Популярно о конечной математике и ее интересных применениях в квантовой теории

We have examined your manuscript. We conclude that the manuscript is not suited for publication in The Physical Review.

We make no judgment on the correctness or technical aspects of your work. However, from our understanding of the paper's physics results, context, and motivation, we conclude that your paper does not have the importance and broad interest needed for publication in our journals, as it seems too speculative.

This judgment results in part from our reading of the abstract, introduction, and conclusions, which are crucial for our readership. In view of our assessment, we are not sending your manuscript out for review. We regret that we must suggest that you submit the manuscript to a more appropriate journal.

Yours sincerely,

Marek ZukowskiAssociate EditorPhysical Review A

Это стандартный текст, который они заготовили на те случаи, когда они не хотят разбираться в статье и хотят сразу отфутболить. Поэтому все что написано не имеет отношения к моей статье. Ясно, что этот текст полностью противоречит научной этике т. к. делаются отрицательные утверждения без всякого объяснения. Мне трудно понять как может приличный физик подписаться под таким текстом. В данном случае подписался Marek Zukowski, который, вроде как, квантовый физик. Например, он пишет статьи по теореме Белла (здесь не буду писать, что думаю об этой теореме). Из этого текста совершенно неясно, понимает ли он проблему времени в квантовой теории, имеет ли хотя бы приблизительное представление о самых основах конечной математики или, как у многих физиков, его менталитет такой, что если он чего-то не понимает, то сразу решает, что это не имеет отношения к физике.

Возникает вопрос почему один из ведущих физических журналов в мире не стесняется посылать авторам тексты, где нарушены самые основные правила научной этики. В editorial policy они пишут: “If in the judgment of the editors a paper is clearly unsuitable for Physical Review A, it will be rejected without external review; authors of such papers have the same right to appeal as do other authors”. Т. е. мою статью они сочли “clearly unsuitable”. Но в этом случае они тоже должны объяснить почему. Этот текст, вроде бы, претендует на объяснение: они говорят, что (якобы) читали аннотацию, введение и заключение. Если так, то почему не сказать что в них неприемлемо? Но в тексте нет никаких намеков, показывающих, что хоть какую-то часть статьи читали.

Можно сказать так: если они будут разбираться с каждой статьей, то у них просто не хватит на это времени т. к. статей много. Но тогда зачем пудрить читателям мозги, что, как они пишут: "By Scientists, For Scientists. Like all of the journals in the Physical Review family, PRA is shaped by researchers to serve the research community. This commitment ensures that its mission and standards prioritize the needs of researchers and authors…". Да и вообще, зачем тогда писать такую длинную editorial policy и делать вид, что решают в рамках каких-то правил? Тогда надо просто написать, что редакторы решают, объяснять они не обязаны и дело с концом.

Ясно, что я написал протест, и мне прислали ответ, который написал член редколлегии S. Pascazio. Этот ответ – типичный пример попытки написать какие-то научные слова, чтобы сделать вид, что ответ обоснованный. Привожу этот ответ полностью.

The manuscript written by Dr. Felix M. Lev deals with an approach to quantum mechanics and quantum field theory based on a finite field or ring. Focus is on the role of time (and space), space-time symmetries (from Poincare to dS and AdS) and IRs thereof, the semiclassical approximation and (some) classical results, obtained without making explicit reference to the standard semiclassical limit. Let me add that I have some basic knowledge in finite mathematics (enough knowledge to appreciate the content of Sec. 5). I wonder whether Dr. Lev is correct when he asserts that this knowledge is not shared by the majority of physicists. He is certainly a bit superficial when he writes that “referees in physics community [very often] do not have even very basic knowledge in the problem discussed in the refereed paper." This is certainly not true for Physical Review A.

But let me come to the point. I quote from the APS webpage: Physical Review A publishes important developments in the rapidly evolving areas of atomic, molecular, and optical (AMO) physics, quantum information, and related fundamental concepts. (I wrote “related" in italics.) There is one section on “Fundamental concepts" that covers what used to be considered (in the period that followed the discovery of Bell's theorem) foundational issues in the interpretations of quantum mechanics. Such an area of research has recently evolved into a very active field of investigation, dealing with entanglement, other quantum correlations, dissipative quantum systems and evolutions, quantum maps, quantum applications and also quantum technologies (this list is far from being exhaustive). In his accompanying letters, Dr. Lev wrote that “Your journal has a section “Fundamental Concepts" and my paper satisfies all the requirements for that section." In my opinion there is a misunderstanding. This expression has a different connotation. I quote again the webpage of Physical Review A: PRA covers atomic, molecular, and optical physics, foundations of quantum mechanics, and quantum information, including:

Fundamental concepts

Quantum information

Atomic and molecular structure and dynamics

Atomic and molecular collisions and interactions

Atomic and molecular processes in external fields, including interactions with strong fields and short pulses

Matter waves and collective properties of cold atoms and molecules

Quantum optics, physics of lasers, nonlinear optics, and classical optics

The ideas investigated in this manuscript are of interest, but do not appear to be in line with the scope of Physical Review A, for the reasons I have detailed. I believe that Physical Review A is not the right arena to discuss the issues brought up by Dr. Lev. I therefore suggest that this manuscript be submitted to a different journal, where appropriate refereeing can be provided.

In conclusion, I uphold the rejection of the Associate Editor Marek Zukowski and do not recommend publication in Physical Review A.

Чтобы создать это произведение эпистолярного жанра, ему понадобилось 40 дней. Ответ довольно длинный, но в нем есть только две темы.

Вначале он говорит, что я неправ, утверждая, что большинство физиков не знают основ конечной математики и это заведомо неправильно для рецензентов PRA. В частности, как он пишет, “I have some basic knowledge in finite mathematics (enough knowledge to appreciate the content of Sec. 5)”. Если так, то отлично, и почему бы ему не показать, что он действительно что-то знает? Почему в этом случае он не пишет рецензию, тем более, что (как и многие рецензенты, отвергающие мои статьи) он пишет, что “The ideas investigated in this manuscript are of interest”? Но дальнейшая длинная часть ответа посвящена тому, чтобы доказать, что статья не по теме PRA.

Казалось бы, то, что статья по теме – совершенно очевидно: как я писал, в журнале есть раздел "Fundamental Concepts", одна из возможных тем – “foundations of quantum mechanics” и один из возможных разделов физики – "Quantum Theory". Но в своих длинных рассуждениях он хочет показать, что все равно статья не по теме. Он приводит много цитат из editorial policy, а насчет "Fundamental Concepts" и “foundations of quantum mechanics” он говорит, после теоремы Белла под этим понималось “entanglement, other quantum correlations, dissipative quantum systems and evolutions, quantum maps, quantum applications and also quantum technologies (this list is far from being exhaustive)”. Т.е., не все вопросы в “foundations of quantum mechanics”, а только те, которые есть в его списке, который есть только у него в голове, и как он пишет, к тому же не полный. Поэтому возникает вопрос: когда физик посылает статью по “foundations of quantum mechanics”, то откуда он знает, что сюда входит, а что нет? В частности, из логики Pascazio следует, что проблема времени сюда не входит. Очевидно, что цель ответа – найти повод, чтобы отфутболить статью без всякой рецензии. Понимает ли он, что поступает непорядочно? Наверное, понимает, но решил, что из каких-то соображений ему лучше поступить так.

После этого ответа у меня оставался последний шанс оспорить решение редакции: обратиться к Editor in Chief of the APS. В editorial policy написано, что все научные вопросы – в ведении редакции, Editor in Chief научными вопросами не занимается и в обращении к нему главный вопрос должен быть такой: “did the paper receive a fair hearing?”. В своем обращении я написал, что, очевидно, что рассмотрение не было честным: хотя очевидно, что моя статья по теме журнала, но в течении двух месяцев придумывали поводы, чтобы отфутболить статью без всякой рецензии. Очевидно, что это как раз вопрос, который должен решить Editor in Chief.

В своем ответе Editor in Chief Michael Thoennessen пишет: “The Editor in Chief must assure that the procedure of our journals have been followed responsibly and fairly in arriving at that decision… The original decision by the editor was subsequently supported by Editorial Board Member Professor Pascazio who wrote a detailed report. Thus I conclude that your paper received a fair review”.

Так что его логика такая: если редактор отказал и потом член редколлегии это подтвердил, то все честно. Но тогда возникает вопрос: а зачем тогда он нужен? Почему в editorial policy написано, что можно обратиться к нему, хотя он все равно решать ничего не хочет и доверяет редакции? Понимает ли он, что таким ответом он показывает, что не хочет выполнять свои обязанности и поступает непорядочно?

Моей следующей попыткой опубликовать статью было направление ее в Journal of Physics Communications. Этот журнал только недавно организовался, он принадлежит Institute of Physics, и editorial policy такая, что дух захватывает. В частности написано, что “The journal does not make a subjective assessment on the potential future significance of a paper, instead providing a rapid platform for communicating research that meets high standards of scientific rigour and contributes to the development of knowledge in physics. All physics-related research is in scope, including interdisciplinary and multidisciplinary studies. All types of results can be published, provided they contribute to advancing knowledge in their field, including negative results, null results and replication studies”. Еще было написано, что "All articles are subjected to rigorous single-blind peer review by at least two referees" и что “the author has the right to appeal against a rejection”. Но никаких двух рецензий я не получил, а получил ответ с таким текстом:

BOARD MEMBER'S REPORT:

I think the paper is not suitable for JPCO. In my view the paper would be more suitable for a philosophy of science journal than a physics journal. Of course it is OK to propose new points of view and to challenge accepted knowledge, however the proposal that quantum theory should be based on discrete mathematics seems rather speculative to me. I do not think that this paper will have the right level of scientific rigour and/or will be interest to the mathematical physics community.

Я написал протест, а потом дополнение к нему. В них написал, что решение редакции полностью противоречит официальной политике самой редакции. Во-первых, я не получил двух отзывов, аргументы этого члена редколлегии даны без всяких объяснений, его мнение – это просто “subjective assessment”, которые, как они клянутся, они не принимают, а фраза “the proposal that quantum theory should be based on discrete mathematics seems rather speculative to me” просто смехотворна. “Quantum” имеет смысл “дискретный”, и поэтому это предложение можно перефразировать так: “the proposal that discrete theory should be based on discrete mathematics seems rather speculative to me”. Т.е., этот член редколлегии не понимает основ квантовой теории и научной этики, что никакие отрицательные утверждения не должны делаться без обоснования. Когда журнал организовался и его рекламировали, то писали, что т. к. редакционная политика нестандартная, то они ее объясняют рецензентам. Но здесь выясняется, что даже член редколлегии поступает в полном противоречии с этой политикой.

Мне написали, что протесты посланы в Editorial Office и "ждите ответа". Я долго ждал, а потом написал им, что они полностью нарушают свои же правила и я отзываю статью. В ответ получил письмо, в котором, в частности, написано:

We are sorry to hear that you are so unhappy with the review process. We do understand your frustration, particularly as it does currently give the impression on our homepage that all articles will receive two referee reports. I thank you for bringing this to our attention. This information is unfortunately wrong, and I have requested as a matter of urgency that it is changed to be a true reflection of our peer review policy:

"This journal operates a single-blind peer review policy. All submissions are preliminarily assessed for editorial suitability by an in-house editorial team, and in some cases also by the Editorial Board, ahead of formal peer review. Articles that are considered inappropriate for the journal at this initial stage will be rejected without further review… Your article received a preliminary report from the editorial board, and was rejected based on their recommendation. Your appeal had been sent back to the editorial board for further consideration, but we have not yet heard back from them. We have therefore withdrawn your article from consideration as you requested, and you are free to submit it elsewhere.

Что в этом ответе необычно: теперь они говорят, что пункт редакционной политики, что каждый получает два отзыва, неправильный и благодарят меня, за то, что я указал на этот пункт. Теперь они его убрали и написали, что вначале редколлегия решает статья по теме или нет (т. е. при этом почти вся необычность их политики теряется). И что моя статья была отвергнута, исходя из доклада члена редколлегии. Но они не пишут, должно ли это решение как-то обосновываться. И еще пишут, что мой протест послали редколлегии, но пока решения нет. Т.к. прошло много времени, то похоже, что протест и не собирались рассматривать, опять-таки в полном противоречии с правилами редакции.

Во всех трех случаях, когда я посылал статью о проблеме времени, я просил в cover letter рассмотреть статью в соответствии с правилами редакции, т. к. мой опыт показывает, что, в силу разных причин, редакции не выполняют требования своей же политики. Казалось бы, даже странно просить редакции об этом т.к. это должно быть само собой разумеющимся. Но все эти просьбы были проигнорированы и во всех случаях редакционные правила были нарушены.

Наконец, я был удивлен вот чем. Как отмечал выше, в отличие от моего опыта с так наз. престижными западными журналами, рецензии, которые я получал из Дубненского журнала "Физика элементарных частиц и атомного ядра" и писем в этот журнал, были на высоком уровне и целью рецензий было помочь автору улучшить статью. Поэтому решил послать статью о проблеме времени в этот журнал. И был очень удивлен рецензией, написанной по-русски. Привожу свой подробный ответ т.к. в нем рецензия цитируется тоже:

Статья: “A Conjecture on the Nature of Time”. Автор: Ф. Лев.

Ответ автора на рецензию

Я признателен рецензенту за то, что он подробно изложил свои возражения. К моему подходу можно относиться по-разному, но, надеюсь, что рецензент, по крайней мере, признаёт, что подход нестандартный. Понимаю, что из-за этого у читателей могут быть проблемы с пониманием. Я старался подробно объяснить свой подход, но, по крайней мере, убедить рецензента мне не удалось. Вполне допускаю, что объяснение может быть не всегда ясным. Поэтому всегда благодарен за любую критику (в том числе и неправильную) т. к. она помогает понять в чем объяснение должно быть улучшено. В связи с замечаниями рецензента, статья значительно переработана. Ниже попытаюсь подробно ответить на все возражения рецензента.

1. Почему конечная математика более фундаментальна чем непрерывная. Рецензент пишет: "Разделение математики на фундаментальную (конечную) и нефундаментальную (непрерывную) совершенно произвольно. Прежде всего, автор не дает определения фундаментальной и нефундаментальной теорий, а рассматривает на формальном уровне возможность перехода от конечной математики к непрерывной. Очевидно, что с таким же успехом на таком же уровне строгости можно перейти от непрерывной математики к конечной.”

Этот вопрос я старался подробно объяснить в статье [15], которую рецензент читал. Но, раз он считает объяснение неубедительным, то попробую подробно объяснить этот пункт, чтобы в нем была полная ясность. Вначале приведу три примера хорошо известных из физики.

Рассмотрим специальную теорию относительности (СТО) и классическую механику. Фразу, что первая теория более фундаментальна чем вторая можно понимать так. В СТО есть конечный параметр c, и классическую механику можно считать формальным пределом СТО при c→∞ потому, что любой эффект классической механики можно получить из СТО в таком формальном пределе. Но когда мы уже перешли к пределу и получили классическую механику, то вернуться назад к СТО мы уже не можем и классическая механика не может описать все эффекты СТО. Она может описать с хорошей точностью только явления, где v/c<<1.

Рассмотрим де Ситтер (dS) инвариантную теорию и Пуанкаре инвариантную теорию, т. е. СТО. Фразу, что первая более общая чем вторая можно понимать так, что в первой есть конечный параметр R (который можно назвать радиусом мира) и вторая теория может быть получена из первой в формальном пределе R→∞. Поэтому любой эффект второй теории можно получить из первой в таком формальном пределе. Но, когда мы уже перешли к пределу и получили СТО, то вернуться назад к dS теории мы уже не можем и СТО не может описать все эффекты dS теории.

В своей знаменитой статье “Missed opportunities” ("Упущенные возможности") Dyson пишет, что СТО лучше классической механики, а dS теория лучше СТО не только из физических, но и из чисто математических соображений. Группа Пуанкаре более симметричная чем группа Галилея и переход от первой ко второй при c→∞ формально описывается процедурой контракции. Аналогично группа де Ситтера более симметричная чем группа Пуанкаре и переход от первой ко второй при R→∞ формально тоже описывается процедурой контракции. Однако, группа де Ситтера полупростая и поэтому имеет максимально возможную симметрию. Поэтому эта группа не может быть получена из какой-то еще более симметричной группы при помощи контракции.

Сравним квантовую и классическую теории. Первая понимается как более общая чем вторая, например, потому, что вторая может трактоваться как формальный предел первой при ћ→0. Любой эффект классической теории можно получить из квантовой в таком формальном пределе. Но, когда мы уже перешли к пределу, то вернуться назад к квантовой теории мы уже не можем.

Во всех трех рассмотренных случаях есть общая закономерность. Мы рассматриваем две теории, так что первая содержит какой-то конечный параметр, а вторая получается из первой в формальном пределе, когда этот параметр стремится к нулю или бесконечности. Тогда первая теория трактуется как более фундаментальная чем вторая. Когда мы уже перешли к пределу, то вернуться назад к первой теории мы уже не можем.

В литературе есть термин cћG куб физических теорий. Смысл такой, что самая общая теория – это квантовая релятивистская теория гравитации, которая содержит все три параметра, менее общие теории содержат меньшее число параметров, а наименее общая теория – классическая, не квантовая и без гравитации не содержит ни c, ни ћ ни G. В своих статьях я пишу, что, во-первых, исходя из сказанного выше, лучше говорить о cћR кубе, а не cћG кубе. А во-вторых, из этой терминологии может создаться впечатление, что как раз наоборот, классическая неквантовая теория без гравитации самая общая т. к. она не содержит параметров вообще. На самом деле такая теория содержит три параметра – (kg,m,s), а в самой общей dS инвариантной квантовой теории вообще нет никаких параметров и размерностей. Они возникают только потому, что мы хотим выражать cћR через классические размерности. Эти параметры нужны только для формального перехода от более общей теории к менее общей. Этот вопрос обсуждается в моих статья и в данной статье тоже.

