Электроника: от простого к сложному

Для того чтобы ответить на эти вопросы, в электронике применяют такое математическое понятие, как комплексные числа. Поэтому прежде чем изучать переменный ток дальше, нам придется сделать небольшой экскурс в математику, но поверьте - эти усилия не пропадут даром.

Импеданс

Рис. 2.13. (1) Катушка индуктивности, соединенная последовательно с резистором R. (2) Векторное представление R, XL и их суммы Z

Результирующее сопротивление цепи, содержащей как активное, так и реактивное (индуктивное или емкостное) сопротивление, называется импедансом или полным сопротивлением цепи.

Импеданс Z является векторной суммой реактивного сопротивления X и активного сопротивления R.

Рассмотрим, например, схему, изображенную на рис. 2.13, 1. Она включает в себя индуктивное сопротивление XL, соединенное последовательно с резистором R. Из рис. 2.13, 2 видно, что вектор XL опережает вектор R на 90°. (Вращение вектора означает увеличение угла φ (рис. 2.12), оно осуществляется против часовой стрелки, начало (т.е. нулевое значение этого угла) - это горизонтальная ось. А проекции этого вектора на оси - это активное (на ось x) и реактивное (на ось y) состаляющие полного сопротивления Z.) Импеданс равен

Z = √(XL2 + R2).

Если XL = 400 Ом и R = 300 Ом, то

Z = √(16·104 + 9·104) = √(25·104) = 500 Ом.

Чтобы лучше понять, как работать с комплексными числами (или векторами), соответствующими сопротивлениям резистора, конденсатора и катушки индуктивности, рассмотрим несколько примеров.

Пример 1

Нарисовать векторную диаграмму для RL-цепи, изображенной на рис. 2.14, 1, и найти напряжение UT, приложенное к схеме.

Рис. 2.14.

Решение:

Векторная диаграмма для этого случая показана на рис. 2.14, 2. Сначала построим вектор тока I. Напряжение UR находится в фазе с током I (т.к. это резистор), а напряжение UL опережает ток I (а значит, и UR) на 90°. Суммарное напряжение UT, приложенное к цепи, равно векторной сумме UR и UL. По теореме Пифагора UТ равно:

UТ = √(UR2 + UL2) = √(25 + 25) = √ 50 ≈ 7 В.

Здесь следует заметить, что полученный результат больше, чем каждая из составляющих, но меньше их суммы, поскольку это гипотенуза прямоугольного треугольника, а напряжения на элементах цепи (UR и UL) - его катеты. Угол между вектором приложенного напряжения и током равен θ = 45°.

Пример 2

Для RC-цепи, изображенной на рис. 2.15, 1, начертить векторную диаграмму и найти напряжение UT, приложенное к схеме.

Рис. 2.15.

Решение:

На векторной диаграмме, показанной на рис. 2.15, 2, видно, что UC отстает от тока (и от UR) на 90°. UT является векторной суммой UR и UC. Также видно, что UT больше, чем каждая из составляющих напряжения, т.е. больше, чем 4 В, но меньше, чем их арифметическая сумма (3 + 4 = 7 В). По теореме Пифагора напряжение равно UT = 5 В и отстает от тока на угол α = 36°.

Пример 3

Для RLC-цепи, изображенной на рис. 2.16, 1, начертить полную векторную диаграмму и найти напряжение UT, приложенное к схеме.

Рис. 2.16.

Решение:

Векторная диаграмма построена на рис. 2.16, 2. UR находится в фазе с током I, опережает UC на 90° и отстаёт от UL на 90°. Поскольку UL и UC лежат на одной вертикальной прямой, то их сумма, как показано на рис. 2.16, 3, может быть представлена вектором

OZ = UL - UC = 90 - 60 = 30 В.

Результирующее напряжение UT равно векторной сумме UR и OZ. UT = 50 В и опережает вектор тока на угол α = 36°.

Из этих примеров видно, что в случае переменного тока реактивные сопротивления просто складывать для получения итогового результата нельзя, сумма катетов - это не гипотенуза.

