Решение текстовых задач на движение. Простое объяснение уровня начальной школы

1.1. Что такое движение

Движение окружает нас везде. Как только мы сами или что-то вокруг меняет свое место в пространстве, происходит движение.

Как описать это? С движением связывают три основных понятия: путь, время, скорость.

Безусловно, в повседневной жизни вы слышали эти слова, но для решения математических задач их нужно оцифровать, измерить.

1.2. Единицы измерения

Чтобы что-то измерить, это сравнивают с чем-то другим, уже известным. Такой известный предмет является измерительным инструментом, например, для длины это линейка. Если быть совсем честным, то сначала существует эталон – некая всемирно признанная вещь, имеющая известную длину, а уже на ее основании делают измерительные инструменты, те же линейки, но для нас это сейчас не важно.

Измерение по линейке происходит просто: прикладываем измеряемую вещь к началу линейки, где указана цифра 0, считаем сколько делений по линейке около конца измеряемой вещи.

На линейке подписаны цифры, которые отражают ее основную единицу измерений, а также маленькие деления без цифр – они показывают самую маленькую единицу, которую различает линейка.

Применим линейку для измерения какого-нибудь предмета.

Например, вот прямоугольный цветной листок-стикер, измерим его линейкой с каждой из сторон. Приложим линейку к сторонам листка, как показано на рисунке ниже.

Рисунок 1. Измерение короткой стороны листка линейкой

Рисунок 2. Измерение длинной стороны листка линейкой

Мы видим, что короткая сторона составляет 3 см 8 мм, а длинная – 5 см.

Попробуйте измерить линейкой любой предмет с вашего стола, чтобы вспомнить или повторить, как это делается.

1.3. Единицы измерения пути

По существу, путь – это расстояние, пройденное движущимся предметом.

Проиллюстрируем простым примером. Возьмем обычный гвоздик и будем передвигать его по столу слева направо.

В начале движения приложим 0 линейки к точке начала движения гвоздика, как показано на следующем рисунке.

Рисунок 3. Начало пути гвоздика (около 0 линейки)

Передвинем гвоздик, например, к делению 10 см (как на следующем рисунке), путь составит 10 см.

Рисунок 4. Конец пути гвоздика (около 10 см линейки)

Также происходит при движении более крупных объектов: людей, автомобилей, мотоциклов, поездов, кораблей, самолетов.

Только путь у них обычно более длинный, и измеряется большими единицами – километрами. Сокращенное наименование единиц укажем в скобках.

В одном километре (км) 1000 метров (м).

В 1 дециметре (дм) 10 сантиметров (см).

В 1 метре (м) 100 сантиметров (см).

В 1 метре (м) 1000 миллиметров (мм).

Для выполнения сложения и вычитания расстояний нужно, чтобы они были выражены в одних и тех же единицах (метрах, сантиметрах и т.п.)

Сначала нужно научиться переводить расстояния из одних единиц в другие. Посчитаем некоторые соотношения между единицами расстояния.

Задача №1.

Сколько дециметров в 1 км?

1) Вычислим, сколько дециметров в 1 м: 1 м = 100 см, а 1 дм = 10 см.

Получаем, что 100 см : 10 см = 10 дм в 1 м

2) Вычислим, сколько дм в 1 км: 1 км = 1000 м = 1000 * 10 дм = 10000 дм.

Ответ: в 1 км 10000 дм.

Задача №2.

Сколько миллиметров в 1 км?

1) Вычислим: в 1 км 1000 м, в 1 м – 1000 мм, умножаем 1000×1000=1000000 мм

Ответ: в 1 км 1000000 мм.

Для закрепления переведите несколько значений расстояния из одних единиц в другие.

Задача №3. Сколько сантиметров в 10 м?

Задача №4. Сколько дециметров в 30 м?

Задача №5. Сколько сантиметров в 1 км?

Задача №6. Сколько миллиметров в 3 м?

Задача №7. Сколько метров в 10 км?

Теперь научимся складывать и вычитать расстояния, приведя их к одной единице.

Задача №8.

Сначала пешеход прошел 1 км 300 м, затем еще 800 м. Сколько всего прошел пешеход?

1) Переведем расстояние, которое прошел пешеход сначала, в метры:

1 км 300 м = 1000 м + 300 м = 1300 м

2) Сложим расстояния, чтобы получить, сколько всего прошел пешеход:

1300 м + 800 м = 2100 м

3) Выделим целые километры и получим ответ (зная, что 1 км = 1000 м):

2100 м = 2000 м + 100 м = 2 км 100 м

Ответ: всего пешеход прошел 2 км 100 м.

Решите несколько примеров на сложение и вычитание расстояний.

Задание №9. Решите примеры на сложение расстояний

а) 1 км 200 м + 3 км 900 м =

б) 7 км 700 м + 500 м =

в) 760 м + 2 км 460 м =

г) 200 м + 920 м =

д) 4 км 270 м + 7 км 350 м =

Задача №10.

Между деревнями «Высотки» и «Низинки» расстояние 3 км 500 м. Пешеход вышел из деревни «Высотки» и пошел в сторону «Низинок». Он уже прошел 1 км 600 м. Сколько осталось пройти пешеходу до «Низинок»?

1) Переведем расстояние, которое прошел пешеход, в метры:

1 км 600 м = 1000 м + 600 м = 1600 м

2) Переведем расстояние между деревнями в метры:

3 км 500 м = 3000 м + 500 м = 3500 м

3) Вычтем пройденный пешеходом путь из расстояния между деревнями:

3500 м – 1600 м = 1900 м

4) Выделим целые километры и получим ответ (зная, что 1 км = 1000 м):

1900 м = 1000 м + 900 м = 1 км 900 м

Ответ: пешеходу осталось пройти 1 км 900 м.

Задание №11. Решите примеры на вычитание расстояний

а) 3 км 960 м – 2 км 900 м =

б) 4 км 700 м – 1 км 900 м =

в) 5 км 760 м – 2 км 430 м =

г) 1 км 200 м – 900 м =

д) 4 км 270 м – 3 км 350 м =

1.4. Единицы измерения времени

Всякое движение происходит во времени.

Например, показанный ранее на рисунке гвоздик двигали от 0 до 10 см в течение 20 секунд (такой был выбран режим движения для демонстрации).

Время измеряется в секундах, минутах, часах, сутках.

В 1 минуте 60 секунд.

В 1 часе 60 минут.

В 1 сутках 24 часа.

Для решения задач на движение нужно научиться преобразовывать время в разных единицах, складывать и вычитать временные интервалы.

Запишем основные соотношения единиц времени.

1 час (ч) = 60 минут (мин) = 60×60 секунд (с) = 3600 секунд (с)

1 сутки (сут) = 24 ч = 24×60 мин = 1440 мин = 1440 × 60 с = 86400 с

Задача №12.

Велосипедист проехал первый круг за 2 минуты 20 секунд, а второй круг – за 2 минуты 55 секунд. Сколько времени затратил велосипедист на два круга?

1) Вычислим, сколько времени велосипедист затратил на первый круг в секундах: 2 мин 20 с = 2 × 60 + 20 = 140 с.

2) Вычислим, сколько времени велосипедист затратил на второй круг в секундах: 2 мин 55 с = 2 × 60 + 55 = 175 с.

3) Вычислим, сколько времени потребовалось на проезд двух кругов:

140 с + 175 с = 315 с.

4) Выделим целые минуты (помним, что 60 секунд – это одна минута):

315 с = 300 с + 15 с = 5 мин 15 с

Ответ: На два круга велосипедист затратил 5 мин 15 с.

Решите несколько примеров на сложение и вычитание времени.

Задание №13. Решите примеры на сложение времени

а) 1 ч 2 мин + 3 ч 29 мин =

б) 2 мин 45 с + 3 ч 20 мин =

в) 3 ч 7 мин + 2 ч 32 мин =

г) 1 ч 20 мин + 2 ч 53 мин =

д) 35 мин 56 с + 17 мин 35 с =

Задача №14.

Велосипедист проехал первый круг за 2 минуты 20 секунд, а второй круг – за 2 минуты 55 секунд. На сколько велосипедист проехал второй круг быстрее чем первый?

1) Вычислим, сколько времени велосипедист затратил на первый круг в секундах: 2 мин 20 с = 2 × 60 + 20 = 140 с.

2) Вычислим, сколько времени велосипедист затратил на второй круг в секундах: 2 мин 55 с = 2 × 60 + 55 = 175 с.

3) Вычислим, сколько времени потребовалось на проезд двух кругов:

175 с – 140 с = 35 с.

Ответ: Второй круг велосипедист проехал быстрее чем первый на 35 с.

