Основы R-анализа

11. Операторы инверсии

Конструкции R-анализа, как ни странно, заложены уже в операторе мультипликативной инверсии Inv (x) = 1/x, потому что этот оператор делает бесконечное конечным, Inv (∞) = 0, и конечное – бесконечным: Inv (0) = ∞ Но нечто подобное делают и R-функции: прямая R-функция отображает конечное в бесконечное, обратная R-функция – бесконечное в конечное. Как было замечено ранее, бесконечное – это граница количественной системы, где она граничит с количеством другого качества, и достижение границы – уже некоторый эффект встречи двух количественных систем.

Остаётся теперь более операционально выразить связь мультипликативной инверсии и связанных с нею конструкций обратного количества со структурами R-анализа.

Переход на точку зрения обратного количества делает полюс бесконечности нулём – разновидностью конечного количества. Чтобы сделать полюс бесконечности конечным, с ним нужно начать оперировать как с конечным числом, в связи с чем можно предположить, что оператор мультипликативной инверсии имеет такой вид:

Inv (x) = AoR-1M (x),

где о – операция композиции операторов, R-1М – обратная R-функция с некоторым верхним порогом М, и А – некоторый оператор. Теперь вопрос в том, что это за оператор А?

Рассмотрим вновь для простоты некоторое положительное вещественное число х> 0. Когда мы подействуем на множество вещественных чисел R обратной R-функцией R-1М, получим интервал (-М,М), и число х перейдёт в число х* = R-1М (х), которое будет лежать между нулём 0 и М.

Точка х* также может выражать два вида количества – прямое, отсчитываемое от нуля х*0, и обратное, отсчитываемое от М, что можно обозначить как х*М, поскольку полюс бесконечности ∞ действием обратной R-функции финитизирован до конечного числа М = R-1М (∞) (см. рис. 8).

Рис. 8. Финитизация полюса бесконечности до конечной величины М обратной R-функцией R-1М приводит к представлению обратной величины х∞ как величины х*М, где х*=R-1М (х), откладываемая в направлении к нулю от М.

Тогда прямое количество х*0 будет выражаться величиной отрезка [0,x*], а обратное количество х*М – величиной отрезка [x*,M]. Посмотрим на длины этих отрезков:

| [0,x*] | = x*,

| [x*,M] | = M-x*.

Величина М-х* – это величина обратного количества х*М в собственной количественной системе, когда величины отсчитываются от полюса бесконечности. Но в обычном множестве вещественных чисел мы не могли прямо измерить эту величину, потому что полюс бесконечности был в самом деле бесконечен. Теперь же он финитизирован обратной R-функцией и представлен как конечное число М = R-1М (∞), и мы можем прямо определить величину обратного количества. По аналогии с записью

х∞ ≈ ∞ (х-1),

можем записать:

х*М ≈ М (М-х*),

где М (М-х*) – представление числа х*М в собственной М-метрике, отсчитываемой от М.

Таким образом, числа х и х-1, связанные мультипликативной инверсией на обычной шкале вещественных чисел, в случае R-шкалы (-М,М) представляются числами х*0 и х*М с величинами х* и М-х* соответственно.

Обозначим разность М-х* в качестве оператора М-дополнения

DM (x*) = M-x*.

Тогда представление оператора мультипликативной инверсии Inv мы можем сделать ещё более определённым:

Inv (x) = BoDMoR-1M (x),

т.е. оператор Inv мы теперь представляем как композицию трёх операторов – обратной R-функции R-1М, оператора М-дополнения и некоторого оператора В.

Остаётся определить, что это за оператор В?

Заметим, что оператор Inv действует на обычном множестве вещественных чисел, а после действия двух операторов R-1М и DM мы пока находимся в R-множестве (-М,М). Поэтому нам нужно вернуться от этого множества к обычному множеству вещественных чисел, что делает прямая R-функция R+1М. Отсюда возникает гипотеза, что оператор В равен прямой R-функции с тем же верхним параметром М, и в целом оператор m-инверсии примет вид:

Inv (x) = R+1M (x) oDMoR-1M (x).

Остаётся подобрать такую R-функцию, чтобы выполнялось соотношение

Inv (x) = R+1M (x) oDMoR-1M (x) = х-1.

