Очевидно. Но неверно

Логические истории, неожиданные решения и небольшие неприятности для самоуверенного ума

182 задачи с подсказками, проверками и вариантами условий

Первое впечатление тоже имеет право на ошибку.

Но не на пожизненную должность.

Вместо проверки интеллекта

Эта книга не выясняет, достаточно ли вы умны. С этим вопросом и без неё отлично справляются люди, которые познакомились с вами полторы минуты назад.

Здесь предлагается другое занятие: заметить, в какой момент понятный ответ перестаёт быть обоснованным. Иногда мы торопимся. Иногда незаметно добавляем к условию собственную привычку. Иногда верим самой убедительной фразе, хотя она только громче остальных. Уверенность вообще удивительный работник: приходит раньше доказательства, занимает его кресло и потом обижается, когда её просят пересесть.

Перед вами сборник коротких задач, объединённых историями Бюро проверки очевидного. В этом вымышленном учреждении начальник Пётр Семёнович ценит решительность, инженер Лев Аркадьевич — точность, архивариус Варвара Ильинична — документы, а курьер Федя — возможность когда-нибудь уйти домой. Они не олицетворяют четыре типа людей. Каждый из нас в разное время бывает всеми четырьмя, особенно к концу рабочего дня.

Персонажи спорят, теряют ключи, делят печенье, проверяют показания и иногда обнаруживают, что выполнить распоряжение нельзя. Не потому, что лень. Потому, что две нечётные стопки не станут чётными от перекладывания по два жетона. Разница между ленью и доказательством невозможности обычно выясняется только после долгого совещания.

Сюжеты вымышлены. В задачах используются общеизвестные логические приёмы и классические математические схемы в самостоятельном изложении, а также специально составленные условия. Афоризмы и реплики написаны для этой книги. Они не выданы за высказывания знаменитых людей: знаменитые люди и без нашей помощи наговорили в интернете больше, чем успели бы произнести за несколько жизней.

Не спешите переходить к решению. Но и не считайте подсказку поражением. Нужная помощь в нужный момент — нормальная часть мышления. Лишь бы подсказка не сводилась к фразе «Ну это же очевидно». Такая помощь обычно нужна помогающему: ему очень хочется выглядеть умным при минимальных затратах.

Задачи в каждом разделе идут прежде разборов. Это позволяет читать условия без случайного взгляда на ответ. После них находятся решения, проверки и дополнительные вопросы. Если хочется только поиграть, остановитесь на условиях. Если интересует устройство мысли, прочитайте, почему соблазнительный ход не работает и какой приём годится для похожих ситуаций.

Бумага и карандаш разрешены. Более того, они не портят интеллект. Записать четыре версии лучше, чем держать три в голове и незаметно забыть четвёртую. Великий ум, который отказывается от черновика из принципа, иногда отличается от обычной ошибки только масштабом самоуважения.

Не все задачи здесь одинаково трудны. Некоторые занимают минуту, другие требуют таблицы. Есть намеренные повторы приёма в разных обстоятельствах: это тренировка, а не экзамен на внезапность. При этом каждый протокол, код и набор ограничений проверяется заново. Узнанный тип задачи даёт инструмент, но не освобождает от чтения конкретного условия.

Слова «ровно», «хотя бы», «разные», «без возвращения» и «всегда» заслуживают внимания. Они невелики, но распоряжаются результатом. Если убрать одно такое слово, иногда рушится всё доказательство. На этой почве у логики прекрасные отношения с редактурой и довольно напряжённые — с пересказом по памяти.

В последней главе встретятся задачи, в которых честный ответ не является числом или фамилией. Данных может не хватать. Не пытайтесь угодить книге выдумкой. Лучше предъявите два возможных мира, которые соответствуют условию. Это не уход от ответа: это ответ более высокого качества, чем угадывание с серьёзным лицом.

Читать сборник можно подряд или выбирать раздел по настроению. Для разминки подойдут показания и распределения. Для любителей планов — сосуды, мосты и маршруты. Для тех, кто подозревает подвох в процентах, — глава о вероятностях. Для людей, которым слишком часто говорят «и так всё ясно», особенно полезен финал.