Задание №15. Решите примеры на вычитание времени:

а) 4 ч 2 мин – 3 ч 29 мин =

б) 5 мин 45 с – 3 мин 29 с =

в) 3 ч 7 мин – 2 ч 33 мин =

г) 5 ч 20 мин – 3 ч 51 мин =

д) 35 мин 56 с – 18 мин 37 с =

1.5. Единицы измерения скорости

Скорость – расстояние, которое проходит какой-то объект в единицу времени. То есть, если мы говорим, что скорость составляет 10 км/час, это означает, что за 1 час будет пройден путь в 10 км. За следующий 1 час – еще 10 км и так далее, пока движение не закончится.

Измеряется скорость, в единицах расстояния, деленных на единицу времени.

2.1. Формула расчета пути

Для обозначения пути используют букву S, для времени – букву t, для скорости – букву V.

Формула для расчета пути выглядит так:

S = V × t.

То есть, путь определяется умножением скорости движения на время, в течение которого это движение происходило.

Из этой формулы следуют (их нужно тоже знать) формула для расчета времени в пути:

t = S : V.

То есть, время в пути есть пройденный путь, деленный на скорость движения по этому пути.

И формула расчета скорости:

V = S : t.

Скорость определяется делением пройденного пути на время, за которое этот путь пройден.

Прежде чем перейти к решению задач, обратим внимание, что в формулы для получения правильного результата нужно подставлять численные значение в одних единицах измерения. Решим задачу:

Задача №16.

Пешеход шел со скоростью 5 км/ч в течение 60 минут. Какой путь он прошел?

1) Вспомним, что путь вычисляется по формуле S = V × t. Определим ее элементы:

Скорость V = 5 км/ч

Время t = 60 мин

Обратим внимание, что нельзя умножать 5 км/ч × 60 мин, потому что единицы измерения всех величин путей, времен и скоростей в формуле должны быть какие-то одни (в нашем случае время и в часах, и в минутах – так нельзя, надо выбрать что-то одно и перевести все численные значения в эту единицу измерения).

Выберем время выражать в часах. Приведем все значения, где используется время, к единице измерения в часах.

Вспомним, что 60 минут – это 1 час. Получим, что:

Время t = 60 мин = 1 ч

2) Теперь наши элементы выражены одной единицей измерения для пути, времени, скорости (это км, ч, км/ч), можем воспользоваться формулой для вычисления.

Скорость V = 5 км/ч

Время t = 1 ч

Вычислим путь по формуле S = V × t = 5 км/ч × 1 ч = 5 км.

Ответ: Путь, пройденный пешеходом, составит 5 км.

2.2. Единицы измерения в формуле расчета пути

Обратим внимание, что единицы измерения пути, времени и скорости должны быть связаны таким образом, чтобы скорость была выражена в тех же единицах, что измерен путь, деленных на те единицы, в которых измерено время. Только при соблюдении этого соотношения единиц измерения, по формуле будет получен правильный численный результат.

Потренируемся на нескольких примерах определять правильную единицу измерения для подстановки в формулы пути.

Задание №17. Укажите правильную единицу измерения для подстановки и вычислений по формуле пути:

а) Путь измерен в километрах, время в часах, в чем будет измерена скорость?

б) Путь измерен в метрах, время в секундах, в чем будет измерена скорость?

в) Путь измерен в дециметрах, время в минутах, в чем будет измерена скорость?

г) Путь измерен в сантиметрах, время в секундах, в чем будет измерена скорость?

д) Скорость измерена в км/ч, время в часах, в чем будет измерен путь?

е) Скорость измерена в м/с, время в секундах, в чем будет измерен путь?

ж) Скорость измерена в дм/ч, время в часах, в чем будет измерен путь?

з) Скорость измерена в дм/мин, время в минутах, в чем будет измерен путь?

и) Путь измерен в сантиметрах, скорость в см/ч, в чем будет измерено время?

к) Путь измерен в километрах, скорость в км/ч, в чем будет измерено время?

л) Путь измерен в дециметрах, скорость в дм/с, в чем будет измерено время?

2.3. Некоторые реальные значения скоростей и расстояний

Когда мы говорим о движении, полезно понимать, какие реальные численные значения путей и скоростей существуют в окружающем нас мире. Это также позволит оценить на реалистичность полученные результаты решения задач. Хотя нет никаких гарантий, что автор задачи намерено использовал нереальные значения, например, такие.