Логика Аристотеля. Том 5. Комментарии на «Аналитику» Аристотеля

p. 76a31 «Началами же в каждом роде [знания] я называю те, которые нельзя доказать, что они есть».

Эти, говорит он, начала в каждой науке суть те, которые невозможно доказать, но они принимаются как согласованные. Например, начала геометрии – точка, линия и прочее; что точка не имеет частей или что линия протяжена в одном измерении, – это геометрия не может доказать, но принимает как существующее вне доказательства. Таким же образом и в прочих [науках] первые и недоказуемые [положения] суть начала науки.

p. 76a32 Итак, что [некоторые термины] обозначают – и первоначала, и то, что из них [составлено], – принимается [без доказательства].

Поскольку он сказал, что в каждом роде [сущего] есть начала, которые [просто] существуют, и нельзя доказать, что они есть, отсюда он, переходя к определению, учит, что именно в доказательствах необходимо принимать и доказывать, что оно есть, а что – нет. И он говорит то же, что и ранее, но загадочно и во введении; мы же, взяв отсюда отправную точку, проясним это.

Итак, он говорит, что всё, что принимается в доказательствах, делится на три [вида]. В самом простом виде то, из чего состоит доказательство, делится на два: на посылки и на вывод, который из них следует. А поскольку вывод состоит из двух терминов – сказуемого и подлежащего, – из которых один (подлежащее) дан, а другой (сказуемое) ищется, то всё делится на три: на посылки (точнее, на аксиомы посылок, которые в доказательстве всегда занимают место более общих положений по указанной нами ранее причине), на данное и на искомое.

Итак, обо всём этом он говорит в общем, что «что означает» [каждый термин] принимается заранее. Но относительно аксиом и данных необходимо принимать и то, что они есть, ибо из них [состоят] посылки, а если посылки существуют, то и вывод необходимо существует. Относительно же искомого мы принимаем только «что оно означает», но не то, что оно есть, ибо тогда оно уже не было бы искомым – ведь доказательство как раз об этом.

p. 76a33 Но что [некоторые вещи] есть – начала необходимо принимать, а остальное доказывать.

Под «началами» он снова разумеет посылки, относительно которых нужно заранее принять не только «что они означают», но и «что они есть» (именно это и говорится). Ибо если не дано, что посылки есть, то невозможно вывести заключение.

p. 76a34 Например, что есть единица, или что есть прямая, или что есть треугольник.

Здесь он берёт единицу как пример данного, то есть просто начал доказательств, относительно которых нужно заранее принять и «что они означают», и «что они есть». Прямая же и треугольник – примеры искомого, ибо, как мы сказали ранее, иногда и прямая, и треугольник становятся искомым. Но они же могут быть и данными (как мы также говорили). Относительно них, говорит он, нужно заранее принять, «что каждое из них есть» – то есть их определения.

p. 76a35 Но что единица и величина есть – принимается, а остальное доказывается.

Сказав, что относительно всего принимается «что означает», он теперь показывает, что относительно одних вещей доказывается, «что они есть», а относительно других – принимается. Александр [Афродисийский] понимает здесь «величину» как «прямую». Но это не так: единица и величина приведены как примеры данного, относительно которых принимается и «что они есть». Ибо никогда ни единица, ни величина не берутся как искомое: ни в арифметике нет теоремы, доказывающей, что «это – единица», ни в геометрии – что «это – величина», но они всегда принимаются как существующие.

Относительно них, говорит он, «что они есть» принимается, а относительно остального (то есть прямой и треугольника) – доказывается. Поэтому ранее он упомянул треугольник («что есть единица, или что есть прямая, или что есть треугольник»), приводя примеры одновременно и принимаемого, и доказываемого. Затем, желая разделить, что принимается, а что ищется, он говорит, что принимаются единица и величина, но уже не треугольник. Хотя мы сказали, что и треугольник иногда принимается, но единица и величина никогда не ищутся.

p. 76a37 Но есть [принципы], которыми пользуются в доказательных науках.

То, что он ранее сказал нерасчленённо, теперь он уточняет и излагает точнее.

Раньше он говорил, что одними и теми же аксиомами можно пользоваться в разных науках – например, «равные одному и тому же равны между собой» (этот принцип может использовать и геометр, и арифметик). Теперь же он говорит, что даже аксиомами разными науками нельзя пользоваться одинаково, если только не в омонимическом смысле.

Когда геометр говорит: «равные одному и тому же равны между собой», он применяет эту аксиому к величинам. Даже если бы она была истинна только для величин, геометр всё равно пользовался бы ею так, ибо берёт её не как истинную для многих наук, а только для величин. То же и с остальными аксиомами: арифметик, пользуясь теми же аксиомами, применяет их только к своим предметам.

Так что аксиомы омонимичны, но не тождественны.

p. 76a38 Одни [принципы] – специфичны для каждой науки, другие – общие.

Мы уже говорили, что среди аксиом, используемых в доказательствах, одни общие (для всех или многих наук), а другие – специфичны для каждой.

Специфичные – например, для геометрии: «совпадающие [фигуры] равны между собой».

Общие для многих – например: «равные одному и тому же равны между собой».

p. 76a38 Общие [принципы] по аналогии.

«Общими, – говорит он, – я называю [эти принципы] не в собственном смысле, но по аналогии, потому что как для величин этот принцип истинен, так и для чисел. Таким образом, общность здесь не по подлежащему, а только по имени, подобно тому как мы говорим „тупое“ [о мече] или „нога“ [у кровати], или „голова“ [у вершины]. То же самое и с мечом. Если мы принимаем аналогию, то одноименность [становится ясной], однако подлежащее, как все согласны, различно».

p. 76a40 Собственные [принципы], например, что линия такова-то и что прямое [таково-то].

Линия, скажем, есть движение точки или величина, протяженная в одном измерении, а прямая линия – это та, которая равномерно лежит относительно своих точек, или та, середина которой закрывает концы. Это собственные [принципы] геометрии.

Примечания