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Correa Zabala, Francisco José
Métodos numéricos / Francisco José Correa Zabala. -- Medellín : Fondo Editorial Universidad EAFIT, 2010.
296 p. : il. ; 24 cm. -- (Colección académica)
ISBN 978-958-720-078-2
1. Algoritmos (Computadores) 2. Programación (Computadores) 3. Análisis numérico 4. Ingeniería matemática I. Tít. II. Serie.
005.1 cd 21 ed.
A1273184
CEP-Banco de la República-Biblioteca Luis Ángel Arango
Métodos numéricos
Primera edición: noviembre de 2010
Tercera reimpresión: julio de 2018
© Francisco José Correa Zabala
© Fondo Editorial Universidad EAFIT
Cra. 49 No. 7 sur - 50. Tel. 261 95 23
www.eafit.edu.co/fondoeditorial
Correo electrónico: fonedit@eafit.edu.co
ISBN: 978-958-720-078-2
Ilustración de carátula: Marcela Márquez Paniagua
Editado en Medellín, Colombia
Diseño epub:
Hipertexto – Netizen Digital Solutions
1 Introducción
1.1 Enfoque por competencias
1.2 Descripción de la competencia
1.2.1 Competencias previas
1.2.2 Competencias según sus áreas de aplicación
2 Preliminares
2.1 Una primera mirada al análisis numérico
2.1.1 Problema
2.1.2 Modelo
2.1.3 Formulación matemática
2.1.4 Solución
2.2 La computación científica y el análisis numérico
2.2.1 Modelos matemáticos
2.2.2 La solución numérica
2.2.3 El ambiente computacional
2.3 Fuentes de error
2.3.1 Modelo
2.3.2 Método empleado
2.3.3 Máquina usada
2.3.4 Los datos
2.4 Error absoluto y error relativo
2.4.1 Error absoluto E
2.4.2 Error relativo ε
2.5 Decimales correctos y cifras significativas
2.5.1 Notación numérica
2.5.2 Notación de punto flotante
2.5.3 Clases de redondeo
2.5.4 Decimales correctos
2.5.5 Cifras significativas
2.5.6 Calidad en las cifras y el error
2.6 Los números en el computador
2.6.1 Números máquina máximos y mínimos
2.6.2 Densidad de los números reales
2.6.3 Distribución de los números máquina en la recta real
2.6.4 Cantidad de cifras decimales según un número máquina
2.6.5 Los números máquina son finitos
2.6.6 Propiedades de las operaciones en los números reales
2.7 Exactitud y dispersión
2.8 Errores en la solución de un problema
2.8.1 Errores inherentes
2.8.2 Errores de truncamiento
2.8.3 Error de redondeo
2.9 Propagación de errores
2.9.1 Propagación de errores en cálculos
2.10 Métodos y algoritmos numéricos
2.10.1 Del método numérico a los algoritmos
2.10.2 Estabilidad de los algoritmos
2.10.3 Criterios para detener un proceso computacional
3 Ecuaciones de una variable
3.1 Preliminares
3.1.1 Significado de resolver una ecuación de una variable
3.1.2 ¿Qué se necesita para resolver ecuaciones de una variable?
3.2 Métodos para determinar aproximaciones iniciales
3.2.1 Las condiciones del problema
3.2.2 Gráfica de la función asociada a la ecuación
3.2.3 Búsquedas incrementales
3.3 Métodos por intervalos o cerrados
3.3.1 Método de la bisección
3.3.2 Regla falsa
3.4 Métodos abiertos
3.4.1 Punto fijo
3.4.2 Método de Newton
3.4.3 Método de la secante
3.4.4 Método de las raíces múltiples
3.5 Análisis comparativo de la convergencia
4 Sistemas de ecuaciones lineales
4.1 Preliminares
4.1.1 ¿Qué significa resolver un sistema de ecuaciones?
