Великая математическая война. Как три блестящих ума сражались за основания математики

Jason Socrates Bardi

The Great Math War

How Three Brilliant Minds Fought for the Foundations of Mathematics

Перевод с английского под научной редакцией Артема Смирнова

Copyright © 2025 by Jason Socrates Bardi

Настоящее издание опубликовано по соглашению с Basic Books, импринтом Basic Books Group, подразделением Hachette Book Group, Inc., Нью-Йорк, США, при содействии Игоря Корженевского из Агентства Александра Корженевского (Россия). Все права защищены.

© Издательство Института Гайдара, 2026

Dramatis Personae

Л. Э. Я. Брауэр (1881–1966) – голландский математик («Интуиционизм»).

Давид Гильберт (1862–1943) – немецкий математик («Формализм»).

Бертран Рассел (1872–1970) – английский философ и литератор («Логицизм»).

Герман Вейль (1885–1955) – автор термина «кризис оснований».

Людвиг Витгенштейн (1889–1951) – философ и несостоявшийся протеже Рассела.

Курт Гёдель (1906–1978) – венский логик, известный теоремой о «неполноте».

Георг Кантор (1845–1918) – создает теорию множеств и переопределяет бесконечность.

Софья Ковалевская (1850–1891) – первая женщина в Европе, получившая докторскую степень по математике.

Рихард Курант (1888–1972) – возглавляет Математический институт Геттингена в 1920-х.

Королева Математика (р. ок. 20 000 до н. э.) – «Холодная и безответная любовь», по словам Рассела.

Оттолайн Моррелл (1873–1938) – лондонская светская дама и активистка движения за мир во время Первой мировой войны.

Эмми Нётер (1882–1935) – ведущий математик после Первой мировой войны.

Альфред Норт Уайтхед (1861–1947) – главный соавтор Бертрана Рассела.

Готлоб Фреге (1848–1925) – аналитический философ, переосмысливший логику.

Альберт Эйнштейн (1879–1955) – физик, прославившийся своей теорией относительности.

Людвиг Бибербах (1886–1982) – немецкий математик и союзник Брауэра.

Отто Блюменталь (1876–1944) – математический редактор и главный поборник Гильберта.

Эмиль дю Буа-Реймон (1818–1896) – известен своим «торжествующим пессимизмом.

Джордж Буль (1815–1864) – его книга 1847 года породила булеву логику.

Карл Вейерштрасс (1815–1897) – математик и наставник Ковалевской.

Пауль Гордан (1837–1912) – наставник Нётер, «Король инвариантов».

Хелен Дадли (1886–1932) – американская поэтесса и девушка Рассела.

Евклид (~III в. до н. э.) – автор самой известной книги по математике.

Зенон Элейский (~V в. до н. э.) – греческий философ, прославившийся благодаря Ахиллесу и черепахе.

Константин Каратеодори (1873–1950) – самый известный греческий математик современности.

Дьюла «Юлиус» Кёниг (1849–1913) – венгерский математик из Будапешта.

Феликс Клейн (1849–1925) – математик, наставник Гильберта.

Дидерик Кортевег (1848–1941) – голландский математик и наставник Брауэра.

Леопольд Кронекер (1823–1891) – немецкий ученый, известный как «Сомневающийся».

Герман Минковский (1864–1909) – друг Гильберта и учитель Эйнштейна.

Гёста Миттаг-Леффлер (1846–1927) – шведский математик и редактор журнала.

Джузеппе Пеано (1858–1932) – итальянец, ставший источником вдохновения для Рассела.

Эмиль Пикар (1856–1941) – французский математик-изоляционист.

Анри Пуанкаре (1854–1912) – самый известный математик своего времени.

Элис Рассел (1867–1951) – писательница-феминистка, активистка и жена Рассела.

Эвелин Уайтхед (1865–1961) – хороший друг четы Рассел до Первой мировой войны.

Джеймс Франк (1882–1964) – нобелевский лауреат, протестовавший против прихода нацистов к власти.

Лиза де Холл (1870–1959) – фармацевт и жена Брауэра.

Эрнст Цермело (1871–1953) – математик, давший букву «Z» аббревиатуре ZFC.

Эпименид Критский (~VII в. до н. э.) – самый известный лжец в истории человечества.

Г. Г. Асквит (1852–1928) – британский премьер-министр в начале Первой мировой войны.

Александрина Виктория (1819–1901) – королева Англии на протяжении большей части XIX века.

София фон Гогенберг (1868–1914) – герцогиня, убийство которой положило начало Первой мировой войне.

Роберт Грейвс (1895–1985) – английский писатель, сражавшийся на Сомме.

Герберт Китченер (1850–1916) – британский генерал Англо-бурской войны и фельдмаршал.

Пауль Крюгер (1825–1904) – президент Республики Трансвааль.

Дэвид Ллойд Джордж (1863–1945) – английский военный министр и премьер-министр Гораций.

Д. Г. Лоуренс (1885–1930) – английский автор, который поссорился с Расселом.

Фрида Лоуренс (1879–1956) – жена Д. Г. и заклятый враг Оттолайн во время Первой мировой войны.

Филип Моррелл (1870–1943) – либеральный член британского парламента.

Гаврило Принцип (1894–1920) – боснийский серб, начавший Первую мировую войну.

Леди Фрэнсис Рассел (1815–1898) – графиня и бабушка Рассела.

Логан Пирсолл Смит (1865–1946) – писатель, брат, лучший друг, злейший враг.

Франц Фердинанд (1863–1914) – эрцгерцог и наследник, убийство которого разожгло Первую мировую войну.

Уинстон Черчилль (1874–1965) – член британского кабинета министров в начале Первой мировой войны.

Фердинанд Шпрингер (1879–1965) – знаменитый немецкий издатель математической литературы.

Т. С. Элиот (1888–1965) – знаменитый поэт и студент Бертрана Рассела.

Аксиома выбора (глава 5). «Для любого семейства непустых множеств существует соответствие, которое ставит в пару каждому из этих множеств один из его элементов», согласно Цермело.

Безудержная вера в решения (главы 1, 12, 13, 16). Евангелие Давида Гильберта: любая проблема может быть решена, если уделить ей достаточно времени и сил.

Заблуждение избыточных данных (глава 12). Иллюзия того, что чем больше данных мы используем в анализе, тем более обоснованными выглядят наши результаты.

Заблуждение о незначительности результатов (глава 4). Гласит, что чем более тривиальной кажется проблема, тем менее остро стоит вопрос о поиске ответа или решения для нее.

Закон непротиворечия (глава 5). Гласит, что А и ¬А (не А) никогда не бывают истинными одновременно.

Икар (главы 3, 5, 6, 15, 16). Мифологический беглец с Крита на восковых крыльях, который подлетел так близко к Солнцу, что крылья растаяли, и он рухнул, униженный, обратно на Землю.

Иллюзия тотального контроля (глава 7). Узколобая иллюзия, при которой человек считает, что его действия – и только они – являются причиной его успехов.

Комплекс Исаака Ньютона (глава 3). Отвратительная и патологическая ненависть к публикациям, подогреваемая параноидальной уверенностью, что современники готовы ударить вас в спину.

Континуум-гипотеза (главы 3, 5). Утверждение Кантора о том, что никакое бесконечное множество не имеет мощности (размера) между мощностью бесконечных целых и бесконечных вещественных чисел; в необобщенном виде записывается как

Ловушка показателей процесса (главы 4, 5). Психологическое искажение реальности, ведущее к патологическому подходу в стратегическом планировании, когда решения безрассудно принимаются исключительно на основе данных о процессе, в ущерб соображениям результата или издержек.

Озимандия (главы 1, 18). Царь царей, обломки статуи которого в пустыне служат памятником угасшей славе былого величия.

Ошибка кажимости (глава 18). Гласит, что чем больше вы вкладываете в идею, тем более истинной она кажется. А чем более истинной она кажется, тем больше значения она приобретает, тем сильнее вы цепляетесь за нее и тем труднее ее отпустить, когда выясняется, что идея ложна.

Парадокс Бурали-Форти (главы 3, 5). Если вы создадите множество всех возможных «порядковых чисел» (ординалов), отражающих размеры различных множеств, то оно будет содержать ординал больше самого себя. Но это невозможно.

Парадокс Зенона (глава 2). Как получается, что Ахиллес не может догнать черепаху? Почему стрела никогда не достигает цели?

Парадокс Кантора (главы 3, 5). Гласит, что, если множество всех множеств включает в себя все множества, оно должно включать и свое собственное множество всех подмножеств (булеан). Это парадокс, так как это означает, что одно из подмножеств множества всех множеств будет больше, чем само множество всех множеств.

Парадокс лжеца (глава 5). По сути, утверждает: «Это высказывание ложно».

Парадокс Рассела (главы 5, 14). Рассмотрите множество всех множеств, которые не принадлежат самим себе – принадлежит ли это главное множество самому себе? (Ответ: Принадлежит, если не принадлежит, и не принадлежит, если принадлежит).

Теорема о вполне упорядочении (глава 5). Wohlordnungssatz Эрнста Цермело, фундаментальная основа его аксиомы выбора. Теорема гласит, что множества, даже бесконечные, могут быть упорядочены на основе наименьших элементов их подмножеств.

Торжествующий пессимизм (главы 1, 13). Философия, принимающая «непознаваемые неизвестные» – вопросы, которые мы не можем задать, проблемы, которые не решим, и ответы, которых никогда не узнаем. Выражается фразой Ignoramus et ignorabimus («Мы не знаем и не узнаем»). Давид Гильберт это ненавидит.

Предисловие. Все, что я узнал о логике от своих родителей

Я хочу идти дальше.

Час поздний.

Я хочу идти дальше.

Ночь темна.

Я хочу идти дальше.

Дорога опасна.

Я хочу идти дальше…

Когда я работал над этой рукописью, моего отца не стало. Разбирая вещи на чердаке его дома в Геттисберге, Пенсильвания, я нашел толстое издание в мягкой обложке – «Основные работы Бертрана Рассела». Я уже был глубоко погружен в изучение Рассела, одного из ключевых персонажей «Великой математической войны». Я осмотрел книгу, отложил ее и тут же забыл, пока она случайно не попалась мне на глаза больше года спустя. Тогда я описывал теорию типов Рассела (ей посвящена пятая глава, «Все критяне – лжецы») и наконец открыл этот том.

Заглянув под обложку, я был поражен: там было личное посвящение от мамы моему отцу, Джей-Би. Судя по всему, она подарила ему книгу в студенческие годы, за два года до моего рождения. Он был музыкантом, математиком, начинающим философом и звездой студенческого футбола. Она изучала журналистику и была активисткой. Надпись гласила: «Тому, кто умнее меня! / С любовью, Люси / 1968».

Что это значило? И что она имела под этим в виду? Прочесть эти слова можно было по-разному, но ни один вариант не казался верным до конца. Прямой комплимент? Их личная шутка? Ирония? Сарказм? Не пропущены ли здесь кавычки? Моя мать – женщина блестящего ума и невероятной гордости. Она убежденная феминистка и точно не стала бы так тешить мужское самолюбие. Конечно, я спросил ее об этой книге (спустя 55 лет!), – но она не вспомнила ни как покупала ее, ни как дарила. И уж тем более того, какой смысл вкладывала в то посвящение.

Я появился на свет чуть больше года спустя после того, как Люси оставила это посвящение, в начале 1970-го, а спустя 125 часов умер Рассел. Ему было 98 лет, мне – пять дней. Мои физические параметры при рождении странным образом повторяли параметры Рассела веком ранее. Он весил около четырех килограммов при росте 53 сантиметра. «Дай бог один из тридцати младенцев бывает таким крупным и упитанным», – заявил его врач в 1872 году. Я был скроен по тем же лекалам: 3 килограмма 800 граммов и без малого 53 сантиметра. Мама говорит, я был таким толстым, что лицо у меня сплющилось, а пальцы на ногах выглядели как «пучки мелкой морковки».

Когда полвека спустя я взялся за эту книгу, мы подолгу обсуждали Рассела с отцом – это было за несколько месяцев до его кончины. Мои рассказы повергли его в шок. Отец помнил Бертрана Рассела в специфическом образе культурной иконы 1960-х. Для него это был глубокий старик, живая легенда. Философ старой школы, не сходивший с газетных полос из-за критики Вьетнамской войны. Он протестовал против ядерной бомбы, обвинял президентов США в военных преступлениях (как-то даже ляпнул, что Кеннеди хуже Гитлера). Он выступал за свободную любовь – и не потому, что так стало модно в хипповую «Эру Водолея». Рассел призывал к временным «пробным» бракам (пока нет детей) еще с 1920-х годов. Одобрял добрачный секс, считая, что это оздоровит университетскую жизнь и умственно, и морально. Он считал, что «затхлого Молоха» традиций и законов, стоявшего на пути прогресса, пора свергнуть. «Лицемерное поклонение им ничего нам не дает», – говорил он.

Рассел сталкивался с жесткой травлей. В 1940 году, стоило ему стать профессором Сити-колледжа в Нью-Йорке, местный епископ обвинил его в пропаганде против религии. Судья Верховного суда штата объявил его непригодным к тому, чтобы заниматься преподаванием. А глава регистрационной палаты округа Нью-Йорк призывала вывалять его в смоле и перьях. Но Рассела это не остановило. Мой отец, который всегда ценил смелость и откровенность, любил Рассела за защиту свободной любви и антивоенные взгляды.

«Я хотел назвать тебя Бертран Рассел», – сказал мне отец по телефону в середине 2020 года, в разгар пандемии, когда я работал над планом этой книги. Это был один из последних наших разговоров. Он говорил совершенно серьезно: в 1969 году, когда мама была беременна мной, он не раз обсуждал с ней это имя.

Отец тогда только начал учиться в аспирантуре в Огайо. Протесты против Вьетнама были в самом разгаре, и мои родители, как и многие другие представители их поколения, принимали в них участие. За несколько месяцев до этого отец вызвал скандал в своем колледже, написав антивоенную статью как главный редактор студенческой газеты. Группа студентов выступила против. Они организовали собрание, требуя, чтобы отец сложил полномочия. Отец решил явиться на этот протест без приглашения. Он встал в конце зала. Его заметили. Пошел шепот, шум, тыканье пальцами, насмешки. Выступавший на трибуне обратился прямо к нему: «Ты уйдешь в отставку?» – спросил он. «Нет, – крикнул отец в ответ через весь кафетерий. – Не уйду».

В глазах моего отца Рассел был рок-звездой – символом праведного упрямства. Его ценили за бесстрашный антивоенный активизм, за математическую философию, за защиту свободной любви и этические взгляды. Но восхищение моего отца было глубже. В Расселе он видел отражение самого себя. Всю взрослую жизнь им, как и Расселом, двигали бесконечная жажда знаний, любовь к мудрости и вечный поиск человеческой близости. Моего отца, как и Рассела, переполняло «мучительное сочувствие к страданиям человечества», говоря словами философа. Неудивительно, что папа хотел назвать меня в честь своего героя.

Но мой отец был ошарашен, когда я рассказал ему, каким Рассел был более века назад. Моя книга описывала молодого Рассела 1900 года, а не престарелого активиста, которого мой отец любил в 1960-х. Рассел, которого знал он, был сторонником свободной любви и антивоенным деятелем – своего рода Пабло Пикассо современной философии. Рассел, которого знал я – двадцати с небольшим лет, – был совсем другой породы: аристократ до мозга костей, воспитанный на идеях ура-империализма. Он верил, что «каждым уголком мира должна управлять какая-нибудь европейская держава» и что «великие империи приносят больше блага, чем малые». Люди меняются, и нигде это не видно так ярко, как в политике.

Впрочем, это вряд ли что-то меняло, ведь мама была непреклонна. Бертран Рассел Барди. Берти Барди?! «Нет, нет и нет!» – заявила мама в 1970 году, когда я родился. Это никуда не годится. «Мы дадим ему обычное имя, – настаивала она, – нормальное имя».

Отец сделал несколько заходов с Берти, но в итоге капитулировал. И тут же выдвинул новый план: «Платон Аристотель Барди». «Нет, нет, нет», – снова твердила мама. В итоге они достигли компромисса. При рождении я получу второе имя Сократ – меня назовут именем отца философии, чтобы умилостивить отца, который был философом. («О, сколько нам открытий чудных!»)

Однажды меня спросили, о чем эта книга, и я ответил: об истории, математике, любви, войне и бесконечности. «Ого, – сказали мне. – Ну и смесь. Что же связывает все эти идеи?» И мой ответ был прост: Ложь. Это книга о лжи – не столько о той, что мы говорим другим, сколько о той, которую мы говорим сами себе. Моя тема – это фундамент вещей. У зданий и домов есть фундамент. По чистому совпадению, когда я писал эту книгу, соседний дом продали и снесли. Я наблюдал, как рабочие ставили опалубку, укладывали внутрь арматуру и заливали бетоном, закладывая новый фундамент.

Скорее всего, это был правильный способ закладки фундамента. Бывает и много неправильных – хотя в современных зданиях это редкость, ведь они должны соответствовать строгим нормам. Однако фундамент есть и у многих других вещей – у любви, войны, мира, дружбы, будущего человечества, безопасности демократии и новаторских идей. Все сложные отношения и концептуальные конструкции имеют свой фундамент, и ошибочно полагать, что он всегда прочен. Одни отношения выстроены на железобетоне, твердо и честно. Другие стоят на рыхлом песке. Одни идеи покоятся на скальной породе. Другие – на грязи.

Когда мы говорим о фундаменте чего-либо, мы говорим об опасности. О рыхлом песке. О лжи. О дефектах. Вы никогда не думаете о фундаменте, когда он кажется незыблемым. Вас не заботит основание здания, пока вы не увидите трещины. Не услышите скрип. Не почувствуете дрожь или вибрацию. Не испугаетесь, что земля ходит ходуном. И только тогда, боясь скорого обрушения, вы всерьез задумываетесь, как решить проблему. В сущности, именно это произошло в математике в начале XX века. В основаниях математики появились трещины, вся дисциплина содрогнулась, и всех охватила тревога.

Математика уникальна тем, что дает способность превращать зыбкие пески предположений в незыблемый монолит доказательств. Поэтому, когда в основаниях математики возникли трещины, это сочли фундаментальной угрозой ее положению «царицы наук». В начале XX века несколько математиков взялись исправить эти изъяны. Их усилия оформились в три лагеря: логицизм, формализм и интуиционизм. Как и следовало ожидать, что сосуществование этих враждующих мировоззрений привело к ожесточенному конфликту, который я называю Великой математической войной.

В чем состояли различия этих лагерей?

В годы перед Первой мировой войной Бертран Рассел и его соавтор Альфред Норт Уайтхед пытались закрыть брешь в основаниях математики с помощью логики, развивая подход, названный логицизмом. Они добились успеха и прославились своим невероятно богатым и сложным трехтомным трудом «Основания математики» (Principia Mathematica), который и сегодня считают триумфом математической философии. Но исправить дефекты в основаниях им не удалось, и это знали все. Их работа закончилась до войны, а в 1914–1918 годах научная деятельность в Европе почти замерла. А уже после войны на горизонте появились два других конкурирующих мировоззрения.

Пионером формализма стал немецкий математик Давид Гильберт. Он разработал грандиозную схему: представить математику как игру, где объекты – это игровые фигуры, а аксиомы – формальные правила, определяющие результат. Это был масштабный план: спасти основания математики через ее представление в виде своего рода формальной игры.

До Гильберта математика ассоциировалась с так называемыми привилегированными объектами – числами, линиями, геометрическими фигурами, – элементами внешней реальности. Они имели очевидный и объективный смысл. Гильберт стремился не столько отменить эту привилегию, сколько вынести ее за скобки. Его замысел состоял в том, чтобы отделить математику от реальности и трактовать математические объекты как «бессмысленные знаки на странице», по его собственным словам. Это позволило бы математикам сфокусироваться на правилах вывода и решать задачи абстрактно. Это был мощный, проницательный подход. Гильберт полагал, что с таким подходом нерешаемых задач не останется. Это назвали формализмом.

Интуиционизм как альтернативу предложил голландский математик Л.Э.Я. Брауэр. «Забудьте о бессмысленных знаках», – говорил он. Его идеей был «конструктивный» подход: математический объект – это не абстракция на бумаге, а нечто вроде пошаговой инструкции, созданной человеческим разумом. Выражаясь мистическим языком, он видел в математическом объекте становление, а не бытие. Это был новаторский подход к математике, который Брауэру и его сторонникам казался глубоким и единственно верным. Работу Гильберта он презрительно называл «пустым» формализмом и наотрез отказывался признавать существование в математике чего-либо, что нельзя было явно сконструировать в уме. Эти расхождения привели к конфликту Брауэра с Гильбертом. Когда-то они были друзьями, но со временем стали испытывать глубокую неприязнь к работе друг друга, а в итоге – и личную вражду.

Великая математическая война разворачивается до, во время и после Первой мировой, охватывая период в 55 лет: с 1883 по 1938 год. Существует поразительная параллель между битвой за основания математики и ужасами Первой мировой войны, превосходящими ее по масштабу на много порядков. И то и другое было продиктовано одними причинами: ощущаемыми фундаментальными изъянами, верой в трещины в фундаменте, мнимыми экзистенциальными угрозами, столкновением мировоззрений и всей той ложью, которую мы говорим сами себе. Борьба за превосходство в Первой мировой войне считалась необходимым злом для того, чтобы уладить дела геополитически, и те же самые мотивы стоят за Великой математической войной и ее попыткой математически разрешить фундаментальные изъяны.

Эта книга также об изъянах вообще. Обо всем том несовершенстве, бессилии, бесполезности, бездарности, нехватке, скудости, упущениях, слабостях и тщетности, что мы видим вокруг, – а также о тех попытках исправить эти изъяны, которые оборачиваются то добром, то разрушением. Это история о жестокой войне, яркой надежде, забытом прошлом и приукрашенном будущем. Об успехе и неудаче. Об испытании огнем. О холодном, горьком утешении. Об амбициях. Храбрости. Истинной любви. Бесконечной сердечной боли. Гнусных сплетнях. Неизменной дружбе. Мире. Мелочности. Ужасе. И человеческой справедливости.

В последние месяцы, дописывая книгу, я постоянно ловил себя на мысли: как жаль, что я не могу показать ее отцу. Этому хиппи. Философу. Музыканту. Бунтарю. Искателю мудрости. Ему бы она пришлась по душе. Я был рад показать черновик маме. И буквально перед этим я нашел разгадку той надписи на старом томике Рассела. Это отсылка к словам, которые Рассел сказал своему самому известному ученику, Людвигу Витгенштейну, в 1912 году. Он отчитывал его за самонадеянность. Впрочем, какой именно смысл вкладывала мама, адресуя эти слова отцу, я никогда не узнаю.

Глава 1. 1900: суд Париса