Наконец, обсудим вопрос о связи конечной математики со стандартной. Стандартная математика начинается с натурального ряда и, как следует из теорем Гёделя, любая теория, содержащая натуральный ряд, автоматически имеет неразрешимые проблемы с обоснованием. Рецензент пишет: "Невнятная ссылка на теоремы Гёделя не имеет отношения к данному вопросу, так как эти теоремы касаются и натурального ряда чисел, который используется автором как исходный строительный материал… Однако, в рецензируемой статье, говоря о теоремах Гёделя, автор просто выбросил упоминание о натуральном ряде чисел…".

Обычно, когда у меня возникает неясность, я стараюсь не делать сразу вывод, что кто-то чего-то не понимает и пытаюсь понять, что, может быть, я чего-то не понимаю. Но в данном случае не могу найти объяснение другое чем то, что рецензент не понимает. Конечная математика не может содержать натуральный ряд “как исходный строительный материал” хотя бы потому, что натуральный ряд бесконечен. Рецензент пишет, что, говоря о теоремах Гёделя на стр. 9, я сознательно выбросил упоминание о натуральном ряде. Но я говорил о теоремах только в связи со стандартной математикой. В конечной математике нет натурального ряда и теорем Гёделя.

Конечная математика начинается не с натурального ряда, а с набора чисел Rp=(0,1,2,…p-1) который в литературе называется кольцом вычетов по модулю p, и это отмечено в статье на стр. 8. В этом наборе сложение, вычитание и умножение определяются как обычно, но по модулю p. В теории чисел фраза что что-то берется по модулю p означает, что берется только остаток от деления этого числа на p. Например, возьмем набор чисел (0,1,2,3,4), т. е., p=5. Тогда 3+1=4 как обычно, но 3+2=0 и 3+3=1. Этот набор замкнут относительно этих трех операций т. к. мы всегда получим число из этого набора. А если p простое, то этот набор становится не только кольцом, но и полем т. к. можно ввести деление. Например, 1/2=3, 1/4=4 и т. д. Можно сказать, что все это – экзотика и (или) патология, которая не имеет отношения к жизни, т. к. 3+2 всегда 5, а не ноль.

Ответ на это возражение такой. Допустим, для простоты, что p нечетное. Т. к. операции в нашем наборе определяются по модулю p, то Rp можно представить и как Rp=(-(p-1)/2,-(p-3)/2 … – 1,0,1,… (p-3)/2,(p-1)/2). Тогда, если p очень большое, то для чисел, которые по абсолютной величине <=p, сложение, вычитание и умножение будут такими же как обычно, т. е., в этом случае мы не замечаем p. Отличие от обычного случая будет только для чисел, у которых абсолютная величина сравнима с p. Можно выдвинуть возражение, что все равно все это нефизично т. к. 1/2 равно большому числу (p+1)/2. Но т.к. состояния в квантовой теории проективные, то это возражение ничего не опровергает (как подробно обсуждается в моих работах). Более того, возникает вопрос (см. новый вариант статьи) является ли обычное деление фундаментальной операцией.

Как отмечено в моих работах (например, в [15], которую рецензент читал), указанный набор наглядно можно представить в виде точек на окружности. Это следует из того, что если возьмем любой элемент aϵRp и будем все время прибавлять 1, то за p шагов исчерпаем всё Rp по аналогии с тем, что, когда движемся по окружности в одном направлении, то когда-то вернемся в исходную точку. В то же время, кольцо целых чисел Z можно изобразить целыми точками на бесконечной прямой. Когда p увеличивается, то для все большей части нашего набора сложение, вычитание и умножение становятся как в обычном случае. Это аналогично тому, что когда мы находимся на кривой поверхности, то кривизну не замечаем до тех пор пока расстояния радиуса кривизны. Формальный предел p→∞ наглядно означает, что из Rp мы делаем Z, т. е. как бы разрываем окружность и делаем из нее прямую.

Историческая аналогия здесь очевидна. В течении многих лет люди думали, что Земля плоская, а потом все же поняли, что она круглая. Пока мы имеем дело с расстояниями радиуса кривизны, то кривизну не замечаем. Аналогично, пока еще абсолютное большинство людей думают, что набор чисел – это прямая. Это происходит потому, что в настоящее время число p очень большое и, когда мы имеем дело с числами p, то «кривизну» не замечаем.