Основы R-анализа

1. n-Предполе поличисел nF

Выше мы подошли к конструкциям R-анализа, используя тройки (р,х,у), где р – бесконечно большое количество, х – конечное и у – бесконечно малое количество. Алгебра на тройках определялась на основе первичной интерпретации вида

(*) (р,х,у) = ip + x + dy.

Хотя в дальнейшем интерпретация троек была усложнена, чтобы выразить симметрию бесконечно большого и малого количества, но для задания алгебры на тройках интерпретации (*) было достаточно. Идею такой интерпретации и связанной с нею алгебры можно обобщить на большее число координат, приходя к более общему виду последовательностей чисел

α = {xi} ni=-n = (x-n,x-n+1,…,x-1,x0,x1,…,xn-1,xn),

где n=0,1,…, и для любого i число xi является вещественным числом.

Договоримся, что бесконечно малые количества идут с отрицательными индексами, а бесконечно большие – с положительными. Конечное количество выражается числом х0 с нулевым индексом. Модуль индекса выражает порядок бесконечности той количественной системы, которой принадлежит данное число. Например, х-3 – это выражение бесконечно малого количества третьего порядка, х5 – бесконечно большого количества пятого порядка и т. д.

При задании алгебры будем, как и ранее, для последовательности α = {xi} ni=-n использовать интерпретации вида

∑ni=-n iixi,

где iixi = d-ixi при i <0.

В итоге будет получена некоторая структура, обобщающая алгебру троек. Ниже эта структура будет описана более строго.

Итак, рассматриваем последовательности вида

α = {xi} ni=-n = (x-n,x-n+1,…,x-1,x0,x1,…,xn-1,xn),

где n = 0,1,…, и для любого i число xi есть вещественное число.

Назовём последовательности α = {xi} ni=-n поличислами.

Пусть (α) i = αi = xi – i-я координата поличисла α.

Сложение и вычитание определяем покоординатно, где

– α = – {xi} ni=-n = {-xi} ni=-n.

Для умножения примем правило:

Если α = {xi} ni=-n, β = {уi} ni=-n, то

α∙β = {zi} ni=-n,

где zi = ∑k+m=ixkym.

Например, для n=1 получим:

(х-1,х0,х1) ∙ (у-1,у0,у1) = (х-1у0+у-1х0, х-1у1+х0у0+х1у-1, х0у1+у0х1).

В качестве нейтрального элемента умножения выступает элемент

n1 = {ei} ni=-n,

где e0=1, ei=0 при i≠0.

В самом деле, здесь получим:

α ∙ n1 = {xi} ni=-n ∙ {ei} ni=-n = {yi} ni=-n,

где yi = ∑k+m=ixkem = xie0 = xi.

Определим далее обратный элемент α-1 = {уi} ni=-n по правилу:

α ∙ α-1 = n1, т.е.

{xi} ni=-n ∙ {уi} ni=-n = {ei} ni=-n, откуда имеем

∑k+m=ixkym = ei, т.е.

∑k+m=ixkym = 0 при i≠0,

∑k+m=ixkym = 1 при i=0.

Например, для n=1 получим:

α = (х-1,х0,х1),

α-1 = (у-1,у0,у1),

11 = (0,1,0),

α ∙ α-1 = (х-1,х0,х1) ∙ (у-1,у0,у1) =

= (х-1у0+у-1х0,х-1у1+х0у0+х1у-1,х0у1+у0х1) = (0,1,0),

т.е. для трёх неизвестных у-1, у0 и у1 имеем три уравнения:

х-1у0+у-1х0 = 0,

х-1у1+х0у0+х1у-1 = 1,

х0у1+у0х1 = 0.

Решая их, получим следующие случаи (подробнее структуру решения см. в Приложении 2):

I. Случаи, когда обратный элемент для тройки (х-1,х0,х1) определён:

1.1.1. х-1≠0, и (х-1,0,0) -1 = (у-1,0,1/х-1),

где у-1 может быть любым вещественным числом,

1.2.1. х1≠0, и (0,0,х1) -1 = (1/х1,0,у1),

где у1 может быть любым вещественным числом,

1.2.2.1—2. при х-1≠0, х0=0 и х1≠0 и х-1у1 + х1у-1 = 1

имеем (х-1,0,х1) -1 = ((1-х-1у1) /х1, 0, (1-х1у-1) /х-1),

2.1. при х0≠0, х02 – 2х1х-1 ≠ 0 имеем:

(х-1,х0,х1) -1 = (-х-1/ (х02 – 2х1х-1), х0 / (х02 – 2х1х-1), -х1 /

/ (х02 – 2х1х-1))

II. Случаи, когда обратный элемент для тройки (х-1,х0,х1) не определён:

1.1.2. тройка (0,0,0),

1.2.2.3. тройка (х-1,0,х1), где х-1≠0 и х1≠0,

2.2. тройка (х-1,х0,х1), где х0≠0 и х02 – 2х1х-1 = 0.

Таким образом, не все ненулевые элементы имеют обратный, т.е. мы имеем дело не с полем.

Будем называть эту структуру n-предполем и обозначать nF.

Порядок на элементах n-предполя определим таким образом:

α <β е. т. е. (αn <βn) ∨∃m∀k> m (αk=βk∧αm <βm).

Для любых элементов α, β и γ из nF верно, что

(α + β) ⋅ γ = (α ⋅ γ) + (β ⋅ γ) и γ ⋅ (α + β) = (γ ⋅ α) + (γ ⋅ β).

В самом деле, если α = {αi} ni=-n, β = {βi} ni=-n, γ = {γi} ni=-n, то

((α + β) ⋅ γ) i = ∑k+m=i ((αk + βk) ⋅ γm) = ∑k+m=i (αkγm + βkγm) =

= ∑k+m=iαkγm + ∑k+m=iβkγm = (α ⋅ γ) i + (β ⋅ γ) i = ((α ⋅ γ) +

+ (β ⋅ γ) i.

Отсюда получаем правую дистрибутивность. Аналогично доказывается свойство левой дистрибутивности.

Введём для двух поличисел α и β область равенства (Е-область, Е-отрезок) как отрезок [m,n], где m≤n, индексов всех тех элементов от m до n, которые равны у α и β, а элементы αm-1 и βm-1 впервые не равны. Если α <β, то, согласно определению (αn <βn) ∨∃m∀k> m (αk=βk∧αm <βm), отрезок [m+1,n] не пустой (как минимум, он имеет вид [n,n]). И наоборот, если Е-отрезок [m,n] не пустой, то порядок на αm-1 и βm-1 определяет порядок на α и β.

Покажем, что отношение α <β является строгим порядком:

1. Нерефлексивность: ¬ (α <α).

Предположим противное: что найдётся такое α, где α <α, т.е. (αn <αn) ∨∃m∀k> m (αk=βk∧αm <αm), но тогда либо (αn <αn), либо для некоторого αm имеем αm <αm, что в любом случае неверно.

2. Несимметричность: если α <β, то не верно, что β <α.

Пусть α <β. Тогда (αn <βn) ∨∃m∀k> m (αk=βk∧αm <βm). Если (αn <βn), то не верно, что βn <αn, что уже исключает случай β <α. Если же ∃m∀k> m (αk=βk∧αm <βm), то найдётся Е-отрезок [m+1,n], где αm <βm. Но тогда, если бы β <α, то у α и β был бы тот же Е-отрезок [m+1,n], где было бы βm <αm, что не верно.

3. Транзитивность: если α <β и β <γ, то α <γ.

Пусть α <β и ∃m∀k> m (αk=βk∧αm <βm). Пусть также β <γ и ∃m’∀k> m’ (βk=γk∧βm’ <γm’). Тогда для α и β имеем Е-отрезок [m+1,n], а для β и γ Е-отрезок [m’+1,n]. Пусть m≤m’. Тогда γm’> βm’=αm’, т.е. γm’> αm’. Следовательно, для α и γ существует непустой Е-отрезок [m’+1,n], где αm’ <γm’, т.е. α <γ. Пусть, с другой стороны, m> m’. Тогда αm <βm=γm, т.е. для α и γ определён Е-отрезок [m,n], где αm <γm, т.е. α <γ. Остальные случаи рассматриваются аналогично.

Равенство на поличислах α=β определяем покоординатно, и нестрогий порядок α≤β определяем обычным образом:

α≤β е. т. е. α <β или α=β.

Далее покажем, что порядок на поличислах является линейным, т.е. выполнено требование трихотомии:

Для любых двух поличисел α, β верно: либо α <β, либо β <α, либо α=β.

Если даны два неравных поличисла α и β, то у них либо уже n-е элементы не равны, либо для них определён ненулевой Е-отрезок [m+1,n]. В любом случае для α и β найдутся первые неравные координаты с одним индексом, обозначим их αm и βm. Поскольку αm и βm – вещественные числа, то для них выполнена аксиома трихотомии, т.е. либо αm <βm, либо βm <αm, что и определяет трихотомию для α и β.

Сложение на поличислах из nF образует абелеву группу, что очевидно, в силу покоординатного определения сложения и противоположного элемента. В качестве нейтрального элемента сложения выступает элемент n0, у которого все координаты нулевые.

Покажем, что умножение на поличислах комутативно и ассоциативно.

Для αβ имеем (αβ) i = ∑k+m=iαkβm = ∑k+m=iβmαk = (βα) i,

т.е. αβ = βα.

Далее, ((αβ) γ) i = ∑p+s=i (∑k+m=pαkβm) γs = ∑k+m+s=iαkβmγs =

= ∑k+ (m+s) =iαk (∑m+s= (i-k) βmγs) = (α (βγ)) i, т.е. (αβ) γ = α (βγ).

Наконец, покажем дистрибутивность:

(α (β+γ)) i = ∑k+m=iαk (βm+γm) = ∑k+m=iαkβm + ∑k+m=iαkγm = (αβ) i + (αγ) i = (αβ + αγ) i. Это означает, что α (β+γ) = αβ + αγ, т.е. левую дистрибутивность. Правая дистрибутивность доказывается аналогично.

В итоге мы получаем математическую структуру, n-предполе nF, на которой определены абелевы группы по сложению и умножению, операции сложения и умножения связаны через правую и левую дистрибутивность, а также задан порядок, для которого выполнена аксиома трихотомии. В то же время, в силу наличия делителей нуля, такая структура не является полем.

n-Предполе nF – это одна из центральных структур R-анализа, хотя, как будет видно далее, далеко не единственная сфера его определения и развёртывания, но она создаёт как бы некоторую ядерную конструкцию, относительно которой строятся все последующие структуры R-анализа.

Поличисло α = {xi} ni=-n представляет многослойное количество, т.е. количество, включающее в себя более частные количества разных слоёв – разных количественных систем. Здесь есть центральное конечное количество х0, относительно которого определяются производные количества бесконечно малых x-m и больших xm разных порядков, вплоть до n-го порядка. Пока мы можем складывать и умножать такие поличисла, определять порядок на них. Хотелось бы теперь попытаться определить на них те или иные функции. Ряд построений будет далее посвящён именно этой теме.

В решении задачи определения функций на поличислах должно сыграть определённую роль некоторое обобщение ряда Тейлора. В самом деле, когда в стандартном анализе мы определяем ряд Тейлора для аналитической функции f, т.е. пишем разложение вида

f (x + Δx) = ∑∞k=0 (f (k) (x) /k!) Δxk,

где f (k) (x) – k-я производная функции f (x),

то это можно проинтерпретировать как задание ряда Тейлора для пары (х, Δх), где х представляет конечное количество, а Δх – бесконечно малое количество первого порядка, т.е. ряд Тейлора по сути задаётся для двуслойного количества, определяя функцию только для двуслойного аргумента. Но теперь перед нами задача обобщить подобное преобразование до поличисел. Следовательно, могло бы быть и некоторое обобщение ряда Тейлора, которое бы позволило нам определять функции для поличисел.

Эта тема и будет исследоваться далее.

2. Ряд Тейлора для суммы приращений

Задача теперь состоит в том, чтобы определить функции на поличислах. И это определение должно быть согласовано с алгеброй на поличислах. Операции сложения и умножения на поличислах – это также некоторые функции на них, и общее определение функций на поличислах должно включать в себя как частный случай и эти операции.

В итоге план таков: 1) определить степенные функции для поличисел, 2) если общее определение степенных функций будет связано с рядом Тейлора, то через него можно определить другие функции.

Но таким путём мы сможем определить функции только для конечной и бесконечно малых координат поличисла (для которых и определяется ряд Тейлора). Что же касается бесконечно больших координат, то здесь можно использовать описанную выше Iv-симметрию, т.е. определяя функции для бесконечно больших координат так же, как для бесконечно малых, но понимая их в смысле внутреннего представления обратной метрики бесконечно больших величин.

Тогда первый шаг состоит в выведении общей формулы для суммы приращений разных порядков в ряде Тейлора:

f (x + ∑mi=1Δiyi).

Пусть Δх = ∑mi=1Δiyi. Тогда имеем:

f (x + Δx) = ∑∞k=0 (f (k) (x) /k!) Δxk,

где Δxk = (∑mi=1Δiyi) k.

Например,

(Δу1 + Δ2у2) 2 = (Δу1 + Δ2у2) (Δу1 + Δ2у2) = Δу12 +2Δу1Δ2у2 + Δ4у22,

(Δу1 + Δ2у2) n = ∑nk=0 (n!/k! (n-k)!) (Δу1) n-k (Δ2у2) k.

Существует общая формула полинома Ньютона:

(x1 + x2 + … +xm) n = ∑kj≥0,k1+k2+…+km=n(n!/k1!k2!…km!) x1k1x2k2…xmkm.

Пусть Δiyi = yi. Тогда

(Р) ⠀ Δxp = (∑mi=1Δiyi) p = (∑mi=1yi) p =

= ∑kj≥0,k1+k2+…+km=p(p!/k1!k2!…km!) y1k1y2k2…ymkm.

В нашем случае нужны члены только до р=n. Также m=n.

3. Первые совпадения

Посмотрим на поличисло вида (х-3,х-2,х-1,х0,0,0,0). Найдём его степени сначала алгебраически:

(х-3,х-2,х-1,х0,0,0,0) 2 =

= (2х0х-3+2х-1х-2,2х0х-2+х-12,2х0х-1,х02,0,0,0).

Теперь найдём из ряда Тейлора.

δx = Δх + Δ2у + Δ3z,

f (x) = x2,

f (x + δx) = f (x) + f (x)«δx = x02 +2x0 (Δх + Δ2у + Δ3z) =

= x02 +2x0Δх +2x0Δ2у +2x0Δ3z,

f (x + δx) = f (x) + f (x)«δx +0.5f (x)»«δx2 = x02 +2x0 (Δх + Δ2у + Δ3z) +

+ δx2 = x02 +2x0Δх +2x0Δ2у +2x0Δ3z + (Δх + Δ2у + Δ3z) 2 =

= 3x02 +2x0Δх +2x0Δ2у +2x0Δ3z + Δх2 +2ΔхΔ2у =

= x02 +2x0Δх + (Δх2 +2x0Δ2у) + (2x0Δ3z+2ΔхΔ2у),

где =3 – равенство с учётом только приращений не больше третьей степени.

Случай

f (x + δx) = f (x) + f (x)«δx +0.5f (x)»«δx2 + (f (x)»'»/6) δx3

уже нет смысла рассматривать, т.к. f (x)»'» = 0 для х2.

Таким образом, вновь имеем совпадение с рядом Тейлора, даже когда степень n в хn меньше числа р бесконечно малых координат (в данном примере 3). Но ряд Тейлора нужно искать именно для малых порядка р.

