Основы R-анализа

6. Симметрия бесконечно малых и бесконечно больших координат

Попробуем определить функцию sin на поличисле α = (х-1,х0,х1). Здесь имеем:

– α = (x-1,0,0),

+α = (0,0,x1),

sin (х-1,х0,х1) = ∑1p=0 (sin (p) (x0) /p!) ∑pk=0 (p!/k! (p-k)!) (-α) p-k (+α) k = (sin (0) (x0) /0!) ∑0k=0 (0!/k! (0-k)!) (-α) 0-k (+α) k + (sin (1) (x0) /1!) ∑1k=0 (1!/k! (1-k)!) (-α) 1-k (+α) k = (sin (x0) (0!/0! (0—0)!) (-α) 0 (+α) 0 + cos (x0) ((1!/0! (1—0)!) (-α) 1—0 (+α) 0+ (1!/1! (1—1)!) (-α) 1—1 (+α) 1) = (sin (x0) (n1) + cos (x0) ((-α) + (+α)) = (cos (x0) x-1, sin (x0), cos (x0) x1).

Итак,

sin (х-1,х0,х1) = (cos (x0) x-1, sin (x0), cos (x0) x1).

Отсюда возникает предположение: не является ли и в общем случае выражение для функции на поличисле симметричным для бесконечно больших и бесконечно малых координат?

Покажем, что это в самом деле так.

Для этого нужно выражение (f) для функции на поличисле представить как координатную сумму.

f (α) = ∑np=0 (f (p) (x0) /p!) ∑pk=0 (p!/k! (p-k)!) (-α) p-k (+α) k.

∑pk=0 (p!/k! (p-k)!) (-α) p-k (+α) k = (p!/0! (p-0)!) (-α) p-0 (+α) 0 +

+ (p!/1! (p-1)!) (-α) p-1 (+α) 1 + … +

(p!/ (p-1)! (p- (p-1))!) (-α) p- (p-1) (+α) p-1 + (p!/p! (p-p)!) (-α) p-p (+α) p =

(p!/0!p!) (-α) p (+α) 0 + (p!/1! (p-1)!) (-α) p-1 (+α) 1 + … +

(p!/ (p-1)! (p- (p-1))!) (-α) 1 (+α) p-1 + (p!/p!0!) (-α) 0 (+α) p

Отсюда мы видим, что на каждое слагаемое (p!/k! (p-k)!) (-α) p-k (+α) k имеется симметричное слагаемое

(p!/ (p-k)! (p- (p-k))!) (-α) p- (p-k) (+α) p-k = (p!/ (p-k)!k!) (-α) k (+α) p-k.

Теперь нужно показать, что

∀m=-n,…,n (((-α) p-k (+α) k) m =f ((-α) k (+α) p-k) -m),

где =f – некоторый вид эквивалентности (эквиформности).

Здесь имеем:

(-α) p-k (+α) k = (∑nm=1,k1+2k2+…+nkn=m,k0+k1+k2+…+kn=p-k,kj≥0((p-k)!/k0!k1!k2!…kn!) x0k0x-1k1x-2k2…x-nkn) · (∑nm=1,k1+2k2+…+nkn=m,k0+k1+k2+…+kn=k,kj≥0(k!/k0!k1!k2!…kn!) x0k0x1k1x2k2…xnkn)

При х0 = 0 и k0≠0 всё слагаемое также нулевое, поэтому в сумме остаются только члены с k0=0, когда х0k0 = 00 = 1. В итоге можем записать:

(-αp-k (+α) k = (∑nm=1,k1+2k2+…+nkn=m,k1+k2+…+kn=p-k,kj>0((p-k)!/k1!k2!…kn!) x-1k1x-2k2…x-nkn) · (∑nm=1,q1+2q2+…+nqn=m,q1+q2+…+qn=k, qj> 0 (k!/q1!q2!…qn!) x1q1x2q2…xnqn).