4.1.2 Tipos especiales de matrices
4.2 Métodos directos
4.2.1 Eliminación gaussiana simple
4.2.2 Análisis del método de la eliminación gaussiana simple
4.2.3 Eliminación gaussiana con pivoteo parcial
4.2.4 Eliminación gaussiana con pivoteo total
4.2.5 Factorización de matrices
4.2.6 Factorización LU con eliminación gaussiana simple
4.2.7 Factorización LU con pivoteo parcial
4.2.8 Factorización directa de matrices
4.3 Métodos basados en tipos especiales de matrices
4.4 Métodos iterativos
4.4.1 Normas en espacios vectoriales
4.4.2 Métodos iterativos con matrices
4.4.3 Algoritmos de los métodos
4.5 Métodos de relajación
5 Interpolación
5.1 Preliminares
5.2 Método basado en sistemas de ecuaciones
5.3 Polinomio interpolante de Newton
5.4 Diferencias divididas
5.5 Polinomio interpolante de Lagrange
5.6 Método de Neville
6 Integración numérica
6.1 Método del trapecio
6.2 Método compuesto del trapecio
6.3 Método de Simpson 1/3
6.4 Método compuesto de Simpson 1/3
6.5 Método de Simpson 3/8
7 Ecuaciones diferenciales
7.1 Preliminares
7.1.1 Existencia y unicidad de las soluciones
7.2 Método de Euler
7.2.1 Análisis del error en el método de Euler
7.3 Métodos de Taylor de orden superior
7.4 Método de Heun
7.4.1 Análisis del error en el método de Heun
7.4.2 Otra forma de explicar el método de Heun
7.5 Métodos de Runge-Kutta
7.5.1 Runge-Kutta de orden 2
7.5.2 Runge-Kutta de orden 3
7.5.3 Runge-Kutta de orden 4
Bibliografía
Notas al pie
Índice de figuras
1 Etapas en la solución de un problema
2 Fuentes de error
3 Algunos relojes usados para medir el tiempo
4 Relación entre el error y la calidad de las cifras
5 Esquema de almacenamiento de un número real
6 Límites de almacenamiento en la recta real
7 Distribución de los números máquina
8 Tipos de error
9 Propagación de errores
10 Raíces de una ecuación
11 Valores iniciales
12 Existencia de raíces de una ecuación
13 Búsquedas incrementales
14 Aplicación del método de búsquedas incrementales
15 Método de la bisección
16 Método de la regla falsa
17 Método de punto fijo
18 Método de punto fijo
19 Análisis de convergencia del método de punto fijo
20 Explicación gráfica del método de Newton
21 Explicación gráfica del método de la secante
22 Comparación del polinomio interpolante de una función
23 Método del trapecio
24 Método del trapecio generalizado
25 Método del trapecio
26 Método de Simpson 1/3 generalizado
27 Método del trapecio
28 Solución de y′ = x2/9 − 2
29 Solución de y′ = x2/9 − 2 con y(0) = 2
30 Explicación gráfica del método de Euler
31 Solución de
Índice de tablas
1 Competencias especificas para desarrollar en el curso
2 Métodos para la solución de un problema
3 Competencias especificas desarrolladas en el Capítulo 3
4 Tabla de ejecución del método de la bisección
5 Tabla de resultados del método de la secante
6 Tabla de ejecución del método de Jacobi
7 Tabla de ejecución del método de Gauss Seidel
8 Tabla de ejecución del método de relajación con ω = 1
9 Tabla de ejecución del método de relajación con 1 < ω < 2
10 Polinomio de Newton con diferencias divididas
11 Ejemplo del polinomio de Newton con diferencias divididas
12 Método de Neville
13 Ejemplo del método de Neville
14 Ejemplo del método de Euler
15 Ejemplo del método de Heun
Índice de algoritmos
1 Épsilon de la máquina
2 Cálculo del menor número positivo
3 Método de búsquedas incrementales
4 Método de la bisección
5 Método de punto fijo
6 Método de Newton
7 Método de la secante
8 Macro algoritmo de la eliminación gaussiana simple
9 Eliminación gaussiana sin intercambio de filas
10 Sustitución regresiva
11 Estructura de eliminación gaussiana con pivoteo
12 Estructura de eliminación gaussiana con pivoteo parcial
13 Estructura de eliminación gaussiana con pivoteo total
14 Estructura básica de un método factorización de matrices
15 Factorización de matrices con pivoteo parcial
16 Factorización LU con pivoteo parcial
17 Factorización directa de matrices
18 Factorización de matrices para varios sistemas de ecuaciones
19 Factorización de matrices para varios sistemas de ecuaciones
20 Eliminación gaussiana simple para sistemas tridiagonales
21 Eliminación gaussiana para sistemas tridiagonales
22 Método de Jacobi
23 Iteración de método de Jacobi
24 Iteración del método de Gauss Seidel
Agradecimientos
A mi Marta, mi familia, mis amigos, mis profesores mis alumnos...