Главная просьба одна: спорьте с выводами предметно. Если нашли другой ответ, проверьте его по всем условиям. Если нашли нарушение, покажите точный шаг. Ничего страшного, если первой мыслью была ошибка. Неприятности начинаются, когда её назначают постоянным руководителем.

Пожалуй, можно открывать Бюро.

На двери уже висит табличка: «Здесь проверяют очевидное. Не стучать с готовыми выводами».

Чистосердечное признание особенно убедительно, когда признаётся кто-нибудь другой.

В Бюро проверки очевидного поступали исключительно ясные дела. Поэтому ни одно не удавалось закрыть до обеда. Начальник Пётр Семёнович требовал найти виноватого, инженер Лев Аркадьевич — причину, а архивариус Варвара Ильинична просила сначала установить, что именно случилось. Последнее предложение считалось торможением расследования.

В этой главе говорят много, но верить придётся осторожно. Мы будем проверять отдельные высказывания, а не лица говорящих. Человек, произнёсший одну ложную фразу, не превращается от этого в сказочного лжеца, обречённого врать о погоде до конца жизни. Если в задаче сказано, что истинны две реплики, именно две и считаем. Ни уверенность голоса, ни заслуженная медаль к показаниям дополнительных баллов не прибавляют.

Рабочий приём

Сначала выпишите все возможные ответы. Затем временно примите один ответ и проверьте каждую реплику. В конце посчитайте истинные реплики и сравните число с условием. Противоречие исключает предположение; неприятное впечатление от человека — нет. Если осталось несколько вариантов, расследование ещё не закончено. Если не осталось ни одного, проверьте собственный перевод слов в условия. Логика не обязана поддерживать любимую версию следователя.

1. Последняя ватрушка

На заседании исчезла последняя ватрушка. Пётр Семёнович назвал происшествие посягательством на коллективные ценности. Варвара заметила, что коллективные ценности почему-то всегда лежат у него на блюдце.

Действовал ровно один человек из четырёх: Антон, Борис, Вадим, Глеб. Они произнесли по одной реплике. Антон: «Вадим не тот, кто взял ватрушку»; Борис: «Вадим не тот, кто взял ватрушку»; Вадим: «Антон не тот, кто взял ватрушку»; Глеб: «Борис взял ватрушку». Достоверно установлено: истинных реплик ровно 1. Остальные ложны. Кто взял ватрушку? Никаких постоянных «рыцарей» и «лжецов» здесь нет: оцениваются только эти четыре реплики.

2. Печать особой важности

Из сейфа вынули печать «Согласовано». Без неё учреждение ещё могло работать, но уже не могло убедительно изображать, что работает. Подозреваемые явились добровольно: отпуск всё равно предстояло согласовывать.

Действовал ровно один человек из четырёх: Антон, Борис, Вадим, Глеб. Они произнесли по одной реплике. Антон: «Антон не тот, кто вынул печать»; Борис: «Борис вынул печать»; Вадим: «Глеб вынул печать»; Глеб: «Антон не тот, кто вынул печать». Достоверно установлено: истинных реплик ровно 2. Остальные ложны. Кто вынул печать? Никаких постоянных «рыцарей» и «лжецов» здесь нет: оцениваются только эти четыре реплики.

3. Ключ от здравого смысла

Ключ от кабинета находок снова потеряли. По распоряжению начальства искать его поручили кабинету находок. Возник организационный круг, из которого Федя предложил выйти через окно.

Действовал ровно один человек из четырёх: Антон, Борис, Вадим, Глеб. Они произнесли по одной реплике. Антон: «Вадим унёс ключ»; Борис: «Вадим унёс ключ»; Вадим: «Борис унёс ключ»; Глеб: «Глеб унёс ключ». Достоверно установлено: истинных реплик ровно 2. Остальные ложны. Кто унёс ключ? Никаких постоянных «рыцарей» и «лжецов» здесь нет: оцениваются только эти четыре реплики.