Также перепишем сумму для отрицательных m в случае степеней -α и раскроем скобки:

(-α) p-k (+α) k = (∑-1m=-n,k1+2k2+…+nkn=-m,k1+k2+…+kn=p-k,kj>0((p-k)!/k1!k2!…kn!) x-1k1x-2k2…x-nkn) · (∑nm=1,q1+2q2+…+nqn=m,q1+q2+…+qn=k, qj> 0 (k!/q1!q2!…qn!) x1q1x2q2…xnqn) =

= ∑nm=-n,-k1-2k2-…-nkn+q1+2q2+…+nqn=m,k1+k2+…+kn=p-k,q1+q2+…+qn=k,kj>0,qj>0((p-k)!/k1!k2!…kn!) (k!/q1!q2!…qn!) (x-1k1x-2k2…x-nkn) (x1q1x2q2…xnqn).

Что же касается произведений (-α) k (+α) p-k, то здесь аналогично получим:

(-α) k (+α) p-k = ∑nm=-n,-k1-2k2-…-nkn+q1+2q2+…+nqn=m,k1+k2+…+kn=k,q1+q2+…+qn=p-k,kj>0,qj>0(k!/k1!k2!…kn!) ((p-k)!/q1!q2!…qn!) (x-1k1x-2k2…x-nkn) (x1q1x2q2…xnqn).

Для одной координаты m получим для (-α) p-k (+α) k

((p-k)!k!)/(k1!k2!…kn!) (q1!q2!…qn!) (x-1k1x-2k2…x-nkn) (x1q1x2q2…xnqn),

где -k1—2k2-… -nkn+q1+2q2+…+nqn=m, k1+k2+…+kn=p-k, q1+q2+…+qn=k, kj> 0, qj> 0.

С другой стороны, для противоположной координаты -m для (-α) k (+α) p-k будем иметь:

(k!/k1!k2!…kn!) ((p-k)!/q1!q2!…qn!) (x-1k1x-2k2…x-nkn) (x1q1x2q2…xnqn),

где -k1—2k2-… -nkn+q1+2q2+…+nqn=-m, k1+k2+…+kn=p-k, q1+q2+…+qn=k, kj> 0, qj> 0.

Условие -k1—2k2-… -nkn+q1+2q2+…+nqn=-m равносильно k1+2k2-…+nkn-q1—2q2-… -nqn=m. Если поменять символы q и k, то мы в точности получим условие для m-й координаты произведения (-α) p-k (+α) k.

Отсюда следует, что произведения (-α) p-k (+α) k и (-α) k (+α) p-k имеют эквиформные значения (с точностью до замен xm на x-m) для координат m и -m, что приведёт к эквиформности координат m и -m и для функции f (α) на поличисле α.

7. Общая формула для степенных функций на полных поличислах

Выше было показано, что если α = {xi} 0i=-n, то

∀m=0, -1,…, -n ((s (α∙α∙ … ∙α)) m = ( n) m),

где α∙α∙ … ∙α – произведение поличисла α на себя р раз, f (x) = xp, Tp [f] – ряд Тейлора от функции f до членов степени р.

Также была определена функция f на поличисле α:

(f) ⠀f (α) = f (0α + -α + +α) = f (0α + (-α + +α)) = ∑np=0 (f (p) (x0) /p!) (-α + +α) p = ∑np=0 (f (p) (x0) /p!) ∑pk=0 (p!/k! (p-k)!) (-α) p-k (+α) k.

Но теперь нужно показать, что это определение совпадает с адгебраическими операциями для степенных функций на полных поличислах, а не только бесконечно малых, т.е. нужно показать, что

если α = {xi} ni=-n, то

∀m=-n,…,0,…n ((s (α∙α∙ … ∙α)) m = ( n) m),

где α∙α∙ … ∙α – произведение поличисла α на себя р раз, f (x) = xp, Tp [f] – ряд Тейлора от функции f до членов степени р.

Здесь также будем использовать представление поличисла α в виде

α = 0α + -α + +α

и формулу полинома Ньютона:

(x1 + x2 + … +xm) n = ∑kj≥0,k1+k2+…+km=n(n!/k1!k2!…km!) x1k1x2k2…xmkm.

Тогда

sα = s0α + s-α + s+α,

sαp = ((s0α + s-α) + s+α) p = ∑pk=0 (p!/k! (p-k)!) (s0α + s-α) k (s+α) p-k.

Тогда имеем:

(∑ni=-nxi) p = ∑k (i) ≥0, {∑ni=-n (k (i))} = p (p!/Пni=-nk (i)!) Пni=-nxik (i) – полином Ньютона,

∑nm=-n∑k (i) ≥0, {∑ni=-n (k (i))} = p,∑ni=-n (ik (i))} = m (p!/Пni=-nk (i)!) Пni=-nxik (i) – координатное представление полинома Ньютона по координате i от i=-n до i=n.

Имеем:

(**) (∑ni=-nxi) p =n ∑nm=-n∑k (i) ≥0, {∑ni=-n (k (i))} =p,∑ni=-n (ik (i))} =m (p!/Пni=-nk (i)!) Пni=-nxik (i) – полином Ньютона n-равен (по координате i от i=-n до i=n) своему координатному представлению по координате i от i=-n до i=n.

Уточнив представление для полинома Ньютона, теперь подобное же уточнение нужно будет сделать для ряда Тейлора.

Для ряда Тейлора можем записать:

f (sα) = f (∑ni=-nxi) = f (x0 + ∑-1i=-nxi + ∑ni=1xi) = ∑nk=0 (f (k) (x0) /k!) (∑-1i=-nxi + ∑ni=1xi) k = ∑nk=0 (f (k) (x0) /k!) (∑ni=-nxi) k|xi≠0 = ∑nk=0 (f (k) (x0) /k!) ∑nm=-n∑k (i) ≥0, {∑ni=-n (k (i))} =k,∑ni=-n (ik (i))} = m (k!/Пni=-nk (i)!) Пni=-nxik (i) |xi≠0.

При f (x) = xp имеем:

f (sα) = ∑pk=0 ((p!/ (p-k))!x0p-k/k!) ∑nm=-n∑k (i) ≥0, {∑ni=-n (k (i))} =k, {∑ni=-n (ik (i))} = m (k!/Пni=-nk (i)!) Пni=-nxik (i) |xi≠0 = ∑pk=0∑nm=-n∑k (i) ≥0, {∑ni=-n (k (i))} =k, {∑ni=-n (ik (i))} = m ((p!/ (p-k))!x0p-kПni=-nk (i)!) Пni=-nxik (i) |xi≠0.

Обозначим k (0) = p-k. Тогда р = k (0) +k, и из условия

{∑ni=-n (k (i))} |i≠0=k

прибавлением к обеим сторонам k (0) получим:

{∑ni=-n (k (i))} =k+k (0) = p.

Также условие

{∑ni=-n (ik (i))} |i≠0=m

эквивалентно условию

{∑ni=-n (ik (i))} =m,

поскольку ik (i) = 0 при i=0.

Также варьирование k от нуля до р будет эквивалентно варьированию k (0) от нуля до р, что как раз выражено условием {∑ni=-n (k (i))} = p, так что суммирование по k можно снять.

В итоге последнее выражение для ряда Тейлора мы можем переписать в следующем виде (для f (x) = xp):

(Т) f (sα) = ∑nm=-n∑k (i) ≥0, {∑ni=-n (k (i))} =р, {∑ni=-n (ik (i))} = m ((p!/k0))!x0k0Пni=-nk (i)!) Пni=-nxik (i) = ∑nm=-n∑k (i) ≥0, {∑ni=-n (k (i))} =р, {∑ni=-n (ik (i))} = m (p!/Пni=-nk (i)!) Пni=-nxik (i),

что полностью совпадает с выражением (**) для полинома Ньютона.

