La Didáctica y la Dificultad en Matemática

Este «abuso de la analogía» que Guy Brousseau ha puesto en evidencia a finales de los años ’70, y sobre el cual se basan muchas otras acciones didácticas en el aula, es una de las formas más corrientes de aquello que él mismo definió como «efecto Jourdain», uno de los efectos del contrato didáctico [al cual dedicaremos el Capítulo 4]. El docente obtiene la respuesta esperada con medios que no tienen ningún valor y hace creer al estudiante (a la familia, a la institución) que ha realizado la actividad matemática que era la meta a lograr.

La actividad del estudiante debe responder, por tanto, a dos limitantes incompatibles:

• aquella determinada por las condiciones a-didácticas que determinan una respuesta original y la organización de conocimientos específicos;

• aquella determinada de las condiciones didácticas que tienen el objetivo de producir la respuesta esperada independientemente de su modalidad de elaboración».

Este tipo de actividad produce situaciones aparentemente exitosas, mientras que se prepara el camino a fracasos sucesivos: una clamorosa dificultad que parece entonces inexplicable «Pero cómo, el año pasado iba tan bien en matemática y, por el contrario, este año…». »

Segundo ejemplo.

A la propuesta en el aula de efectuar una multiplicación entre binomios (x+1) (x-1), el estudiante X responde x2-1; el docente aprueba; a la propuesta (x+2) (x-2), el mismo estudiante X responde x2-2; respuesta ante la cual el docente queda perplejo. En general, el estudiante X ha entendido que (x+a) (x-a) es igual a x2-a. En el primer caso ha funcionado pero en el segundo no. Misterios de la matemática, percibida como casual. Si el docente se hubiera limitado a la primera prueba, habría concluido que X ha construido el concepto de producto notable; mientras que, por el contrario, X está muy lejos de éste.

A la misma prueba, el estudiante Y contesta x2-1, mientras que a la propuesta (x+2) (x-2), también Y contesta x2-2 porque ha operado así: (x+a) (x-a) obteniendo x2+ax-ax-a2 pero las dos ax se “simplifican” entre sí obteniendo x2+a-a-a2; después se “simplifican” también +a y -a2 obteniendo, exactamente x2-a.

El mismo error, que se manifiesta con una respuesta errónea, puede tener causas totalmente diferentes.

Esto sucede a menudo, pero si un docente se limita a mirar el resultado y no el proceso, no comprende que hay detrás de cada error.

Una vez más se confirma el hecho que un error es sólo la manifestación de un malestar cognitivo, pero no nos dice nada de la causa; por tanto, no está dicho que la respuesta correcta, aquella esperada, sea la demostración del éxito de la construcción del conocimiento.

Se convierte en decisión importante comprender no sólo cual es la dificultad, sino también su origen, ya que, como hemos visto, el error puede tener causas completamente diferentes.

Entre las técnicas difundidas para el análisis del origen de las dificultades, están las entrevistas, los TEPs, la bitácora, los «informes»,… instrumentos esenciales para diagnosticar y para la evaluación compleja de la actividad de aula (véase: Fandiño Pinilla 2006).

Sobre estos puntos, decisivos, sugerimos la lectura de Zan (2007).

1.4. Las dificultades, un análisis objetivo general 2

Los textos que consideramos fuentes principales para un uso correcto de términos y clasificaciones (a escala internacional) son los de la Organización Mundial de la Salud, actualmente en uso por los especialistas (médicos, neuropsiquiatras, psicólogos) de todo el mundo:

• Organización Mundial de la Salud (1994). ICD-10. Décima revisión de la clasificación internacional de los síndromes de los disturbios físicos y de comportamiento. Milán: Masson;

• Organización Mundial de la Salud (2001). ICF Clasificación internacional del funcionamiento de la discapacidad y de la salud. Trento: Erickson.

Después están las innumerables interpretaciones, profundizaciones, investigaciones etc. que muchos Autores han hecho sobre los temas abordados en estos dos textos: la bibliografía es extensa para cada área de investigación.

La ICD10 es el instrumento para diagnosticar los trastornos y los síndromes de un individuo.

La ICF se ocupa, en cambio, del funcionamiento de la salud de un individuo, no obstante las limitaciones en la actividad o en la participación en la sociedad; además se encuentra evidenciado que las consecuencias de una discapacidad en términos de limitaciones en el actuar y en el participar, no dependen únicamente del propio individuo, sino que también influyen el medio ambiente, el contexto familiar, social, cultural, laboral, recreativo etc., en el cual vive, y al cual se refiere.

En el mismo texto se indica que:

«El ICF es una clasificación que tiene diferentes propósitos y que puede ser utilizada en diferentes disciplinas y sectores. Sus objetivos principales pueden resumirse como sigue:

• proporcionar una base científica para la comprensión y el estudio de la salud, y de las condiciones, consecuencias y causas determinantes relacionadas con esta;

• establecer un lenguaje común para describir la salud y las condiciones relacionadas con esta a fin de mejorar la comunicación entre los diferentes usuarios, incluidos los profesionales, los investigadores, los políticos y la población, así como las personas con discapacidad;

• hacer posible la confrontación de los datos recopilados en los diferentes países, disciplinas de salud, servicios, en diferentes períodos;

• ofrecer un esquema de codificación sistemático para los sistemas informativos sanitarios.

Estos objetivos están relacionados entre sí, desde el momento en el cual las exigencias que son las bases del ICF y sus aplicaciones requieren la creación o la disponibilidad de un sistema significativo y práctico que pueda ser utilizado por diferentes usuarios para una política de salud, una garantía de calidad y una evaluación de los resultados en culturas diferentes».

El término genérico «dificultad» en el aprendizaje proviene de un uso generalizado (en varios contextos) para expresar un impedimento o un obstáculo en el actuar, o en el operar, o en el llevar a término una tarea, o en el aprender etc., término que se utiliza ampliamente en el ámbito escolar.

En el ICD10 se usa el término «dificultad» como consecuencia de una perturbación.

En el ICF el término «dificultad» se encuentra en la definición de las limitaciones de la actividad: son las dificultades que un individuo puede encontrar en la ejecución de la actividad (donde por actividad se entiende: la ejecución de una tarea o de una acción; por lo tanto, la dificultad debe entenderse como limitación en el actuar), una limitación de la actividad puede ser una desviación de leve a grave, en términos cuantitativos o cualitativos, en el desenvolvimiento de la actividad con respecto al modo o la medida esperada de una persona sin condicionamientos de salud.

En el ICD10 se encuentra la clasificación de todos los trastornos, algunos definidos con precisión, otros de modo más genérico. Con respecto a los trastornos específicos del aprendizaje escolar, y en particular aquellos que afectan a la matemática, regresaremos más tarde. En este mismo documento se definen los términos de deficiencia, discapacidad y minusvalía, no de déficit: creemos que éste es un término utilizado de modo muy amplio y en diversos contextos para expresar las deficiencias (en el ICD10 aparece: «deficiencia: pérdida o anormalidad de una función o de una estructura») o de las discapacidades (en el ICF: «discapacidad: pérdida o anormalidad en la estructura corporal o en la función fisiológica, incluyendo las funciones mentales». Aquí el término anormalidad se utiliza sólo y exclusivamente para indicar una diferencia significativa con respecto a normas estadísticas establecidas, es decir, como una desviación de una media de población dentro de las normas estándar de medida, y deben ser utilizadas solamente en este sentido).

