Основы R-анализа

8. Симметричные и иерархические отношения бесконечно большого и бесконечно малого

Благодаря R-функциям, мы можем строить новый вид количественных систем, которые соединяют в себе конечное и бесконечное как конечно-соизмеримые состояния. Таковы, например, количественные системы Q (0,1) и Q (-1,0). В первой из них соизмеряются конечное и модульное бесконечно большое количество, во второй – конечное и бесконечно малое количество. Алгебры этих систем представлены выше как алгебры пар.

Сделаем следующий шаг и скоординируем между собой три количественные системы – бесконечно малого, конечного и бесконечно большого количества.

Для этого начнём с количественной системы Q (-1,0), которая координирует в себе конечное и бесконечно малое в рамках множества R (0), каждая точка х из которого является центром монады (x-m,x+m), – такое множество теперь точнее обозначить как R (-1,0); а затем, как и ранее, сожмём множество R (-1) обратной базовой R-функцией в интервал (-М,М) на множестве R (1). В итоге каждая сумма х+R-1m (y) из множества R (-1,0) будет представлена как величина

R-1М (х+R-1m (y)).

Заметим далее симметрию между бесконечно малым, конечным и бесконечно большим: бесконечно малое так относится к конечному, как конечное к бесконечно большому.

Более конкретно эту симметрию можно теперь реализовать так, что на множестве R (1) мы можем сжать множество R (0) не только в окрестности нуля – в виде интервала (-М,М), – но образовать такие интервалы вокруг любой точки р∈R (1), используя обратную базовую R-функцию р + R-1М. Это тот же приём, что мы использовали, сдвигая монаду нуля в любую точку х∈R (0). Интервал (-М,М) – тоже своеобразная «монада», но в которой сжата область не бесконечно малого, а конечного количества на шкале бесконечно большого количества. Сдвигая центры интервала (-М,М) в любую точку р∈R (1), мы получаем суммы р+R-1М (х), а учитывая, что ещё ранее мы образовали не просто величины х∈R (0), а также суммы х + R-1m (y) из R (-1,0), в итоге получим суммы вида

р + R-1М (х+R-1m (y)),

которые можно рассматривать как 1-реализации троек (р,х,у):

r1 (p,x,y) = р + R-1М (х+R-1m (y)) (см. рис. 6).

Рис. 6. Двойное применение обратных R-функций при координации бесконечно малого, конечного и бесконечно большого количества. На рисунке показаны сжатия R-функциями только в окрестности нуля, но подобные преобразования могут быть перенесены для любой точки х∈R (0) и любой точки р∈R (1).

Как определить алгебру на таких тройках?

С одной стороны, мы могли бы соединить две интерпретации, представленные выше для пар конечных величин с бесконечно малыми и бесконечно большими, тогда получим такое представление тройки (назовём его симметричным):

(р,х,у) = ip + x + dy.

С другой стороны, элементы i и d таковы, что их произведение должно быть равно единице, т.е. id = 1, и здесь предполагается мультипликативная симметрия бесконечно большого и малого относительно конечного количества. Но в 1-реализации тройки r1 (p,x,y) мы видим структуру не столько симметрии в организации количества относительно центра конечного количества, сколько идею иерархии бесконечно большого, конечного и бесконечно малого. Как операционально реализовать такую иерархию?

Мультипликативная симметрия выражается в том, что возникают как бы степени разных знаков, когда мы можем использовать следующие соотношения

i = d-1,

d = i-1,

1 = d0 = i0.