Здесь только остаётся показать, что k (0) = p-k для представления через ряд Тейлора – то же k (0), что в представлении через полином Ньютона. Это следует из условия

∑ni=-n (k (i)) =p

для представления (**) и условия

{∑ni=-n (k (i))} |i≠0=k

для представления через ряд Тейлора.

В самом деле, здесь имеем:

∑ni=-n (k (i)) |i≠0 + k (0) = ∑ni=-n (k (i)) = p,

откуда получаем:

k + k (0) = p, т.е.

k (0) = p-k.

Итак, мы доказываем более общую теорему:

Теорема 2.

Если α = {xi} ni=-n, то

∀m=-n,…,0,…n ((s (α∙α∙ … ∙α)) m = ( n) m),

где α∙α∙ … ∙α – произведение поличисла α на себя р раз, f (x) = xp, Tp [f] – ряд Тейлора от функции f до членов степени р.

8. Обобщённо-инверсная интерпретация поличисел

При симметричной интерпретации поличисло α = {xi} ni=-n в связи с определением на нём функций будем понимать как центральное значение х0, относительно которого определяются прямые и обратные приращения.

Чтобы определить реализацию поличисла, используя его симметричную интерпретацию, рассмотрим вариант α = {xi} 2i=-2 из 2-предполя 2F.

Здесь имеем:

α = (x-2,x-1,x0,x1,x2).

Определим далее реализацию для дифференциальной части:

r-2 (d2x-2 +’ dx-1 +’ x0) = x0 + Rm1 (x-1 + R-1m2 (x-2)) =

= R-1m1 (x0) oR-1m2 (x (-1)) (x-2),

где R-1m (а) (х) = а + R-1m (х).

В общем случае для дифференциальной части {xi} 0i=-n поличисла α = {xi} ni=-n получим:

r-2 ({xi} 0i=-n) = [Сni=1R-1mi (x (1-i))] (x-n)

Запишем нечто подобное для интегральной части. Сначала запишем вид реализации, аналогичный дифференциальной части для n=2:

х2 + R-1M1 (х1 + R-1M0 (x0)),

а затем подействуем на неё оператором обобщённой инверсии Iv:

Iv (х2 + R-1M1 (х1 + R-1M0 (x0))) = Iv (R-1M1 (х2) oR-1M0 (х1) (x0)) =

= Iv (х2) + *Iv (R-1M1 (х1 + R-1M0 (x0))).

Как и ранее, будем использовать функцию IR-1M (Iv (α)) = IvoR-1M (α). Тогда можем записать:

Iv (х2) +* Iv (R-1M1 (х1 + R-1M0 (x0))) = Iv (х2) +* IR-1M1 (Iv (х1 +

+R-1M0 (x0)))) = Iv (х2) +* IR-1M1 (Iv (х1) +* IvoR-1M0 (x0))) =

= Iv (х2) +* IR-1M1 (Iv (х1) +* IR-1M0 (Iv (x0))) =

= х2* +* IR-1M1 (х1* +* IR-1M0 (x0*)) = [С1i=2IR-1М (i-1) (хi*)] (х0*),

где IR-1Мi (хi*) = хi* +* IR-1Мi, и оператор обобщённой инверсии определён для шкалы величин х2.

Посмотрим, как будет выглядеть такая реализация графически.

Первоначально мы находимся во внутренней метрике системы обратного конечного количества Q (0) *, и здесь имеем величину х0. Далее переходим к внутренней обратной метрике системы бесконечно больших величин первого порядка Q (1) *, где имеется величина х1. Система Q (0) * проецируется в систему Q (1) * обратной R-функцией R-1М0, в итоге здесь получаем величину х1 + R-1М0 (х0). Теперь мы получаем количественную систему Q (0,1) *, в которой скоординированы системы Q (0) * и Q (1) *. Далее ситуация повторяется, и для внутренней метрики системы бесконечно большого количества второго порядка Q (2) * получаем величину у = х2 + R-1М1 (х1 + R-1М0 (х0)), образуя систему Q (0,1,2) *, в которой скоординированы системы Q (0) *, Q (1) * и Q (2) *. Полученная величина у – это величина ∞у, данная во внутренней метрике обратного количества. Чтобы получить её представление в системе прямого количества IvQ (0,1,2) *, действуем на неё оператором обобщённой инверсии Iv, определённом для количественной системы Q (0,1,2) *. Получаем величину Iv (у) ∞, где

