Популярно о конечной математике и ее интересных применениях в квантовой теории

Глава 18. Проблема нейтринных осцилляций

Одна из фундаментальных проблем физики частиц – так называемая проблема поколений. Например, есть электрон, μ-мезон и τ-лептон. Их массы сильно различаются: масса электрона – 0.511 MeV, μ-мезона – 105.66 MeV, а τ-лептона – 1,777 MeV. Но они не участвуют в сильных взаимодействиях, в электромагнитных взаимодействиях участвуют одинаково, а в слабых взаимодействиях участвуют почти одинаково. Смысл «почти» будет объяснен ниже. Аналогично, есть три вида нейтрино: электронное, мюонное и τ-лептонное. Эти нейтрино не участвуют в сильных и электромагнитных взаимодействиях, а в слабых взаимодействиях участвуют почти одинаково. Смысл «почти» в обоих случаях такой. Раньше считалось, что электрон и электронное нейтрино имеют лептонное электронное число +1, мюон и мюонное нейтрино имеют лептонное мюонное число +1, а τ-лептон и τ-нейтрино имеют лептонное τ число +1. Соответствующие античастицы имеют соответствующие лептонные числа -1.

И долгое время считалось, что лептонное квантовое число является строго сохраняющимся. Например, в распаде нейтрона на протон, позитрон и нейтрино, рождается электронное нейтрино, в распаде π+→μ++νμ рождается мюонное нейтрино и т. д.

Но затем обнаружили, что когда нейтрино пролетает относительное большое расстояние, то нейтринное лептонное число может измениться: например, электронное лептонное число может стать мюонным лептонным числом и т. д. Пожалуй, самый впечатляющий эффект – что число электронных нейтрино от Солнца оказалось в три раза меньше чем ожидалось исходя из солнечных моделей. За экспериментальное обнаружение этого эффекта, Ray Davis и Masatoshi Koshiba получили Нобелевскую премию в 2002 м году.

Для объяснения нейтринных осцилляций предложили такую модель. Есть три вида нейтрино с разными массами. Эти состояния явлются элементарными частицами так как, по определению, элементарная частица описывается неприводимым представлением алгебры Пуанкаре с определенной массой. Эти массовые состояния не имеют лептонных квантовых чисел. А электронное, мюонное и τ-нейтрино различаются тем, что они являются разными суперпозициями массовых состояний. Тогда flavor свободного нейтрино осциллирует в процессе полета этого нейтрино.

Принцип суперпозиции в квантовой теории не запрещает состояния которые являются суперпозициями или прямыми суммами состояний элементарных частиц. Понятие прямой суммы полностью отличается от понятия тензорного произведения. Тензорное произведение двух элементарных частиц – это две элементарные частицы, а прямая сумма – это одна частица, которая не является элементарной так является суперпозицией элементарных частиц. В связи с понятием тензорного произведения, в литературе широко обсуждается понятие entanglement.

Особенно известным это понятие стало в связи с обсуждением статьи [28]. В ней Einstein, Podolsky и Rosen предложили такой эксперимент. Допустим, что некоторая частица распадается на два состояния A и Б с одинаковой вероятностью и потом эти состояния удаляются друг от друга. Допустим, что через какое-то большое время мы обнаруживаем на большом расстоянии справа от точки распада состояние А. Тогда мы точно знаем, что на большом расстоянии слева от точки распада может быть обнаружено только состояние B. И наоборот, если мы обнаружили B, то точно знаем, что слева может быть обнаружено А. После распада, волновая функция системы является тензорным произведением частиц А и B. Но, если мы справа обнаружили А, то, исходя из принципа редукции волновой функции, уже точно знаем, что волновая функция левого состояния – уже не тензорное произведение А и B, а только состояние B. Авторы [28] считают, что этот эксперимент показывает неполноту квантовой теории так как, после эксперимента справа, волновая функция левого состояния сразу редуцируется, вопреки требованию, что никакую информацию нельзя передать со скоростью быстрее скорости света. Но никакого противоречия с квантовой теорией нет так волновая функция описывает только вероятности и больше ничего. Если наблюдатель, обнаружил состояние А справа, то наблюдатель слева получит эту информацию не сразу, а только через какое-то время. В данном случае, волновая функция системы является тензорным произведением волновой функции ψA в Гильбертовом пространстве HA и волновой функции ψB в Гильбертовом пространстве HB, то есть, нужны два Гильбертовых пространства.

