Fundamentos de matemática

Anote dos ejemplos: ........................................

3. Números racionales

¡Dividir es repartir en partes iguales!

Un grupo de 6 amigos juega a las cartas con un mazo de 52 cartas.

El juego consiste en repartir todas las cartas y dejar el resto en el centro de la mesa. ¿Cuántas cartas le corresponden a cada uno? ¿Cuántas cartas quedan en el centro?

¡Tú puedes deducir la respuesta!

DEFINICIÓN: son los que se pueden escribir como el cociente de dos enteros. Se pueden expresar como fracción.

EN SÍMBOLOS:

Los números racionales representan partes de un todo.

También, los números racionales, se caracterizan por su expresión decimal:

Las partes sombreadas de los siguientes objetos están representadas por números racionales.

Observe que:

Entonces «Todos los enteros son racionales». Es decir

Notación decimal

Todo número racional puede expresarse en notación decimal ya sea exacta o infinita periódica.

Cada número racional expresado en notación decimal está compuesto de dos partes:

es un conjunto denso

Entre dos números racionales hay infinitos números racionales. Esta afirmación podría justificarse sencillamente si tenemos en cuenta que la suma de racionales es siempre otro racional, el promedio será otro racional y estará comprendido entre ellos.

Podríamos continuar indefinidamente el procedimiento de promediar dos números racionales, encontrando siempre que hay otro racional entre dos racionales, por más próximos que estén. Por ello decimos que Q es un conjunto denso.

Actividad 1.3:

Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique.

1.

( )

2.

( )

3.

( )

4.

( )

4. Números irracionales

Todos los números racionales están representados por puntos sobre la recta numérica, pero ¿todos los puntos de la recta son representaciones de números racionales? La respuesta es NO. Existen otros números que junto a los números racionales completan a la recta numérica: los números irracionales.

DEFINICIÓN: Los números irracionales son los que no se pueden expresar como fracción. En símbolos:

I = {x / x no se puede expresar como fracción

Convertidos a la notación decimal son números con infinitas cifras no periódicas.

SIMBÓLICAMENTE:

Ejemplos:

Los siguientes son números irracionales famosos. Están redondeados en la quinta cifra decimal, con lo cual se obtiene un valor aproximado bastante aceptable.

a. El número PI: = π ≈ 3,14159

b. El número e ≈ 2,71828

c. El número de oro:

d. Raíces no exactas como son:

PI (π): es la relación que existe entre el perímetro y el diámetro de una circunferencia. Quiere decir que si divides el perímetro por el diámetro de cualquier circunferencia resulta el número π.

El número π tiene un valor de: 3,14159265…

Este número es de los más utilizados en matemáticas, física e ingeniería porque la circunferencia es un elemento muy común.

Ubicación exacta de

Con ayuda del Teorema de Pitágoras podemos ubicar de manera exacta el número

. Si construimos un triángulo rectángulo de catetos unitarios, la hipotenusa mide . Luego, con ayuda de un compás trasladamos la medida de la hipotenusa a la recta real.

Teorema de Pitágoras

En todo triángulo rectángulo se cumple que el cuadrado de la medida de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los catetos.

Una operación en I es una manera de asociar a cada par de números irracionales, otro número irracional bien determinado. Las operaciones que se definen en este conjunto son la suma, la resta, la multiplicación, el cociente y la extracción de raíces (exceptuando la radicación de números negativos de índice par).

Las operaciones de suma, diferencia, producto, cociente y potenciación de números irracionales no siempre arrojan como resultado a otro irracional. Algunas veces los resultados son racionales.

5. Números reales

DEFINICIÓN: el conjunto de los números reales surge de la unión de los números racionales y de los irracionales. Se denota como

Comprende a todos los sistemas numéricos anteriores.