Iv (y) = Iv (х2 + R-1М1 (х1 + R-1М0 (х0))) = х2* +* IR-1M1 (х1* + *IR-1M0 (x0*)) =

= [С1i=2IR-1М (i-1) (хi*)] (х0*).

Все эти преобразования можно следующим образом представить графически – см. рис. 10.

Эти преобразования аналогичны таковым для конечной и бесконечно малых количественных систем, но в случае кнечной и бесконечно больших систем мы исходно движемся во внутренней метрике этих систем как систем обратного количества и лишь на конечном этапе переходим к прямой метрике.

Отсюда становится понятной общая форма реализации интегральной части для поличисла α∈nF. Это реализация вида

[С1i=nIR-1М (i-1) (xi*)] (х0*).

Рис. 10. Графическое представление этапов симметричной реализации тройки (х0,х1,х2) обратной конечной величины х0 и бесконечно больших величин первого х1 и второго порядка х2.

Наконец, определим полную симметричную реализацию поличисла α в следующем виде:

r±n {xi} ni=-n = ([Сni=1R-1mi (x (1-i))] (x-n), [С1i=nIR-1М (i-1) (xi*)] (х0*)),

где оператор обобщённой инверсии определён для количественной системы Q (0,…,n) *.

9. К структуре бесконечного расширения n-предполя nF

В монографии «Логика открытого синтеза»8 я ранее развил определённую версию R-анализа, исследуя бесконечные в обе стороны поличисла

α = {xi} ∞i=-∞

с тем условием, что для каждого поличисла найдётся максимальная ненулевая координата xn, а все координаты xm, где m> n, будут нулевыми. Таким образом, это поличисла, которые могут обладать бесконечным числом ненулевых координат в дифференциальной своей части, но всегда имеют нулевое или конечное число ненулевых координат в интегральной части.

Множество таких поличисел было обозначено как ∞F, и для него не существует делителей нуля, и для каждого поличисла α можно находить всё большее число координат для поличисла α-1, так что в этом предельном случае мы имеем дело не с предполем, а именно с полем. Было показано выполнение основных свойств операций сложения и умножения, характерных для структуры поля, введено отношение порядка, как это было сделано и для предполя nF, доказана теорема Архимеда.

Поле ∞F можно рассматривать как предельный случай предполя nF при n→∞.

В качестве реализации поличисел из ∞F был принят следующий случай:

Была доказана теорема, что при определённых требованиях к обратным R-функциям μ (α) является конечным числом. Показано также, что множество ∞F может быть рассмотрено как гильбертово пространство.

Были рассмотрены также подпространства nmF, где n≥m и α∈nmF е.т.е. ∀i∀j (i> n ∧ j

Отсюда видно, что это реализации иерархического типа.

В целом, была проделана достаточно большая работа по определению структуры ∞F и её расширения на комплексный случай.

Имея в виду возможность симметричной и иерархической интерпретации поличисел, теперь можно отметить только тот момент, что алгебра поличисел в «Логике открытого синтеза» строилась на основе симметричной интерпретации, а реализация поличисел предполагала иерархическую интерпретацию. Но поскольку вторая может быть рассмотрена как частный случай первой, то все конструкции остаются в силе. Следует только уточнить, что если поличислу α мы даём иерархическую реализацию, то и алгебраически его нужно представить так, чтобы в нём не встречались одновременно интегральные и дифференциальные координаты, т.е. все координаты, кроме нулевой, должны быть либо дифференциальными, либо интегральными. В частности, поскольку бесконечные поличисла α∈∞F могут иметь бесконечное число ненулевых координат только в дифференциальную сторону, то и алгебраически их ненулевые координаты все должны быть только дифференциальными. Все ненулевые интегральные координаты возможны только для конечных поличисел α∈nmF.

