Популярно о конечной математике и ее интересных применениях в квантовой теории

My math professor was a famous mathematician M.A. Naimark, and I was very impressed by his lectures on calculus and group representations. As I note in the abstract, the technique of standard math involves only potential infinity while the basis does involve actual infinity: the theory starts with Z, then rational, real, complex numbers and sets with different cardinalities are introduced etc. As a rule, in mathematics legitimacy of every limit is thoroughly investigated but in standard math textbooks it is not even mentioned that Z is the limit of Z/p (by the way, Z/p=Fp only if p is prime) and nothing is said on whether the limit is legitimate. The matter is that when Z/p is replaced by Z we arrive at standard math which has foundational problems.

I came to my ideas from physics where I proved that quantum theory based on finite math is more fundamental than quantum theory based on standard math: the latter is a special degenerated case of the former in the formal limit p→∞, and in my paper I argue that analogously, standard math is a special degenerate case of the former in the formal limit p→∞.

So I believe that the fact that Z/p→Z when p→∞ should be proved without reference to ultraproducts, «pseudofinite» structures etc. but directly by analogy with the proof that some sequence (an)→∞ when n→∞. Unfortunately, this is not easily found in google and the majority of mathematicians prefer to work with Z from the beginning without caring whether or not Z is a limit of a finite set.

Основной смысл письма такой: в математике не должно быть аргумента, что просто что-то очевидно. Любое утверждение, что что-то очевидно должно доказываться или объясняться. И получил в ответ два письма написанные с интервалом 22 минуты:

I am not saying that your Statement 1 follows from some machinery such as ultraproducts, I am just saying that Statement 1 is obvious. Given integers a, b for all stuff. large primes p, a+b, a·b in Z coincides with a+b, a·b in Fp.

Let me clarify. It is not just obvious it is a matter of definition. For a prime p, the field Fp consists of elements 0,1….,p-1, with addition and multiplication modulo p. Namely for a, b in Fp, a+b (in Fp) is the remainder when a+b is divided by p. Likewise for a·b. So by definition, if a,b are in Fp, then for p bigger than max of a+b, a·b, a+b and a·b coincide in Z and in Fp.

Т.е., вначале он пишет, что это очевидно и пытается объяснить. А через 22 минуты уже пишет, что это не только очевидно, но и является определением.

Я написал большой ответ:

I am disappointed with the treatment of my paper at NDJFL. For more than a month the status was “With Editor”, and my naïve expectation was that somebody is reading the paper. However, only after my query you spent 40 minutes or less and the only reason of rejection was “The statement about Z and the Z/pZ (i.e., Fp) is obvious”. In mathematics the statements that something is obvious should always be explained but I thought that since Editor-in-Chief of such a prestige journal makes such a statement then maybe indeed it is extremely obvious, and I don’t understand something trivial. That’s why I wrote that I would be very grateful if you explain your words. However, I was amazed by your response.

In the first email you continue to state that Statement 1 is obvious: “Given integers a, b for all stuff. large primes p a+b, a·b in Z coincide with a+b, a·b in Fp” (probably “stuff.” is a misprint of “sufficiently”) but after 22 minutes you wrote another email:

“Let me clarify. It is not just obvious it is a matter of definition. For a prime p, the field Fp consists of elements 0,1….,p-1, with addition and multiplication modulo p. Namely for a,b in Fp, a+b (in Fp) is the remainder when a+b is divided by p. Likewise for a·b. So by definition, if a,b are in Fp, then for p bigger than max of a+b,a·b, a+b and a·b coincide in Z and in Fp.", so now you are saying that this is the matter of definition.

My first remark is technical. The problem deals only with rings and has nothing to do with division. So, it is not necessary to consider the field Fp and only primes. The problem is whether Z is the limit of rings Rp=(0,1,…p-1) (with operations modulo p) when p→∞.