4. Торт служебного пользования

В холодильнике лежал торт с запиской «Не трогать». К вечеру сохранилась только записка. Её сочли доказательством того, что распоряжение до сотрудников довели.

Действовал ровно один человек из четырёх: Антон, Борис, Вадим, Глеб. Они произнесли по одной реплике. Антон: «Вадим не тот, кто забрал торт»; Борис: «Глеб не тот, кто забрал торт»; Вадим: «Борис не тот, кто забрал торт»; Глеб: «Глеб не тот, кто забрал торт». Достоверно установлено: истинных реплик ровно 2. Остальные ложны. Кто забрал торт? Никаких постоянных «рыцарей» и «лжецов» здесь нет: оцениваются только эти четыре реплики.

5. Рукопись с характером

В издательстве кто-то отправил в набор черновик вместо окончательной версии. Редактор впервые увидел роман, в котором герой на двадцатой странице ещё назывался «Придумать имя».

Действовал ровно один человек из четырёх: Антон, Борис, Вадим, Глеб. Они произнесли по одной реплике. Антон: «Вадим отправил черновик»; Борис: «Вадим не тот, кто отправил черновик»; Вадим: «Глеб не тот, кто отправил черновик»; Глеб: «Вадим отправил черновик». Достоверно установлено: истинных реплик ровно 1. Остальные ложны. Кто отправил черновик? Никаких постоянных «рыцарей» и «лжецов» здесь нет: оцениваются только эти четыре реплики.

6. Ненужная кнопка

На пульте имелась единственная красная кнопка. Инструкция предписывала её не нажимать, чем обеспечивала ей устойчивый интерес персонала. После сигнала тревоги все внезапно полюбили инструкции.

Действовал ровно один человек из четырёх: Антон, Борис, Вадим, Глеб. Они произнесли по одной реплике. Антон: «Борис нажал кнопку»; Борис: «Борис нажал кнопку»; Вадим: «Антон не тот, кто нажал кнопку»; Глеб: «Глеб нажал кнопку». Достоверно установлено: истинных реплик ровно 1. Остальные ложны. Кто нажал кнопку? Никаких постоянных «рыцарей» и «лжецов» здесь нет: оцениваются только эти четыре реплики.

7. Премия за скромность

В музее исчезла грамота за скромность. Хранитель расстроился: он уже заказал для неё раму размером с дверь. Остальные утверждали, что так скромность даже лучше заметна.

Действовал ровно один человек из четырёх: Антон, Борис, Вадим, Глеб. Они произнесли по одной реплике. Антон: «Антон не тот, кто переложил грамоту»; Борис: «Глеб переложил грамоту»; Вадим: «Вадим переложил грамоту»; Глеб: «Глеб не тот, кто переложил грамоту». Достоверно установлено: истинных реплик ровно 1. Остальные ложны. Кто переложил грамоту? Никаких постоянных «рыцарей» и «лжецов» здесь нет: оцениваются только эти четыре реплики.

8. Чайник повышенной секретности

Кто-то выключил чайник перед самым закипанием. В коллективе начался кризис доверия. Совещание об эффективности пришлось перенести: без чая эффективность не запускалась.

Действовал ровно один человек из четырёх: Антон, Борис, Вадим, Глеб. Они произнесли по одной реплике. Антон: «Антон не тот, кто выключил чайник»; Борис: «Вадим выключил чайник»; Вадим: «Вадим не тот, кто выключил чайник»; Глеб: «Глеб выключил чайник». Достоверно установлено: истинных реплик ровно 1. Остальные ложны. Кто выключил чайник? Никаких постоянных «рыцарей» и «лжецов» здесь нет: оцениваются только эти четыре реплики.

9. Звонок без повода

Во время спектакля прозвенел реквизитный звонок. Актёр вышел на сцену раньше срока и успел умереть до своего рождения по сюжету. Режиссёр сказал, что в этом есть мысль, но сначала найдите шутника.