Такая R-функция в самом деле существует, и в своей монографии «Логика открытого синтеза» я её приводил7. Она имеет следующий вид (при М=2):

– обратная R-функция:

– прямая R-функция:

Хотя эти функции составлены из трёх кусков, но они не только непрерывные, но и гладкие, поскольку левые и правые производные равны в точках х = ±1.

Также следует расширить оператор М-дополнения на отрицательные значения:

Поскольку оператор М-дополнения работает с R-образами прямых и обратных величин, а у обратных величин различаются +0 и -0 – как у прямых величин различаются +∞ и -∞, – то в качестве аргументов оператора М-дополнения введены в том числе элементы +0 и -0. И, например, запись «±0, если х=±М» следует понимать как сокращение для выполнения двух условий: 1) +0, если х=+М, и 2) -0, если х=-М.

Проверим, что 1/х = Inv (x) = R+1M (x) oDMoR-1M (x) для приведённых выше R-функций R±12 на примере величины х∈ (1,2). Здесь имеем:

R-12 (х) = 2 – 1/х,

D2 (2 – 1/х) = 1/x <1,

R+12 (1/х) = 1/x.

Аналогично можно показать выполнение остальных случаев.

Таким образом, мы в самом деле можем доказать, что оператор мультипликативной инверсии Inv оказывается тесно связан с R-функциями, т.е. за операцией взятия обратного количества х-1 стоит более глубокая R-структура. Запрет деления на ноль – это по сути запрет на выход в другую количественную систему обратного количества х∞.

Более того, показав связь оператора Inv со специфической R-функцией, мы можем оторваться от этой специфики и обобщить оператор мультипликативной инверсии Inv до оператора обощённой инверсии Iv, для определения которого используем ту же формулу

Iv (x) = R+1M (x) oDMoR-1M (x),

но теперь предполагая возможность использования любых R-функций в данном определении.

Заметим также, что выполняется следующее соотношение:

IvoIv (x) = x,

если ещё ранее принимать во внимание, что

DMoDM (x*) = x*.

Также имеем:

Iv (∞) = R+1M (x) oDMoR-1M (∞) = R+1M (x) oDM (M) = R+1M (0) = 0,

где ∞ = ±∞ для обратных величин (как и ± 0 = 0 для прямых величин).

Покажем также выполнение свойства

Iv (-x) = -Iv (x).

В самом деле, функции R±1М являются нечётными, тогда нужно проверить нечётность только оператора М-дополнения. Здесь имеем:

1) х∈ (0,М), тогда -x∈ (-M,0) и DM (-x) = -М- (-х) = -М+х =

= – (М-х) = -DM (x),

2) х∈ (-М,0), тогда -x∈ (0,M) и DM (-x) = М- (-х) = М+х=

= – (-М-х) = -DM (x),

3) х = +0, тогда -x = -0, и DM (-x) = DM (-0) = -M =

= -DM (+0) = -DM (x),

4) х = -0, тогда -x = +0, и DM (-x) = DM (+0) = +M =

= -DM (-0) = -DM (x),

5) х = +M, тогда -x = -M, и DM (-x) = DM (-M) = -0 =

=-DM (+M) = -DM (x),

6) х = -M, тогда -x = +M, и DM (-x) = DM (+M) = +0 = -DM (-M) =

= -DM (x).

Таким образом, доказано, что оператор М-дополнения также является нечётным, т.е. все операторы в определении оператора обобщённой инверсии Iv – нечётные. Следовательно, и сам оператор Iv также нечётный.

На этой основе можно проверить, что для операции обратного сложения

х +*у = Iv (Iv (x) + Iv (y)),

но сформулированной теперь для оператора обобщённой инверсии Iv, выполняются все нужные свойства коммутативности, ассоциативности, нейтрального и противоположного элемента:

Коммутативность: х +*у = Iv (Iv (x) + Iv (y)) = Iv (Iv (у) + Iv (х)) =

= у +*х,

Ассоциативность: ((х +*у) +*z) = Iv (Iv (Iv (Iv (x) + Iv (y))) + Iv (z)) =

= Iv ((Iv (x) + Iv (y)) + Iv (z)) = Iv (Iv (x) + (Iv (y) + Iv (z))) =

= Iv (Iv (x) + Iv (Iv (Iv (y) + Iv (z))))) = (х +* (у +*z)),

Нейтральный элемент: х +*∞ = Iv (Iv (x) + Iv (∞)) = Iv (Iv (x) +0) =

= Iv (Iv (x)) = x,

Противоположный элемент: х +* (-х) = Iv (Iv (x + Iv (-x))) =

= Iv (Iv (x) – Iv (x)) = Iv (0) =∞.