Чтобы избавиться от степеней разных знаков и перевести их в степени одного знака, вынесем за скобки множитель с минимальной степенью (такую интерпретацию тройки можно называть интегральной):

(р,х,у) = ip + x + dy = d (i2p + ix + y)

и определим операции на тройках, выводя этот множитель за все операции и проводя их только с элементами внутри скобок:

(р1,х1,у1) + (р2,х2,у2) = d (i2p1 + ix1 + y1) + d (i2p2 + ix2 + y2) =

= d (i2p1 + ix1 + y1 + i2p2 + ix2 + y2) = d ((i2p1 + i2p2) +

+ (ix1 + ix2) + (y1 + y2)) = d (i2 (p1 + p2) + i (x1 + x2) + (y1 + y2)) =

= (p1+p2,x1+x2,y1+y2),

(p1,х1,у1) ⋅ (p2,х2,у2) = d (i2p1 + ix1 + y1) ⋅ d (i2p2 + ix2 + y2) =

= d (i2p1 + ix1 + y1) ⋅ (i2p2 + ix2 + y2)) = d (i2p1⋅ i2p2 + i2p1⋅ ix2 +

+ i2p1м⋅y2 + ix1⋅i2p2 + ix1⋅ix2 + ix1⋅ y2 + y1⋅i2p2 + y1⋅ix2 + y1⋅y2) =

= d (i2p1 ⋅ y2 + i2x1x2 + ix1y2 + i2p2y1 + ix2y1 + y1y2) = d (i2 (p1y2 +

+ x1x2 + p2y1) + i (x1y2 + x2y1) + y1y2) = (p1y2 + x1x2 + p2y1, x1y2 +

+ x2y1, y1y2).

При проведении этих преобразований мы по-прежнему отбрасываем степени бесконечных, выходящие за используемую интерпретацию (в данном случае это степени бесконечно большого, выше двух) и используем степенные соглашения для коэффициентов ikdm = ik-m = dm-k, где i0 = d0 = 1.

Давайте сравним это с операциями, если бы мы брали симметричную интерпретацию тройки как (р,х,у) = ip + x + dy. В этом случае мы бы получили:

(р1,х1,у1) + (р2,х2,у2) = (ip1 + х1 + dy1) + (ip2 + х2 + dy2) =

= i (p1+p2) + (х1 + х2) + d (y1 + y2) = (p1+p2,x1+x2,y1+y2),

(p1,х1,у1) ⋅ (p2,х2,у2) = (ip1 +х1 + dy1) ⋅ (ip2 +х2 + dy2) =

= i2p1p2 + ip1x2 + ip1dy2 + x1ip2 + x1x2 + x1dy2 + dy1ip2 +

+ x2dy1 + d2y1y2 = i (p1x2 + x1p2) + (p1y2 + x1x2 + y1p2) +

+ (x1dy2 + x2dy1) = (p1x2 + x1p2, p1y2 + x1x2 +

+ y1p2, x1y2 + x2y1).

Таким образом, на сложении (и вычитании) это бы не сказалось, а вот для умножения получаем разницу.

Причём, заметим, что исключить мультипликативную симметрию мы можем не только вынесением за скобки самой малой степени, но и самой большой. Тогда мы могли бы использовать такую интерпретацию тройки (назовём её дифференциальной):

(р,х,у) = ip + x + dy = i (p + dx + d2y),

и для такой интерпретации мы получили бы для умножения ещё третий вариант:

(p1,х1,у1) ⋅ (p2,х2,у2) = i (p1 + dx1 + d2y1) ⋅ i (p2 + dx2 + d2y2) =

= i ((p1 + dx1 + d2y1) ⋅ (p2 + dx2 + d2y2)) = i (p1p2+ p1dx2 + p1d2y2 +

+ dx1p2 + dx1dx2 + dx1d2y2 + d2y1p2 + d2y1dx2 + d2y1d2y2) =

= i (p1p2+ d (p1x2 + x1p2) + d2 (p1y2 + x1x2 + y1p2)) = (p1p2, p1x2 +

+ dx1p2, p1y2 + x1x2 + y1p2).

Что делать со всеми этими вариантами интерпретации тройки и умножения, какой из них выбрать?

Во-первых, следует отметить, что случай интегральной интерпретации

(р,х,у) = d (i2p + ix + y)

соответствует случаю симметричной интерпретации пятёрки

(p,x,y,z,t) = i2p + ix + y + dz + d2t

при z = t = 0.

Аналогично, случай дифференциальной интерпретации тройки

(р,х,у) = i (p + dx + d2y)

соответствует симметричной интерпретации пятёрки

(s,q,p,x,y) = i2s + iq + p + dx + d2y

при s = q = 0.

В итоге несимметричные (дифференциальную и интегральную) интерпретации тройки мы можем свести к симметричной интерпретации пятёрки, обнуляя в ней два дифференциальных, либо два интегральных элемента.

Приведённая выше 1-реализация тройки r1 (p,x,y) = р + R-1М (х+R-1m (y)) соответствует такому представлению, при котором бесконечно большое количество выступает как конечное, конечное – как бесконечно малое первого порядка, и бесконечно малое – как таковое второго порядка, что связано с дифференциальной интерпретацией тройки (р,х,у) = i (p + dx + d2y).

Заключая, мы видим, что 1) возможны как симметричные, так и несимметричные (иерархические) интерпретации троек, 2) несимметричные интерпретации троек можно свести к симметричным, расширяя тройки до пятёрок, 3) с каждой интерпретацией, по-видимому, должны быть связаны свои представления троек через R-функции.

В целом, контуры аппарата R-анализа начинают расширяться, и мы стоим на пороге некоторого более глобального обобщения всех тех частных конструкций, которые были представлены до сих пор.

9. Обратное сложение

Обратимся ещё раз к теме мультипликативной симметрии между интегральным и дифференциальным количеством. Если брать символ бесконечно большого числа ∞ и бесконечно малого 1/∞, то между ними дана явная мультипликативная симметрия: бесконечно малое есть величина, обратная к бесконечно большому.

Но если мы возьмём некоторую дифференцируемую функцию f (x), то её производная df/dx и интеграл F (x) = ∫f (x) dx уже не обнаруживают такой симметрии. В то время как бесконечно большая р и бесконечно малая у координаты в тройке (р,х,у), если смотреть на алгебру троек (р,х,у) = ip + x + dy, ведут себя симметрично.

Это значит, что обычные производная и интеграл построены в стандартном анализе скорее в рамках несимметричных интерпретаций троек – как (р,х,у) = i (p + dx + d2y) или (р,х,у) = d (i2p + ix + y). В то же время возможна также симметричная интерпретация троек.

Будем далее использовать операцию обратного сложения +*: х +*у = (х-1 + у-1) -1.

Можно показать, что для этой операции выполняются требования группы, где противоположным элементом для х является -х, но роль нейтрального элемента играет не ноль 0, а бесконечность ∞, если принять, что 0 = 1/∞. В самом деле:

Коммутативность: х +* у = (х-1 + у-1) -1 = (у-1 + х-1) -1 = у +*х,

Ассоциативность: ((х+*у) +*z) = (((х-1+у-1) -1) -1+ z-1) -1 =

= ((х-1+у-1) + z-1) -1 = (х-1 + (у-1+z-1)) -1 = (х-1+ (((у-1+z-1) -1) -1) -1 =

= (х +* (у +* z)),

Нейтральный элемент: x +*∞ = (x-1 + ∞-1) -1 = (x-1 +0) -1 =

= (x-1) -1 = x,

Противоположный элемент: x +* (-x) = (x-1+ (-x) -1) -1 =

= (x-1 – x-1) -1 = 0—1 = ∞.

Что касается взаимодействия операции +* и умножения, то здесь выполняется свойство дистрибутивности, как и для обычного сложения:

Дистрибутивность: z (x +* y) = z ((x-1 + y-1) -1) = z/ ((1/x) +

+ (1/y)) = z/ ((x+y) /xy) = 1/ ((x+y) /zxy) = ((x+y) /zxy) -1 =

= ((x/zxy) + (y/zxy)) -1 = ((zy) -1 + (zx) -1) -1 = zx +* zy.

Введём также порядок <* по правилу:

х <*у е. т. е. х-1 <у-1.

Это означает переворачивание порядка:

х <*у е. т. е. х> у,

так что будем называть порядок <* обратным порядком.

В рамках обратного порядка <* элемент ∞ является минимальным среди всех неотрицательных элементов, а элемент 0 – максимальным (причём, начнут различаться +0 и -0).

В итоге мы можем построить поле на вещественных числах с операциями обратного сложения +* и обычного умножения6.

Введением тройки (р,х,у) и её симметричной интерпретацией мы предполагаем такую числовую структуру, когда есть некоторое центральное количество х и относительно него определяется не только дифференциальное, но и интегральное количество. Но если интерпретацию дифференциального количества можно представить как дифференциальное приращение х+dx, которое добавляется к х – центру монады, то как представить реализацию интегрального количества, которое точно так же должно добавляться к конечному количеству х?

Первый шаг в ответе на этот вопрос – введение операции обратного сложения и связанной с ним структуры. Но чтобы сделать второй шаг и более глубоко понять реализацию бесконечно большого относительно конечного, нам нужно будет рассмотреть новый концепт так называемого «обратного количества».

10. Обратное количество

Как мы видели ранее, в отношениях бесконечно большого ∞ и бесконечно малого 1/∞ важную роль играет мультипликативная инверсия. Далее такую инверсию можно продолжить на операции, введя обратное сложение +*. В этом случае величины х и у будут вести себя как 1/х и 1/у.

Отсюда видна двойственность вещественного числа х: в операции обычного («прямого») сложения число х выступает как таковое, а в операции обратного сложения – как 1/х. В самом деле:

х +* х = (х-1 + х-1) -1 = (2 (х-1)) -1 = х/2.

Обратное сложение приводит не к увеличению суммы, а к её уменьшению – словно количественный процесс движется в обратном направлении. И если в прямом количестве рост величины идёт от нуля к бесконечности, то в обратном сложении как бы в обратную сторону – от бесконечности к нулю. Всё это позволяет ввести концепт обратного количества – количества, растущего в обратном направлении, не от нуля к бесконечности, а обратно – от бесконечности к нулю.

Но тогда смысл прямого и обратного количества затрагивает не только операции, но и само количество, в конечном итоге – каждую величину, представленную тем или иным вещественным числом.

Пусть дано некоторое вещественное число х> 0. На числовой прямой мы выражаем его отрезком [0,x] с началом в нуле и концом в точке х. И тогда рост такого числа – это увеличение отрезка, т.е. всё большее движение конца отрезка вправо. Так определяется прямое количество.

Если же рост обратного количества должен всё больше приближать к нулю, то величина х должна быть концом такого отрезка, рост которого будет приближать его конец к нулю, а не бесконечности. Если конец такого отрезка будет по-прежнему лежать в точке х, то где будет его начало? Роль нуля на шкале обратного сложения играет бесконечность ∞. Тогда остаётся предположить, что величина х может выражать не только отрезок [0,x], но и отрезок [x,∞], рост которого начнёт приближать точку х к нулю.

Тем самым одна и та же точка х может выражать конец двух отрезков – прямого отрезка [0,x] и обратного отрезка [x,∞]. Рост первого будет сдвигать точку х вправо, к бесконечности, а рост второго сдвигает точку х влево, к нулю.

За этой пока формальной симметрией видится глубокая идея двух видов количества – прямого и обратного. Количество может расти как в прямом направлении – от нуля к бесконечно большому, так и в обратном направлении – от бесконечно большого к нулю.

В этом случае ноль 0 и бесконечность ∞ выступают как бы двумя полюсами количества, от которых количество может расти или к которым оно может стремиться. До сих пор математика использовала только концепт прямого количества. Пора начать работать с конструкциями обратного количества. Посмотрим, что из этого получится.