Однако, прямая сумма ψA+ ψB состояний ψA и ψB является элементом одного Гильбертова пространства H. Здесь мы не можем обнаружить и A и B: если в результате эксперимента обнаружилось состояние А, то, согласно принципу редукции волновой функции, после эксперимента, волновая функция уже не будет суперпозицией ψA+ ψB и может остаться только A и, даже, например, в случае нейтрино, это состояние может полностью поглотиться.

То есть, состояния (f1,f2,f3)=(νe,νμ,ντ) с разными «flavors» уже являются не элементарными частицами, а суперпозициями элементарных частиц (ν1,ν2,ν3) с разными массами mi:

fi=Σj=13 Uij νj,(i=1,2,3) (18.1)

где Uij являются элементами комплексной 3х3 матрицы.

До проблемы нейтринных осцилляций, прямая сумма элементарных частиц использовалась только в QCD для описания перемешивания кварков при помощи угла Cabibbo или матрицы Cabibbo—Kobayashi—Maskawa. Кардинальная разница между случаями кварков и нейтрино такая. Так как кварки не могут быть в свободных состояниях, то кварки в одной прямой сумме находятся внутри одного и того же нуклона или мезона и расстояния между такими кварками не могут превосходить размер данного нуклона или мезона. С другой стороны, нет теоретических ограничений на расстояния между разными нейтринными массовыми состояниями из одной и той же прямой суммы.

Теперь возникает кардинальный вопрос: какой должна быть суперпозиция массовых состояний? Почему-то (видимо, для упрощения жизни) предполагается, что разные массовые состояния имеют одинаковые импульсы, но никаких теоретических аргументов в пользу этого предположения нет. Например, автор статьи [29] пишет:

"Why should one assume that the different mass eigenstates νj in a beam have a common momentum but different energies? Why not assume they have a common energy but different momenta? Or different momenta and different energies? And what oscillation pattern is predicted if one does make one of these alternate assumptions?

К этому списку вопросов можно добавить: "Почему не предположить, что разные массовые состояния имеют одинаковые скорости и даже непонятно, почему направления импульсов всех частиц должны быть одинаковыми?"

Параметризация матрицы U из уравнения (18.1) кардинально зависит от того какую модель для прямой суммы мы выберем. Если импульсы масс mi одинаковые, то их скорости разные. Обычно матрицу U параметризуют, исходя из предположения, что импульсы компонент одинаковые. Тогда, при общепринятом выборе величин разности квадратов масс компонент, через год расстояния между компонентами будут порядка одного метра [30]. А например, для нейтрино приходящих от Сириуса (расстояние до которого «всего» 8.6 световых лет), расстояния между компонентами будут порядка 8,6m. Но для основной части нейтрино от звезд, расстояния между компонентами будут порядка километры или больше.

Возникает проблема, может ли взаимодействие таких нейтрино с детектором на Земле все еще быть описано в терминах (νe,νμ,ντ). Как утверждается в [29], осцилляции не будут происходить при таких условиях. С другой стороны, в модели где скорости масс mi одинаковы, расстояния между их волновыми пакетами не будут меняться со временем. А если импульсы масс имеют разные направления, то вообще непонятно, какие теоретические предсказания можно сделать. Эта проблема представляет большой теоретический интерес, однако ее экспериментальное исследование проблематично. Большинство нейтрино детектируемых нейтринными обсерваториями, являются либо солнечными нейтрино либо нейтрино образовавшимися когда высокоэнергетичные частицы из космоса сталкиваются с частицами земной атмосферы. Поэтому очень трудно обнаружить нейтрино которое пришло к Земле от далекой звезды.

Так как нет никаких теоретических аргументов в пользу той или иной модели прямой суммы, то непонятно следующее: допустим, что мы выбрали какую-то модель и нам удалось найти параметры матрицы U, которые с хорошей точностью описывают эксперимент. Даже это, даст ли какой-то намек на то какая теория суперпозиции описывает реальную физику? Но, несмотря на большое количество попыток параметризации матрицы U, непонятно, есть ли теоретические аргументы в пользу того или иного выбора параметризации. Например, в статье [31] обсуждается, что, если предположить, что импульсы компонент одинаковые, то какие параметры матрицы U известны с хорошей точностью, какие известны с большой неопределенностью и какие совсем неизвестны.

Итак, хотя явление нейтринных осцилляций подтверждено в большом количестве экспериментов, но нет никакой надежной теории описывающей физику этого явления.

Поэтому я думаю, что физика нейтринных осцилляций должна описываться в подходах, которые кардинально отличаются от того что есть сейчас, и в физической литературе должны приветствоваться разные подходы к этой проблеме.

В статье [30] я предложил подход в котором нейтрино остается элементарной частицей, а осцилляции возникают из-за того, что в AdS квантовой теории, кинематика свободного нейтрино отличается от кинематики свободного нейтрино в Пуанкаре инвариантной теории. В этом подходе пока еще остаются проблемы которые требуют решения. Послал статью в журнал Universe. Было три рецензента, и, после моих ответов на рецензии, два из них рекомендовали публикацию, Рецензент #3 остался против, и журнал отверг статью. Этот рецензент не комментировал мои аргументы, что описание разных видов нейтрино при помощи прямых сумм не основано на каких-либо серьезных теоретических; он/она по-прежнему рассуждает в терминах "mass and flavor eigenstates, Cabibbo-like mixing angles, PMNS matrix elements, MSW theory etc. " Это еще куда ни шло. Но, наверное, самый «мощный» его аргумент такой, что статья является “the drastic deviation from the standard principles of quantum field theory and special relativity” и что она отвергает

E2-p2=m2 (18.2)

В своем ответе на первую рецензию, я популярно объяснил следующее. Теория относительности не отвергает E=p2/(2m), но говорит, что это соотношение является приближенным, и оно работает с хорошей точностью когда vc. Аналогично, AdS не отвергает (18.2), но говорит, что это соотношение работает с хорошей точностью только в каком-то приближении. Но Рецензент #3 полностью проигнорировал мое объяснение и опять написал, что отклонение от (18.2) недопустимо. То есть, он/она не говорит, что мое объяснение неверно, а просто его игнорирует. Допустим это еще можно было как-то понять, если бы он/она были в принципе против де Ситтера. Но он/она даже рекомендует мне какие-то статьи по AdS/CFT. То есть, он/она совершенно не понимает, что для де Ситтеровской симметрии соотношение (18.2) может быть только приближенным. Я сразу написал редакции короткое письмо в котором написал, что Рецензент #3 не понимает самых основ де Ситтеровской симметрии и попросил чтобы редакция спросила у ЛЮБОГО эксперта по де Ситтер симметрии является ли соотношение (18.2) точным или приближенным. А потом послал им такой appeal:

Manuscript ID: universe-2083477: “de Sitter symmetry and neutrino oscillations” by F. Lev.

My paper has been rejected on the basis of the report of Reviewer #3 and Academic Editor’s note: “The author did not address the issues raised by reviewer n.3 in a satisfactory manner”. The editors did not take into account that Reviewer #1 and Reviewer #2 recommended publication.

As I note even in the abstract: “Although the phenomenon of neutrino oscillations has been confirmed in many experiments, the theoretical explanation of this phenomenon in the literature is essentially model dependent and is not based on rigorous physical principles”, and the discussion in the paper explains this statement in detail. I propose a fully new approach. Even from the title of my paper, it is clear that any reviewer should have at least very basic knowledge in de Sitter symmetry at quantum level. However, Reviewer #3 does not have this knowledge. His/her remarks about E2-p2=m2 immediately demonstrates this. In my reply to his/her report, I explain in detail that in AdS quantum theory, this relation can be only approximate. I also point out to the fundamental Dyson's result that AdS quantum theory is more general (fundamental) than Poincare quantum theory.

I believe that in this situation, any decent scientist should acknowledge that he/she was not right. However, in his/her second report, Reviewer #3 does not discuss my explanation at all and again repeats his/her statement about E2-p2=m2. Scientific ethics assumes that, in the discussion between the author and the reviewer, both sides should try to understand each other, and it should not be such that the reviewer's statement is the ultimate truth that is not subject to discussion. I have no doubt that for any expert in de Sitter quantum theory it will be ridiculous that E2-p2=m2 in this theory is discussed in a prestigious journal which has an impact factor of 2.813, and that this is in fact the main reason for rejecting the paper. It is also ridiculous that Reviewer #3 quotes papers on AdS/CFT without having any basic knowledge in AdS quantum theory.

I do not claim that my approach solves the problem of neutrino oscillations. The problem is very complex and what I propose is only an initial approach to solving the problem. I note that my paper is submitted to the section “Mathematical Physics”. In my understanding, it is not assumed that a paper on mathematical physics should immediately describe some experiments: the goal of mathematical physics is to propose new mathematical approaches which, hopefully, sooner or later will be used in physics. However, in the report of Reviewer #3 there is no sign that he/she treated my paper as submitted to Mathematical Physics. In particular, there is no sign that Reviewer #3 is familiar with representations of the AdS algebra in Hilbert spaces.

In the essential part of his/her report, Reviewer #3 discusses mass and flavor eigenstates, Cabibbo-like mixing angles, PMNS matrix elements, MSW theory etc. So, he/she discusses the problem in the framework of the existing approach to neutrino oscillations. However, I state in the paper that this approach contains several very essential theoretical uncertainties. Reviewer #3 does not comment on my statements, in particular, he/she does not say that they are incorrect. Moreover, those statements essentially come from Kayser's paper which Reviewer #3 recommended. So, the idea of my paper is to consider the problem without representing flavor states as direct sums of mass eigenstates. Nevertheless, Reviewer #3 discusses my paper in the framework of the approach which he/she likes, but in the context of my paper this is meaningless.

Reviewer #3 writes that in my paper there is no prediction for neutrino masses and for theoretical change in the decay rate of a muon. I already responded to these remarks, but Reviewer #3 repeats them again without commenting on my response.

Reviewer #3 does not agree with my explanation why the status of the electron, muon and τ- lepton differs from the status of the neutrino. He/she writes: “But if we set a typical m of the order 0.01eV for neutrinos, we still get a very large mR.” But I explain that the matter is that for the electron, muon and τ-lepton, the variations of ${\tilde W}$ are much less than mR, while for the neutrino they are of the same order or greater.

Reviewer #3 writes: “I also don't see any alternative theory proposed in the article”. He/she repeats that my paper contains “the drastic deviation from the standard principles of quantum field theory and special relativity” and again writes: “I didn't find any compelling argument to reject E2-p2=m2.” So, Reviewer #3 even does not understand how ridiculous it is to recommend papers on AdS/CFT and at the same time accuse me of deviating from special relativity and from E2-p2=m2. Those statements show that Reviewer #3 is completely unqualified to understand my paper, because all its results come from the fact that in ADS quantum theory the relation E2-p2=m2 is not exact.

I would be grateful for the info on whether this appeal will be considered.

Как видно, в частности я написал, что это не укладывается в голове, что статья в престижном журнале с импакт фактором 2.813 отвергается из-за того, что один из рецензентов не понимает, что в де Ситтер инвариантной теории соотношение E2-p2=m2 может быть лишь приближенным, и это несмотря на то, что рецензент рекомендует статьи по AdS/CFT. В конце appeal я попросил их сообщить будет ли мой appeal рассматриваться. По моим понятиям, им должно быть стыдно, что статья отвергнута таким способом, и по всем правилам научной этики, они должны рассмотреть appeal. И получил такой ответ:

After considering your appeal, a member of the Editorial Board has decided to uphold the original decision, и в их линке причина описана так:

Academic Editor Notes:

The appeal's document does not add any additional information and there is no reason to change our previous decision.

То есть ясно, что мой appeal никто всерьез не рассматривал и/или даже не хотел рассматривать. В их письме написано, что это решение принял "a member of the Editorial Board". Во время представления статьи, надо было предложить пять потенциальных рецензентов. В моем предложении, трое из них были members of the Editorial Board.

Как я писал выше, из трех рецензентов, двое были за а Рецензент # 3 был против. Эти двое написали, что подпишут свой отзыв, а Рецензент # 3 (который отверг статью) написал, что не подпишет. Я вполне допускаю, что он/она одновременно были и "a member of the Editorial Board". Если это так, то ясно, что у него/нее не было никакого желания рассматривать appeal.

Этот журнал также объявил Special Issue "Origin of the Flavor Structure in the Standard Model and Beyond" в котором главный редактор: Prof. Dr. Fei Wang. Они пригласили меня послать им статью для этого Special Issue. Я написал им, что моя статья [30] полностью по их теме, но она отвергнута журналом Universe. Послал им свой appeal и спросил, будут ли они рассматривать мою статью, если я ее официально им пошлю. Но никакого ответа тоже не получил. Такое поведение – ни да ни нет – тоже полностью противоречит всем правилам научной этики.

Глава 19. Заключение

Основные цели этих заметок такие. Во-первых, я хотел на возможно более популярном уровне описать свое понимание фундаментальной квантовой физики и математики и то, что я пытался сделать. Самое главное в моем подходе – это, пожалуй, то, что изложено в разделе 9.5 и главе 12. Сейчас очень кратко повторю что является самым главным.

Понятие бесконечно малых предложили Ньютон и Лейбниц. В те времена об элементарных частицах и атомах ничего не знали и думали, что, в принципе, любое вещество можно разделить на любое число частей. Но теперь ясно, что как только доходим до уровня элементарных частиц, то дальнейшее деление невозможно. Так что в природе нет бесконечно малых, и обычное деление не является универсальным: оно имеет смысл только до какого-то предела.

Казалось бы, это очевидно? И тогда ясно, что фундаментальная квантовая физика должна быть построена без бесконечно малых. Казалось бы, все понимают, что построение такой физики – далеко не простая задача, и, казалось бы, попытки такого построения должны поощряться. Однако, мои истории, описанные выше, показывают, что, как правило, establishment не только не поощряет такие попытки, но делает все, чтобы результаты в этом направлении не были опубликованы.

Что еще поразительно. Как правило, физики даже произносят слова, что в природе есть малые, но не бесконечно малые. И, казалось бы, отсюда очевидно, что стандартная математика с бесконечно малыми, непрерывностью и т.д. не может быть теорией на которой основана самая фундаментальная физика; она может быть только хорошим приближением. Но здесь физики говорят, что раз стандартная математика в целом работает, то зачем философствовать и привлекать что-то другое. Как правило, конечную математику большинство физиков не знают и, когда они слышат что-то типа поля Галуа, то, для душевного спокойствия, им проще считать, что это какая-то экзотика или патология.

Я понимаю, что, как правило, перед физиками стоят проблемы, которые могут быть решены в рамках обычных подходов. И я ни в коем случае не утверждаю, что все физики должны переключиться на конечную математику. Но, во всяком случае, я думаю, что физики не должны быть агрессивно против попыток построить квантовую физику без бесконечно малых. Но, мои истории показывают, что, почему-то, многие физики агрессивно против и иногда даже стоят насмерть против публикаций с попытками рассмотреть подходы с конечной математикой.

Когда я учился в МФТИ и слушал лекции М.А. Наймарка, В.С. Владимирова и других известных математиков, то мне казалось, что мехмат МГУ – чуть ли не высшая каста, так как для математиков строгость является высшим приоритетом. Но потом, общаясь с математиками, я был удивлен, что они знают про теоремы Гёделя и проблемы с обоснованием математики, но у них образ мышления такой, что раз во многих случаях стандартная математика работает, то незачем переживать из-за проблем в ее обосновании. В этом смысле их образ мышления похож на образ мышления физиков, которые думают, что раз теория во многих случаях работает, то незачем наводить строгость. Но все же, математики, как правило, знают конечную математику и я надеялся, что им будет интересно узнать, что конечная математика – более общая чем стандартная. И, так как в конечной математике нет проблем с обоснованием, то математики, во всяком случае, не должны быть агрессивно против моих публикаций. Но, как я описывал, что очень странно, что даже многие «конечные» математики агрессивно против, а стандартные математики тем более.

Кроме проблемы бесконечно малых, я описал другие задачи, в которых я предложил новые подходы, но, так как они не в духе того, что делает establishment, то у меня были большие проблемы с публикацией. Но, из всех этих задач, есть одна, которая, наверное, затмевает все остальные. Это проблема dark energy.

Казалось бы, в физике общепринято, что когда появляются новые экспериментальные данные, то вначале надо попытаться объяснить их, исходя из имеющейся науки. Только если это не получается, то можно привлекать какую-то экзотику.

Но здесь все наоборот: сразу стали привлекать dark energy, quintessence и другую бессмыслицу. Возникла большая активность, пишут статьи, проводят конференции, планируют дорогостоящие эксперименты и даже дают нобелевские премии. А я во всех своих статьях на эту тему (например, в последней популярной статье [18]) и в своей книге [23] объясняю, что проблем с объяснением космологического расширения нет, все объясняется исходя из известной науки, и поэтому dark energy и quintessence – ахинея. Казалось бы, если establishment честный, то они должны прочитать хотя бы [18] и прямо сказать я чего-то не понимаю или они. Но они делают вид, что мои публикации на эту тему они не замечают.