En el momento de entregar a la comunidad un producto como éste, uno no deja de pensar en las personas que de algún modo tuvieron que ver con su logro. Son muchas las dificultades, las largas horas de trabajo, los éxitos, los fracasos..., en fin; son muchas las cosas que pasan alrededor de una experiencia, que por encima de todo, es de lo mejor que he vivido. Tengo que agradecer a mi esposa, Marta, quien me ha acompañado en todo momento, siendo mi soporte y apoyo. A mi familia y mis amigos, a quienes he descuidado, pero que están ahí, siempre conmigo. A la Universidad EAFIT y en su nombre a todos los directivos que en alguna medida me han apoyado para desarrollar este producto. A mis profesores, quienes han dejado una huella en mi formación como persona y profesional; parte de sus enseñanzas y criticas están plasmadas en el texto. Al doctor Carlos Enrique Mejía Salazar, quien con su apoyo, su amistad, asesoría en mi sabático y sus sabios consejos hace realidad esta obra. A mis alumnos, con los cuales durante los años de experiencia en los cursos relacionados con este texto me han hecho aportes para desarrollar las ideas y estrategias que lo guían.
Al disponer de un borrador de esta obra, algunos de mis alumnos y monitores se dieron a la tarea de hacer una lectura del texto. Sus sugerencias han sido muy importantes y valiosas. Paso a mencionar algunos, y espero no haber dejado alguno por fuera: Alejandro Arenas Vasco, María Cristina Bravo Gómez, Alejandro Betancourt Arango, José Luis Franco Monsalve, Carolina Vélez López, J. Sebastián Palacio Montoya, Marcela Gutiérrez Mejía, Sebastián Mejía Velásquez, Shirley Bibiana Vélez Durango, Julio Andrés Vega Giraldo, María Fernanda Estrada Martínez, Sebastián Arcila Valenzuela y Hernán Darío Metaute Sarmiento. Finalmente, a Marcela Marquez Paniagua por el diseño del dibujo de la portada.
Capítulo 1
Introducción
El objetivo principal de este libro es proporcionar al lector un camino fácil y agradable para dar los primeros pasos en el estudio del análisis numérico. Presentamos una obra para que quien la siga disponga de un conjunto de recursos con una buena introducción al área, y de un manual de referencia ágil con herramientas prácticas para su uso.
Al finalizar la presente sección esperamos que el lector logre reconocimiento del alcance del curso y su importancia frente al proceso de formación como ingeniero. Para lograrlo, vamos a:
• Establecer criterios mínimos para un buen desempeño en el curso.
• Presentar las competencias especificas del área que los estudiantes deben demostrar al finalizar el curso.
• Plantear una primera definición de análisis numérico.
• Identificar cada una de las etapas que intervienen en la solución de un problema, determinando el papel de los métodos numéricos.
• Reconocer las posibles formas de solución de un problema.
Con este libro y el software anexo como material de apoyo se busca que los estudiantes dispongan de un conjunto de recursos que permitan el logro de las competencias planteadas. El software se encuentra disponible en la dirección www1.eafit.edu.co/cursonumerico/.
1.1 Enfoque por competencias
El texto ha sido pensado y diseñado bajo el enfoque de competencias siguiendo lo planteado por el proyecto Tuning (Beneitone et al., 2007) y por Tobón (2010a,b). Para ello, definimos las competencias que el estudiante debe adquirir al desarrollar los diferentes elementos que implican el seguimiento del texto y la utilización de sus herramientas de apoyo.
En cada uno de los ambientes de aprendizaje propuestos por el docente, se entrelazan las diferentes metas definidas por la institución educativa para la formación del estudiante en su profesión específica, a la luz del perfil profesional. En la realización de las actividades que planteamos y de las que se infieren de forma directa o indirecta se busca la formación, de forma transversal, del estudiante en las siguientes competencias genéricas del proyecto Tuning:1
• Capacidad de abstracción, análisis y síntesis.
• Capacidad para aplicar los conocimientos en la práctica.
• Habilidades en uso de las tecnologías de la información y la comunicación.
• Capacidad de investigación.
• Habilidades para buscar, procesar y analizar información procedente de fuentes diversas.
• Capacidad para identificar, plantear y resolver problemas.
Planteamos estas competencias como una invitación al docente para que las reformule y genere un conjunto de acciones para su desarrollo. Además, esperamos que se incorporen en el proceso competencias relacionadas con valores sociales, habilidades interpersonales y el contexto internacional.
De forma similar, planteamos las competencias relacionadas con la formación de ingenieros:
• Aplicar conocimientos de las ciencias básicas y las ciencias de la ingeniería.
• Modelar y simular procesos y sistemas de la ingeniería.
• Concebir, analizar, proyectar y diseñar soluciones en relación con su profesión.
• Manejar e interpretar información de campo (de la realidad).
• Utilizar, elaborar programas o sistemas de computación para la solución de sus problemas. numéricos. Competencias Sistémicas Instrumental.
1.2 Descripción de la competencia
Diseñar y aplicar métodos numéricos, de manera eficiente y con herramientas computacionales, en la solución de problemas de aplicación que involucran modelos matemáticos, procurando que la solución obtenida mediante la aplicación de los diferentes algoritmos disponga de argumentos de calidad.
Niveles Criterios Primero: conocimiento. Identifica, utiliza y reformula las nociones y conceptos que permiten generar y caracterizar los métodos numéricos 1. Describe y utiliza las nociones matemáticas involucradas en la definición de un método numerico 2. Formula nociones matemáticas de forma discreta para la definición de métodos numéricos 3. Describe los alcances y dificultades de un método numérico apoyado en argumentos matemáticos Segundo: comprensión. Analiza los métodos numéricos desde el punto de vista matemático y algorítmico 1. Formula de forma detallada cada uno de los pasos de un método numérico utilizando argumentos matemáticos y/o computacionales 2. Elabora o utiliza algoritmos relacionados con métodos numéricos 3. Utiliza argumentos matemáticos para describir un método numerico 4. Reconoce argumentos teóricos para argumentar sobre la calidad de las soluciones obtenidas en la aplicación de un método numérico Tercero: aplicación. Utiliza métodos numéricos para la solución de problemas 1. Dado un problema, selecciona el método adecuado para su solución 2. Razona sobre la calidad de la solución obtenida por la aplicación de un método numéricoTabla 1. Competencias especificas para desarrollar en el curso
1.2.1 Competencias previas
Pretendemos presentar de forma simple las competencias que el lector debe haber desarrollado. No es una lista exhaustiva de los problemas involucrados, y por estrategia metodológica trataremos en el desarrollo de cada tema de presentar los fundamentos que se necesiten para el logro de las metas de la actividad propuesta.
1. Disponer del manejo de un lenguaje de programación o herramientas computacionales en las que se puedan diseñar y ejecutar los algoritmos correspondientes a los métodos numéricos desarrollados.
2. Disponer de los fundamentos que proporciona el cálculo integral y diferencial.
3. Reconocer el significado básico en relación con cada una de las siguientes áreas o expresiones, aunque en general en el desarrollo del texto se exponen argumentos para que los temas sean autocontenidos.
1) Ecuaciones de una variable. Dada una ecuación en la que esté involucrada una variable, se pretende encontrar el valor de la variable que hace cierta la ecuación. Por ejemplo, x = 2 es la solución de la ecuación
2x+3 − x4 + 3 = 3x + 10
2) Sistemas de ecuaciones lineales. Dado un conjunto de ecuaciones lineales, determinar el conjunto de valores que las hacen ciertas de forma simultánea. Por ejemplo, x = 0, y = 2, z = −1 es la solución del siguiente sistema
6x − 3y + 4z = −10 5x + 4y − z = 7 3x + 2y + 5z = −1
3) Ajustes de curvas. Reconocer los aspectos fundamentales de los polinomios en los números reales
p(x) = anxn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0
4) Diferenciación. Determinar el significado y el valor correspondiente a la derivada evaluada en un valor. Por ejemplo, el valor de f′(2) dada la función f(x) = cos(x) − 3x2 − 1 es
f′(2) = −12.9092
5) Integración. Hallar el valor de una integral definida. Por ejemplo
6) Ecuaciones diferenciales. Dada una ecuación diferencial, se pretende hallar su solución (se utiliza la integración como una de las herramientas para la solución de una ecuación diferencial). Por ejemplo, la función f(x) = x3/3 + 4x − 5 es una solución de la ecuación diferencial
4. Reconocer los elementos matemáticos que fundamentan la solución y los correspondientes métodos analíticos para la solución de:
1) Ecuaciones de una variable. Propiedades de la igualdad, funciones de variable real y sus correspondientes inversas. Solución gráfica de una ecuación. Significado de ecuación y aplicaciones del concepto.
2) Sistemas de ecuaciones lineales. Álgebra de vectores y matrices, propiedades de la igualdad, métodos directos para la solución de sistemas de ecuaciones: sustitución, despeje, igualación, regla de Cramer, etc. Solución gráfica de un sistema de ecuaciones. Significado de los sistemas de ecuaciones y aplicaciones del concepto.
3) Ajuste de curvas. Teoría de funciones. Significado de función y aplicaciones del concepto.
4) Diferenciación. Significado de la derivada y aplicaciones del concepto. Cálculo de la derivada de una función dada. Propiedades de la derivada.
5) Integración. Significado de la integral y aplicaciones del concepto. Cálculo de la integral de una función dada. Propiedades de la integral.