Великая математическая война. Как три блестящих ума сражались за основания математики

Всемирная выставка 1900 года в Париже

Больше великолепия, чем может вместить взгляд, – вот что продали этой толпе. Вот чего все ждали восемь лет. И вот почему они здесь. Обещанное чудо – это Парижская выставка, единственное в жизни событие: электромеханический, технологический, поразительный триумф науки. И теперь оно развернуто перед ними: будущее, словно теплое одеяло. Оно интернационально. Оно универсально. И оно здесь. Момент настал. L’Exposition universelle internationale de 1900. И она оправдала все ожидания. Получить обещанное – высшая форма удовлетворения.

Почти 40 миллионов человек проходят по улицам Парижа этим летом. Они стекаются, толпятся, набиваются, толкаются, пихаются, стоят в очередях, теснятся, давясь, протискиваются и пробиваются вперед. Они пришли увидеть всё. Машины-монстры. Механические чудеса. Электрические грезы. Повсюду новейшие, гудящие лампы накаливания. Один дворец сияет пятью тысячами ламп – говорят, это новый рекорд. Изумительно! Невероятно! Столько всего вокруг. Все так впечатляет и слепит глаза. Будущее в 1900 году похоже на нынешние фантазии в стиле стимпанк – пугающее и одновременно притягательное, как нашивка байкерской банды на потертом жилете. Они видят все это.

Совершенно новые здания приветствуют толпы. В павильонах техники выставлены потребительские диковинки. Первая камера-ящик «Брауни» фирмы Kodak. Первая пластиковая пленка – маленькое кухонное чудо. Здесь – первые в мире беспроводные радиоприемники. Там – одни из первых рентгеновских аппаратов. Люди не могут дождаться, чтобы пройти сканирование. Щелк! Движущиеся тротуары везут их по выставке. Щелк! Тракторы. Автомобили. Такси. Щелк! Грузовики – на бензине, на электричестве, с кожей и рукоятками стартеров. Щелк! Первые в мире эскалаторы, бегущие бесконечно. Вверх, вниз, внутрь, наружу – здесь собрано все.

А искусство – о это искусство!

Галереи. Сады. Картины. Скульптуры. Это событие года, пишет один художественный журнал. Значение Всемирной выставки 1900 года невозможно переоценить. Ничего подобного мир еще не видел, и столь грандиозная экспозиция вряд ли когда-либо повторится. Десятки художников. Сотни галерей. Тысячи полотен. Мраморное изобилие. Самые прославленные живописцы и скульпторы мира. Клод Моне. Анри Матисс. Поль Сезанн. Эдвард Мунк. Огюст Роден. «Коллекция, – с гордостью пишет журнал, – какую за всю историю человечества редко (если не сказать никогда) удавалось собрать».

Всё лето Париж – это место, куда стремятся все.

Рождение футуризма

Неподалеку, в душной университетской аудитории, этим жарким утром августа тоже вершится будущее. Жара стоит угнетающая. Зал гудит. Он здесь! Небольшая толпа рассаживается в волнении. Он направляется к трибуне. Он для них – один из их Матиссов, их Мане, их Моне, их Сезаннов, их Эскофье, их Бернар и их Бэрриморов. Живое воплощение величия.

Помимо Всемирной выставки, этим летом в Париже происходит еще одно событие, правда, в душном зале: II Международный конгресс математиков. Это роскошное ассорти из лакомой науки – «первый сорт», как любили говорить в 1900 году.

Организаторы надеялись, что Выставка послужит приманкой. Они пели ей дифирамбы. Приятное развлечение. Будущее технологий. Потрясающее искусство. Математики ждали 1000 делегатов и еще 680 членов семей. Но приехало куда меньше. Поэтому теперь, когда конгресс начался, они наперебой ругают Всемирную выставку. Слишком шумно. Неприятные толпы. Слишком много туристов. Переполненные отели. «Адская жара». Сплошные отвлекающие факторы. Один из журналов, освещавших конгресс: Bulletin of the American Mathematical Society – прямо возложит вину за низкую явку на Парижскую выставку. Многие не приехали, пишет репортер, «хотя при иных обстоятельствах непременно присутствовали бы». Позор!

Тем не менее они многое потеряли. Те сотни, что приехали, оказались на месте. И их ждало нечто особенное, уникальное: видение будущего математики, отражающее тот футуризм в духе стимпанка, которым были пронизаны технические стенды Выставки.

Футуризм – можно ли уже называть это так? В 1900 году он только делает первый вдох. Само слово «футуризм» появится лишь через девять лет, в конце десятилетия – незадолго до ужасов Первой мировой войны, – когда итальянский поэт Филиппо Томмазо Маринетти напишет манифест всему быстрому, техническому и агрессивному.

Но даже если люди в 1900 году не знают, как назвать свои грезы о грядущем, они точно знают, что чувствуют. Будущее наэлектризовано. Оно захватывает. Оно витает в воздухе города. Люди думают о нем. Люди любят его. Слава. Гений. Будущее.

В футуризме в 1900-м, как и сегодня, царит неопределенность: тот тонкий аромат надежды, похожий на запах свежей травы. Иллюзорное видение технологий. Чудовищное. Сияющее. Металлическое. Будущее – это обещание, это фантазия. Идея о том, что необъяснимое неизбежно изменит невозможное. Наша жизнь станет лучше. Конечно, станет. Будущее – это благо. Будущее светло. Будущее здорово. Оно справедливо. Новые технологии. Высокая скорость. Лучшие лекарства. Потрясающие машины. Огни, освещающие путь. И механизмы, которые нас везут.

В 1900-м появляются самолеты. Приходят и автомобили. Собственно, только что состоялась первая автогонка. В этом году в Нью-Йорке откроется и первый автосалон. Но не обязательно ехать в Америку, чтобы увидеть эффект. Париж этим летом наводнен собранными вручную, изрыгающими дым, надрывно кашляющими авто и грузовиками. Они заполонили улицы. Люди изумлены. Все в восторге. Все эти машины просто невероятны. Выхлопные трубы и надежда. Слышны хлопки двигателя. Чувствуется запах гари. Зажигание. Поршни. Смог. Выхлоп. Рев двигателя. Крики толпы. Шум стоит в воздухе.

Зрители ахают и охают. Большинство из них никогда раньше даже не видели автомобиля. Только чудовища могут издавать такие звуки!

Красота математики

В первый день конгресса математики встречаются на официальном приеме в кафе «Вольтер». На следующий день они собираются во Дворце конгрессов на территории Выставки для церемонии открытия. Присутствует и прославленный французский математик Жюль Анри Пуанкаре. Математику, говорит он, нужно развивать ради нее самой. Это не какой-то тупой инструмент для рытья ям, а инструмент высокой точности – орудие огромной мощи. Математика – не ржавая лопата, по сути заявляет Пуанкаре. Это инструмент несравненной значимости. Вещь редкой красоты. Искусство!

На третий день собрания – сегодня – слушатели занимают места в душной лекционной аудитории Сорбонны. Вот и они, а вот и он. Они пришли послушать этого 38-летнего немецкого математика, который будет говорить… о геометрии, может быть?

Зал издает стон глухого облегчения, когда он выходит на сцену. Им не терпится начать, потому что им не терпится поскорее закончить. И неудивительно. На заре эпохи научных конференций в 1900 году доклады обычно были плохими или еще хуже. Трудные темы. Монотонные голоса. Непрозрачные идеи. Сплошные эксперты. Неловкая манера речи. Часто неуверенная. Обычно изматывающая. И почти всегда, как пишет британский математик Шарлотта Ангас Скотт, освещающая конгресс для Американского математического общества, «утомительная и невразумительная». Гениальности всегда тяжко, когда ее подгоняют.

Но не сегодня.

Никто в аудитории не догадывается, что сейчас произойдет. Да и как они могут? Немецкий математик Давид Гильберт стоит за кафедрой, готовый совершить революцию в профессиональных выступлениях. Эта лекция навсегда изменит то, как мы говорим о науке. Она знаменует момент, когда мы выходим за пределы уже сделанного и фокусируемся на том, что будет сделано или чем наука должна стать. Это речь, которая прославит научные лекции, – настоящий, «оригинальный» TED Talk, состоявшийся почти за столетие до того, как подобные вещи вообще появились на свет.

Но откуда знать об этом зрителям? Конечно, Гильберт – восходящая звезда. Это видят все. Некоторые называют его величайшим математиком эпохи. Он только что выпустил знаменитую книгу «Основания геометрии» (Grundlagen der Geometrie), основанную на цикле весьма смелых лекций, которыми он потряс аспирантов в Геттингенском университете. Это был успех мечты. Лекции поспешно стенографировали, текст и рисунки сверстали в книгу и срочно сдали в печать. То, что вышло в свет, было необычным и неожиданным – маленькая книга, но с огромным значением. И очень успешная. Первые экземпляры раздали на мероприятии в его университете в Геттингене. Вскоре появилось французское издание. И к моменту Парижской выставки эта книга была у всех на устах в математических кругах. Новая и интригующая. Революционная!

Что такое впечатляющее он сотворил? В своей книге Гильберт возвращается к простому предмету школьной геометрии и выстраивает его заново, с нуля, на новых основаниях. Он не желает относиться к предмету так, как это делали учителя, монахи, ученые, древние греки, исламские мудрецы и безвестные египетские математики на протяжении тысячелетий, с седых времен самого Евклида. Неукрощенной. Нетронутой. Неизменной. Это не было его целью.

Древний александрийский математик Евклид был пионером аксиоматического метода, определив пять знаменитых «постулатов», или аксиом, в начале своих «Начал» – пожалуй, самой известной математической книги всех времен, которая и в 1900 году оставалась главным учебником геометрии. Но годом ранее Гильберт ввел в предмет новый, расширенный набор постулатов. Он сгруппировал их по темам: геометрическая непрерывность, принадлежность, конгруэнтность и порядок. Не увязая в деталях, достаточно сказать, что с выдающейся креативностью и впечатляющей строгостью он блестяще переработал геометрию – науку с 2000-летней историей.

Все по-настоящему впечатлены. Как пишет биограф Гильберта Констанс Рид, в одной американской рецензии на его книгу 1899 года сказано, что она «сделает многое для логического обоснования всей науки и для ясности мышления в целом». Книга мгновенно становится математическим бестселлером. «Основания» осыпают комплиментами. Их называют жемчужиной. Драгоценностью. Интеллектуальным шедевром. Современный британский философ Питер Саймонс называет книгу «радикально новаторской». Чистое искусство!

И вот – в этот жаркий парижский день лета 1900 года – Гильберт здесь. Наконец-то. В воздухе висит жара. Люди проходят в зал. Находят места. Усаживаются. Некоторые промокают лбы платками. Другие стоят вдоль стен. Все ожидают очередного погружения в геометрические дебри. Возможно, он опишет историю создания своих «Оснований геометрии». Возможно, поговорит о чем-то другом. Кто знает? Название лекции простое: «Математические проблемы» (Mathematische Probleme).

Только один человек в мире точно знает, о чем будет говорить Гильберт, – его хороший друг Герман Минковский, еще одна математическая легенда.

Учитель физики у Эйнштейна

Еще подростком Минковский выиграл крайне престижную математическую награду Французской академии наук за работу о сложных функциях, известных как квадратичные формы. В то время вручение вызвало скандал, так как французы присудили премию совместно ему и Генри Джону Стивену Смиту – английскому математику, который был намного старше и авторитетнее. Смит работал над этими квадратичными формами много лет, еще до рождения Минковского, поэтому необходимость делить премию казалась досадной, если не оскорбительной. Учитывая специфику англо-французских отношений в XIX веке, в Академию была подана официальная жалоба, которую там благополучно проигнорировали.

Но еще большую известность Минковский обретет через несколько лет, заслужив уникальный статус учителя физики Альберта Эйнштейна. Впрочем, он и сам по себе гений. Любой, кто касался специальной теории относительности, знает его имя. Математическое описание четырехмерного мира часто называют «пространством-временем Минковского» в честь его вклада. Его видение пространства как четырехмерного «многообразия», включающего время, – это достижение, которое навсегда свяжет Минковского со всеми странными и чудесными результатами специальной теории относительности его ученика. Сокращение длины и замедление времени, при которых воображаемый космический путешественник мог бы полететь со скоростью 99,9 % скорости света к далекой звездной системе и вернуться через несколько лет, обнаружив, что его близнец постарел на десятки лет, – это красивые следствия данной трактовки методами дифференциальных уравнений.

Сегодня, в этот жаркий августовский день 1900 года, Минковский, уже в статусе полного профессора, находится в предвкушении. Несколько недель назад он узнал, о чем его друг Гильберт намерен говорить в Париже. План выступления прост. Вот несколько захватывающих проблем, говорит Гильберт. Теперь решите их! Услышав об этом, Минковский был просто ошарашен Гильбертом. Он в восторге. «Это сделает тебя знаменитым, – уверяет он Гильберта. – Это будет лекция, которую все ждали, даже не подозревая об этом». «О твоем выступлении будут говорить десятилетиями», – сказал ему Минковский перед началом.

«Математические проблемы» в названии доклада – это не то, что Гильберт или кто-то другой недавно решил. Речь пойдет не об уже сделанном, а о том, что предстоит сделать. Не просто о задачах, а о масштабных задачах – о дилеммах, которые терзали математиков годами. Об узлах, что сковывали науку десятилетиями, а то и веками. О каверзных математических казусах, которые отчаянно требуют разрешения. Он будет говорить о трудных проблемах – и чем труднее, тем лучше. «Математическая проблема должна быть трудной», – заявляет Гильберт с трибуны.

Позже журнал Nature напишет, что он выбрал эти проблемы, потому что они «бросают вызов» и позволяют заглянуть в математическое будущее. Решение этих задач, пишет Nature, «вероятнее всего, принесет огромную пользу», двигая науку вперед.

И Минковский прав, предсказывая успех выступления. Это математическое событие года. Десятилетия. Века – девятнадцатого, двадцатого, двадцать первого или всех трех сразу. Возможно, это лучший доклад тысячелетия. Позже некоторые назовут его самым важным выступлением математика во всей мировой истории. Он поражает десятки людей в зале и восхищает миллионы тех, кто прочтет о нем после. Любой, кому посчастливилось присутствовать там, запомнит это на всю жизнь. Это триумф, ломающий стереотипы, переворачивающий сознание и определяющий будущее, – триумф, бьющий наповал.

Двадцать три проблемы

Многие по сей день считают эту лекцию одним из величайших достижений Гильберта – удивительное утверждение, если учесть, сколько важных оригинальных идей он внесет в математику в грядущие десятилетия. Его именем названы десятки концепций, используемых сегодня: гильбертовы пространства, неравенства Гильберта, преобразования Гильберта, инвариантные интегралы Гильберта, теорема Гильберта о неприводимости, аксиомы Гильберта, гильбертовы поля классов и многое другое.

За следующие 30 лет у Гильберта защитятся около 40 докторантов. Для многих из них он останется самым великим математиком в их жизни. Взять хотя бы немецкого физика Макса фон Лауэ. Он ставил гений Гильберта выше своего собственного, хотя сам в 1914 году получил Нобелевскую премию за открытие дифракции рентгеновских лучей в кристаллах. Это открытие породило структурную биологию и химию и легло в основу современных методов создания лекарств. Но при всем своем блеске и успехе фон Лауэ признавал истинным гением именно Гильберта. «В моей памяти он остался, пожалуй, величайшим гением, которого мне довелось лицезреть», – говорил он.

Друзья и ученики говорили, что над Давидом Гильбертом никогда не заходит солнце, – и восход начался именно тем знойным утром в Париже.

Влияние речи Гильберта трудно преувеличить. В начале 1970-х Американское математическое общество провело целый симпозиум в Университете Северного Иллинойса, посвященный наследию этих проблем (изначально их было 10, но ко времени публикации статьи несколько месяцев спустя список расширился до 23). Итог конференции в Де-Калбе: проблемы породили «изобилие» новых методов и открытий. Именно этого Гильберт и добивался.

Сегодня, по сути, большинство его проблем решены – или же доказано, что они не имеют решения. Один из учеников Гильберта представил первое решение одной из 23 проблем спустя всего пару месяцев после лекции – это была сложная гипотеза о том, как разрезать тетраэдр, чтобы превратить его в куб. В последующие десятилетия решалось все больше проблем. Истории некоторых решений очень увлекательны. Вот несколько примеров.

Тринадцатая проблема Гильберта покорилась группе советских математиков, включая Владимира Игоревича Арнольда, который в послевоенные годы был 19-летним студентом МГУ. Эта проблема ищет нечто похожее на решение квадратного уравнения, но применимое ко всем многочленам, а не только к функциям двух переменных. Ее решение стало пропагандистской победой Советского Союза и подняло авторитет Арнольда – по крайней мере, на первых порах. Позже, в 1960-х, он впадет в немилость властей, когда подпишет письмо в защиту диссидентов. (Кстати, современный постскриптум: недавно к проблеме вернулся один тополог из Чикаго, который утверждает, что на самом деле она до сих пор не решена.)

К решению 10-й проблемы Гильберта после Второй мировой войны подступилась группа, в которую входил Хилари Патнэм – философ, который позже прославится идеей о влиянии контекста на коммуникацию. Будучи студентом-математиком, он участвовал в попытках решить эту задачу: существует ли общий алгоритм для решения определенных алгебраических проблем, названных в честь древнего математика Диофанта. Им не хватило совсем чуть-чуть. Позже, в 1960-х, Патнэм станет «хиппи-интеллектуалом», будет жить в коммуне, организовывать протесты против войны во Вьетнаме и увлекаться коммунизмом. А когда в 1970 году российский математик Юрий Матиясевич действительно решит 10-ю проблему, Патнэм напишет предисловие к его книге.

В 1997 году математик из Мичиганского университета Томас Хейлз представил доказательство 18-й проблемы – гипотезы Кеплера. Она утверждает, что самый эффективный способ укладки апельсинов, пушечных ядер или любых сфер для максимальной плотности – это «гранецентрированная кубическая упаковка» (когда каждый шар лежит на основании из трех других). Хейлз решил задачу методом грубой силы, используя суперкомпьютеры и геометрический анализ для перебора и сравнения мириад вариантов укладки. Это заняло 10 лет и потребовало колоссальных вычислений, но он это сделал.

Ирония в том, что доказательство вышло таким сложным (на 250 страниц!), что никто не мог сказать, верно оно или нет. Кто проверит проверяющего? Журнал Annals of Mathematics, куда Хейлз отправил статью, назначил команду из 20 ведущих экспертов. Задача оказалась такой неподъемной, что им пришлось собирать отдельный симпозиум, чтобы просто понять, как к ней подступиться. Потом рецензенты один за другим начали сходить с дистанции. В 2004 году журнал сдался: проверку свернули и опубликовали статью, заявив, что уверены в ней на 99 %.

Наконец, стоит отметить для вдохновения всех начинающих математиков, читающих эту книгу: одна из самых знаменитых из 23 проблем – 8-я проблема Гильберта, больше известная как гипотеза Римана, – все еще не решена. Мимо этого факта не проходят современные СМИ, которые в последние годы полюбили без тени иронии называть ее «самой важной нерешенной проблемой математики». Вот уже 25 лет, к моменту выхода этой книги, доказательство гипотезы Римана является одной из «Задач тысячелетия» – вызовом, вдохновленным проблемами Гильберта, который поддерживает Институт Клэя. На кону стоит 1 миллион долларов. Так что решайте!

Хотя сказать проще, чем сделать. Гильберт и сам подозревал, что с 8-й проблемой придется повозиться. Много лет спустя после той лекции его спросили: «Что бы вы сделали, если бы очутились в будущем через 500 лет?» Первым делом, ответил Гильберт, я бы отловил какого-нибудь математика и спросил: «Ну что, гипотезу Римана уже доказали?»

Ответ сегодня остается тем же, спустя 125 лет после его доклада и по прошествии более чем пятой части его 500-летнего мысленного эксперимента: Нет!

Безудержная вера в решения

1900-й – это заря новой эры, время грандиозных замыслов и неуемных амбиций Давида Гильберта, которые расцвели в его знаменитом выступлении. Его лекция подобна религии. Откровению. Это настоящее молитвенное собрание, где Гильберт, словно харизматичный пастор, читает простую и зажигательную проповедь.

Он предлагает видение будущего, где любая математическая задача имеет решение, – я называю это евангелием «безудержной веры в решения». Если проблему можно логически поставить, утверждает Гильберт, вы рано или поздно решите ее, приложив достаточно труда, времени, энергии и чистого разума. Его послание парижской аудитории простое: вот проблема, ищи решение. Это, по его словам, «постоянный призыв».

Не все разделяют его мнение. Многие современники Гильберта принадлежат к конкурирующему, ограничительному лагерю, популярному в конце XIX века; они исповедуют концепцию «непознаваемых неизвестных». Вещи, на которые мы не можем ответить. Задачи, которые мы никогда не решим. Вопросы, которые мы, возможно, не в силах даже задать. И ответы, которые нам не суждено узнать. Эта соперничающая философия зовется «торжествующим пессимизмом» – безнадежно негативное, но тем не менее популярное мировоззрение, обязанное своим влиянием одному человеку: французскому философу и физиологу Эмилю Дюбуа-Реймону, который стал пионером этой идеи поколением ранее.

Днем Дюбуа-Реймон был серьезным ученым-физиологом с мировым именем. Отцом электрофизиологии, если уж на то пошло. Именно он открыл потенциалы действия – те самые электрические «импульсы» в нервных клетках, на которых держится вся наша нервная система и мышление: от боли и памяти до логики и чувства вкуса. Но по ночам он плел философские сети и рассуждал о непостижимом. В 1872-м он выдал свое кредо: Ignoramus et ignorabimus («мы не знаем и не узнаем»). Эхо этого выступления гремело десятилетиями. И когда 28 лет спустя на трибуну поднимается Гильберт, ему приходится продираться сквозь толпу всех этих проповедников незнания.