Что же касается свойства дистрибутивности, то в общем случае для обычного умножения и операции обратного сложения +*, определённого через оператор обобщённой инверсии, оно уже не выполняется. Но если мы введём операцию обратного умножения

х ⋅ *у = Iv (Iv (x) ⋅ Iv (y)),

то для этой операции сможем получить дистрибутивность:

Дистрибутивность: z ⋅* (x+*y) = Iv (Iv (z) ⋅ Iv (Iv (Iv (x) + Iv (y)))) =

= Iv (Iv (z) ⋅ (Iv (x) + Iv (y))) = Iv (Iv (z) Iv (x) + Iv (z) Iv (y)) =

= Iv (Iv (Iv (Iv (z) Iv (x))) + Iv (Iv (Iv (z) Iv (y)))) = Iv (Iv (z ⋅ *x) +

+ Iv (z ⋅* y)) = (z ⋅* x) +* (z ⋅* y).

Только для случая Iv (x) = Inv (x) = x-1 получаем совпадение обратного умножения с обычным умножением:

х ⋅* у = Inv (Inv (x) ⋅ Inv (y)) = (x-1 ⋅ y-1) -1 = xy.

Аналогично для операции обратного умножения могут быть доказаны все групповые свойства (достаточно в приведённых выше доказательствах для обратного сложения заменить + на ⋅):

Коммутативность: х ⋅* у = Iv (Iv (x) ⋅ Iv (y)) = Iv (Iv (у) ⋅ Iv (х)) =

= у ⋅* х,

Ассоциативность: ((х ⋅* у) ⋅* z) = Iv (Iv (Iv (Iv (x) ⋅ Iv (y))) ⋅ Iv (z)) =

= Iv ((Iv (x) ⋅ Iv (y)) ⋅ Iv (z)) = Iv (Iv (x) ⋅ (Iv (y) ⋅ Iv (z))) =

= Iv (Iv (x) ⋅ Iv (Iv (Iv (y) ⋅ Iv (z))))) = (х ⋅* (у ⋅* z)),

Нейтральный элемент: х ⋅*1* = Iv (Iv (x) ⋅ Iv (1*)) = Iv (Iv (x) ⋅ 1) =

= Iv (Iv (x)) = x,

Обратный элемент: х +* (х-1) * = Iv (Iv (x + Iv ((x-1) *)) =

= Iv (Iv (x) ⋅ Iv (x -1) = Iv (1) = 1*,

где в качестве нейтрального элемента 1* выбран такой, что

Iv (1*) = 1,

и в качестве обратного элемента x-* такой элемент, что выполнено соотношение:

Iv (x-*) = Iv (x) -1.

Также можем определить обратный порядок по правилу:

х <* у е. т. е. Iv (x)

Если теперь под множеством IvR понимать множество вещественных чисел, на которых определены операции обратного сложения и умножения, используя оператор обобщённой инверсии, то мы получаем структуру на IvR как поле с описанными выше определениями.

Таким образом, мы не только вскрываем R-корни обычных операций умножения и деления, но и обобщаем эти операции до случаев обратного сложения и умножения.

12. Обратная топология

Подобно тому как на 0-числах может быть задана стандартная (прямая) топология, где базовым открытым множеством является интервал вида (a,b) при a обратной топологией.

Различие этих топологий уходит своими корнями в различие двух количественных полюсов – полюса нуля и бесконечности. Если с точки зрения аддитивной метрики (метрики сложения и вычитания) ноль является соизмеримой величиной для любых конечных чисел, т.е. между нулём и конечным числом конечное расстояние, то между конечными числами и бесконечностью лежит бесконечно большое расстояние. Это делает полюс бесконечности несоизмеримым с конечными величинами.

К чему приводит такое различие с топологической точки зрения?

