесконечное как конечное (R-1М (∞)), конечно-бесконечное (R (1)) и т. д.

Итак, мы определились: система Q (0) представляет конечное количество, система Q (0,1) – конечно-бесконечное (финфинитное) количество, где бесконечное представлено как модульное бесконечно большое Q (1). И данные определения возникают только в отношениях этих двух систем.

В современной версии математики нет конечно-бесконечного количества, но только либо конечное, либо бесконечное. Даже в концепте актуальной бесконечности, как было отмечено выше, нет конечных метрических определений. В системе Q (0,1) феномен конечно-бесконечного количества возникает именно из-за конечности интервала (-М,М), т.е. конечности числа М> 0, что позволяет всё конечное количество системы Q (0) представить как часть количества системы Q (0,1), определив последнее как конечно-бесконечное количество в отношении к системе Q (0). Таким образом, в основе феномена финфинитности лежит конечность числа М – верхнего порога обратной базовой R-функции.

Отсюда также становится понятным, как можно воспроизвести классические определения дихотомического количества, где внутренность и границы количества несоизмеримы до бесконечности. Для этого достаточно устремить М к нулю и в пределе получим бесконечно малый интервал (-М,М) и некоторый вырожденный вариант обратной базовой R-функции R-10, который отобразит множество R (0) в бесконечно малую окрестность нуля на R (1), что и должно быть в отношениях конечного и модульного бесконечно большого с точки зрения стандартного математического анализа. Тем самым мы выражаем некоторый принцип соответствия между представленной выше моделью с ненулевой конечной верхней границей М и классическим подходом с бесконечно малой границей.

Более-менее определившись со смыслом количественных систем Q (0), Q (1) и Q (0,1) и их отношением, вернёмся к теме того, как же можно задать алгебру на парах (х,у)?

Теперь мы понимаем, что элемент х выражает стандартное конечное количество, а элемент у – некоторый вид финфинитного количества, где бесконечное (инфинитное) представлено как модульное бесконечно большое, в пределе М→0 переходящее в обычное модульное бесконечно большое ±∞ для всего множества R (1).

Отсюда возникает естественная интерпретация пары (х,у) как суммы конечного и бесконечно большого элементов, что условно можно было бы выразить следующим образом: (х,у) = х + iy,

где iy – «интеграл у, т. е. представление у как элемента «интегральной шкалы» системы Q (0,1). Выражение iy можно понимать как домножение у на бесконечно большую единицу i.

Отсюда можно вывести следующие правила для операций на парах:

(х1,у1) + (х2,у2) = (х1 + iy1) + (х2 + iy2) = (х1 + х2) +

+ i (y1 + y2) = (x1+x2,y1+y2),

(х1,у1) ⋅ (х2,у2) = (х1 + iy1) ⋅ (х2 + iy2) = x1x2 + x1iy2 + x2iy1 +

+ i2y1y2 = x1x2 + x1iy2 + x2iy1 = x1x2 + i (x1y2 + x2y1) =

= (х1х2, x1y2 + x2y1).

Здесь было отброшено слагаемое i2y1y2, поскольку i2 – это бесконечно большая второго порядка, а в парах мы рассматриваем только бесконечно большие первого порядка.

На этой основе можно развить алгебру на парах, в том числе ограниченное деление пар, но в этой алгебре присутствуют делители нуля, так что мы не получим поля, но некоторую структуру, которую далее будем называть предполем.

Как интерпретировать пару (х,у) в связи со структурой количественной системы Q (0,1)?

В паре (х,у) элемент х берётся из множества R (0), а элемент у – из R (1). Но элементы х из R (0) одновременно представлены в интервале (-М,М) множества R (1). Поэтому элемент х можно интерпретировать и как элемент из R (0), и как элемент из R (1). В последнем случае такой элемент будет дан как величина х* = R-1М (х). Чтобы различать эти варианты, введём понятие 1-реализации пары (х,у) по правилу:

r1 (x,y) = y + R-1M (x).

Здесь обратная базовая R-функция играет роль как бы конечного дифференциала х, в отношении к которому величина у выступает как своеобразный интеграл, что и фиксируется в принятой выше интерпретации пары как х + iy.

6. О чёрно-белой и цветной математике

Надеюсь, читатель уже начинает чувствовать методологию R-анализа. В её основе лежит идея единства количества и качества. Мы рассматриваем не просто то или иное количество – множество натуральных, рациональных или вещественных чисел, – но задаёмся вопросом: какое качество мы связываем с тем или иным количеством, как скоординированы между собой количественные и качественные определения?

В стандартной математике – математике стандартного математического анализа – такого рода вопросы не возникают, поскольку либо работают с количеством одного качества, либо качества разных количественных систем слабо (конечно) отличаются друг от друга – что, например, имеет место для отношения качеств натуральных и целых чисел, целых и рациональных чисел. И только для вещественных чисел возникает некоторый более сильный скачок между качествами конечного и бесконечного, что и даёт новый потенциал развития математики. Но этот потенциал фиксируется в самом начале своей реализации и не разворачивается далее. R-анализ пытается реализовать этот потенциал количественно-качественных координаций как можно полнее.