Dado que estamos en un ámbito escolar, es bien conocido que existen diversas circulares y notas ministeriales de la Educación Pública; los expertos (algunos de los cuales son funcionarios de los ministerios) señalan un uso objetivamente desordenado y ambiguo de términos, debido a la falta de coordinación central, que, en lugar de dar claridad y sentido común, además de buen uso, generando confusión (por ejemplo, en todas y cada una de las notas ministeriales italianas se lee aún «portadores de handicap» contrastando con la terminología más correcta que varios Autores prominentes han sugerido)3

En pedagogía especial y en didáctica especial a menudo se usan los términos “déficit” y “dificultad”; esto deriva de un empleo desenvuelto que se hace en didáctica, y mucho más frecuente en pedagogía, de las metáforas; a menudo se usan aquellas palabras con un significado preciso en los contextos más disparatados, confiando en la capacidad del lector para captar el significado de la cita.

Un uso, que consideramos suficientemente correcto, de «déficit» y de «dificultad», podría ser el siguiente. Un evento traumático, patológico, genético etc. puede provocar impedimentos, trastornos, limitaciones en las funciones o en las estructuras del cuerpo de un individuo (incluso mentales, psicológicas, emotivas etc.). Estas limitaciones, trastornos, impedimentos, pueden conducir a la discapacidad en las diversas formas de funcionamiento, de expresión y de acción del propio individuo. Así inician a delinearse las dificultades del individuo con discapacidad. La discapacidad puede convertirse en un handicap cuando se encuentra en un entorno físico o un contexto social y cultural que coloca obstáculos y barreras de diversa índole.

Pensamos que, para el uso de estos términos, se debe primero tener claro el propósito y el contexto. En medicina, para diagnosticar, se utiliza preferentemente el término «trastorno», como está escrito en el ICD10 (pero en algunas partes del ICD10 el término «déficit» se utiliza, como sinónimo de «trastorno»).

El término «dificultad» se utiliza como una posible consecuencia de un trastorno o déficit (ICD10), o como consecuencia de una discapacidad, o más bien limitación de la actividad (ICF).

La falta de atención, para dar un ejemplo típico del aula, llega a ser un trastorno (pero, en este caso, debería ser un médico o un psicólogo a diagnosticarlo), puede provocar limitaciones en la actividad de un individuo, por lo tanto, una objetiva dificultad.

Hay quien busca reunir situaciones muy diferentes entre sí, en este sentido, entonces, ciegos, sordos, mudos, down… pueden ser reunidos en el mismo grupo, pero esto depende de cuan amplio se considere el grupo, por tanto, de su denominación específica. Se trata de personas que tienen en común el hecho de haber vivido y sufrido en su vida un evento traumático, patológico, genético, que dio lugar a una discapacidad, al deterioro, al déficit, al trastorno, que a su vez han generado discapacidades o limitaciones de la actividad o de la participación, por lo tanto dificultades. Pero si se plantea algunas preguntas sobre los eventos, cuales deficiencias, cuales déficit, cuales discapacidades, cuales limitaciones en la actividad, cuales limitaciones en la participación, cuales dificultades se están citando o enjuiciando, entonces se comprende inmediatamente que son absolutamente distintas. De hecho, si consideramos la especificidad de los individuos, sexo, edad, extracción social, discapacidad, trastorno, déficit, discapacidad, problemas etc., pero también, ambiente y contexto, mayor es el número de diferencias y, por tanto, la imposibilidad de pensar en un conjunto único. Las dificultades que un ciego debe afrontar en las limitaciones de sus actividades, por ejemplo, para moverse en una ciudad, o para leer un libro, son muy diferentes a las de un sordo, o a las de un down, o a las de un sordo-ciego, de las de un down-ciego, de las de un down-sordo etc.

Son personas «diversamente hábiles». Mientras más se consideran, con razón, en su especificidad y personalidad, mayor es la imposibilidad de encontrar analogías, incluso entre personas de un mismo tipo de habilidades diferentes.