Подпадают ли выражения для ряда Тейлора под выведенную выше формулу (Р)?

Для случая δx = Δх + Δ2у + Δ3z по формуле (Р) имеем (если принять, что у1 = Δх, у2 = Δ2у, у3 = Δ3z):

(∑3i=1yi) 1 = ∑kj≥0,k1+k2+k3=1 (1!/k1!k2!k3!) y1k1y2k2y3k3 = y1+y2+y3,

(∑3i=1yi) 2 = ∑kj≥0,k1+k2+k3=2 (2!/k1!k2!k3!) y1k1y2k2y3k3 = y12 + y22 +

+ y32 +2y1y2 +2y1y3 +2y2y3.

Если принять у1 = х-1, у2 = х-2, у3 = х-3, то имеем:

(∑3i=1yi) 2 = х-12 + х-22 + х-32 +2х-1х-2 +2х-1х-3 +2х-2х-3.

Мы видим, что для одного значения р мы получаем слагаемые разных степеней малости, из которых далее нужно отобрать только те, малость которых не превышает максимальной малости нашего поличисла. Здесь получим:

(∑3i=1х-i) 2 =-3 [∑kj≥0,k1+k2+k3=2 (2!/k1!k2!k3!) х-1k1х-2k2х-3k3] -3 =

= х-12 +2х-1х-2,

где =-р – равенство для малых порядка не больше р, [A] -p – результат ограничения выражения А до такого подвыражения А* выражения А, которое содержит только те элементы, малость которых не превышает р.

И вот какой важный момент: слагаемое ∑kj≥0,k1+k2+…+kn=k(k!/k1!k2!…kn!) x-1k1x-2k2…x-nkn может содержать произведения разных степеней малости, т.е. относящиеся к разным координатам поличисла. Поэтому это слагаемое нельзя писать в одной координате поличисла.

Но продолжим проверку:

f (x + δx) = f (x) + f (x)«δx +0.5f (x)»«δx2 = f (x) + f (x) ’ (х-1+х-2+х-3) +0.5f (x)»»(х-12 +2х-1х-2) = f (x) + f (x)«х-1+ f (x)«х-2+ f (x)«х-3 +0.5f (x)»«х-12 + f (x)»«х-1х-2 = f (x) + f (x)«х-1+ (f (x)«х-2+0.5f (x)»«х-12) + (f (x)«х-3 + f (x)»«х-1х-2).

При f (x) = x2 получаем:

(x + δx) 2 = x2 +2хх-1+ (2хх-2+ х-12) + (2хх-3 + +2х-1х-2),

что полностью соответствует алгебраическому выражению

(2х0х-3+2х-1х-2,2х0х-2+х-12,2х0х-1,х02,0,0,0).

Итак, подведём некоторый итог.

Если мы ищем степень р поличисла α, т.е. αр, где само поличисло имеет n бесконечно малых координат, а все бесконечно большие координаты нулевые, то мы можем использовать разложение степенной функции в ряд Тейлора до приращения малости р включительно и привлекать для общего выражения ряда формулы вида

f (x0 + Δx) = ∑pk=0 (f (k) (x0) /k!) Δxk,

Δx = ∑nm=1 (x-m),

Δxk = (∑nm=1 (x-m)) k = ∑kj≥0,k1+k2+…+kn=k(k!/k1!k2!…kn!) x-1k1x-2k2…x-nkn,

так что в целом для всего разложения в р-отрезок ряда Тейлора получим:

f (x0 + Δx) = ∑pk=0 (f (k) (x0) /k!) Δxk =

= f (x0) + ∑pk=1(f(k)(x0)/k!)∑kj≥0,k1+k2+…+kn=k(k!/k1!k2!…kn!) x-1k1x-2k2…x-nkn.

Но это выражение нельзя использовать для покоординатного представления получающегося в итоге поличисла.

Покоординатное представление имеет вид

[f (x0 + Δx)] -m = [∑pk=0 (f (k) (x0) /k!) Δxk] -m =

= [f(x0)+∑pk=1(f(k)(x0)/k!)∑kj≥0,k1+k2+…+kn=k(k!/k1!k2!…kn!) x-1k1x-2k2…x-nkn] -m.

где m = 0,1,…,р.

4. Общая формула для степенных функций на дифференциальных поличислах

Пусть <(k!/k1!k2!…kn!)> =k1+2k2+…+nkn – координата формы (k!/k1!k2!…kn!).

Для поличисла α = {xi} ni=-n введём его аддитивное представление (аддитивную форму)

sα = ∑ni=-nxi,

где xi понимается не просто как вещественное число, а как вещественное число с индексом i. Например, для тройки (2,7,5) из 1F получим

s (2,7,5) = 2—1 +70 +51.

В этом случае все основные свойства поличисел сохраняются, если в аддитивном представлении слагаемые группировать по индексам/координатам i. В частности, если дано слагаемое Пmj=-pxjkj, где m,p≥0, то под координатой <Пmj=-pxjkj> такого слагаемого следует понимать число ∑mj=-pjkj. Полное значение по данной координате будет суммой всех слагаемых с данной координатой.

С другой стороны, сумма вида А = ∑ri=-qПmiij=-pixijkij, где r,q≤n, может быть представлена как аддитивная форма некоторого поличисла, если его слагаемые сгруппировать покоординатно (брать суммы сумм, где у сумм первого порядка будут все слагаемые одной координаты). Тогда под s-1A = α можно понимать поличисло α, координаты которого равны координатам суммы А. Сумма вида А может называться координатной суммой.

Если дано поличисло β, где sβ = ∑-1i=-nxi, т.е. все координаты от нулевой и выше равны нулю, то его аддитивную форму можно рассматривать как сложное приращение.

Для этого сложного приращения мы можем записать верную формулу

(sβ) k = (∑-1i=-nxi) k = ∑k1+k2+…+kn=k,kj≥0(k!/k1!k2!…kn!) x-1k1x-2k2…x-nkn.

С другой стороны, имеем определение произведения поличисел

(αβ) i = ∑k+m=iαkβm.

Это определение верно для аддитивной формы поличисел. Если

sα = ∑nk=-nαk,

sβ = ∑nm=-nβm,

то для произведения имеем:

С другой стороны, рассматривая в поличисле α аддитивную форму как сумму х0 и приращения, можем записать следующее соотношение, используя разложение функции в ряд Тейлора:

f (sα) = f (∑0i=-nxi) = f (x0 + ∑-1i=-nxi) = ∑nk=0 (f (k) (x0) /k!) (∑-1i=-nxi) k =

= ∑nk=0(f(k)(x0)/k!)(∑k1+k2+…+kn=k,kj≥0(k!/k1!k2!…kn!) x-1k1x-2k2…x-nkn),

где f – функция класса гладкости Сn.

Для степенной функции можем записать:

(sα) p = (∑0i=-nxi) p = (x0 + ∑-1i=-nxi) p =

= ∑pk=0 ((p!/ (p-k)!) x0p-k/k!) (∑-1i=-nxi) k =

= ∑pk=0((p!/(p-k)!)x0p-k/k!)(∑k1+k2+…+kn=k,kj≥0(k!/k1!k2!…kn!) x-1k1x-2k2…x-nkn).

Теперь можно проверить, совпадают ли покоординатно суммы (sα) p, выраженные через полином Ньютона и через ряд Тейлора.

Проблема в том, что оба представления (sα) p не являются координатными суммами, и их прежде нужно так представить. А потом сравнить по координатам от i=0 до i=-n.

Во-первых, можно заметить, что

(sα) p = ∑pk=0((p!/(p-k)!)x0p-k/k!)(∑k1+k2+…+kn=k,kj≥0(k!/k1!k2!…kn!) x-1k1x-2k2…xnkn) = ∑pk=0(∑k1+k2+…+kn=k,kj≥0(p!/(p-k)!k1!k2!…kn!) x0p-kx-1k1x-2k2…x-nkn).

Во-вторых, представление через полином Ньютона нас интересует только до координаты -n, так что его можно представить в следующем виде:

(sα) p* = (∑0i=-nxi) p* = (p!/k0!k1!k2!…kn!) x0k0x-1k1x-2k2…x-nkn|k1+2k2+…+nkn=0,k0+k1+k2+…+kn=p, kj≥0 + ∑nm=1,k1+2k2+…+nkn=m,k0+k1+k2+…+kn=p,kj≥0(p!/k0!k1!k2!…kn!) x0k0x-1k1x-2k2…x-nkn =

(+) x0p + ∑nm=1,k1+2k2+…+nkn=m,k0+k1+k2+…+kn=p,kj≥0(p!/k0!k1!k2!…kn!) x0k0x-1k1x2k2…x-nkn, поскольку первое слагаемое обладает нулевой координатой, и k1+2k2+…+nkn=0 влечёт k1=k2=…=kn=0, что из условия k0+k1+k2+…+kn=p даёт k0=p.

В представлении через ряд Тейлора мы можем сделать аналогичные преобразования: (sα) p = ∑pk=0(∑k1+k2+…+kn=k,kj≥0(p!/(p-k)!k1!k2!…kn!) x0p-kx-1k1x-2k2…x-nkn) = (p!/(p-k)!k1!k2!…kn!) x0p-kx-1k1x-2k2…x-nkn) |k1+k2+…+kn=0,kj≥0 + ∑pk=1∑k1+k2+…+kn=k,kj≥0(p!/(p-k)!k1!k2!…kn!) x0p-kx-1k1x-2k2…x-nkn =-n x0p + ∑pk=1∑nm=1,k1+2k2+…+nkn=m,k1+k2+…+kn=k,kj≥0(p!/(p-k)!k1!k2!…kn!) x0p-kx-1k1x-2k2…x-nkn.

Обозначим k0 = p-k. Тогда k = p-k0, и варьирование k от 1 до р будет эквивалентно варьированию k0 от 0 до р-1, что как раз соответствует условию k0+k1+k2+…+kn=p для степеней х0 меньше р, так что последнее выражение можно представить в виде: (++) x0p + ∑nm=1,k1+2k2+…+nkn=m,k0+k1+k2+…+kn=p,kj≥0(p!/k0!k1!k2!…kn!) x0k0x-1k1x-2k2…x-nkn, что в точности (в рамках равенства = -n) соответствует последнему представлению (+) через полином Ньютона.

Таким образом, мы доказываем важную теорему:

Теорема 1. Если sα = ∑0i=-nxi, то

∀m=0, -1,…, -n ((s (α∙α∙ … ∙α)) m = ( n) m),

где α∙α∙ … ∙α – произведение поличисла α на себя р раз, f (x) = xp, Tp [f] – ряд Тейлора от функции f до членов степени р.

Используя эту теорему, мы можем применять её и для поличисел α, где sα = ∑ni=0xi, используя оператор

Zα = β,

где βi = α-i.

Сначала переводим α в Zα, далее проводим с Zα нужные преобразования, получаем некое поличисло β, и в качестве нужного результата берём Zβ.

Tp [f] (sα) можно понимать как задание функции f на поличисле α, т. е. Tp [f] (sα) = sf (α). И эту идею теперь можно пытаться обобщить на другие функции, не только степенные.

5. Общая формула задания аналитических функций на поличислах

Пусть

α = {xi} ni=-n = (x-n,x-n+1,…,x-1,x0,x1,…,xn-1,xn), и

α = α- + α+,

где α- = (x-n,x-n+1,…,x-1,x0/2,0,…,0,),

α+ = {xi} ni=-n = (0,0,…,0,x0/2,x1,…,xn-1,xn).

Тогда

αn = (α-+α+) n = ∑nk=0 (n!/k! (n-k)!) (α-) n-k (α+) k.

Степени (α-) n-k и (α+) k мы можем определить на основе Теоремы 1. Следовательно, можем определить и αn.