Se habla del orden en los números reales a través de la propiedad de tricotomía afirmando que dados n y m dos números reales, entonces se tiene exactamente una de las tres posibilidades:

Al igual que en los conjuntos

, , e I, los números reales se pueden representar en una recta, solo que en este caso no hay puntos discretos, sino se trata de una recta continua:

La recta

sobre la cual se representa a los números racionales e irracionales se llama recta real. A cada punto de esta recta se le asocia un único número real llamado coordenada o abscisa del punto y, recíprocamente, a cada punto de esa recta se le vincula un único número para que sea su coordenada. Si esta doble asignación se hace de manera que puntos distintos tengan coordenadas distintas y cada número sea coordenada de algún punto, se ha obtenido una correspondencia biunívoca entre la recta y el conjunto de los números reales. Esta asignación se denomina Sistema de Coordenadas Unidimensional.

En general, dado un punto P cualquiera en la recta, al número real a se le llama coordenada o abscisa de P y se denota por P(a), que se lee: punto P de coordenada a.

Ejemplo:

Ubiquemos de forma aproximada los siguientes números en la recta real:

Solución

En forma de coordenadas, los números toman la forma:

Que en la recta real están localizados así:

Una operación en

es una manera de asociar a cada par de números reales, otro número real bien determinado. Las operaciones que se definen en este conjunto son la suma, la multiplicación (la resta se considera como la suma de números de diferente signo y la división como la multiplicación de un número por el recíproco de otro, siempre cuando el segundo no sea cero), la radicación de números positivos y la radicación de índice impar de números negativos. Es decir, las operaciones que se definen en este conjunto son todas excepto dos:

• La división entre cero.

• La extracción de raíces de índice par de números negativos.

Propiedades Básicas

Potenciación

Si a es un número real y n es un número natural, entonces decimos que an se obtiene multiplicando n veces el factor a, es decir:

Ejemplo:

a6 = a. a. a. a. a. a. a

Decimos entonces que an es una potencia que tiene a como base y n como exponente. Extendemos la definición para exponentes enteros definiendo, para a ≠ 0;

Actividad 1.4:

Indique si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos:

a. 28 = 22. 26 = 25. 23

( )

b. (8+3)2 = 82 + 32

( )

c. (8.3)2 = 82 + 32

( )

d. (23)2 = 35

( )

e. (23)2 = 26

( )

f. – 32 = (–3)6

( )

g. 54 = 45

( )

h.

( )

i. 5–2 = –10

( )

La actividad anterior ejemplifica algunas de las siguientes propiedades de la potencia: Sean a, b números reales distintos de 0 y sean m, n números enteros.

Propiedades de la PotenciaDistributiva con respecto al producto(a · b)m = am · bmDistributiva con respecto a la divisiónProducto de potencias de igual basean am = an + mDivisión de potencias de igual basePotencia de potencia(an)m = an.m

Observación:

Como se apreció en el ejercicio anterior, la potencia no es distributiva con respecto a la suma ni a la resta.

• ¿Qué sucede si a un número negativo lo elevamos a una potencia par? ¿Cuál es el signo del resultado?

• ¿Existe alguna potencia de 5 que dé como resultado un número negativo? ¿Por qué?

Radicación

Para los enteros positivos n, ya se ha definido la n-ésima potencia de b, a saber, bn. Ahora, vamos a utilizar la ecuación a = bn para definir la n–ésima raíz de a.

En general, la raíz cuadrada de a se define como sigue. A veces recibe el nombre de raíz cuadrada principal de a

Si a es un número real positivo,

si y solo si a = b2 y b > 0

Además,

Ejemplo:

Actividad 1.5:

Calcule el valor de cada una de las expresiones que siguen, en caso de estar definidas:

a.

b.

c.

En el caso de las raíces cúbicas se puede utilizar tanto números positivos como negativos, así como el cero. Por ejemplo:

23 = 8 y (–5)3 = –125

Se puede decir entonces que:

Si a y b son números reales cualesquiera,

si y solo si a = b3

Ejemplos:

Se puede ver que existe una diferencia básica entre las raíces cuadradas y las raíces cúbicas. Las raíces cuadradas están definidas solo para los números reales positivos y el cero. Las raíces cúbicas están definidas para cualquier número real.

Observaciones:

•

recibe el nombre de n-ésima raíz principal de a para indicar que se define positivo si a > 0.

