Репетитор по математике. Арифметика

Само название «арифметика» происходит от греческого слова означающего «число». Само число – это простейшие понятие, его можно пояснить лишь предметным образом. По мере развития человечества возникла необходимость счета людей, животных, предметов домашнего обихода и прочих вещей. Так возникла количественная оценка предметов. Многие задают вопрос, чем же число отличается от цифры? Цифра – это письменный знак, изображающий число. Сейчас, в основном, мы пользуемся арабской системой записи чисел. И совсем не задумываемся, написав цифру 2, мы отлично понимаем, что это цифра больше, чем цифра 1 и меньше, чем цифра 3. Арабская система исчисления – десятичная. Это означает, что названия всех чисел образованы из названий чисел первого десятка и чисел 10, 100, 1000.

Например, 17 (семнадцать – семь на (сверху) десять), 50 (пятьдесят – пять десятков), 400 (четыреста – четыре сотни). Особняком стоит 90 (девяносто),образованное по другому принципу (девять до ста) и число 40 (сорок) – единственное исключение.

У разных народов были разные системы нумерации. До наших дней дошла ещё римская нумерация чисел. Но она очень неудобна при операциях сложения, умножения и так далее, поэтому в математике не используется. Для желающих познакомиться более детально с римской нумерацией чисел, добро пожаловать в дополнительный раздел. Но мы не будем сейчас на этом останавливаться. Следует заметить, не все числа, которыми мы сейчас пользуемся, возникли одновременно. Первыми числами, которыми пользовался человек, были натуральные числа, обозначаемые буквой N. Именно, они возникли первыми при счёте предметов. Натуральные числа начинаются с единицы и продолжаются до бесконечности. Примеры таких чисел довольно просты: на улице 18 домов, в коробке 12 карандашей, в библиотеке 5432 экземпляра книг, в городе проживает 252 196 жителей. Далее возникла необходимость ввести число 0, ведь при вычитании одинаковых натуральных чисел получалось «нечто», не имеющее материального обоснования. Перед тем как появилась необходимость введения отрицательных чисел для обозначения этого «ничего» ввели число 0. По мере дальнейшего совершенствования человеческих отношений, развития науки и техники возникла необходимость в отрицательных числах. Натуральные числа, противоположные к ним и 0 составили множество целых чисел Z. Потом возникли дробные числа. О дробных числах мы поговорим подробнее в соответствующей теме. Целые и дробные числа составляют множество рациональных чисел Q. Если к множеству рациональных чисел добавить иррациональные числа, мы получим множество действительных чисел R. Для наглядности составлена такая таблица. (табл.1)

Для удобства чтения и запоминания больших чисел их разбивают на классы. Справа отделяют три цифры (первый класс), потом ещё три цифры (второй класс) и т. д. Между собой классы отделяются небольшим пробелом. Первый класс даёт число единиц, второй – число тысяч, третий – миллионов. Каждая из цифр класса наз. его разрядом, счёт разрядов также идёт справа. Числа в первом классе справа налево: единицы, десятки, сотни, во втором классе соответственно: тысячи, десятки тысяч, сотни тысяч. В третьем классе: миллионы, десятки миллионов, сотни миллионов. Единица четвёртого класса называется миллиардом, пятого триллионом. Существует единица и для 6, 7, 8 и т. д. классов, но мы их рассматривать не будем. А теперь поупражняемся.

Таблица 1

35 461 298 читается так: 35 миллионов 461 тысяча 298.

Не следует бояться больших чисел, число 12 021 306 200 025 имеет 5 классов, поэтому читается таким образом: 12 триллионов 21 миллиард 306 миллионов 200 тысяч 25.

Теперь перейдём непосредственно к арифметическим действиям. Мы не будем давать здесь определений арифметических действий, они известны всем. Итак, арифметические действия – это сложение, вычитание, умножение и деление, а также возведение в степень и извлечение корня. Степени и корни изучаются в курсе алгебры и мы их рассматривать не будем. Здесь приведём примеры основных арифметических действий:

Сложение.

8 +5 = 13. Здесь 8 и 5 – слагаемые, 13 – сумма.

Вычитание.

15 – 8 = 7. Здесь 15 – уменьшаемое, 8 – вычитаемое, 7 – разность.

Умножение.

6 × 5 = 30. Здесь 6 – множимое, 5 – множитель, 30 – произведение.

Деление.

30 ÷ 6 = 5. Здесь 30 – делимое, 6 – делитель, 5 – частное.

Эти термины нам понадобятся в дальнейшем.