Итак, одно и то же число х> 0 может как выражать прямое количество, растущее от нуля, – обозначим такое понимание х как х0, так и выражать количество, растущее от бесконечности – пусть это будет х∞. Индексами справа внизу мы изображаем те полюсы, от которых растёт соответствующее количество (см. рис. 7).

Рис. 7. Вещественное число х может быть представлено как прямое количество х0, растущее от нуля к бесконечности, и как обратное количество х∞, растущее от бесконечности к нулю.

Причём, если мы теперь берём число х∞ и складываем его с собой обратным сложением, то получаем величину (х/2) ∞:

х∞ +*х∞ = (х+*х) ∞ = (х/2) ∞.

Такой взгляд содержит в себе некоторую гетерономность – мы смотрим на обратное количество глазами прямого количества и обратно-растущее воспринимаем как прямо-уменьшающееся. Более последовательным будет в этом случае полный переход на точку зрения «обратной перспективы» – перспективы обратного количества, где ∞ – это 0. Но тогда и число х будет дано в этой обратной перспективе как х-1.

Зафиксируем такой переход на собственную точку зрения обратного количества в следующей символике:

х∞ ≈ ∞ (х-1),

где ≈ – некоторое отношение m-симметрии, определяемое по правилу х≈у е.т.е х=у-1 и учитывающее символику полюсов, которая определяется так, что величина х∞ – это величина, которая начинается в полюсе бесконечности ∞ и заканчивается в точке х, отсчитываемой от нуля, а ∞х – это величина обратного количества, имеющая метрику х в системе этого количества.

Те же идеи можно выразить введением 0-метрики и ∞-метрики на полюсных величинах х0 и х∞:

ρ0 (х0) = |x-0| = |x|,

ρ0 (х∞) = |x- ∞| = |∞|,

ρ∞ (х∞) = |x-1– ∞-1| = |x-1|,

ρ∞ (х0) = |x-1-0-1| = |∞|.

Тогда переход от х∞ к ∞ (х-1) – это переход от 0-метрики к ∞-метрике величины х∞, т.е. мы начинаем видеть величину х∞ в собственной перспективе обратного количества, и в этой обратной перспективе х∞ имеет величину х-1, что и фиксируется выражением ∞ (х-1).

Таким образом, запись х∞ – это некоторое смешанное представление, когда на обратное количество, которое имеет величину х-1 в своей собственной системе, мы смотрим глазами прямого количества. В итоге, одна и та же точка х на числовой прямой может выражать как прямое количество х0, так и обратное количество х∞, которое в своей системе предстаёт как величина ∞ (х-1).

Описанные выше конструкции могут быть распространены на отрицательные величины х <0, т.е. их также можно записать в виде х∞, но теперь в качестве полюса бесконечности, от которого они откладываются, следует понимать величину -∞.

Вообще, здесь следует заметить, что в системах прямого и обратного количества полюсы бесконечности и нуля эквивалентны. Это, в частности, означает, что как -0 = +0 и -∞ ≠ +∞ в системе прямого количества (которое ещё можно называть 0 – количеством), так же в системе обратного количества (∞ – количества) имеем +∞ = -∞, но -0 ≠ +0.

Это заставляет нас обратить внимание на равенства, вводя также два их вида:

х0 =0 у0 е.т.е. х=у

х∞ = ∞у∞ е.т.е. х-1 = у-1.

Кажется, что случай х-1 = у-1 равносилен х=у, но это верно лишь до тех пор, пока мы не взяли в качестве х и у либо ±0, либо ±∞. Например, хотя -0 = +0, но -∞ ≠ +∞ и т. д.

Теперь окинем общим взглядом, что мы сделали, вводя концепты прямого и обратного количества.

Мы построили множество R-1, изоморфное множеству вещественных чисел R, но перевёрнутое по ролям нуля и бесконечности: роль нуля 0 из R во множестве R-1 играет бесконечность ∞ и наоборот. Основа этого изоморфизма – отображение мультипликативной симметрии (инверсии)