Готовимся к ЕГЭ по математике. Уравнения и неравенства с модулем

Цель этой книги – помочь школьникам разобраться в решении задач, в которых используется модуль. Материал рассчитан на любой начальный уровень учащегося, в том числе «с нуля».

Книга открывает серию пособий для тех, кто готовится к ЕГЭ и не только, хочет научиться решать задачи и просто любит математику. В следующей книге будут рассмотрены различные задачи, связанные с нахождением экстремума (максимума или минимума) некоторой функции. Причем часть материала не будет связана с задачами ЕГЭ, по крайней мере, в том виде, в котором они представлены в демо-варианте 2020 г.

К сожалению, по мере внедрения ЕГЭ изучение математики (и не только) больше похоже на «натаскивание» к экзамену. О том, как я понимаю этот термин, можно прочитать на моем канале в Дзен:

https://clck.ru/Nfwau

Там же можно найти и другие полезные материалы. В комментариях вы можете написать, какие еще темы были бы для вас интересны. В некоторых постах рассмотрены задачи, которые предлагались на экзаменах еще в советских вузах. Чтобы их решить, «натаскивания» было недостаточно, нужно было обладать определенным уровнем математической культуры.

Вы также можете посетить и подписаться на мой канал в You Tube:

https://cl29ck.ru/MNJvE

Всем удачи и успехов на экзаменах и не только!

§1. Решение уравнений с модулем

Рассмотрим, как решаются простые уравнения с модулем.

В качестве примера возьмем следующую уравнение:

(1.1)

Вспомним определение модуля числа. По определению, модуль равен самому числу, если это число не отрицательно, и числу, взятому с обратным знаком, если число отрицательное. В символьном виде это определение можно представить следующим образом:

Поскольку в уравнении (1.1) есть знаменатель, определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение (1) будет иметь смысл, когда знаменатель не обращается в 0, то есть при x ≠ 0 и x ≠ 1.

Из определения модуля следует, что в уравнениях с модулем нужно рассматривать 2 случая: когда выражение под знаком модуля не отрицательно и когда оно отрицательно.

1) Рассмотрим случай, когда x > 1 . Условие x = 1 можно не рассматривать, поскольку в этом случае знаменатель дроби обращается в 0. Снимая знак модуля, получаем уравнение

(1.2)

Перенесем -1 влево с обратным знаком и приведем полученное выражение к общему знаменателю:

,

      (1.3)

Дробь равна 0, когда ее числитель равен 0. Приравнивая 0 числитель, получаем квадратное уравнение

            x2 – x + 2 = 0                  (1.4)

Вычисляем дискриминант полученного уравнения:

            D = (-1)2 – 412 = 1 – 8 = -7.

Поскольку D < 0, действительных корней уравнение (1.4) не имеет.

2) Рассмотрим случай, когда x < 1 . Тогда получаем уравнение

Проводя вычисления, аналогичные сделанным выше, получаем:

D = 1 + 8 = 9 > 0.

Поскольку D > 0, уравнение (1.5) имеет два различных действительных корня. В данном случае корни легко подобрать по теореме Виета: x1 = -1, x2 = 2. Если возникают трудности с применением теоремы Виета, то используем стандартную формулу вычисления корней квадратного уравнения.

Корень x1 = -1 не подходит, поскольку он лежит вне рассматриваемого интервала (1; ∞).

Остается единственное решение исходного уравнения x2 = 2. В том, что это значение является решением исходного уравнения, можно убедиться непосредственной проверкой.

Вы можете посмотреть материал этого параграфа на моем YouTube канале:

https://youtu.be/oQELxZ8PNss

§

2.

Пример графика функции с модулем

Рассмотрим, как строить график функции, содержащей модуль.

В качестве примера возьмем следующую функцию:

Согласно определению модуля, нужно рассматривать 2 случая:

1) x + 2 0, т.е. x 2 .

Раскрывая знак модуля на интервале [2; ∞ , получаем выражение для функции в следующем виде:

            y = x (x + 2), или

y = x2 + 2x .

Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх.

Найдем точки пересечения параболы с осями координат:

при x = 0 получаем y = 0,

при y = 0 получаем x (x + 2) = 0. Отсюда x = 0 либо x = 2.

Получаем 2 точки, принадлежащие графику функции: (0; 0), (2; 0).

Найдем координаты вершины параболы. Как известно из свойств квадратного трехчлена, если он имеет 2 различных действительных корня, абсцисса вершины лежит посредине между точками пересечения параболы с осью x.

Следовательно, абсцисса вершины параболы равна 1. Ордината вершины равна 1(1 + 2) = 1. Итак, вершиной параболы является точка с координатами (1; 1). В этой точке функция имеет локальный минимум.

Нам нужна только та часть графика, которая соответствует значениям x 2. На рис. 2.1 схематично построен график параболы. Для наглядности та часть параболы, которая не входит в график, показана цветным пунктиром.

Рис. 2.1. Часть графика функции при x 2

2) x + 2 < 0, т.е. x < 2 .

Раскрывая знак модуля на интервале (∞; 2 , получаем выражение для функции в виде:

            y = x (x + 2), или

y = x2 2x .

Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз. Точки пересечения этой параболы с осью абсцисс: x = 0 (не входит в рассматриваемую область) и x = 2. Построив схематично эту часть параболы, получаем график, изображенный на рис. 2.2.

Рис. 2.2. Построение графика функции с модулем

Обратим внимание на следующие особенности построенной функции:

1) точки (2; 0) и (1; 1) являются точками экстремума, но на каком-либо отрезке, например,

[3; 2]

экстремум (минимум и максимум) может достигаться совсем в других точках;

2) в точке (2; 0) линия графика имеет излом; это означает, что рассматриваемая функция не имеет производной (не дифференцируема) в этой точке.

Вы можете посмотреть материал этого параграфа на моем канале в Дзене:

https://clck.ru/MNv6L

Нахождение экстремума функции на отрезке рассмотрено на моем канале в You Tube:

https://youtu.be/_MYuZfodf4M

https://youtu.be/G7ubC5igFxo      

§3. Неравенства с модулем

Рассмотрим решение неравенств с модулем.

В качестве примера возьмем следующее неравенство:

(3.1)

Найдем точки, в которых выражение под знаком модуля меняет знак. Для этого приравняем это выражение к 0:

x2 + 5x + 7 = 0 .      (3.2)

В данном случае мы видим, что дискриминант квадратного трехчлена , равный 25 – 28 = -3, отрицателен. Это означает, что решений у данного уравнения нет.

Проиллюстрируем данный вывод графически. Графиком соответствующего квадратного трехчлена будет парабола, ветви которой направлены вверх и у которой нет пересечений с осью абсцисс. Схематично этот график можно изобразить следующим образом (рис. 3.1):

Рис. 3.1. Схематичный вид графика квадратного трехчлена с отрицательным дискриминантом

Из графика понятно, что такой квадратный трехчлен при любом значении x будет больше 0. Следовательно, мы можем снять знак модуля в неравенстве (3.1). В результате получаем неравенство:

x2 + 5x + 7 > 3.      (3.3)

Перенесем все члены неравенства в его левую часть и решим полученное неравенство

x2 + 5x + 4 > 0.      (3.4)

Дискриминант этого неравенства больше 0. Это означает, что соответствующий квадратный трехчлен имеет 2 корня, которые легко найти по теореме Виета: x1 = -4, x2 = -1.

Если применение теоремы Виета вызывает затруднения, то просто применяем стандартный способ нахождения корней через вычисление дискриминанта квадратного трехчлена.

Решим полученное неравенство методом интервалов (рис. 3.2).

Отметим на оси x точки, в которых выражение (3.4) меняет знак. Построим интервалы, поставив знаки выражения (3.4) внутри этих интервалов. Поскольку нам нужны положительные значения квадратного трехчлена, выбирая интервалы, у которых стоит знак + , получаем решение:

Рис. 3.2. Решение неравенства (3.1)

Если у вас остались вопросы, вы можете задать их на моем канале в You Tube

https://cl29ck.ru/MNJvE

или Дзен

https://clck.ru/Nfwau

Подписывайтесь, комментируйте, задавайте вопросы!

Еще раз всем удачи!