Again, in mathematics, mathematical statements should be formulated unambiguously such that different interpretations should be excluded. For this reason the words “for any” and “there exist” are often used in mathematical statements. However, saying about a and b you are not using those words, and one can only guess what you mean. Consider you “definition” “So by definition, if a,b are in Fp, then for p bigger than max of a+b,a·b, a+b and a·b coincide in Z and in Fp.” literally. For example, if a=0 and b=0 then for p > 0, a+b and a·b coincide in Z and in Fp. Or if a<10 and b<10 then for p > 100, a+b and a·b coincide in Z and in Fp.”. So your “definition” is indeed obvious.

I guess that probably you meant something like this: for any p0 there exists a set S such that for any a+bϵS,a·b ϵS, a+b and a·b coincide in Z and in Fp for any p >= p0, and card(S)→∞ when p0→∞.

However, even if my guess is correct, this still cannot be a correct definition that Rp→Z when p→∞. The definition should be such that not only for two elements from S their sum and product coincide in Z and in Rp but that it is possible to find a number n such that for any m<=n the result of any m operations of multiplication, summation or subtraction of elements from S should be the same in Z and in Rp, and that n→∞ when p→∞.

The exact formulation of the definition is given in my paper, and I prove that with this definition indeed Rp→Z when p→∞. As I said, the definition should be to some extent analogous to the definition that the sequence (an) →∞ when n→∞: for any M>0 there exists n0 such that an>=M for any n>= n0.

I asked several mathematicians to give me a reference where this is proved but nobody gave such a reference. The response of some of them was analogous to yours: this is obvious. Then I asked that if this the case then why in mathematical textbooks this is not even mentioned and standard math starts from Z from the beginning, but again no response. As I wrote, they don’t care that standard math has foundational problems (as follows e.g. from Gödel’s incompleteness theorems and other considerations). But when I asked Prof. Zelmanov (who is the Fields Medal laureate) he did not say that this is obvious and advised me to look at Terence Tao’s blog where ultraproducts are considered. In my paper I thank Prof. Zelmanov for his advice and refer to the blog.

Technically indeed it is possible to prove that Rp→Z follows from the results on ultraproducts although in ultraproducts they consider only fields and their goal is to use finite fields for proving some features of fields of characteristic zero. Nevertheless, this is not a direct proof, and the construction is rather sophisticated.

In summary, I think that, with the probability 99.99 %, in the literature there is no direct proof that Rp→Z when p→∞ and so my proof is new. Let me note that my paper contains not only this result: I explain that this result is the first step in proving that finite math is more fundamental than standard one: the latter is a special degenerated case of the former in the formal limit p→∞.

However, it seems obvious that you even did not try to carefully read my proof and other results of the paper. You noticed that I prove that Rp→Z, immediately (within minutes) decided that this is obvious (as you say, even without the machinery of ultraproducts) and immediately wrote a rejection. I am amazed that the attitude to my paper at such a prestigious journal was on such a level.

For me it is not a great tragedy that my paper will not be published in NDJFL. I have no doubt that the results are fundamental, they will be acknowledged sooner or later and published elsewhere. However, I treat such an attitude to me as disgraceful from the professional point of view. Such an attitude in fact means that you treat me as unprofessional who submitted to NDJFL a junk which does not deserve consideration.

Of course you have a right to have such an opinion. However, if you think that your attitude was a mistake I would be grateful if you tell me this and will be fully satisfied. I understand that we are only people, everybody makes mistakes, you are very busy handling such a journal, you have to look at many papers and probably some of them are indeed junk, so probably mistakes in your work are inevitable. However, decent people acknowledge that they make mistakes when this becomes obvious.

В этом ответе вначале популярно объясняю, что его объяснения не имеют смысла. Пишу, что был очень удивлен, что в таком престижном журнале моя статья была рассмотрена на таком уровне.

В конце пишу, что для меня главное – не то, что статья не будет опубликована в его журнале, а то, что отношение к статье было позорным. Как будто я полностью не профессионален и послал в журнал мусор на который не стоит тратить время. Пишу, что все мы люди и ошибаемся, он очень занят с журналом, ему надо смотреть много статей и, наверное, часть из них мусор, так что, наверное, в его работе ошибок не избежать. Но порядочные люди признают, что делают ошибки когда это выясняется. И если он признает, что ошибся, то я буду удовлетворен.

По моим понятиям, любой ученый и тем более математик должен признать, что он неправ когда ему это объясняют. Допустим, что он решил, что мой ответ не очень вежливый. Но, по моим понятиям, когда главному редактору объясняют, что отношение к статье и автору было хамским и что он написал ответ совершенно неправильный с математической точки зрения, то любой порядочный ученый должен извиниться и, по меньшей мере сказать, что все будет пересмотрено. Я на этом не настаивал, а всего лишь попросил, чтобы он признал ошибку и что тогда я буду полностью удовлетворен. Но он даже не ответил, что показывает, что его какие-либо моральные проблемы не волнуют.

Еще одна попытка: Israel Journal of Mathematics. Первый ответ был обычным:

Unfortunately your paper is out of the scope of the Israel Journal of Mathematics. Therefore we cannot consider it for publication. we do thank you for considering our journal.

Sincerely yours,

Tamar ZieglerEditor in ChiefIsrael Journal of Mathematics

Т.е., отклоняют статью, якобы, потому что она не в теме журнала. Но описание редакционной политики журнала такое: “The Israel Journal of Mathematics contains high-quality research papers on {\bf all} aspects of mathematics and theoretical computer science”. Т. е. пишут, что журнал рассматривает статьи высокого качества по всем темам математики. Поэтому статью нельзя отклонить с предлогом, что она не по теме; единственной причиной отклонения может быть только то что статья низкого качества. А это уже значит, что должна быть рецензия, где показано, что статья действительно низкого качества. Но когда я им это написал, то ответ был такой:

The Editorial Board had a look at your paper and decided that the Israel Journal of Mathematics is not the right place for it. Therefore we will not further consider the paper. This decision is final.

Т.е., теперь они говорят, что редколлегия смотрела и решила, что их журнал – неподходящее место для статьи. А почему – никаких объяснений. И еще предупреждают меня, что это решение окончательное, чтобы я их больше не беспокоил. И плевать они хотели на научную этику.

Попытка опубликовать статью в European Physics Journal H.

Первый ответ опять стандартный:

Dear Dr Lev,

Thank you very much for having submitted your manuscript entitled:

Analogy Between Finite Mathematics and Special Relativity to The European Physical Journal H.

Your manuscript has been carefully considered by our Editorial Board, and it appears that your manuscript does not belong to the Aims and Scopes as specified at https://epjh.epj.org/epjh-aims-and-scope

Therefore, we regret to inform you that your manuscript will not be considered further for publication in The European Physical Journal H. We are sorry not to be able to bring you a positive outcome and hope that you will consider EPJH in a future occasion.

Yours sincerely, EPJH Managing Editors

Comments from the editors and reviewers: (и никаких… нет).

Мой ответ:

Dear Editors,

Thank you for your email informing about the editorial decision on my paper. The email says that " your manuscript does not belong to the Aims and Scopes as specified at https://epjh.epj.org/epjh-aims-and-scope". However, this link contains the following sentences:

"Contributions addressing the history of physics and of physical ideas and concepts, the interplay of physics and mathematics as well as the natural sciences, and the history and philosophy of sciences, together with discussions." I believe that my paper fully satisfies these requirements. So I would be grateful if your decision is reconsidered.

Thank you.

Sincerely, Felix Lev.

Ответ журнала:

Dear Dr Lev,

The new Editors in Chief confirmed the rejection of your article. I copy their response: "Even if it would be scientifically sound, it does not account for "the historical development of ideas in contemporary physics" (as we demand in our aims and scope)." We are sorry not to be able to bring you a positive outcome and hope that you will consider EPJH in a future occasion.

Т.е., они говорят, что даже если статья "scientifically sound", то все равно не подходит т. к. нет "the historical development of ideas in contemporary physics". Т.е., они даже не пытались понять является ли статья "scientifically sound", а решили сразу отфутболить т. к., якобы, в ней нет истории. Но даже название статьи: "Analogy Between Finite Mathematics and Special Relativity" сразу говорит, что проводится параллель между конечной математикой и теорией относительности, которая является историей т.к. была предложена в 1905 г. Т.е., опять, то что написано в редакционной политике большого значения не имеет, им главное – отфутболить с какими-то бессмысленными словами.

Попытка получить приглашение от AVS QUantum Science на написание обзора.

По правилам этого журнала, они публикуют, как правило, обзоры по приглашениям. Чтобы получить приглашение, вначале надо заполнить форму с вопросами. В редакционной политике журнала написано, что журнал рассматривает применение quantum science в различных областях и все статьи должны быть "all through the foundations of Quantum Science". А в статьях главного редактора рекламирующих журнал, есть слова "quantum journej", "quantum science", т. е. все quantum. Из этих слов, казалось бы, следует, что читатели должны интересоваться не только приложениями квантовой теории но и ее обоснованием. Да и логически, как можно заниматься приложениями квантовой теории, если не понимаешь ее основы. Поэтому я послал им предложение об обзоре по основам квантовой теории. Это предложение довольно длинное и приводить его не буду. А первый ответ опять был стандартным:

Thank you for your interest in the journal. After reviewing your material, the editors do not think it is an appropriate fit for AVS Quantum Science at this time. It might be more appropriate for another AIP Publishing or AVS journal and you can review the portfolio here: https://publishing.aip.org/publications/find-the-right-journal/. Please keep AVS Quantum Science in mind in the future.

На этот глубокомысленный отзыв ушло три недели. Видно, что никаких аргументов нет, а просто не хотят брать. И, как обычно, я послал appeal:

The editorial policy of AVS Quantum Science claims that all applications should be discussed “all through the foundations of Quantum Science” and that the journal “covers recent advances in established fields or an emerging area of importance within quantum science”. Those sentences indicates without doubts that the journal is devoted not only to pure applications but also to foundations of Quantum Science. The title of my proposal explicitly indicates that my review will be devoted to foundation of quantum science. As indicated in the proposal, the review is based on my results published in J. Phys. A, J. Math. Phys., Phys. Rev. D, Finite Fields and Applications, Int. J. Mod. Phys. B and other known journals. Therefore the review is fully in the scope of AVS Quantum Science. However, my proposal has been rejected with the statement that the editors “do not think it is an appropriate fit for AVS Quantum Science” and no other explanations have been given. As follows from the above remarks, this statement fully contradicts the editorial policy of AVS Quantum Science. Scientific ethics implies that any negative statement should be substantiated, and so the statement that the editors only think something without explanation contradicts scientific ethics. This statement poses a question whether or not anybody tried to understand my proposal.

I would be grateful if the editorial decision is reconsidered.

И, как и ожидалось, в ответ получил подтверждение, что мой proposal отклоняется, и, чтобы написать такой глубокомысленный ответ, понадобилось две недели:

Dear Dr Lev,

In your latest mail to AQS, you appealed the editorial decision not to consider your proposal for contribution to AVS Quantum Science. AVS Quantum Science is a new journal which aims at providing the community with a wide range of publications that cover all fields related to quantum physics. While our ambition in the future is to host original research, original results and eventually novel ideas, we are currently focusing our interest in review articles. We are focusing mostly on reviews that have been invited but we are keeping open the possibility for non-invited contributors. In all cases, the editorial team is carefully selecting the topics, formats and authors before we actually propose to submit. This is why you were requested to send a preliminary Editorial Summary form.

Members of the editorial team have assessed your proposal with extreme care, and, as mentioned in our earlier correspondence, did not feel it would fit with our current journal objectives and would be more appropriate to other journals. While our criteria may evolve in the next years, when the journal is opening to wider ranges of contributions, our editorial decision cannot be reconsidered at this time.

Our analysis was neither a peer-review process nor a critical analysis of the work you were proposing to published. Our decision should therefore not be considered as negative statement about your work.

Best regards,

Philippe BouyerAVS Quantum Science

В моем appeal я писал, что как же так, в своей editorial policy вы клянетесь, что все должно быть "all through the foundations of Quantum Science”, а когда я предлагаю фундаментально новый подход к foundations, то вы его отклоняете, т. е. ваше решение противоречит вашей же editorial policy. И это не соответствует научной этике что вы пишете, что мы решили, а никаких объяснений нет. А в повторном ответе все так же, клянутся, что внимательно смотрели, но опять ничего конкретного нет. Видимо, они понятия не имеют что я им предлагал, но главное – опять та же история, что редакционная политика журнала не выполняется самой редакцией.

Мой общий вывод такой: если ты предложил что-то фундаментальное, но не считаешься великим ученым и не работаешь в престижном месте, то, не имея связей (попросту, говоря по-русски, блата), опубликовать это в так наз. престижных журналах почти невозможно. Очень часто вопрос о публикации в журнале, который провозглашает, что рассматривает фундаментальные проблемы, решается не редакторами, а тупарями, которые о фундаментальной науке понятия не имеют, но не имеют моральных проблем, решая, какие статьи рассмотреть а какие сразу отвергнуть. И даже редакторы таких журналов часто понятия не имеют о фундаментальной науке и не считают себя связанными тем, что написано в редакционной политике их журналов.

Я очень признателен журналам Physics of Particles and Nuclei и Physics of Particles and Nuclei Letters, редакции которых в ОИЯИ в Дубне за то что мои работы были рассмотрены в соответствии с научными критериями. Казалось бы, раз Springer публикует эти журналы на английском, то широкая научная общественность должна интересоваться этими журналами. Действительно, многие интересуются, но, видимо, есть и предрассудки, что раз редакция в России, то журналы, вроде, не очень престижные. А на самом деле многие так наз. престижные журналы публикуют ахинею и общественность это проглатывает. Я также благодарен редакции журнала Symmetry и главному редактору Сергею Одинцову за то что моя статья представленная в этот журнал была рассмотрена по всем правилам научной этики и опубликована в [14].

В предыдущей главе я описывал свои злоключения в связи с попыткой опубликовать книгу в Springer. Как я писал, книгу удалось опубликовать (см. [23]) во многом потому что Angela Lahee оказалась очень порядочным человеком. И один из главных строго доказанных результатов книги – то что классическая математика является частным вырожденным случаем конечной, и то, что стандартная квантовая теория является частным вырожденным случаем квантовой теории основанной на конечной математике. Поэтому мои попытки опубликовать эти результаты, в конце концов были реализованы, несмотря на приключения, описанные в этой главе.

Но тогда возникли такие соображения. Как написала мне Angela Lahee, почти все университеты имеют подписку на книги Springer. Но не все люди имеют доступ к университетским библиотекам, а даже электронный вариант книги стоит 109 долларов (а бумажный – 150). Кроме того, большинство из тех кто захочет почитать книгу, вряд ли захотят читать все 291 страниц, и, наверное, будут искать только то что им интересно. Изложение проблем, которые я сейчас обсуждаю, начинается со стр. 169. Поэтому я решил написать короткую статью, где эти проблемы обсуждаются на популярном уровне. Есть несколько известных журналов, которые публикуют популярные статьи по математике, и мне казалось, что такая статья будет этим журналам интересна.

Моей первой попыткой был журнал "The Mathematical Intelligencer". Editorial policy журнала говорит, что они не принимают обычный математический стиль теорема-доказательство, т.е., все должно быть на популярном уровне для широкой аудитории. Один из главных редакторов – Сергей Табачников, который закончил мехмат МГУ. Когда я учился в МФТИ, то некоторые думали, что мехмат МГУ – чуть ли не высшая каста. В связи с той проблемой, которую сейчас обсуждаю, мне было интересно знать мнение математиков, т.к. мне казалось, что уж им очевидно что такое конечное кольцо или конечное поле.

Рецензия на мою статью была такая:

Reviewer 1: I have read the article, and do not recommend publication. I am in principle very interested in things like ultrafinitism or questioning the role of the real numbers in physics, but this article struck me as having very little to say about such matters that wasn't too obvious to count as a genuine contribution. For instance, everybody understands (or at least all serious mathematicians and physicists understand) that infinite precision is not possible. So we use the real numbers not because we think that they map directly on to reality, but because it turns out to be convenient to do exact calculations within the real number system, obtain exact answers, and then use those exact answers to make predictions that can be verified, not exactly of course, but often to a high degree of precision. An argument against the real numbers has to offer some advantage of using a different system.