Стоит отметить также ещё один момент.

Если смотреть на ряд координаций количества и качества, то с чисто количественной стороны в них исчезает какая-либо новизна. Например, рассмотренная выше методология построения количественных систем Q (0) и Q (0,1) с прообразным R (0) и образным R (1) множествами вещественных чисел превратится просто в некоторый вид отображения на вещественых числах, если не различать качества этих систем.

Переход к R-анализу не всегда сопровождается новой математической техникой, но всегда предполагает новое математическое мировоззрение, где старая математика начинает играть новыми смысловыми красками. И такими красками являются качества (слои), которые мы добавляем к чисто количественным определениям.

В этом смысле стандартная математика как бы чёрно-белая (не цветная). В ней господствует количество одного качества – в лице множества вещественных чисел, которое максимально вытесняет количества всех иных качеств. Если они и слабо мерцают в такой математике, то только вытесненные на бесконечно удалённые края господствующей системы конечного количества. Такую математику можно называть моноквантической – математикой одного количества (одной количественной системы).

В лице R-анализа мы начинаем иметь дело с «цветной» математикой – математикой количеств разных качеств и координацией их между собой. Такую математику можно называть поликвантической.

Когда мы начинаем раскрашивать количественные структуры в цвета разных качеств, то возникает новая организация, которая исчезает при чёрно-белом своём представлении. Поэтому важно встать на новую точку зрения поликвантизма и полихроматизма в теории количества, не редуцируя его только до количества одного качества-цвета. Последнее тоже возможно, и может быть полезно, но важно сохранять и цветовое многообразие количественных систем, наряду с монохроматическим подходом.

Например, на описанное выше преобразование обратной базовой R-функции R-1М:R→ (-М,М) можно посмотреть цветным зрением, и тогда мы увидим две количественные системы Q (0) и Q (0,1) со своими качествами конечного и модульного бесконечно большого, а можно посмотреть чёрно-белым зрением и увидеть за R (0) и R (1) всего лишь одно и то же множество вещественных чисел с одним качеством конечного. В последнем случае мы потеряем конструкции R-анализа и вновь скатимся в стандартную моноквантическую математику. Поэтому важно изменить ещё и систему смыслов в своём математическом сознании, даже работая со стандартной математической техникой, – и тогда она заиграет новыми красками и смыслами.

Конечно, R-анализ будет давать и новую математическую технику, связанную с идеей поликвантизма. Но первые его шаги могут протекать ещё в рамках старой техники, лишь требуя нового цветного зрения. И это важно понять и удержать такую способность, чтобы суметь пройти эти первые шаги, не скатиться в чёрно-белый моноквантизм и достичь царства цветной математики.

Путеводная нить Ариадны в лабиринтах новой математики – это идея количественной системы как единства количественно-качественных определений. Мы теперь не просто работаем с количеством, но со множеством количеств разных качеств, и границы количественных систем и их качеств определяют R-функции. Далее мы смотрим на возникающие здесь координации, исследуем их и выражаем в новых (или старых) операциональных средствах.

7. Новая модель бесконечно малого количества

Обратная базовая R-функция позволила нам ввести бесконечно большое как актуальную величину, в том числе с конечной внешней метрикой. Как теперь мы могли бы ввести бесконечно малое в качестве аналогичной актуальной величины?

Вернёмся к идее бесконечно малого в математическом анализе.

Здесь, как уже отмечалось, бесконечно малая – это бесконечная последовательность вещественных чисел, имеющая пределом ноль. Согласно линии Лейбница, ненулевые бесконечно малые лежат между нулём и всеми конечными вещественными числами. В нестандартном анализе область бесконечно малых представлена как бесконечно малая окрестность нуля в рамках множества гипердействительных чисел. Кстати, в честь Лейбница, такая бесконечно малая окрестность нуля получила название монады.

Иными словами, если мы возьмём некоторый супермикроскоп и посмотрим на ноль на шкале вещественных чисел, то увидим там целый мир – монаду нуля, в которой расположено множество бесконечно малых чисел (см. рис. 4).

Рис. 4. Если мы как бы посмотрим под микроскоп на ноль, то увидим в его окрестности множество бесконечно малых чисел, лежащих в некотором интервале от -m до +m, и этот интервал можно называть «монадой нуля».

Опять мы встречаем здесь процедуру финитизации (оконечивания) бесконечного. Но если в случае бесконечно больших величин происходила их финитизация до конечных чисел, то в случае бесконечно малых наш супермикроскоп оконечивает область бесконечно малых величин. И если финитизацию бесконечно большого выполняла обратная базовая R-функция, то как реализовать финитизацию бесконечно малых?

Такую финитизацию не может выполнить обратная базовая R-функция, поскольку она конечному сопоставляет только конечное. А нам нужно какое-то отображение, которое бы бесконечно малому сопоставило конечное.