Теперь у нас есть багаж знаний по математике, чтобы разбираться в схемах, состоящих из резисторов, конденсаторов и катушек индуктивности. (После этого займемся полупроводниками и узнаем, как работают диоды, транзисторы и т.д.)

2.4. Сигналы

Измерения тока или напряжения во времени можно представить в виде различных графиков. Постоянный ток, как вы знаете, отображается прямой линией (рис. 2.17, 1), а переменный ток можно изобразить самыми различными кривыми. Форма кривой переменного тока отражает периодические изменения значения тока от максимального к минимальному, затем опять к максимальному и т.д. (рис. 2.17, 2). Несколько таких кривых изображены на рис. 2.18.

Рис. 2.17. Графики постоянного (1) и переменного (2) тока

Рис. 2.18. Типы кривых переменного тока: синусоида (1), меандр (2), прямоугольный (3), треугольный (4), пилообразный (5), импульсы (6)

Повторяющаяся часть сигнала переменного тока называется циклом сигнала. На кривых, изображенных на рис. 2.18 точка A является началом цикла, а точка B - его концом и началом следующего цикла. Длительность цикла называется периодом.

Количество циклов сигнала в единицу времени называется частотой сигнала. Единица измерения частоты - герц (Гц). Например, если цикл изменения сигнала повторяется один раз в секунду, то частота сигнала равна 1 Гц, если 10 раз - 10 Гц и т.д. (рис. 2.19). Нетрудно догадаться, что частота сигнала и его период - две взаимно обратные величины:

f = 1 / T,

где f - частота в герцах, Т - период в секундах.

Рис. 2.19. Сигналы различных частот

Сигналы, изображенные на рис. 2.18 (и не только такие, а вообще любой формы с повторяющимся периодом), можно получить как сумму синусоидальных сигналов разной частоты и амплитуды. Такие составляющие называются гармониками. Математически разложение сигнала на гармоники можно представить в виде:

a(t) = A0 + A1*sin ωt + A2*sin 2ωt + A3*sin 3ωt + A4*sin 4ωt + ...

Эта сумма называется рядом Фурье.

Сигнал с частотой ω = 2πf называется первой, или основной, гармоникой, сигнал с частотой 2ω - второй гармоникой, с частотой 3ω - третьей и т.д.

Чем больше здесь слагаемых, тем точнее этой суммой выражается моделируемый сигнал.

Прямоугольный сигнал содержит основную гармонику плюс нечетные гармоники. Например, прямоугольный сигнал частотой 1 кГц состоит из

- основной гармоники с частотой 1 кГц, - 3-ей гармоники с частотой 3 кГц, - 5-ой гармоники с частотой 5 кГц, - 7-ой гармоники с частотой 7 кГц, и т.д.

На рис. 2.20 изображено разложение на основную и третью гармоники прямоугольного сигнала.

Рис. 2.20. Аппроксимация прямоугольного сигнала

Пилообразный сигнал содержит основную гармонику плюс четные гармоники. Например, пилообразный сигнал частотой 1 кГц состоит из

- основной гармоники с частотой 1 кГц, - 2-ой гармоники с частотой 2 кГц, - 4-ой гармоники с частотой 4 кГц, - 6-ой гармоники с частотой 6 кГц, и т.д.

На рис. 2.21 изображено разложение на основную и вторую гармоники пилообразного сигнала.

Рис. 2.21. Аппроксимация пилообразного сигнала

Необходимо также понимать, что это справедливо только для сигналов с повторяющимся периодом. Если он меняется, то сумма гармоник тоже меняется.