Для разных 0-чисел всегда можно найти такие окрестности, которые не пересекаются между собой. В конечном итоге это свойство уходит в пределе в существование бесконечно малых монад вокруг каждого 0-числа х0. 0-Число как центр своей монады подобно в этом случае нулю со своей монадой. Тем самым ненулевое число может быть представлено как ноль в своей системе отсчёта. Все ненулевые числа как бы вышли из нуля и затем разошлись по своим местам, но сохранили роль относительного нуля как память о своем тождестве с нулём. Операционально это можно выразить введением бичисел вида ух – величины у, отсчитываемой от х как нуля. Здесь можно ввести эквивалентность вида

ух ≈ (у+х) 0,

где у0 – в данном случае величина у, отсчитываемая от нуля. В системе бичисел ух величина х выступает относительным нулём, выражая тем самым своё родство с абсолютным нулём 0. Это можно рассматривать как размножение природы нуля на все вещественные числа, что и означает «выход всех чисел из нуля». В этом аспекте все числа подобны нулю. Но система у0 абсолютного нуля 0 является всё же господствующей, и она позволяет отличить ноль от всех иных чисел. Операциональным выражением такого отличия является также топологическая отделимость ненулевых чисел от нуля.

Иными словами, в случае 0-чисел мы можем перенести количественный полюс в любое конечное число, отделив монаду этого числа от монады нуля. Тем самым для любых неравных 0-чисел обеспечивается свойство отделимости, т.е. возможность найти для них непересекающиеся окрестности, вплоть до монад – как бесконечно малых окрестностей 0-чисел. Условием такого свойства является конечная соизмеримость полюса нуля и конечных чисел: ноль лежит на конечном расстоянии от конечных чисел, и от него можно отделиться, выведя окрестность конечного числа за границы нуля.

Иное дело – полюс бесконечности. Он лежит на бесконечно большом расстоянии от конечных чисел, и в рамках таких отношений его невозможно достичь. А значит, если здесь также все числа исходно совпадали с бесконечностью и лишь затем стали расходиться, так что края окрестности лежали по разные стороны от бесконечности, то такую окрестность конечного числа нельзя вывести за границы бесконечности, сдвигая число от бесконечности в конечную область, и тем самым невозможно обеспечить отделимость ∞-чисел. В этом случае ∞-числа оказываются неотделимыми друг от друга, и они не могут взять на себя роль количественного полюса, равноправного полюсу бесконечности, – они все оказываются привязанными к полюсу бесконечности. Подобную неотделимость ∞-чисел можно рассматривать как одно из средств обеспечения их когерентности – когда они все проникают друг в друга, являясь разными аспектами одного.

Тем самым предполагается важное различие 0- и ∞-чисел: если 0-числа отделимы друг от друга, конечно соизмеримы со своим количественным полюсом, и каждое из них может стать относительным нулём; то ∞-числа иные – они все неотделимы друг от друга, несоизмеримы со своим количественным полюсом и не могут взять на себя его роль, будучи определёнными только в его системе х∞.

Такова основная идея, которая добавляет новые аспекты в понимании прямого и обратного количества. Теперь остаётся воплотить её более строго.

Предполагая, что на 0-числах задана стандартная топология с открытыми интервалами как базовыми открытыми множествами, зададим топологию на ∞-числах, отталкиваясь от понятия базовых ∞-окрестностей.

Рассмотрим множество ∞-величин х∞, где есть элемент ∞∞, и нет элемента 0∞. Ведём на этом множестве открытые множества следующего вида

О∞ (z1,z2) = {y∞: z1 <0 ∧ z2> 0 ∧ (y z2 ∨ y = ∞)}.

Это интервалы с границами z1 <0, z2> 0 и включающие в себя элемент ∞∞.

Для объединения и пересечения этих множеств имеем:

О∞ (z1,z2) ∪ О∞ (z1», z2») = О∞ (max {z1,z1»},min {z2,z2»}),

О∞ (z1,z2) ∩ О∞ (z1», z2») = О∞ (min {z1,z1»},max {z2,z2»}).

Можно показать, что это в самом деле открытые множества, поскольку любое объединение их есть открытое множество, и только конечное пересечение есть открытое множество, поскольку при бесконечном пересечении мы можем получить множество {∞∞}, которое есть замкнутое множество.

Тогда получаем определённую топологию на множестве ∞-чисел, которую можно называть обратной топологией.

Как обычно, в качестве окрестности О∞ (х∞) числа х∞ назовём такое открытое множество О∞ (z1,z2), которое включает в себя х∞.

В этой топологии любые два числа х∞ и у∞ неотделимы, т.е. не существует их ∞-окрестностей, которые не пересекаются между собой, поскольку все они окружают точку ∞∞, поэтому и их пересечение будет также включать в себя эту точку, т.е. не будет пустым множеством.

Обратная топология требует, чтобы мы не смогли сдвинуть край окрестности за точку ∞∞, т.е. чтобы точка ∞∞ была бесконечной. Точка ∞∞ станет конечной, когда мы перевернём топологию, т.е. от х∞ перейдём к Iv (x) 0 – встанем на точку зрения бесконечности как нуля.

Как уже отмечалось, в обычной (прямой) топологии на множестве R отделимость двух неравных точек означает в конечном итоге их принадлежность двум разным монадам. Если в обратной топологии любые две точки неотделимы между собой, то можно предполагать, что они все принадлежат одной монаде – монаде ∞∞, и эту монаду можно называть обратной монадой. Это всё множество ∞-чисел.

Также, когда мы сдвигаем 0-окрестность, выводя её из нуля, то в пределе это выражается в образовании своей монады для ненулевой точки, которая изнутри себя выглядит как монада нуля, т.е. это выражает возможность образования величин уx, когда х становится новым количественным полюсом. Для ∞-величин это невозможно – они все центрированы относительно только одного полюса бесконечности, что делает их однополюсными.

Итак, теперь мы более строго можем обеспечить когерентность обратных величин, используя более простые средства, чем квантовые структуры, но в то же время сохраняя в будущем возможность скоординировать эти более простые средства и с квантовыми структурами. Таким более простым средством выступает обратная топология.

Если на прямых величинах органично задаётся прямая (стандартная) топология с отделимостью всех разных величин, то на обратных величинах столь же органично задаётся обратная топология с неотделимостью в том числе разных обратных величин.

Здесь только нужно иметь в виду, что в общем случае в структурах R-анализа взаимодействуют финитные и инфинитные позиции R-структур, и в разных случаях их пропорция может быть разной, обеспечивая ослабление или усиление той или иной скоординированной с данной пропорцией R-структуры.

Например, обратная топология предполагает не только инфинитную, но и элементы финитной позиции полюса бесконечности (например, в рядополагании элемента ∞∞ и элементов х∞), но инфинитная позиция здесь преобладает, чтобы обеспечить несоизмеримость полюса бесконечности и конечных величин при невозможности выйти краю ∞-окрестности за точку бесконечности и тем самым исключить элемент ∞∞ из состава этой окрестности.

13. Решение задачи симметрии бесконечно большого и бесконечно малого

Напоминаю, что проделанная выше работа с идеями прямого и обратного количества имела целью дать более точную интерпретацию троек (р,х,у). В первую очередь пока не ясна реализация бесконечно большой величины р. В связи с чем мы должны будем вновь обратиться к теме бесконечно большого.

Первое, что нужно заметить, что бесконечно большое лежит не только в области плюс бесконечности +∞, но и минус бесконечности -∞. Если мы предполагаем, что это проекция на шкалу конечных величин самостоятельной количественной системы, которая изнутри себя имеет ту же структуру вещественных чисел, то получается, что эта система разорвана в области своего нуля, и положительная её половина попадает в область +∞, а отрицательная половина – в область -∞. Также мы видим, что бесконечно большое ∞ = 1/ (1/∞) мультипликативно перевёрнуто относительно бесконечно малого, т.е. здесь определено отношение мультипликативной инверсии.

Всё это позволяет предоположить, что бесконечно большие величины при симметричной интерпретации тройки (у,х,р) находятся в отношении мультипликативной, а в более общем случае – обобщённой инверсии в отношении к конечным и бесконечно малым величинам. Тогда становится понятен и феномен разрыва нуля, поскольку ноль оказывается недостижимой величиной для обратных величин, а их своеобразным нулём является точка ±∞.