Para tener mayor información, se puede recurrir al link del sitio de la AIRIPA (Associazione Italiana Psicopatologia dell’Apprendimento)4, del AID (Associazione Italiana Dislexia)5, del CNIS (Coordinamento Nazionale Insegnanti Specializzati)6 etc. En tales sitios se pueden encontrar las definiciones compartidas en la literatura psicológica.

Pasando en modo más específico a las dificultades en matemática, la ICF suministra una lista poco profunda que se refiere exclusivamente a la realización de las cuatro operaciones aritméticas de base y a una genérica resolución de problemas (aritméticos); sólo en un paréntesis aparece una vaga referencia a la geometría y a la trigonometría.

Otra de nuestras fuentes está constituida por el texto de Lucangeli, Iannitti y Vettore (2007), lectura que sugerimos.

El interés por este campo de estudio y de investigación es muy amplio, de manera que podemos sugerir a los interesados, por ejemplo, las siguientes fuentes de información:

• las actividades de GRIMED (Gruppo di Ricerca Interuniversitario “Matematica e Difficoltà”)7, que nació bajo el congreso “Incontri con la Matematica”8 en Castel San Pietro Terme en 1991 (en el Congreso n°. 5) y, después, al año siguiente se convirtió en autónomo (Pellegrino, Piochi, 2002), que, además de realizar las conferencias nacionales, gestiona una serie de actos y textos homónimos editados por la editorial Pitagora de Bologna;

• la sesión «Disagio nell’apprendimento della Matematica»9 en la conferencia nacional «Incontri con la Matematica», que se desarrolla en Castel San Pietro Terme (Bologna, Italia) desde hace 23 años, normalmente el primer fin de semana de noviembre;

• las conferencias internacionales «La qualità dell’integrazione scolastica»,10 organizadas por el Centro de estudios Erickson, cada año en noviembre en Rimini (Italia);

• diversas series de libros publicados por la editorial Erickson de Trento (Italia);

• numerosos artículos en diversas revistas especializadas, entre las cuales recordamos las dos publicadas por la misma Erickson («Difficoltà di apprendimento» y «Difficoltà in matematica»);11

• otras revistas, si bien no específicamente dirigidas a este sector, publicaron artículos relevantes, como «La matematica e la sua didattica»12 de la ya mencionada editorial Pitagora; queremos hacer referencia explícitamente a la labor de Locatello, Meloni (2007) cuyo título es un síntoma del interés de investigación en este campo: Primeros pasos hacia una investigación en la didáctica especial de la matemática;

• también hay organizaciones mundiales específicas sobre los diversos trastornos o dificultades, a las cuales es fácil acceder vía Internet con un buen motor de búsqueda, así como lo hicimos nosotros; por ejemplo, existe una Organización mundial que se ocupa de problemas específicos causados por la dislexia;

• es notable el hecho de que estudiosos no especialistas hayan dedicado alguna parte de su labor de investigación a este campo; la lista de estas obras es excesiva, para poder incluirla aquí; nos gustaría señalar sólo Gagatsis, Pitta Pantazi (2001), no sólo porque se ocupa de un interesante caso de dislexia, sino también porque para nosotros ha sido una buena fuente de información; el artículo presenta un análisis de los «principales factores que influyen en el modo en cual el estudiante responde al currículo de matemática», basado en los trabajos de varios estudiosos en él citados, principalmente de Evans, Goodman (1995).

1.5. Dificultad y error

El error, como ya hemos visto en parte y que está a la vista de cualquier docente de matemática, tiene expresiones explícitas que a menudo no muestran la verdadera causa.

Errores de ignorancia, de distracción, de olvido, de falta de atención,... se mezclan con errores más profundos, más orgánicos, mentales, relativos a déficit sensoriales u otros. A su vez, cada una de estas causas inmediatas pueden tener causas remotas diversas: la falta de atención puede ser momentánea y debida a una contingencia banal, puede ser debida al estrés, a problemas familiares, sufrimiento, enfermedad, …

Si se decide de intervenir, y no sólo de registrar objetivamente y en abstracto el error y de indagar la causa, entonces se pone en primera instancia el problema, por parte del docente, de detectar el error, por lo tanto, para descubrir no sólo la causa inmediata sino también aquella latente o profunda. No para transformarnos todos en psicoterapeutas, pero sí para afrontar mejor la tarea a la cual nos comprometimos frente a la sociedad: asegurar que cada uno de nuestros estudiantes, de acuerdo a su propia posibilidad y disponibilidad, aprenda, construya, sea competente en matemática y matemáticamente (Fandiño Pinilla, 2003; Fandiño Pinilla, 2006; D’Amore, Fandiño Pinilla, 2002; D’Amore, Godino, Fandiño Pinilla, 2008).13

Errores de distracción, de falta de estudio etc., son en un cierto sentido fáciles de detectar y de reconocer, un atento y cuidadoso análisis puede llevar a comprender los motivos y a intervenir; inquietudes, sensación de incertidumbre, malentendidos etc. están generalmente a la base de estos errores. Por supuesto, la simple invitación al estudio y a la atención es sólo normativa y de por sí ayuda poco; mucho mejor es tratar de dilatar la situación facilitando la valoración del error y dando confianza y seguridad.

Errores sistemáticos, el uso correcto de reglas incorrectas, currículo oculto etc., son también relativamente fáciles de detectar, pero para ello es necesario estar siempre atentos a proponer pruebas análogas más de una vez, con algunos cambios significativos, para examinar a fondo la situación.

Este tipo de error es insidioso dado que, por ejemplo, la aplicación correcta de reglas incorrectas lleva, en ocasiones, al resultado esperado por el docente y otras no, y esto crea en el estudiante, con el tiempo, una convicción perjudicial de la matemática y de sí mismo: Los resultados esperados por los docentes de matemática a veces coinciden con los míos y a veces no, pero yo siempre uso la misma regla, por lo que la matemática tiene resultados casuales y yo no puedo dominarla (Zan, 2007). Una vez creada esta convicción de sí mismo, la situación se agudiza; si el docente no la revela, ni siquiera estará en condiciones de intervenir.14

Cuando el estudiante comete repetidos errores, antes o después, como ser humano que es, debe sobrevivir al fracaso, acaba con crearse concepciones sobre las causas del error, causas, que podemos distinguir en exógenas y endógenas.

En las primeras, se da la culpa a cualquier situación externa, fuera de sí: la mala suerte, el docente (su «maldad», su indisponibilidad, el haber modificado los acuerdos etc.), la falta de tiempo, un estado negativo de salud, la dificultad de la prueba etc.

En las segundas, la culpa está dentro de sí: «Soy incapaz de hacer frente a las pruebas de matemática, no recuerdo las fórmulas, estudio pero no entiendo, no es mi materia, no soy capaz etc.».

En los dos casos, la acción de recuperación por parte del docente es compleja, requiere competencia, sensibilidad, solidez, dotes profesionales y de humanidad, hay casos en los cuales es relativamente fácil obtener buenos resultados de recuperación, pero hay otros en los cuales la situación es más compleja, ejemplos concretos de gran relevancia y eficacia se pueden ver en Zan (2007).15

Lamentablemente, no obstante el fracaso de los estudiantes en el proceso de aprendizaje de la matemática (que a menudo podemos interpretar como un fracaso en el proceso de la enseñanza de ésta) está a la vista de todos, la preparación específica de los docentes sobre este tema es decadente, no nos parece apropiada. No decimos que sea ausente: ya sea en los cursos de formación inicial de docentes de primaria, ya sea en los cursos de formación postgrado de los docentes de la escuela secundaria, donde se dictan cursos sobre cuestiones pedagógicas y psicológicas que tienen una gran relación con el tema en cuestión pero que a menudo son genéricos, no específicos. En los cursos de formación postgrado de docentes especializados, además, la actividad específica de recuperación en matemática a veces parece estar ausente y a veces es inexistente. Por lo cual el docente es a menudo abandonado a sí mismo afrontando los casos más complejos que, por desgracia, son también los más numerosos.