Сигналы, которые должны пропускать, например, усилители звуковых частот, которые есть в приемниках и музыкальных центрах или в виде отдельных устройств, например, в студиях, должны доходить до выхода без искажений. Поскольку в разные моменты времени это сумма разных гармоник, усилители должны без искажений усиливать все гармоники звукового диапазона (это частоты от 20 Гц до 20 кГц). Создание широкой полосы пропускания - одна из важных задач для инженеров при проектировании схем этих устройств. А на вход приемников, если говорить о высокочастотных диапазонах принимаемых волн (например, для FM это диапазон от 86 до 108 МГц), наоборот, должна поступать очень узкая полоса с частотой радиостанции, на которую произведена настройка. Создание качественных фильтров высокой частоты - тоже задача радиоинженеров.

Природа любого сигнала - это составляющие его гармоники, т.е. "сразу" сложного сигнала родиться не может, от радиостанций, спутников, сотовых вышек и самих сотовых телефонов распространяются высокочастотные гармоники.

2.5. RC-цепи: изменение во времени напряжения и тока

2.5.1. Дифференциатор

Рис. 2.22. Дифференциатор

При поступлении на вход сигнала конденсатор (через резистор) начинает заряжаться (т.е. на его обкладках появляются заряды), причем чем меньше сопротивление резистора, тем быстрее это происходит. А поскольку конденсатор заряжается, по цепи идет ток, причем чем быстрее меняется напряжение на конденсаторе (быстрее происходит зарядка конденсатора), тем этот ток больше:

I = C * ΔU / Δt (*)

Если входное напряжение меняться перестало, количество зарядов на обкладках конденсатора достигло некоторого уровня и дальше оно не меняется, движение зарядов по цепи приостанавливается, процесс зарядки прекращается, ток в цепи протекать перестает. Ток в цепи конденсатора - это не ток через изолятор (!), который находится между пластинами, а процесс его зарядки и разрядки (!), которые чередуются при изменениях входного напряжения.

Чем быстрее меняется входное напряжение дифференциатора, тем быстрее заряжается конденсатор (в данном случае это происходит через резистор, но сути это не меняет), а значит больше ток, который при этой зарядке появляется.

Зачем в данной схеме нужен резистор? Ведь вроде бы он только мешает конденсатору заряжаться и увеличивает потери входного сигнала? Резистор в данной схеме нужен для того, чтобы получить итоговый сигнал (напряжение) на выходе, т.к. напряжение на нем по форме совпадает с током заряда/разряда конденсатора, поскольку резистор является активным элементом и формы напряжения и тока совпадают, а ток в соответствии с формулой (*) пропорционален производной от напряжения.

Если бы резистора не было (выход был бы закорочен), мы бы не смогли получить выходной сигнал, т.к. напряжение можно получить только тогда, когда цепь не закорочена, а имеет некоторое сопротивление, на котором появляется сигнал такой же формы, как ток через него. А поскольку ток в цепи меняется в соответствии с формулой (*), т.е. пропорционален производной от входного напряжения, данная схема называется дифференциатором. Производная от функции - это отношение ее приращения Δ U к приращению аргумента Δ t и чем меньше это приращение времени, тем точнее это является значением производной в данной точке. А если совсем точно, то производная - это тангенс угла наклона касательной.

Рис. 2.23. Сигналы на входе и выходе дифференциатора

Если на наш сигнал (скачок напряжения на входе и короткий всплеск выходного напряжения) посмотреть с математической точки зрения, то мы получили производную от входного напряжения. В идеальном сигнале изменение уровня сигнала бесконечно короткое, поэтому и всплеск напряжения на выходе должен быть бесконечно большим. (Производная от бесконечно короткого скачка бесконечно велика, это тангенс прямого угла; на рис. 2.24 показан геометрический смысл тангенса.) Но идеальных сигналов не бывает, увеличение уровня напряжения на входе происходит в течение некоторого времени, а не мгновенно, поэтому и всплеск напряжения на выходе не будет бесконечно большим и коротким, сигнал будет увеличиваться в течение некоторого времени и до определенного значения, а затем вернется к прежнему значению (это разряд конденсатора). Кроме того, уровень сигнала в любой схеме ограничен напряжением источника питания.

Рис. 2.24. Геометрический смысл тригонометрических функций

Рис. 2.25. Производная - тангенс угла α наклона касательной

Мы говорили о некотором коротком сигнале-скачке напряжения. Если же сигнал реальный, т.е. изменяющийся по формуле некоторой функции, на выходе мы получим производную от этой функции. Продолжительность всплесков на выходе зависит от значений емкости конденсатора и сопротивления резистора, чем они больше, тем длиннее/плавнее будет всплеск, т.е. дифференцированный сигнал, на выходе. Как уже упоминалось, их произведение R·C называется постоянной времени.

При некотором скачке входного напряжения конденсатор начнет заряжаться и ток заряда будет тем больше, чем быстрее мы меняем входное напряжение (I = C·dU/dt, формула, отражающая динамическое поведение конденсатора). В идеале при нулевом сопротивлении мы получили бы производную от входного сигнала (I = C·dU/dt), т.е. это был бы идеальный дифференциатор. Но схем с нулевым сопротивлением на выходе не бывает, в реальности на выходе всегда должно быть какое-то сопротивление, чтобы получить сигнал (Uсиг = I·R, поэтому сопротивление не должно равняться нулю), ведь не бывает так, что на выходе схемы находится проволока, с которой сигнал не снять.

Резистор своим сопротивлением вносит в дифференцирование входного сигнала погрешность, поэтому получается неидеальная производная, и чем больше сопротивление, тем больше сигнал становится не похожим на идеальную производную. Хотя резистор и вносит погрешность в форму производной, но благодаря ему на выходе появляется какое-то напряжение, т.к. через резистор начинает течь ток заряда конденсатора, который хоть и не является производной входного сигнала (I = C·dU/dt), но очень похож на нее. Этот ток создает на выходном резисторе напряжение, которое по форме совпадает с этой производной, поскольку напряжение и ток связаны линейной зависимостью (U=I·R, закон Ома). Таким образом, выходное напряжение очень похоже на производную от входного напряжения.

Если вы поняли изложенный выше материал, то этого достаточно. Если же вам хочется покопаться в математическом описании данного процесса, то прочитайте следующие два абзаца.

В соответствии с динамическим описанием поведения конденсатора ток в цепи равен I = C·dUC/dt = C·d(Uвх - Uвых)/dt и одновременно (по закону Ома) I = Uвых / R. Ток через резистор и конденсатор течет один и тот же, поэтому мы можем приравнять правые части этих формул): C·d(Uвх - Uвых)/dt = Uвых/R Если бы сопротивление резистора и емкость конденсатора были достаточно малыми и выполнялось условие dUвых/dt << dUвх/dt, (см. следующий абзац) мы могли бы записать, что Uвых/R = C·d(Uвх)/dt или Uвых = R·C·d(Uвх)/dt, т.е. чем больше скорость изменения входного сигнала, тем острее пик напряжения на выходе. Таким образом, на выходе мы получаем производную входного напряжения.

Для того чтобы выполнялось условие dUвых/dt << dUвх/dt, произведение R·C должно быть небольшим, но при этом сопротивление R не должно быть слишком малым, чтобы не нагружать вход (при скачке напряжения на входе изменение напряжения на конденсаторе равно нулю, т.к. зарядка С начинается не мгновенно и в этот (начальный) момент для входной цепи именно R является нагрузкой).

2.5.2. Интегратор

Для понимания этой темы вспомним геометрический смысл интеграла. Это нарастание площади при движении вдоль горизонтальной оси х. Например, в самом простом случае, когда функция равна постоянному значению, это линейная зависимость, т.е. возрастающая прямая (мы двигаемся вправо и при этом площадь под графиком нарастает одинаково быстро при одинаковых приращениях аргумента x, рис. 2.26, 1). А в случае, если у нас функция - не константа, а возрастающая прямая, то при разных значениях x и при приращениях x на одинаковую величину площадь увеличивается уже не одинаково, а чем дальше, тем сильнее. Поэтому интеграл от линейной функции - парабола, т. е. он пропорционален x2 (рис. 2.26, 2).

Рис. 2.26. Что такое интеграл

А теперь рассмотрим схему, изображенную на рис. 2.27.

Рис. 2.27. Интегратор

Ток можно выразить следующим образом:

I = C·(dU/dt) (см. п. 1.4.1),

I = (Uвх - U) / R (закон Ома).

Приравняем правые части:

C·(dU/dt) = (Uвх - U) / R

Если обеспечить выполнение условия U << Uвх, то можно записать

C·(dU/dt) = Uвх / R

dU/dt = Uвх/RС

t U(t) = ∫(Uвх(t)dt) / (RC) 0

Рис. 2.28.

Видно, что выходное напряжение пропорционально интегралу от входного, поэтому такая RC-цепь называется интегрирующей. Рассмотрим, как эта схема обеспечивает аппроксимацию интегрирования в случае входного сигнала прямоугольной формы (рис. 2.28). Первый участок графика (интеграл от постоянной величины Uвх) - прямая с почти постоянным углом наклона; при увеличении постоянной времени RC используется всё меньший участок зависимости Uвых(t), тем самым обеспечивается лучшая аппроксимация идеального пилообразного сигнала.

Условие U << Uвх равносильно большому значению сопротивления резистора R. На нем падает значительная доля входного напряжения, а значит значение выходного напряжения U мало и интегратор работает на почти прямом участке кривой U(t), описывающей заряд конденсатора. На практике этим приближением пользуются довольно часто.

Интегрирующие цепи находят широкое применение в аналоговой технике. Их используют в управляющих системах, схемах с обратной связью, при аналого-цифровом преобразовании и генерации колебаний.

Рассмотрим работу фильтра низких частот (ФНЧ) и фильтра высоких частот (ФВЧ), состоящих из резистора и конденсатора.

2.6. Фильтры

Перейдем к рассмотрению таких же схем из резистора и конденсатора, рассматривая сигналы в зависимости не от времени, а от частоты сигнала. Этот тип анализа называется анализом в частотной области или спектральным анализом (анализом сигнала с точки зрения составляющих его синусоид).

Благодаря тому, что импеданс конденсатора, равный ZC = -j/(ωC), зависит от частоты, с помощью конденсаторов и резисторов можно строить частотно-зависимые делители напряжения, которые будут пропускать только сигналы нужной полосы частот, а все остальные - подавлять.

2.6.1. Частотная характеристика

Если подключить к генератору сигналов два резистора, соединенных последовательно, то при изменении частоты вид графика сигнала меняться не будет, поскольку сопротивление, которое оказывают сигналу резисторы, от частоты не зависит - какая доля сигнала в зависимости от соотношения сопротивлений достанется резистору, такая и будет при любой частоте.

Но если один из резисторов заменить конденсатором или катушкой, то ситуация изменится, потому что у них сопротивление при изменении частоты меняется. График, который показывает поведение схемы в зависимости от частоты, называется частотной характеристикой. По вертикали у нее откладывается коэффициент передачи входного сигнала или просто выходное напряжение, а по горизонтальной оси - частота (см. ниже частотные характеристики фильтров ВЧ и НЧ).

2.6.2. Фильтр ВЧ

Фильтр ВЧ - делитель напряжения, верхним плечом которого является конденсатор (рис. 2.29). Мы знаем, что сопротивление конденсатора зависит от частоты и чем она больше, тем меньше это сопротивление (XC = 1/(ωC) = 1/(2πfC)), оказываемое конденсатором сигналу. Для очень высоких частот это просто проволока, соединяющая вход и выход, поэтому такие сигналы почти без ослабления попадают на выход, а для низких - разрыв, т.е. они на выход не проходят. Поэтому данная схема пропускает только сигналы высоких частот, т.е. играет роль фильтра ВЧ.

Рис. 2.29. Фильтр высоких частот

Найдем зависимость коэффициента передачи этой схемы от частоты. Согласно закону Ома для комплексных величин ток в цепи равен

Iвх = Uвх / |Zполн| = Uвх / √(R2 + 1 / (ω2C2))

(в знаменателе - длина гипотенузы (вектора) этого полного сопротивления (рис. 2.30))

Рис. 2.30. Полное сопротивление фильтра

Умножая его на R, получаем амплитуду выходного напряжения:

Uвых = Iвх· R = Uвх R / √(R2 + 1 / √(ω2C2)) = Uвх ωRC / √(1 + (ωRC)2) = = Uвх 2πfRC / √(1 + (2πfRC)2)

График этой зависимости представлен на рис. 2.31.

Рис. 2.31. Передаточная характиристика фильтра ВЧ

Точка, помеченная как f3дБ, соответствует половине мощности исходного сигнала.

2.6.3. Фильтр НЧ

Фильтр НЧ - делитель, на выходе которого вместо резистора включен конденсатор (рис. 2.32). Сопротивление конденсатора зависит от частоты и чем она больше, тем меньше это сопротивление (XC = 1/(ωC) = 1/(2πfC)). Значит чем она больше, тем меньше сопротивление, которое оказывает конденсатор сигналу. Для очень высоких частот это просто проволока, которая закорачивает выход, а для низких - разрыв, т.е. они не ослабляются. Поэтому данная схема пропускает только сигналы низких частот, т.е. играет роль фильтра НЧ.

Рис. 2.32. Фильтр низких частот

В этом случае

Uвых = Uвх / √(1 + (ωRC)2) = Uвх / √(1 + (2πfRC)2)

Его частотная характеристика изображена на рис. 2.33. Фильтры низких частот также широко используются в электронике. Например, их используют для устранения влияния близлежащих радио- и телевизионных станций на работу усилителей звуковой частоты и других чувствительных электронных приборов.

Рис. 2.33. Частотная характеристика фильтра низких частот

2.7. Резонанс

2.7.1. Последовательный контур

Попробуем подключить к последовательной LCR-цепи генератор с изменяемой частотой и будем постепенно увеличивать частоту его сигнала. При этом индуктивное сопротивление будет возрастать, а емкостное - уменьшаться (рис. 2.34, 4). На какой то частоте (назовем ее резонансной частотой) сопротивления XL и XC станут равными, а значит, уравняются напряжения на них UL и UC. А так как эти напряжения противофазны, то они полностью скомпенсируют друг друга, и генератор перестанет чувствовать наличие катушки и конденсатора, перестанет отдавать им часть своей ЭДС. Общее сопротивление цепи (импеданс) резко уменьшится, для генератора из всей цепи останется только одно активное сопротивление R, ток I из-за этого резко возрастет (рис. 2.34, 6), и столь же резко увеличатся напряжения UL и UC. Но заметьте, что увеличится каждое в отдельности, а общее суммарное напряжение на обоих реактивных элементах будет равно нулю.

Рис. 2.34 Последовательный резонанс

Весь этот процесс называется последовательным резонансом, или резонансом напряжений. Если после резонанса продолжать увеличивать частоту, то XL станет больше, чем XC, и в цепи в основном начнет действовать индуктивное сопротивление. Ток уменьшится, а вместе с ним уменьшатся и напряжения UL и UC.

2.7.2. Параллельный контур

Параллельный LC-контур можно рассматривать как цепь, состоящую из двух параллельно соединенных сопротивлений XL и XC. На низких частотах сопротивление XL мало и катушка шунтирует конденсатор (т.е. пропускает часть тока через себя, причем значительную). На верхних частотах мало сопротивление XC и конденсатор шунтирует катушку (значительная часть тока течет через него). И лишь на резонансной частоте никто никого не шунтирует, сопротивление параллельного контура оказывается весьма большим. При этом общий ток в цепи генератора уменьшается (работает закон Ома). Если включить такой паралельный контур в делитель напряжения (рис. 2.35, 4), то он за счет своего большого сопротивления на резонансной частоте будет выделять только напряжение этой частоты из всех напряжений, подведенных к контуру.