Все эти структуры вполне можно включить в «Основы R-анализа», рассматривая как вариант бесконечного обобщения структур n-предполя nF, но повторять их здесь я не буду и отсылаю заинтересованного читателя к указанной монографии.

10. Стандартный математический анализ как частный случай R-анализа

Используя конструкции R-анализа как исчисления поличисел, можно с помощью этих средств попытаться представить конструкции стандартного математического анализа.

Пусть мы работаем с R-анализом в рамках поличисел α∈nF, где n≥1. В этом случае мы можем использовать следующий естественный принцип соответствия: вещественное число х в стандартном математическом анализе моделируется как поличисло α = {xi} ni=-n, где х = х0, а все остальные координаты α нулевые. Такие поличисла обозначим как α (х). На поличислах α (х) n-предполе nF переходит в обычное поле 0F вещественных чисел, и все конструкции стандартного анализа тривиально воспроизводятся. Например, если у = f (x1,…,xn) – некоторая n-местная вещественная функция, то может быть определена функция f* на поличислах α (х) такая, что

f* (α1 (x1),…,αn (xn)) = α (f (x1,…,xn)).

Аналогично, если Р – n-местный предикат на вещественных числах, то может быть определён его аналог Р* такой, что

P* (α1 (x1),…,αn (xn)) истинен е. т. е. Р (x1,…,xn) истинен.

В то же время для ряда конструкций стандартного анализа можно определить более богатые поличисловые определения, которые затрагивают ненулевые координаты поличисел.

Пусть, например, в рамках стандартного математического анализа дана предельная последовательность {xn} ∞n=1, где limn→∞xn = x. Тогда можно принять следующее соотношение в 1F:

limn→∞ (0,xn,0) = (y, limn→∞xn,0),

где y = limn→∞ (nxn).

В частности, если xn = 1/n, то получим:

limn→∞ (0, (1/n),0) = (y,0,0), где

y = limn→∞ (n (1/n)) = 1, т.е.

limn→∞ (0, (1/n),0) = (1,0,0).

Полная запись будет такой:

limn→∞ (0,xn,0) = (limn→∞ (n (xn)),limn→∞xn,0).

Тем самым мы выражаем ту идею, что предельная последовательность даёт не только 0-координату, но и (-1) -координату поличисла.

Последовательность {1/n} ∞n=1 является эталонной в том смысле, что она даёт в пределе единицу бесконечно малых величин.

Для бесконечно больших последовательностей {xn} ∞n=1, где limn→∞xn = ∞, примем следующее соотношение:

limn→∞ (0,xn,0) = (0,0,р),

где р = limn→∞ (xn/n).

В этом случае эталонной окажется последовательность {n} ∞n=1, которая будет давать бесконечно большую единицу:

limn→∞ (0,n,0) = (0,0,1).

Переходя к непрерывному случаю, примем следующие соглашения:

если limх→0f (x) = 0, то

limх→0 (0,f (x),0) = (y,0,0),

где y = limx→0 (f (x) /x).

В частности, получим:

limx→0 (0,x,0) = (1,0,0).

Пусть функции f (x) и g (x) имеют конечные пределы в х0, т.е. limx→x0f (x) = X∈R и limx→x0g (x) = X»∈R. Тогда примем, что

limx→x0 (0,f (x),0) = (y, limx→x0f (x),0) = (у,Х,0),

limx→x0 (0,g (x),0) = (y’,limx→x0g (x),0) = (y’,X», 0),

где

|y/y’| = limx→x0 (|Х-f (x) / (X» – g (x) |).

Пусть функции f (x) и g (x) имеют бесконечный предел в х0, т.е. limx→x0f (x) = ± ∞ и limx→x0g (x) = ±∞. Тогда примем, что

limx→x0 (0,f (x),0) = (0,0,±p).

limx→x0 (0,g (x),0) = (0,0,±p’), где

p, p’> 0,

р/р» = limx→x0 (f (x) /g (x)).

Будем называть функцию f (y,x,0) = (у», x’, 0) 0-непрерывной в точке х е. т. е. limx→x0 (0, f (x), 0) = (у, f (x0), 0).

Будем называть функцию f (y,x,0) = (y’,x’,0) (0, -1) – непрерывной в точке х е. т. е. верно, что f (y,x,0) = (y’,f (x),0).

Если вещественная функция у = f (x) дифференцируема в точке х, то примем следующее соотношение:

limΔx→0 (0,f (x+Δx),0) = (limΔx→0f (x+Δx) /Δx, limΔx→0f (x+Δx),0) = (df (x) /dx, f (x),0).

Если вещественная функция у = f (x) дифференцируема в точке х, то определим оператор дифференцирования d для тричисла (0,f (x),0) следующим образом:

d (0,f (x),0) = (df (x) /dx,0,0).

Конец ознакомительного фрагмента.

Текст предоставлен ООО «Литрес».

Прочитайте эту книгу целиком, купив полную легальную версию на Литрес.

Безопасно оплатить книгу можно банковской картой Visa, MasterCard, Maestro, со счета мобильного телефона, с платежного терминала, в салоне МТС или Связной, через PayPal, WebMoney, Яндекс.Деньги, QIWI Кошелек, бонусными картами или другим удобным Вам способом.

1

Robinson, Abraham. Non-standard analysis. Princeton University Press, 1996.

2

Под стандартным математическим анализом имеется в виду версия математического анализа, которая построена на подходе Ньютона к трактовке бесконечно малого и преподаётся сегодня во всех вузах, где имеется предмет высшая математика.

3

У натуральных чисел также есть сильная граница – это бесконечность ∞, но она продолжает оставаться во всех последующих расширениях и остаётся таковой у вещественных чисел, которые переход к бесконечности распространяют как на верхнюю, так и на нижнюю границу количества.

4

Например, в случае отношения двух бесконечно малых величин, которое является конечным, – как в случае определения производной от функции.

5

В самом деле, если бы R-1М (0) = х≠0, то -х = -R-1М (0) = R-1М (-0) = R-1М (0) = х, т.е. -х = х, что возможно только для нуля. Противоречие доказывает, что R-1М (0) = 0.

6

Благодарю Романа Сузи, который обратил моё внимание на статью Каспера Мюллера (Kasper Müller) «Пятая фундаментальная операция арифметики и красота параллельного исчисления» («A Fifth Fundamental Operation of Arithmetic and the Beauty of Parallel Calculus»), где также используется операция обратного сложения и развиваются разного рода следствия из неё, которые автор называет «параллельным исчислением». См.: Электронный ресурс: https://www.cantorsparadise.com/a-fifth-fundamental-operation-of-arithmetic-and-the-beauty-of-parallel-calculus-93a2dfe28dda (Дата обращения 30.11.24). Моя собственная публикация, где впервые была описана эта операция и ряд следствий из неё: Моисеев В. И. Об одном расширении вещественных чисел // Труды конференции «Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений». Воронеж. 30 июня – 4 июля 2003 г. – Воронеж: Типография ВГУ, 2003. – 242 с. – С.172—182.

7

Моисеев В. И. Логика открытого синтеза: в 2-х тт. Т.1. Структура. Природа. Душа. Кн.2. – СПб.: ИД «Мiръ», 2010. – 743 с. – С.188.

8

Моисеев В. И. Логика открытого синтеза: в 2-х тт. Т.1. Структура. Природа. Душа. Кн.2. – СПб.: ИД «Мiръ», 2010. – 743 с.