Действовал ровно один человек из четырёх: Антон, Борис, Вадим, Глеб. Они произнесли по одной реплике. Антон: «Вадим позвонил»; Борис: «Борис позвонил»; Вадим: «Борис позвонил»; Глеб: «Глеб не тот, кто позвонил». Достоверно установлено: истинных реплик ровно 1. Остальные ложны. Кто позвонил? Никаких постоянных «рыцарей» и «лжецов» здесь нет: оцениваются только эти четыре реплики.

10. Список отсутствующих

Из папки исчез список отсутствующих. Начальник велел собрать всех перечисленных, чтобы спросить, куда он делся. Варвара попросила минуту тишины в память о причинно-следственной связи.

Действовал ровно один человек из четырёх: Антон, Борис, Вадим, Глеб. Они произнесли по одной реплике. Антон: «Глеб не тот, кто взял список»; Борис: «Антон не тот, кто взял список»; Вадим: «Борис не тот, кто взял список»; Глеб: «Антон не тот, кто взял список». Достоверно установлено: истинных реплик ровно 2. Остальные ложны. Кто взял список? Никаких постоянных «рыцарей» и «лжецов» здесь нет: оцениваются только эти четыре реплики.

11. Сахар в отделе критики

Кто-то переставил сахарницу. Отдел критики весь день пил несладкий чай и работал с небывалым вдохновением. К вечеру пострадали три рукописи и один невиновный кактус.

Действовал ровно один человек из четырёх: Антон, Борис, Вадим, Глеб. Они произнесли по одной реплике. Антон: «Глеб не тот, кто переставил сахарницу»; Борис: «Глеб не тот, кто переставил сахарницу»; Вадим: «Борис не тот, кто переставил сахарницу»; Глеб: «Борис переставил сахарницу». Достоверно установлено: истинных реплик ровно 1. Остальные ложны. Кто переставил сахарницу? Никаких постоянных «рыцарей» и «лжецов» здесь нет: оцениваются только эти четыре реплики.

12. Табличка на свободном месте

В зале переговоров появилась табличка «Занято». Она простояла неделю, не проведя ни одной встречи. По производительности табличка уже догоняла руководителя отдела.

Действовал ровно один человек из четырёх: Антон, Борис, Вадим, Глеб. Они произнесли по одной реплике. Антон: «Вадим не тот, кто поставил табличку»; Борис: «Глеб поставил табличку»; Вадим: «Глеб поставил табличку»; Глеб: «Антон не тот, кто поставил табличку». Достоверно установлено: истинных реплик ровно 2. Остальные ложны. Кто поставил табличку? Никаких постоянных «рыцарей» и «лжецов» здесь нет: оцениваются только эти четыре реплики.

13. Два советника и один вопрос

У Бюро было два советника: один всегда говорил правду, второй всегда лгал. Начальник считал это удачным балансом мнений. Курьеру требовалось не равновесие, а правильная дверь.

За одной из двух дверей выход, за другой кладовая. Два советника знают, где выход, и знают, кто из них всегда говорит правду, а кто всегда лжёт. Вы не знаете их типов. Можно задать одному советнику один вопрос, ответом на который будет указание двери. Как гарантированно найти выход?

Подсказки и решения

Разбор 1. Последняя ватрушка

Подсказка. Не решайте, кто выглядит честнее. Выберите временного виновного. Четыре строки проверки удобнее, чем четыре одновременных подозрения.

Ответ. Вадим взял ватрушку.

Предположим, что действовал Антон. Тогда реплика №1 истинна; реплика №2 истинна; реплика №3 ложна; реплика №4 ложна. Получается истинных реплик: 2. Условие требует 1, поэтому этот вариант исключаем.

Предположим, что действовал Борис. Тогда реплика №1 истинна; реплика №2 истинна; реплика №3 истинна; реплика №4 истинна. Получается истинных реплик: 4. Условие требует 1, поэтому этот вариант исключаем.

Предположим, что действовал Вадим. Тогда реплика №1 ложна; реплика №2 ложна; реплика №3 истинна; реплика №4 ложна. Получается истинных реплик: 1. Это ровно требуемые 1; предположение проходит проверку.

Предположим, что действовал Глеб. Тогда реплика №1 истинна; реплика №2 истинна; реплика №3 истинна; реплика №4 ложна. Получается истинных реплик: 3. Условие требует 1, поэтому этот вариант исключаем.

Мы проверили все четыре допустимые личности, а не только нашли удобного подозреваемого. Подходит один вариант: Вадим. Это и даёт единственность ответа. Обратите внимание: виновный мог сказать правду, а невиновный — ошибиться или солгать; обратного в условии не обещали.

Где легко ошибиться. Ловушка здесь — незаметно добавить правило «виновный обязательно врёт». Это уже другая задача. В реальном разговоре человек может признать мелочь, чтобы скрыть существенное; в нашей модели такой психологии вообще нет, пока она явно не включена в условие.

Приём: таблица гипотез. В каждом столбце проверяется одна фраза, в каждой строке — один возможный ответ. Такая таблица полезна и при сравнении противоречащих друг другу записей. Должность свидетеля не является пятым столбцом.

Измените вопрос: можно ли определить виновного, если известно только, что хотя бы одна реплика правдива?

Числа истинных реплик по порядку подозреваемых: 2, 4, 1, 3. Оставляем все положительные числа. Получается 4 допустимых вариантов. Формулировка «хотя бы одна» слабее формулировки «ровно столько-то»: лишняя правда перестаёт быть основанием для исключения.

Протокол после одной поправки

Проверим устойчивость вывода. Ниже четыре самостоятельных изменения, а не последовательные исправления: каждый раз возвращаемся к исходному протоколу и меняем ровно одну реплику.

Если только свидетель №1 заменит свою фразу противоположной, а требование «ровно 1 истинных» сохранится, по кандидатам Антон, Борис, Вадим, Глеб получатся счётчики 1, 3, 2, 2. Останутся допустимыми: Антон.

Если только свидетель №2 заменит свою фразу противоположной, а требование «ровно 1 истинных» сохранится, по кандидатам Антон, Борис, Вадим, Глеб получатся счётчики 1, 3, 2, 2. Останутся допустимыми: Антон.

Если только свидетель №3 заменит свою фразу противоположной, а требование «ровно 1 истинных» сохранится, по кандидатам Антон, Борис, Вадим, Глеб получатся счётчики 3, 3, 0, 2. Ни одного допустимого кандидата не останется: такой исправленный протокол внутренне противоречив.

Если только свидетель №4 заменит свою фразу противоположной, а требование «ровно 1 истинных» сохранится, по кандидатам Антон, Борис, Вадим, Глеб получатся счётчики 3, 3, 2, 4. Ни одного допустимого кандидата не останется: такой исправленный протокол внутренне противоречив.

Разбор 2. Печать особой важности

Ответ. Вадим вынул печать.

Предположим, что действовал Антон. Тогда реплика №1 ложна; реплика №2 ложна; реплика №3 ложна; реплика №4 ложна. Получается истинных реплик: 0. Условие требует 2, поэтому этот вариант исключаем.

Предположим, что действовал Борис. Тогда реплика №1 истинна; реплика №2 истинна; реплика №3 ложна; реплика №4 истинна. Получается истинных реплик: 3. Условие требует 2, поэтому этот вариант исключаем.

Предположим, что действовал Вадим. Тогда реплика №1 истинна; реплика №2 ложна; реплика №3 ложна; реплика №4 истинна. Получается истинных реплик: 2. Это ровно требуемые 2; предположение проходит проверку.

Предположим, что действовал Глеб. Тогда реплика №1 истинна; реплика №2 ложна; реплика №3 истинна; реплика №4 истинна. Получается истинных реплик: 3. Условие требует 2, поэтому этот вариант исключаем.

Измените вопрос: можно ли определить виновного, если известно только, что хотя бы одна реплика правдива?

Числа истинных реплик по порядку подозреваемых: 0, 3, 2, 3. Оставляем все положительные числа. Получается 3 допустимых вариантов. Формулировка «хотя бы одна» слабее формулировки «ровно столько-то»: лишняя правда перестаёт быть основанием для исключения.

Протокол после одной поправки

Если только свидетель №1 заменит свою фразу противоположной, а требование «ровно 2 истинных» сохранится, по кандидатам Антон, Борис, Вадим, Глеб получатся счётчики 1, 2, 1, 2. Останутся допустимыми: Борис, Глеб. Единственность исчезла.

Если только свидетель №2 заменит свою фразу противоположной, а требование «ровно 2 истинных» сохранится, по кандидатам Антон, Борис, Вадим, Глеб получатся счётчики 1, 2, 3, 4. Останутся допустимыми: Борис.

Если только свидетель №3 заменит свою фразу противоположной, а требование «ровно 2 истинных» сохранится, по кандидатам Антон, Борис, Вадим, Глеб получатся счётчики 1, 4, 3, 2. Останутся допустимыми: Глеб.

Если только свидетель №4 заменит свою фразу противоположной, а требование «ровно 2 истинных» сохранится, по кандидатам Антон, Борис, Вадим, Глеб получатся счётчики 1, 2, 1, 2. Останутся допустимыми: Борис, Глеб. Единственность исчезла.

Разбор 3. Ключ от здравого смысла

Ответ. Вадим унёс ключ.

Предположим, что действовал Борис. Тогда реплика №1 ложна; реплика №2 ложна; реплика №3 истинна; реплика №4 ложна. Получается истинных реплик: 1. Условие требует 2, поэтому этот вариант исключаем.

Предположим, что действовал Вадим. Тогда реплика №1 истинна; реплика №2 истинна; реплика №3 ложна; реплика №4 ложна. Получается истинных реплик: 2. Это ровно требуемые 2; предположение проходит проверку.

Предположим, что действовал Глеб. Тогда реплика №1 ложна; реплика №2 ложна; реплика №3 ложна; реплика №4 истинна. Получается истинных реплик: 1. Условие требует 2, поэтому этот вариант исключаем.

Измените вопрос: можно ли определить виновного, если известно только, что хотя бы одна реплика правдива?

Числа истинных реплик по порядку подозреваемых: 0, 1, 2, 1. Оставляем все положительные числа. Получается 3 допустимых вариантов. Формулировка «хотя бы одна» слабее формулировки «ровно столько-то»: лишняя правда перестаёт быть основанием для исключения.

Протокол после одной поправки

Если только свидетель №2 заменит свою фразу противоположной, а требование «ровно 2 истинных» сохранится, по кандидатам Антон, Борис, Вадим, Глеб получатся счётчики 1, 2, 1, 2. Останутся допустимыми: Борис, Глеб. Единственность исчезла.

Если только свидетель №3 заменит свою фразу противоположной, а требование «ровно 2 истинных» сохранится, по кандидатам Антон, Борис, Вадим, Глеб получатся счётчики 1, 0, 3, 2. Останутся допустимыми: Глеб.

Если только свидетель №4 заменит свою фразу противоположной, а требование «ровно 2 истинных» сохранится, по кандидатам Антон, Борис, Вадим, Глеб получатся счётчики 1, 2, 3, 0. Останутся допустимыми: Борис.

Разбор 4. Торт служебного пользования

Ответ. Глеб забрал торт.

Предположим, что действовал Антон. Тогда реплика №1 истинна; реплика №2 истинна; реплика №3 истинна; реплика №4 истинна. Получается истинных реплик: 4. Условие требует 2, поэтому этот вариант исключаем.

Предположим, что действовал Вадим. Тогда реплика №1 ложна; реплика №2 истинна; реплика №3 истинна; реплика №4 истинна. Получается истинных реплик: 3. Условие требует 2, поэтому этот вариант исключаем.

Предположим, что действовал Глеб. Тогда реплика №1 истинна; реплика №2 ложна; реплика №3 истинна; реплика №4 ложна. Получается истинных реплик: 2. Это ровно требуемые 2; предположение проходит проверку.

Мы проверили все четыре допустимые личности, а не только нашли удобного подозреваемого. Подходит один вариант: Глеб. Это и даёт единственность ответа. Обратите внимание: виновный мог сказать правду, а невиновный — ошибиться или солгать; обратного в условии не обещали.