Uno de los «remedios», a los cuales varias veces hacemos referencia en este libro, es crear la ilusión de que todo el proceso escolar discurre bien, ilusionar a los estudiantes con la idea de que están construyendo conocimiento matemático: extraer la respuesta «correcta» del estudiante es bastante fácil, haciendo esto se da la ilusión de la buena marcha de la práctica escolar. Pero si el estudiante no construye un conocimiento verdaderamente sólido, sin duda nunca será competente y, en la primera prueba diferente o fuera de aquel contexto de aula, fracasará; y este fracaso será a su vez causa de otros fracasos, desilusiones y frustraciones.

Tenemos muchos ejemplos de este hecho.

Primer ejemplo.

En las pruebas de ingreso para un nuevo ciclo escolar, sucede con frecuencia que el estudiante se enfrenta a una propuesta mucho más simple, desde el punto de vista estrictamente matemático, de aquella que ha superado brillantemente en las pruebas de salida del ciclo anterior; pero él no sabe responder, se siente incómodo, no encuentra el clima de conocimiento ilusorio creado por el docente que lo instigaba de mil maneras para dar la respuesta correcta, creando una ilusión de conocimiento que, de hecho, no existía. Entre las solicitudes que se hacen hoy en día con respecto a la competencia, está aquella en la cual el sujeto responsable está en condiciones de abordar el problema en juego en cualquier contexto (Fandiño Pinilla, 2003, 2006; D’Amore, Fandiño Pinilla, 2002; D’Amore, Godino, Fandiño Pinilla, 2008).

Segundo ejemplo.

En las pruebas nacionales e internacionales, muchos de los tests asignados son extremamente elementales y se espera, por lo tanto, que nuestros estudiantes, de todos los niveles escolares, sean capaces de responder; por esto nos altera y nos sorprende el hecho que no sea así y se da la culpa a varios factores, reuniendo a todos los que participan en el mundo de la escuela y tratando de salvar la situación con acciones en su mayoría inútiles. Aparte las críticas (constructivas) a estas pruebas, que no es el objetivo de este libro (ver sin embargo: Fandiño Pinilla, 2005c; D’Amore, 2006c; Gabellini, 2006), necesitamos tomar en consideración las diferentes situaciones de aula en las cuales estas vienen afrontadas, en relación con la práctica usual. Se habla de docentes que incluso durante estas pruebas son capaces de «extraer» la respuesta esperada de sus propios estudiantes; suponemos que este no es el caso y que el estudiante enfrenta la prueba en el clima previsto: él, acostumbrado a un director de orquesta, que sugiere de mil formas diversas qué responder para tener éxito en la prueba, se encuentra solo y sin instrumentos para afrontar los problemas. No es cuestión de inteligencia, de cultura o, por el contrario, de incapacidad mental, de ignorancia; es puramente cuestión de cambio de hábitos y de la falta de una verdadera y adecuada formación tanto de la competencia en matemática como de la competencia matemática (Fandiño Pinilla, 2003; Fandiño Pinilla, 2005c).

Podríamos seguir con otros ejemplos análogos. Pero creemos que el docente ha entendido el sentido de nuestros ejemplos, y sabe extraer otros de su vida profesional cotidiana.

1.6. Dar espacio a la conciencia

Hemos visto cómo existen situaciones en las cuales el estudiante no es ni siquiera consciente de encontrarse en dificultad.

Por ejemplo, si el estudiante está convencido de que el error que ha cometido en matemática se debe a la fatalidad o la casualidad, nada hará para remediarlo, más aún si está convencido de que el hecho es generalizado. Si, por el contrario, fuese consciente del hecho de que el error puede ser subsanado, entonces podría empeñarse en no repetirlo.