Важнейшим понятием арифметики есть порядок действий. При вычислениях им нельзя игнорировать. Поэтому 4—2+1 будет равно трём если проводить действия в порядке их записи. Если же сначала сложить 2+1 и вычесть полученную сумму из 4, то получим совсем другой ответ, которой равен единице. Чтобы указать в каком порядке нужно выполнять действия пользуются скобками. Действие, заключённое в скобки, выполняется раньше других. Таким образом, порядок действий при вычислениях:

1. Сначала выполняются действия, заключённые в скобки. Умножение и деление делается в порядке их следования, но раньше, чем сложение и вычитание.

2. Затем выполняются оставшиеся действия, причём опять умножение и деление делается в порядке их следования, но раньше сложения и вычитания.

Рассмотрим пару примеров: (2+4) ×5.

Сначала вычисляем действие в скобках 2+4 = 6, далее следует умножение на 5:

6×5 = 30.

Это простой пример. Рассмотрим более сложный:

9+16:4—2 × (16—2×7+4) +6 × (2+5)

Сначала выполняем действия в скобках, не забывая о том, что умножение и деление идёт впереди сложения и вычитания.

Первая скобка: 2 × 7 = 14, 16 – 14 = 2, 2 +4 = 6.

Вторая скобка: 2 +5 = 7.

Наш пример примет вид: 9 +16: 4 – 2 × 6 +6 × 7. Теперь выполняем операции умножения и деления в порядке их следования:

16: 4 = 4, 2 × 6 = 12, 6 × 7 = 42.

И окончательно, выполняем операции сложения и вычитания в порядке их следования. Имеем 9 +4 – 12 +42 = 43.

Иногда приходится заключать скобки в скобки, поэтому пользуются ещё и квадратными скобками.

Порядок действий: сначала выполняются в круглых скобках, потом в квадратных, а потом все остальные действия. Например,

5+2× [14—3× (8—6)] +32: (10—2×3)

Выполняем действия в круглых скобках, имеем:

8 – 6 = 2, 10 – 2 × 3 = 10 – 6 = 4

Действия в квадратных скобках дают: 14 – 3 × 2 = 8

Выполняя оставшиеся действия, имеем:

5 +2 × 8 +32: 4 = 5 +16 +8 = 29.

А теперь немного отвлечёмся. Сейчас в соц. сетях некоторые пользователи придумывает такое развлечение, они выкладывают простой арифметический пример и просят других пользователей дать правильный ответ. Вот, например,

10:2 (4—2).

Наиболее часто встречающиеся ответы 10 и 2.5. Вы уже немного продвинулись в арифметике и поэтому для вас не составит труда дать правильный ответ. Это число 10. 70％ пользователей дают правильный ответ на эту арифметическую задачу. И это, я считаю, неплохо. А теперь на этом примере рассмотрим характерные ошибки, которые делают остальные 30％.

Наиболее существенная ошибка. Простой арифметический пример пытаются решить алгебраическими методами, в частности раскрывая скобки (об этом методе поговорим в дальнейшем), тем самым нарушая порядок действий. Сразу замечу, алгебра и арифметика – это две разные дисциплины. В арифметике, в отличие от алгебры, основная функция скобки – обозначение приоритета очерёдности действий. Каких только определений не придумывается для этого ошибочного решения: коэффициент скобки, действия на скобку и т. д. Если вы таким образом решите данный пример, то получите 2.5. Внимание: неправильное решение.

10: (2×4 – 2×2) =10: (8—4) = 10:4 = 2.5

Другие пользователи помнят, что сначала выполняется действие в скобках, но потом делает характерную ошибку: они умножают двойку на то, что получилось в скобках, а потом уже выполняют деление. Запомните, никакого приоритета умножение перед делением не имеет, поэтому все оставшиеся действия делаются слева направо в порядке их написания. Если вы сделаете ошибку такого рода получите снова 2.5. Внимание: неправильное решение.

10:2×2 = 10:4 = 2.5.

Я не представляю, какие дебаты могли возникнуть, если был бы выложен более сложный арифметический пример. Часть тех, что делают ошибку утверждают, что их так учили и 30—50 лет назад этот пример решался именно так. Замечу, что арифметика – древняя наука и те правила, которые сложились ещё много веков назад действуют и по сей день. Интересно, что те, кто правильно решает данный пример не настолько агрессивны, как те, что решают его неправильно. В чём природа такого явления нужно спросить у психологов. Ещё одно ошибочное утверждение, некоторые доказывают, что правильных ответов может быть два и более. Это заблуждение, арифметика – точная наука и у любого задания есть единственно верный ответ (в отличие, кстати, от алгебры).

О единственно верном ответе есть отличный видеоролик, снятый американскими кинематографистами. Впрочем, смысл этого ролика немного в другом, я попытаюсь пересказать его содержание, но рекомендую вам самим посмотреть его. Достаточно в поисковой строке набрать 2+2=22 или название ролика «Альтернативная математика». В начале учительница пытается объяснить мальчику, что два плюс два равняется четырём, а не 22, как тот написал в тесте. Беседа с ребёнком ничего не даёт и тогда учительница приглашает родителей мальчика. Родители в недоумении и заявляют, что учитель не имеет права навязывать школьнику своё мнение, если ребёнок считает что два плюс два равняется 22, значит нужно согласится с его мнением. Дальше история становится ещё абсурдней. Директор школы настаивает на том, чтобы учительница извинилась перед родителями, т.к своим поведением она мешает школьникам мыслить самостоятельно и навязывает свои догмы. Дальше – больше, перед образовательным учреждением ученики выходят с плакатами на площадь, а учительницу вызывают на комиссию с требованием признать, что существует несколько правильных ответов. Учительница возражает: «Есть только один правильный ответ». В конце-концов учительница отстаивает свою точку зрения. Директор вызывает учительницу и перед журналистами и телевизионщиками говорит: « Нам придётся вас уволить, вы получите 4000. 2.000 за прошлый месяц и 2.000 за текущий. И тут учительница иронично замечает: « Не верно, это 22000». На этом ролик заканчивается. На самом деле он не о том что, математика – точная наука, здесь больше критика в сторону толерантного образования США. На самом деле создатели ролика немного ошиблись, т.к 2000 +2000 = 2 000 2 000,т.е 20 миллионов 2 тысячи, если считать по правилам альтернативной математики.

Мы пользуемся десятичной системой исчисления, это связано, скорее всего, с тем, что у нас на руках 10 пальцев. В компьютерных системах применяется двоичная система исчисления, а также восьмеричная и шестнадцатеричная. Кроме этого может существовать пятеричная, двенадцатеричная и какие угодно другие системы исчисления. Запись одного и того же числа в разных системах исчисления будет иной, чем в привычной нам десятичной системе. Кому это интересно, добро пожаловать в дополнительный раздел.

Тестовые задания к теме 1

Тест 1

1. Натуральные числа – это числа вида:

А) 0, 1, 2, 3,… Б) 1/1, 2/2,3/3,… В) 0, ±1, ±2, ±3,… Г) 1, 2, 3,…

2. – Выделить натуральное число:

А) 4/2 Б) 0 В) -3 Г) 1998

3. Какие действия выполняются всегда на множестве

натуральных чисел:

А) извлечение корня Б) сложение В) вычитание

Г) все вышеперечисленные

4. Целые числа – это числа вида:

А) 0, ±1, ±2, ±3,… Б) ± 1/1, ± 2/2, ± 3/3,… В) -2, -1, 1, 2,…

Г) 0, 1, 2, 3,…

5. Какие подмножества включают в себя множество целых чисел:

А) только целые положительные числа

Б) только натуральные и нуль

В) целые отрицательные, натуральные и нуль

Г) только натуральные

6. Указать целые числа:

А) 1/2 Б) -34 В) -0.2 Г) нет таковых

7. Рациональные числа – это числа вида:

А) a/b, где a – целое, b – натуральное

Б) a/b, где a, b – целые неотрицательные числа

В) a/b, где a – натуральное, b – целое

Г) a/b, где a, b – целые числа

8. Укажите целые числа меньше 0, но больше -5:

А) -5, -4, -3, -2, -1 Б) -4, -3, -2, -1 В) -5, -4, -3, -2, -1, 0

Г) -4, -3, -2, -1, 0

9. Укажите целые числа меньше -2, но больше -7:

А) -7, -6, -5, -4, -3 Б) -7, -6, -5, -4, -3, -2 В) -6, -5, -4, -3

Г) -6, -5, -4, -3, -2

10. Укажите целые числа больше -1,но меньше 1:

А) -1, 0, 1 Б) 0 В) -1, 0 Г) 0, 1

11. Укажите целые числа не больше 0, не меньше -1:

А) нет таких Б) 0 В) -1, 0 Г) -1

12. Найдите произведение чисел 11 и 125:

А) 12 625 Б) 11 125 В) 1 375 Г) 1 225

13. Вычислите 984: 8:

А) 150 Б) 125 В) 120 Г) 123

14. Какое действие выполняется последним при

нахождении значения выражения

1500 +800 × 300 – 500: 5

А) сложение Б) умножение В) вычитание Г) деление

15. Найдите частное чисел 84 и 7: