Популярно о конечной математике и ее интересных применениях в квантовой теории

11.5. Гравитация как кинематическое следствие конечности мира

В нерелятивистской классической механике, закон всемирного тяготения получается, если потенциальную энергию взаимодействия двух частиц с массами m1 и m2 выбрать в виде – Gm1m2/r, где r – расстояние между частицами, а G – гравитационная постоянная. В ОТО закон всемирного тяготения получается в частном случае когда есть две нерелятивистские частицы. В квантовой гравитации пытаются объяснить гравитацию как следствие обмена виртуальными гравитонами. Эта теория еще не закончена (и непонятно, будет ли когда-либо закончена) т.к. она неперенормируемая и, по крайней мере в существующих подходах, непонятно как в ней устранить расходимости.

Стандартная догма такая, что гравитация – четвертое взаимодействие, которое надо объединить с сильным, электромагнитным и слабым взаимодействием. Сильное взаимодействие – обмен виртуальными глюонами, электромагнитное – обмен виртуальными фотонами, слабое – обмен виртуальными W и Z бозонами, а гравитационное – обмен виртуальными гравитонами. Как описано в параграфе 9.2, считается, что наблюдение двойных пульсаров дает косвенное подтверждение существования гравитонов, а недавний эксперимент LIGO – прямое. Однако, как отмечено в этом параграфе, такие утверждения очень проблематичны.

Мой подход к гравитации основан на следующих принципах. Во-первых, как описано в параграфе 9.6, алгебра операторов более фундаментальна чем пространство. Во-вторых, как описано в параграфе 11.2, де Ситтер симметрия более фундаментальна чем Пуанкаре симметрия. Наконец, как описано в параграфе 11.4, фундаментальная квантовая теория должна строиться над конечной математикой.

Рассмотрим вначале теорию, основанную на обычной алгебре де Ситтера, т. е., без привлечения конечной математики. Пусть есть две свободные нерелятивистские частицы с массами m1 и m2. В Пуанкаре инвариантной теории масса такой двухчастичной системы равна (в системе единиц c=1)

M=m1 + m2 + q2/2m12

где q – относительный импульс, а m12=m1m2/(m1+m2) – приведенная масса. Поэтому масса двухчастичной системы зависит только от относительного импульса, но не от расстояния r между частицами и не может быть меньше чем m1 + m2. В частности, в таком подходе нельзя получить гравитационную поправку —Gm1m2/r к массе. В анти-де Ситтеровской симметрии масса двухчастичной системы тоже не может быть меньше чем m1 + m2 и гравитационную поправку к массе тоже получить нельзя.

Но в теории инвариантной относительно алгебры де Ситтера so(1,4)

M=m1 + m2 + q2/2m12+V(r,q)

где V(r,q) – некоторая функция, которая зависит от квантового состояния двухчастичной системы. В частности, нет закона, запрещающего такие состояния, что V(r,q)= – Gm1m2/r. В этом случае константа G не берется извне, а должна быть вычислена. Поэтому проблема заключается в том, чтобы понять почему для квазиклассических состояний такое соотношение имеет место.

Как я отмечал выше, вера в то, что гравитация – обмен гравитонами, возникла из аналогии с теорией частиц. Однако, гравитация известна только на макроскопическом уровне и думать, что здесь будут работать те же механизмы, что и в теории частиц – далекая экстраполяция. Кроме того, думать, что на макроскопическом уровне оператор координаты имеет такой же вид как в атомной физике и теории частиц – тоже далекая экстраполяция. В своих работах я показываю, что на макроскопическом уровне оператор координаты не может быть таким как в микроскопической физике. Я предлагаю другой оператор координаты и тогда в квазиклассическом пределе и в нерелятивистском приближении масса двухчастичной системы равна

M=m1 + m2 + q2/2m12-Gm1m2 (1/δ1+1/δ2)/[(m1 + m2)r]

где C – некоторая константа, а δ1 и δ2 – ширины импульсных волновых функций для частиц 1 и 2.

В обычной теории (не над конечной математикой) нет ограничения на эти ширины и последний член может быть очень мал. Но в конечной математике такое ограничение есть и ширина обратно пропорциональна массе. Поэтому получается закон всемирного тяготения, где G = const R/(m0ln(p)), где m0 – масса нуклона, p – характеристика поля или кольца в конечной математике, а const – порядка единицы. Ее точно вычислить нельзя т. к. мы не знаем волновую функцию макроскопического тела.

Если взять для G имеющееся значение и для оценки взять, что R порядка 1026m, то получается, что ln(p) порядка 1080, т. е., p – громадное число порядка exp(1080). Из этой формулы получается, что G→0 в формальном пределе p→∞, т. е., при формальном переходе к обычной математике гравитация исчезает. Т. е., в таком подходе, гравитация – следствие конечности мира. Можно рассмотреть и поправки к закону Ньютона и т.д.

Итак, в моем подходе гравитация – никакое не взаимодействие, а чисто кинематическое проявление того, что мир конечен. В частности, в таком подходе никаких гравитонов нет.

Глава 12. Попытки опубликовать свои работы по космологической постоянной и по физике основанной на конечной математике

В этой главе будет обосновано мнение, высказанное в главе 10, что главная причина тупика в фундаментальной квантовой теории в том, что многие физики и математики относящиеся к establishment (т.е., к тем кто решает что продвигать) не придерживаются высоких моральных принципов. Строго говоря, я даже не могу утверждать, что эта деградация произошла т.к. не знаю насколько высокими были моральные принципы раньше. Но надо исходить из презумпции невиновности, хотя, в статьях по истории физики описаны случаи, что и раньше не все было идиллически.

Начну свои воспоминания с попытки опубликовать свою работу по де Ситтер инвариантной теории в журнале Communications in Mathematical Physics. Главным редактором этого журнала тогда был Хааг (Haag). Он хорошо известен в physics community, но у многих отношение к нему скорее отрицательное. Он и его группа исповедуют философию, что фундаментальная квантовая физика должна исходить из фундаментальных аксиом и строиться на строгой математике. Но для большинства из establishment такая философия неприемлема. Известная шутка что вклад Хаага и его группы в физику меньше любого наперед заданного эпсилон. Эту шутку члены группы знают и иногда ее вспоминают.

Пожалуй, самый знаменитый результат Хаага – теорема, что представление взаимодействия (interaction representation) можно строго обосновать только в случае, когда взаимодействие равно нулю!!! А ведь на представлении взаимодействия основаны все самые громкие результаты квантовой теории. Казалось бы, если физикам этот результат не нравится, то надо или его опровергнуть или сказать какие-то слова о том почему все же представление взаимодействия так хорошо работает, по крайней мере, в некоторых случаях. Но даже в учебниках по QFT о теореме Хаага нет ни слова, как будто бы нет ее. Так что у авторов этих учебников представления о научной этике мягко говоря странные.

Но т.к. я думал (и думаю до сих пор), что физика должна быть основана на правильной математике, то надеялся, что моя работа будет рассмотрена по существу. Но получил ответ Хаага, где он пишет, что работу не возьмет. Причина: не потому, что что-то неправильно, а потому, что работа основана на де Ситтере, а в де Ситтере нет S-матрицы. Действительно, в подходе Хаага и его группы, Пуанкаре инвариантность и существование S-матрицы являются незыблемыми догмами. Но мне казалось, что раз establishment плохо относится к Хаагу т. к. Хааг не вписывается в его догмы, то уж сам Хааг не должен иметь такой менталитет, что только его догмы разрешаются. Но увы, оказалось, что это не так. После этого вся симпатия к Хаагу у меня пропала. А эту статью потом взяли в Journal of Physics A, который тогда был очень приличным журналом (об этом несколько ниже).

Когда я работал в Дубне и моя месячная зарплата (доктора физмат наук и ведущего научного сотрудника) была в интервале 50–100 долл. (в зависимости от курса рубля), то единственной возможностью более-менее нормально жить было если куда-то пригласят или включат в грант. Поэтому приходилось заниматься не чем ты хочешь, а тем что кто-то хочет.

У меня были возможности с кем-то сотрудничать только по теме моей докторской, т.е. релятивистским эффектам. В период моей работы в Дубне по этой теме у меня вышло много статей в так наз. престижных журналах (Nuclear Physics, Physical Review, Annals of Physics и др.). Часть этих статей были только моими, а часть – совместные статьи с Gianni Salme и Emanuele Pace, которые приглашали меня в Рим. В то время у меня не было проблем с опубликованием статей в так наз. престижных журналах. Я заметил такую закономерность: чем более стандартная статья, тем легче ее опубликовать. Проблемы возникали, если что-то было нестандартно. Но и здесь эти проблемы удавалось, как правило, решить. Наверное, потому, что в них все же не было кардинального отклонения от того, что establishment считает допустимым. А может быть и потому, что статьи посылались из института в Дубне, который establishment знает.

Теперь же посылаю статьи, которые для establishment'а неприемлемы и посылаю их из своей программистской компании, который для establishment’а звучит примерно как "Рога и Копыта". Скорее всего, оба фактора играют роль, но я думаю, что первый фактор играет более важную роль. Может быть, какую-то роль играет и такой новый фактор: многие журналы стали или полностью open access или перешли на систему, когда автор может сам выбрать как публиковать статью: как open access или по обычной системе. В первом случае сам автор должен платить и обычно цена немаленькая: 2–3 тысячи долларов. Такие журналы клянутся, что процесс рецензирования не зависит от того какой вариант автор выбрал. Но у меня ощущение, что когда они видят, что автор не выбрал open access, то сразу стараются найти повод, чтобы отфутболить без рецензии.

Через три года после приезда в Америку у меня появились новые результаты по квантовой физике над полем Галуа. Вначале я был довольно оптимистичен и думал, что так наз. престижные журналы будут их с радостью брать. Но оказалось, что они даже не хотят рассматривать хотя, например, Nuclear Physics B публиковал и чисто математические работы.

И я подумал: а что если попробовать послать в Ядерную Физику? Это фактически журнал ИТЭФа и до этого у меня там было много работ (наверное, около 20). Все они были по более-менее стандартной тематике и я, конечно, понимал, что для ИТЭФовского establishment'а это типичный случай про который говорят, что это экзотика, патология, онанизм и т. д. Но надеялся, что все же много времени прошло и, может быть, люди из establishment’а, став старше, уже не такие непримиримые и, кроме того, т.к. они меня знают, то нет вопроса, что автор непонятно откуда.

Главным редактором журнала был Алексей Борисович Кайдалов, а заместителем – Леонид Авксентьевич. Когда я был студентом, то А. Б. читал нам лекции по сильным взаимодействиям и т.к. он относился к верхним слоям ИТЭФовского establishment’а, то мне казалось, что он довольно неприступный. Но, когда оказался с ним вместе на нескольких конференциях, то понял, что такое мнение было ошибочным. Он оказался очень простым и доброжелательным и у него совсем не было ИТЭФовского менталитета, что только у них высокая наука, а все остальное…

Я написал А.Б. и Л.А., что для меня главное – не то возьмут статью или нет, а чтобы была рецензия. Мне было интересно, что скажут ИТЭФовские светилы, т.к. говорить в коридоре, что что-то является патологией или онанизмом – одно, а обосновать это на бумаге – другое. К тому же я знал, что некоторые люди из ИТЭФа поддерживают мой подход. Например, Михаил Аронович Ольшанецкий и Ян Коган рекомендовали мою статью в Ядерную Физику в 1988 г. Она была опубликована, наверное, потому, что там не было таких сильных утверждений как сейчас.

А.Б. и Л.А. ответили мне, что они старались найти наиболее доброжелательных рецензентов, но все равно не получается. Т.е., явный намек был такой, что кто-то из великих против. Но они сказали, что Михаил Аронович является членом редколлегии Теоретической и Математической Физики и он советует послать туда. Я так и сделал и там статья была опубликована без проблем. А никакую рецензию из ИТЭФа я не получил.

Когда я ездил на конференции по few-body problem, то самым известным физиком на них был, пожалуй, Fritz Coester. Он родился в Берлине в 1921 г., но во время войны учился в университете Цюриха, где получил PhD в 1944 г. В воспоминаниях, неполный текст которых я нашел в интернете, он описывает, что как-то к ним на семинар приезжал Heisenberg, потом они вместе где-то обедали и гуляли. Он пишет, что, по своим убеждениям, Heisenberg тогда был нацистом, но подтверждений этого утверждения я не увидел (может быть, потому, что видел только неполный текст).

На конференциях я обсуждал с ним разные проблемы и была даже статья, где описывался круглый стол на конференции в Триесте в 1995, где участвовали 6 человек: F. Coester, V.A. Karmanov, F.M. Lev, R. Schiavilla, A. Stadler, J.A. Tjon. Но самым впечатляющим для меня было вот что.

В то время, под впечатлением моего общения с физиками ИТЭФ, я думал, что, QFT может быть как-то обоснована математически. Но обнаружил, что, из-за Швингеровских членов, 4-вектор тока в QED неправильно коммутирует с операторами угловых моментов. Т.е., 4-вектор тока фактически не есть 4-вектор! Я посылал статьи об этом вначале в Phys. Rev. Lett., а потом в Phys. Rev. D, но Jackiw их отвергал. Он прислал мне письмо, где писал, что результат очевидный т.к. в QED оператор тока для частиц со спином 1/2, а для скалярных частиц оператор тока не содержит Швингеровских членов и правильно коммутирует. Уже не помню всех деталей, но казалось бы, здесь все просто: результат, что оператор тока в QED неправильно коммутирует с операторами угловых моментов до этого был где-то опубликован или нет? Если был, то, казалось бы, укажи ссылку и тогда вопрос о публикации автоматически отпадает. Но явной ссылки в письме не было. Эта моя статья есть в архиве (см. [8]).

И я говорю Coester’у, что у меня проблема, что не могу математически обосновать QED. А он отвечает: даже не стоит пытаться т. к. обосновать невозможно. Я был ошарашен и несколько раз его переспрашивал, правильно ли понял, т. к. для многих его слова были бы полной крамолой. Но он повторял, что я понял правильно и никаких шансов обосновать QED математически нет. Тогда это произвело на меня очень большое впечатление т.к. после общения с физиками ИТЭФ, для которых QFT почти как религия, я думал, что, может быть, в этом что-то есть.

Когда в 1994 г. был на конференции в Америке, то после конференции Coester пригласил меня на неделю в Argonne National Laboratory, где он работал. В частности, мы обсуждали мою будущую статью, по оператору тока в релятивистской квантовой механике (т.е., не в QED). Эта статья вышла в Annals of Physics на 57 страницах (см. [9]) и по некоторым косвенным признакам мне кажется, что Coester был рецензентом. Потом в нашей переписке с Coester’ом я убеждал его, что фундаментальной симметрией должна быть де Ситтер симметрия, а не Пуанкаре симметрия и, более того, симметрия должна быть над полем Галуа. С де Ситтером он даже заинтересовался и я объяснял ему некоторые отличия де Ситтера от Пуанкаре. Но, насколько я понимаю, его интересовал де Ситтер не как фундаментальная симметрия, а с точки зрения приложений к малонуклонным системам. Но Галуа он отвергал категорически.

Все же я решил обратиться к нему с такой просьбой. После того как мои статьи по квантовой теории над полем Галуа были опубликованы в Journal of Mathematical Physics в 1989 и 1993 гг., в журнале сменился главный редактор: вместо L. Biedenharn им стал R. Newton. Он отвергал мои статьи под предлогом, что они не для этого журнала, а для журнала по элементарным частицам. А в журналах по частицам меня отвергали под предлогом, что они не физические, а математические. Т.е., получался замкнутый круг. Поэтому я решил попробовать послать статью в Foundations of Physics. Тогда редактором журнала был Van der Merwe. Большинство физиков считало журнал несолидным, в котором пишут только философию, т.е., болтовню. Подход Van der Merwe был такой, что он предлагал авторам самим выбрать рецензента. Поэтому я послал туда свою статью и попросил, чтобы рецензентом был Coester в надежде, что он допускает, что если статья правильная, то она может быть опубликована даже если философия статьи ему не нравится.

Вначале Coester мне написал, что публиковаться в этом журнале нельзя т. к. журнал несерьезный. Я ему ответил, что видел его статью в этом журнале. Но он ответил, что это была не серьезная статья, а просто по случаю юбилея Rohrlich’а. Но все же какой-то отзыв вначале написал. Но из отзыва было непонятно, одобряет ли он статью и советует ли он ее печатать. Я отправил ответ, который Van der Merwe переслал Coester’у. Но после этого Coester решил вообще не отвечать и Van der Merwe сказал, что он ничего сделать не может.

Через некоторое время редактором Foundations of Physics стал Нобелевский лауреат ‘t Hooft и появилось новое описание editorial policy. Оно производит сильное впечатление и поэтому приведу его почти полностью:

Our views of the physical world are changing rapidly. Humanity's continuing search for coherent structures in physics, biology, and cosmology has frequently led to surprises as well as confusion. Discovering new phenomena is one thing, putting them into context with other pieces of knowledge, and inferring their fundamental consequences is quite something else. There are controversies, differences of opinion, and sometimes even religious feelings which come into play. These should be discussed openly. Philosophical issues that are of a general, nontechnical nature should be handled in the opinion pages of the news media, but when the discussed arguments become too technical for that, when peer review is needed to select the really valuable pieces of insight, only a distinguished scientific journal is the appropriate form.

Foundations of Physics is an international journal devoted to the conceptual bases and fundamental theories of modern physics and cosmology, emphasizing the logical, methodological, and philosophical premises of modern physical theories and procedures. We welcome papers on the interpretation of quantum mechanics, quantum field theory, thermodynamics and statistical mechanics, special and general relativity as well as cosmology. Also, we think it is time for the experts on quantum gravity, quantum information, string theory, M-theory, and brane cosmology to ponder the foundations of these approaches. New insights are gained only by intense interactions with professionals all over the globe, and by solidly familiarizing oneself with their findings. Fortunately, there are many authors with a deep understanding of the topics they are discussing who are willing to take the opportunity to present their ideas in our journal, and their clever inventiveness continues to surprise us. Acceptance of a paper may not necessarily mean that all referees agree with everything, but rather that the issues put forward by the author were considered to be of sufficient interest to our readership, and the exposition was clear enough that our readers, whom we assume to be competent enough, can judge for themselves.

От этих слов дух захватывает и, казалось бы, журнал с такой редакционной политикой не должен исходить из предрассудков и должен быть открыт для новых идей. Поэтому я решил, что это как раз то, что мне надо и послал туда статью. Когда долго не было ответа и я спрашивал почему, то секретарь ответила, что ответственный редактор за мою статью – сам 't Hooft и это значит, что или он сам будет рецензировать или кого-то попросит.

Когда ответ, наконец-то, был получен, то в нем было две рецензии: одна от Reviewer 1, а другая была озаглавлена "EDITORIAL COMMENT:”. Судя по тому, что написала секретарь и по стилю "EDITORIAL COMMENT”, нет сомнения, что его написал сам 't Hooft. Но вначале приведу отзыв рецензента.

Reviewer 1: There is a lot of work on extensions of standard quantum field theory into other number fields (especially on p-adic numbers). The present paper studies various aspects of quantum field theory on Galois fields. I find the physics in the paper confusing, and I cannot recommend publication in Foundations of Physics. However, I believe that there is some merit in the discussion of representations of various groups over Galois fields. This is an interesting subject in its own right, and it might have applications to Physics. The author might like to present some of his work in that form (perhaps in mathematical physics journals).

Т.е., главный аргумент: он не может рекомендовать, потому что он “find the physics in the paper confusing”. В чем это выражается – никаких объяснений нет. Т.е., его менталитет такой, что раз он так думает, то это высшая истина и никакие объяснения не нужны. Т.е., он не только понятия не имеет о научной этике, но и нарушает правила журнала, что разные подходы могут быть рассмотрены. А дальше он пишет даже что-то положительное, что есть достоинства в обсуждении представлений групп над полем Галуа. Т.е., он даже не понимает, что в статье нет групп над полем Галуа, а только алгебры над полями Галуа и не понимает разницу между ними. И в заключение – обычное отфутболивание: рекомендация послать в журнал по математической физике.

А в комментарии редакции (который, наверняка написал ‘t Hooft) уже есть какие-то более конкретные утверждения:

1. It seems that the entire Hilbert space here is taken to be over the Galois field. The problem with that is that it is hard to distinguish «small» from «large» numbers in the Galois field, and this prohibits any probability interpretation of the wave function. A discussion of probabilities would be very important and is missing here.

2. The paper is really too long for a discussion of such an elementary idea. The objections are significant, while the fact that there are no infinite numbers does not carry much weight; in most theories we can handle that problem. If the cosmological constant vanishes identically this would only be suspicious: in the real world it does not seem to be exactly zero. We could reconsider a new submission about this idea if the paper could be made much more concise and to the point. The discussion of neutral particles could also be postponed until the more essential obstacles are put out of the way.

В пункте 1 говорится, что раз пространства над полем Галуа, то есть проблема с вероятностной интерпретацией и это должно быть обсуждено. Замечание абсолютно правильное. Но во всех своих статьях я это обсуждаю и отмечаю, что в пространствах над полем Галуа вероятностная интерпретация может быть только приближенной. Если он считает, что обсуждение должно быть более подробным, то я был бы очень рад включить такое обсуждение.