Теперь мы можем уточнить, что р* – это не просто величина Inv (p), но Iv (p), где используется оператор обобщённой инверсии. То же верно и для х*. Также когда мы используем операцию +*, то должны понимать её как обратное сложение через оператор обобщённой инверсии, т.е. везде мы переходим на более универсальную позицию не просто мультипликативной, но обобщённой инверсии для бесконечно больших величин.

При использовании такой интерпретации бесконечно большая величина р выражает собственную метрику обратной величины, которую мы представляли формой ∞р. Что же касается конечной величины х, то в операциях с бесконечно малыми и 0-конечными величинами она дана как 0-количество х0, когда же она фигурирует в операциях с обратным количеством, то дана как величина х*∞ = Iv (х) ∞, собственная обратная метрика которой есть ∞x. Так теперь выглядит более точная интерпретация тройки (р,х,у).

Но вернёмся к теме симметрии бесконечных координат относительно конечной координаты.

Начнём с пары (х,у) конечного количества х и бесконечно малой величины у. Её интерпретация такова:

(х,у) = x + dy,

что в случае (-1) -реализации будет выглядеть как сумма

r-1 (x,y) = x + R-1m (y)

монадического приращения R-1m (y) и конечной величины х как центра монады (х-m,x+m).

Далее рассмотрим пару (р,х) из конечного х и бесконечно большого р количества. Её интерпертация имеет вид:

(р,х) = ip + x.

Кроме того, примем во внимание, что бесконечно большая величина р дана при своей реализации как обратное количество, и как такое же обратное количество дана величина х. Это значит, что есть две количественные системы обратного количества – конечная и бесконечно большая, и первая проецируется во вторую. Причём, пока мы их рассматриваем изнутри них самих – как прямые количества в своих внутренних определениях.

Итак, мультипликативная инверсия дифференциала d и интеграла i в операциях на поличислах, т.е. i = d-1, является символом принадлежности соответствующих величин системам прямого и обратного количества, и одновременно бесконечно большие величины сохраняют тот же порядок в отношении к конечным величинам, что и конечное к бесконечно малому, – этот порядок не переворачивается, но остаётся сквозным для всех систем. Отсюда мы и получаем симметричную реализацию как иерархически обратную, т.е. ту же иерархию систем, но с обратными величинами.

Если бесконечно большие величины мы начнём интерпретировать как обратные величины в бесконечно малых системах, мы потеряем смысл бесконечно большого как иерархически большего количества в отношении к конечному количеству.

Если мы будем использовать прямые величины бесконечно больших, сохраняя иерархию, мы откажемся от инверсии дифференциала и интеграла.

Мы не можем непосредственно использовать прямую R-функцию для выражения интеграла i, определяя прямую R-функцию на всём множестве конечных чисел (поскольку область определения прямой R-функции не распространяется на всё множество вещественных чисел), поэтому мы вынуждены, сохраняя иерархию конечного и бесконечно большого, сначала перейти в систему бесконечно большого, чтобы оттуда выразить отношение бесконечно большого и конечного, т.е. выразить интеграл конечного через внутреннее количество бесконечно большого, что приводит к представлению конечного через дифференциал (обратную R-функцию) в этой системе.

И здесь, как это было описано выше, конечное количество проецируется некоторой обратной базовой R-функцией R-1М в область бесконечно большого количества, образуя интервал (-М,М). Так что в целом получаем величину

р + R-1М (х).

Но мы должны понимать, что это величина в собственной метрике бесконечно большой количественной системы обратного количества. И если мы хотим спроецировать эту величину на шкалу прямого количества той же бесконечно большой системы, то мы должны будем применить к обратной величине оператор обобщённой инверсии, т.е. в конечном итоге получим такую интерпретацию пары (р,х) из тройки (р,х,у):

Iv (р + R-1М (х)) = Iv (p) +*IvoR-1M (x) = p* +*IvoR-1M (x),

где Iv = R+1M’oDM’oR-1M»,

и R-1M» не обязательно совпадает с R-1M, а операция +* также определена через Iv.

Сделаем ещё один шаг – представим Iv (R-1M (х)) как действие некоторой функции IR-1M на х* = Iv (х), т.е.