• El número a es el radicando,

es el signo radical, n es el índice del radical y es la expresión radical o raíz n–ésima de a–

Veamos ahora las propiedades de la radicación, las cuales son análogas a las de la potenciación.

Sean a, b números reales positivos y n, m números naturales:

Propiedades de la RadicaciónDistributiva con respecto al productoDistributiva con respecto a la divisiónRaíz de raíz

Actividad 1.6:

• Al igual que con la potenciación, la radicación no es distributiva con respecto a la suma ni a la resta. Proponga ejemplos que muestren que la propiedad distributiva no se cumple.

• ¿Qué sucede al aplicar la propiedad distributiva al siguiente radical:

Orden de operaciones

Orden de operaciones sin símbolos de agrupación o colección

Para calcular expresiones numéricas en las cuales no hay símbolos de agrupación (paréntesis, corchetes o llaves), se opera en el siguiente orden:

1. Potencias y raíces.

2. Multiplicaciones y divisiones.

3. Adiciones y sustracciones.

Si hay dos operaciones de la misma jerarquía, se opera de izquierda a derecha.

Ejemplo: 10 + 12 ÷ 3 × 2 = 18

Ejemplo: 10 + 12 / 3 × 2 = 14,6666

Orden de operaciones con símbolos de agrupación o colección

Si la expresión numérica contiene símbolos de agrupación como paréntesis, corchetes y llaves, se efectúan, primero, las operaciones indicadas dentro de los símbolos de agrupación, empezando por los interiores y respetando la jerarquía de operaciones.

Trabajemos en clase

1. Complete con los símbolos ∊, ∉, ⊆ o ⊆ según corresponda.

2. Dado el conjunto

encuentre:

Represente el conjunto S en la recta numérica en forma aproximada.

3. Desarrolle:

4. Calcule el valor de:

5. Solucione:

Ejercicios y problemas

Manejo de conceptos

1. Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y justifique sus respuestas.

a. La suma de dos números naturales es siempre un número natural.

( )

b. La diferencia de dos números naturales es siempre un número natural

( )

c. El cuadrado de un número racional negativo es un número racional positivo.

( )

d. Existen infinitos números racionales comprendidos entre 0 y

.

( )

e. El conjunto de los números naturales carece de primer elemento.

( )

2. Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique la respuesta proponiendo un contraejemplo, en caso de ser falsa, o enunciando las propiedades aplicadas, en caso de ser verdadera.

a. Si a = –2 y b = 0, entonces a : b = 0

( )

b. (–a) · (–b) = (a . b)

( )

c. El cociente entre un número y su opuesto es igual a –1

( )

d. a + (– b + c) = a – b + c

( )

e. El inverso de 2 es 12

( )

f. a: (b + c) = a:b + a : c, siendo b + c ≠ 0, b ≠ 0 y c ≠ 0

( )

g. b – [–c · (2 – 1) – 1] = b

( )

h. a – (b + c) = a – b + c

( )

i. (b + c): a = b: a + c, con a ≠ 0

( )

j. Para todo a ∈

, a: a–1 = 1

( )

k. Para todo a ∈

, (a–1)–1 = a

( )

l. a · (–b) = a · b

( )

m. a · (b – c) = a · b – a · c

( )

n. La ecuación 2x = 1 tiene solución en

( )

o. –(– a) = a

( )

Habilidades de cálculo

1. Responda:

a. Si m = 14, ¿cómo pueden representarse los números 13; 15 y 16 en términos de m?

b. Sea n un número par cualquiera, ¿cuál es el siguiente entero par? ¿Cuál el anterior?

c. Si x representa cualquier entero impar, ¿cuál es el siguiente entero impar? ¿Cuál el anterior?

d. Si x es cualquier entero par, ¿x + 1 es un entero par o impar? ¿y x – 1?

e. Si x es cualquier entero ¿2x es par o impar? ¿y 2x – 1? ¿y 2x + 1?

2. Calcule:

3. Complete con = o ≠ y mencione qué propiedades se cumplen o no se cumplen: