С++/C и математика без соплей код

Эта книга научит тебя всем математическим функциям стандартного C++ — от банального abs до гамма-функции, — и в конце каждой главы будут задачи, от которых не отвертишься.

Я буду шутить, иногда материться и разжёвывать так, чтобы дошло даже в четыре утра. Математика в программировании — это не страшно. Страшно, когда ты сравниваешь два double через == и потом три дня ищешь баг.

Что нужно

• Компилятор с поддержкой C++20: g++ 10+, clang 12+ или MSVC 2019+.

• Голова. Желательно своя.

• Терпение на задачи. Ответы в конце, но подглядывать — это как читать последнюю страницу детектива: можно, но ты лох.

Шаблон каждой программы

Почти все функции живут в заголовке . Целочисленные штуки — в , константы — в , рандом — в .

Компилируем:

Флаги -Wall -Wextra — это твоя бесплатная бабушка, которая ворчит на каждую подозрительную строчку. Слушай бабушку.

Если ты пишешь на C

Почти все функции из этой книги есть и в чистом C: они живут в . В конце каждой главы есть раздел «На чистом C», где показано, чем C отличается и что там приходится писать руками.

Флаг -lm подключает математическую библиотеку. Забудешь его — получишь ошибку линковки undefined reference to sqrt и полчаса недоумения. Флаг -std=c2x включает свежий стандарт C23 (в новых компиляторах можно писать -std=c23).

Что такое «современный C++»

Каждая глава заканчивается разделом «Современный C++»: там то же самое, но с фишками C++20 и C++23 — std::format, std::print, ranges, концепты, constexpr. Так сейчас пишут в нормальных командах. Для C++23 компилируй с флагом -std=c++23 (g++ 14+ или clang 18+).

Три правила, которые спасут тебе жопу

Всегда пиши std:: перед функцией. Без него abs(-2.5) может вызвать целочисленную версию из C и вернуть 2. Охренеть, да? Вот поэтому.

Тригонометрия работает в радианах, а не в градусах. Запомни это раз и навсегда.

double — это приближение. 0.1 + 0.2 != 0.3, и это не баг, это физика двоичных дробей.

Главный вывод главы: 5 / 2 в C++ равно 2, а остаток от деления отрицательного числа бывает отрицательным. Сейчас разберём почему.

1.1. Модуль: abs и fabs

Модуль — это «расстояние до нуля». Минус выкидывается, как бывший из жизни.

Подвох: std::abs(INT_MIN) — неопределённое поведение. У int минимум −2147483648, а максимум 2147483647. Положительной пары у минимума просто нет, и программа может сделать что угодно, хоть стихи напечатать.

1.2. Деление: целое против дробного

Если оба операнда целые — дробная часть отрезается нахрен. Не округляется, а именно отрезается к нулю.

Классическая ошибка новичка: double avg = sum / count;, где обе переменные int. Деление уже целое, а в double кладётся огрызок. Лечится приведением хотя бы одного операнда.

1.3. Остаток: %, fmod, remainder

Оператор % работает только с целыми. Знак результата совпадает со знаком делимого.

Для дробных чисел — std::fmod (знак как у делимого) и std::remainder (ближайшее к нулю, может быть отрицательным):

Хочешь «математический» остаток, всегда от 0 до m−1? Пиши так:

Это пригодится для дней недели, кругового буфера и всего, что крутится по кругу.

1.4. Переполнение

int не резиновый. Сложи два больших — получишь отрицательное число, а для знаковых типов это вообще неопределённое поведение.

Правило: если результат может быть большим — считай в long long с самого начала, а не после.

1.5. Современный C++: честные сравнения и проверка диапазона

Сравнение знакового и беззнакового числа — мина под ногами. Перед сравнением -1 молча превращается в 4294967295, и -1 < 1u оказывается ложью. C++20 даёт функции, которые сравнивают по-человечески:

Правило: если в сравнении встретились int и unsigned (например, i < v.size()), либо приводи типы явно, либо используй std::cmp_less.

1.6. На чистом C

В C нет std:: и нет перегрузки функций. Поэтому у модуля четыре разных имени: abs для int, labs для long, llabs для long long (все три в ) и fabs для double (в ). Перепутаешь — компилятор молча обрежет дробь.

Зато в C23 появился заголовок с проверкой переполнения (нужен gcc 14+ или clang 18+). Функция возвращает true, если результат не влез:

Задачи к главе 1

Напиши программу, которая читает два целых числа и выводит их среднее арифметическое как дробное. Проверь на 3 и 4 — должно быть 3.5, а не 3.

Дано количество секунд (например, 100000). Выведи его в формате дни:часы:минуты:секунды, используя только / и %.

Сегодня среда (день 2, если понедельник — 0). Какой день недели будет через n дней и был n дней назад? Используй функцию mod из раздела 1.3, проверь на n = 100.

Почему std::abs(-2.7) без #include может вернуть 2? Объясни своими словами и проверь на своём компиляторе.

Посчитай сумму чисел от 1 до 100000 в int и в long long. Сравни результаты и объясни разницу.

Главный вывод: pow — универсальный, но медленный и капризный; для квадрата пиши x * x, для корня — sqrt, для длины вектора — hypot.

2.1. pow — возведение в степень

В C++ нет оператора ^ для степени. 2 ^ 3 — это побитовое XOR, и оно равно 1. Сколько людей на этом погорело — не сосчитать.

Подвох номер два: pow возвращает double. (int)std::pow(10, 2) на некоторых старых компиляторах давал 99, потому что получалось 99.9999999. Для целых степеней пиши свою функцию:

Это называется быстрое возведение в степень. Выучи его — на собеседованиях спрашивают постоянно.

2.2. sqrt и cbrt — корни

Запомни: cbrt спокойно жрёт отрицательные числа, а pow(x, 1.0/3) — нет. Для кубического корня всегда cbrt.

Проверка «является ли число полным квадратом» — тоже ловушка из-за погрешности:

2.3. hypot — гипотенуза без переполнения

Теорема Пифагора в одну функцию:

Почему не sqrt(a*a + b*b)? Потому что при a = 1e200 квадрат улетает в бесконечность, а hypot считает аккуратно. Плюс читается красивее.

Пример: расстояние между двумя точками

2.4. Современный C++: степень на этапе компиляции

Функцию ipow можно сделать constexpr — тогда компилятор посчитает её ещё до запуска программы. А концепт std::integral не даст сунуть туда double:

static_assert — это тест, который выполняется при компиляции. Сломал функцию — программа даже не соберётся. В C++26 обещают сделать constexpr и большую часть , включая sqrt и pow.

2.5. На чистом C

Без перегрузки у каждой функции три версии: sqrtf для float, sqrt для double, sqrtl для long double. Чтобы не помнить суффиксы, есть — «перегрузка для бедных»: макросы сами выбирают нужную версию по типу аргумента.

Задачи к главе 2

Выведи 2 ^ 3 и std::pow(2, 3). Объясни, почему результаты разные.

Реализуй ipow и посчитай 2 в 62-й степени. Сравни с std::pow(2.0, 62) — совпадает ли до последней цифры?

Решение квадратного уравнения: по a, b, c выведи корни через дискриминант. Обработай три случая: два корня, один, ни одного.

Даны три точки на плоскости. Найди периметр треугольника с помощью hypot.

Выведи все полные квадраты от 1 до 1000 с помощью функции isSquare. Сколько их?

Главный вывод: логарифм отвечает на вопрос «в какую степень возвести основание, чтобы получить число», а log в C++ — это натуральный логарифм, а не десятичный.

3.1. Что такое логарифм на пальцах

Если 2 в 10-й = 1024, то логарифм 1024 по основанию 2 равен 10. Всё. Логарифм — это «сколько раз надо умножить», вывернутое наизнанку.

На практике логарифм считает «сколько шагов». Сколько раз можно поделить 1000000 пополам? log2(1000000) ≈ 20. Вот почему бинарный поиск такой быстрый.