Отрицательное матожидание не читает сказки. Вежливая арифметика равнодушного мира

Безупречно устроенный механизм обладает одним свойством, о котором не сообщают при входе: изнутри он неразличим. Два процента исполняются с точностью, не допускающей возражений, и при этом не показываются ни разу — ни в один вечер, ни в одну сотню розыгрышей, ни в одну человеческую биографию. Величина не лжёт. Лжёт расписание, по которому она исполняется, и в зазоре между величиной и расписанием помещается всё, что мы привыкли называть событиями.

У зазора есть имя, и у него есть размер. Разброс — условие, при котором сюжет вообще возможен: там, где отклонений нет, рассказывать нечего, а там, где они велики, рассказ собирается сам и без нашего согласия. Серия, в которой одно и то же повторяется два десятка раз подряд, не содержит сообщения — она содержит норму, и норма эта считается в одно действие, без всякой мистики и без всякого умысла со стороны колеса. Год, проведённый в убытке человеком, не сделавшим ни единой ошибки, — тоже норма, и считается она тем же способом. Качество решения и качество исхода расходятся регулярно, расходятся широко и расходятся честно; трудность в том, что предъявлено миру бывает только второе, и приговор выносится по нему, потому что другой величины ему не предъявлено.

Остаётся самое неудобное. Ряд, о котором спросили, отвечает безотказно, и ответа «здесь ничего нет» среди возможных не значится. Мы умеем не знать; мы не умеем закрыть строку пустой. Лицо, увиденное в облаке, возникает целиком на стороне смотрящего; облако при этом не участвует и ничего об этом не узнаёт.

3.1. Источник всех сюжетов

Вот два ряда чисел. Первый: 47, 53, 49, 51, 50, 48, 52, 50, 51, 49. Второй: 6, 18, 47, 96, 131, 12, 3, 29, 74, 84. В каждом по десять чисел, в каждом сумма равна пятистам, и среднее, стало быть, в обоих случаях равно пятидесяти. Это проверяется в одно действие, и большего от арифметики здесь не потребуется: вся остальная работа будет проделана не числами, а над числами. Первый ряд складывается парами почти без усилия: 47 и 53, 49 и 51, 51 и 49 дают по сотне, оставшиеся две пары дают 98 и 102, то есть вместе ещё две сотни. Второй складывается хуже и требует столбика, но сходится ровно так же.

Ряды различаются ровно одним. Первый держится около своего среднего и почти его не покидает: самое дальнее отклонение в нём — три единицы, а любое ещё не названное число этого ряда можно угадать не глядя, с ошибкой, которая никого не заинтересует. Второй уходит далеко вверх и далеко вниз; от тройки до ста тридцати одного — сто двадцать восемь единиц, и ни одно из его чисел не равно пятидесяти. Среднее во втором ряду — не место, где он находится, а место, мимо которого он изредка и ненадолго проходит: ближе всего он подошёл к нему однажды, на сорока семи, и не задержался.

Ни одно число ни в одном из рядов не ошибка. Тройка не опечатка, сто тридцать один не выброс, подлежащий исключению, и ряды не составлены так, чтобы что-нибудь доказать: обе строки описывают одно и то же ожидание. Если считать их результатами одного и того же занятия, повторённого десять раз, то занятие это приносит пятьдесят и там и здесь; расходятся не итоги, расходятся дороги к ним. С точки зрения того, кто интересуется итогом, между строками нет разницы вовсе.

Разница появляется у того, кто видит строку не целиком, а по одному числу за раз. В первом ряду любое число почти равно среднему, и знающий одно знает всё. Во втором ряду среднее не выводится ни из какого отдельного числа: тройка о нём не осведомлена, сто тридцать один сообщает о нём заведомую неправду, и человеку, которому показали только начало второй строки, придётся ждать её конца, чтобы узнать то, что в первой было известно с первого шага.

Первый ряд остаётся таблицей. Рассказывать о нём нечего, и дело не в бедности материала, а в его устройстве: нет подъёма, потому что нет высоты; нет падения, потому что нет глубины; нет перелома, потому что нет отклонения, от которого можно было бы переломиться. Его можно продолжить ещё на сорок чисел того же свойства, и он не станет содержательнее — он станет длиннее. Единственное сообщение, которое он передаёт, он передал первым же числом, и все последующие его повторяют.

Второй читается сразу, и читается как биография. Шестёрка — скромное начало, из тех, что потом ценят особо. Восемнадцать и сорок семь — рост, причём рост нарастающий, а не случайный. Девяносто шесть и сто тридцать один — взлёт, лучшие годы, вершина. Двенадцать и тройка — обвал, чёрная полоса, потеряно всё. Двадцать девять и семьдесят четыре — возвращение, и возвращение достойное, потому что дважды подряд. Восемьдесят четыре — положение устойчивое и, надо полагать, заслуженное.

Ни одного из этих слов в числах нет. Начало, взлёт, обвал, возвращение, покой — всё это принесено снаружи, принесено немедленно и принесено обязательно: другого способа обойтись со второй строкой у нас нет. Разброс поставляет материал, из которого делаются события, а событие есть единица любого повествования. Где отклонение велико, там появляется то, что можно датировать, назвать поворотным и поставить в причинную связь с соседним; где отклонение мало, датировать нечего. Первый ряд не скучнее второго — он не хуже рассказан, он не рассказан вообще, потому что в нём нечему быть рассказанным.

Спросим у второй строки, что произошло на пятом её шаге, и получим ответ немедленно: пятый шаг — вершина, сто тридцать один, момент, дальше которого уже не поднимались. Зададим тот же вопрос первой строке. Пятый её шаг — пятьдесят, то есть ровно среднее, то есть ничего; сказать о нём можно только то, что он не отличался от соседних, а это не ответ, а отказ.

Не принадлежит числам и порядок. Тот же второй ряд, расставленный по убыванию, выглядит так: 131, 96, 84, 74, 47, 29, 18, 12, 6, 3. Сумма прежняя, среднее прежнее, числа те же самые до единого — и получается другая история, из тех, что рассказывают, понижая голос: человек начал с того, до чего другие не добираются за всю жизнь, и последовательно, без единого возврата, всё это растерял. Ни одна цифра не изменилась. Изменилась очерёдность, а вместе с ней — жанр, и вместе с жанром — то, что мы теперь готовы сказать о герое, которого в этой строке нет.

Одинаковое среднее означает, что рассказывать, строго говоря, не о чем: обе колонки сообщают одно и то же и сообщают это с одинаковой точностью. Разница между ними не в содержании сообщения, а в количестве поводов его перебить.

Дисперсия была названа мерой разброса — величиной, которая стоит рядом с матожиданием и уточняет его, служебной припиской к главному числу. Здесь она меняет должность. Матожидание сообщает итог и молчит о порядке: пятьдесят в среднем — вот всё, что оно говорит, и оно не знает, придут ли эти пятьдесят десятью ровными долями или одной долей в сто тридцать один, за которой последует тройка. Для матожидания обе строки — одна и та же строка. Оно неспособно отличить биографию от таблицы, и не потому, что невнимательно, а потому, что различие проходит не по той оси, которую оно измеряет.

Рассказывает разброс. Он задаёт высоту подъёма и глубину провала; очерёдности, расставляющей события во времени, без него нечего было бы расставлять. Взлёт в начале и взлёт в конце — это не один и тот же взлёт, хотя число одно; первое называется растраченным даром, второе — вознаграждённым упорством, и обе оценки выведены из порядка следования, о котором ни одна величина не осведомлена. Расписание, по которому исполняется матожидание, и есть дисперсия.

Слово «рассказывает» тут следует сразу уточнить, пока оно не увело нас туда, куда уводит всех. Разброс ничего не рассказывает и ничего не назначает: у него нет ни голоса, ни намерения, ни интереса к тому, чем кончится строка. Это мера того, насколько далеко числа расходятся, и ровно в этом её содержание. Повествование производим мы, и приписывать эту работу величине было бы той самой ошибкой, о которой здесь и речь. Но должность, занятая величиной в получившемся тексте, именно такова: от разброса зависит, какая история будет прочитана, а от матожидания не зависит ничего.

Матожидание не обманывает, потому что вообще не высказывается. Оно не обещало равномерности и не обещало, что вершина случится однажды и больше не повторится. Обещание целиком наша работа. Мы получаем итог, прочитываем его как расписание и предъявляем претензию к расписанию, которого нам никто не выдавал.

То, что мы называем судьбой, есть форма разброса.

Проверить эту фразу можно только в том виде, в каком она сказана: перед нами двадцать чисел, из которых десять складываются в жизнеописание, а десять других, дающих ровно тот же итог, не складываются ни во что. Относится ли она к чему-нибудь помимо двадцати чисел, числа не сообщают; они вообще ничего не сообщают сверх своей суммы.

В двадцати числах, лежащих на этой странице, нет ни одного из этих слов. Всё это принесли мы, принесли меньше минуты назад и не заметили, что принесли. Числа пролежали бы так сколько угодно.

3.2. Полосы

На европейском колесе тридцать семь ячеек: восемнадцать красных, восемнадцать чёрных и ноль, не принадлежащий ни одному цвету. Красное выпадает в восемнадцати случаях из тридцати семи. Каждый следующий розыгрыш устроен в точности как предыдущий, и потому вероятность серии считается умножением: два красных подряд — восемнадцать тридцать седьмых, умноженные сами на себя; пять подряд — та же дробь, взятая сомножителем пять раз.

Ноль участвует в этом счёте единственным образом: он превращает восемнадцать тридцать шестых в восемнадцать тридцать седьмых и слегка укорачивает все дальнейшие числа. К происхождению серий он отношения не имеет, и на монете, где его нет, всё считается тем же способом и даёт то же самое.

Пять красных подряд получаются примерно один раз из тридцати семи. Десять подряд — примерно один раз из тысячи трёхсот пятидесяти. Двадцать подряд — примерно один раз из миллиона восьмисот тысяч. Числа падают быстро, и обычно на этом счёт заканчивают, потому что вывод кажется полученным: длинная серия почти невозможна.

Вопрос, однако, задан не с той стороны. Спрашивать следует не о том, велика ли вероятность серии в одной заранее назначенной точке, а о том, сколько розыгрышей нужно, чтобы серия перестала быть редкостью и сделалась ожидаемым событием. Эта величина считается так же просто и даёт другие числа. Чтобы дождаться пяти красных подряд, требуется в среднем около семидесяти розыгрышей. Чтобы дождаться десяти — около двух тысяч шестисот. Чтобы дождаться двадцати — около трёх с половиной миллионов.

Если считать по сорока розыгрышам в час, семьдесят розыгрышей — это меньше двух часов. Две тысячи шестьсот — меньше трёх суток непрерывной работы одного колеса. Три с половиной миллиона — около десяти лет, если колесо не останавливается ни на минуту, и около тридцати, если оно работает по восемь часов в сутки.

Ожидание выходит длиннее, чем обратная величина вероятности, примерно вдвое, и в подсчёте это единственная тонкость: серия занимает место, и начаться она может не с каждого розыгрыша, а только с такого, перед которым цвет был другой. Тонкость меняет числа, но не меняет их порядка.

Порядок этих чисел легко примерить к тому, кто стоит у колеса. Вечер даёт ему, положим, двести розыгрышей. За двести розыгрышей пять красных подряд выпадают в среднем два или три раза, и человек, проведший у колеса один вечер, почти наверняка увидит такую серию собственными глазами. Десяти красных подряд ему придётся ждать около тринадцати таких вечеров. Двадцати — около семнадцати тысяч, то есть примерно сорок восемь лет, если ходить туда каждый вечер и не пропустить ни одного. Дом, в котором десять колёс работают по двенадцать часов в день, набирает эти сорок восемь лет за два года.

Колесо ничего не накапливает и ни к чему не готовится. Оно не помнит, что выдало четыре красных, и не собирается выдавать пятое; пятое получается само, потому что в пятый раз повторяется то же самое действие с той же самой вероятностью. Серия не требует ни расположения, ни совпадения, ни сговора обстоятельств — ей требуется только число попыток. У колеса их столько, сколько нужно. У смотрящего — один вечер.

Восемнадцатого августа тысяча девятьсот тринадцатого года в Монте-Карло чёрное выпало двадцать шесть раз подряд. Вероятность такой серии на европейском колесе — примерно один раз из ста тридцати семи миллионов, и ждать её пришлось бы в среднем около двухсот шестидесяти миллионов розыгрышей. Десять колёс, работающих по двенадцать часов в день, дают за год около миллиона семисот тысяч; чтобы набрать двести шестьдесят миллионов, такому дому понадобилось бы полтора столетия. Двадцать шесть чёрных подряд — событие, которого одному такому дому приходится ждать дольше, чем он существует; колёс в истории игры было много больше десяти, и серий такой длины они выдали не одну, но запомнилась эта.

Двадцать шесть розыгрышей при сорока в час занимают тридцать девять минут. Случай, о котором помнят второе столетие, длился меньше сорока минут и целиком описывается одним словом, повторённым двадцать шесть раз.

Состояния в тот вечер потеряли не те, кто ставил на чёрное. Их потеряли те, кто ставил против него. После пятнадцатого чёрного за колесом собралось общество, объединённое одной мыслью: так продолжаться не может, красное задолжало, и чем дольше оно молчит, тем ближе оно к тому, чтобы заговорить. С каждым новым чёрным эта уверенность росла, а вместе с ней росли ставки — и росли не от безрассудства, а по прямому расчёту: чем невероятнее выглядела продолжающаяся серия, тем разумнее казалось поставить на её конец.

Ставившие на чёрное тем вечером остались при деньгах, и остались при них ровно с тем же основанием, с каким остальные при них не остались, то есть без всякого. Одни прочли в серии обещание продолжения, другие — обещание конца; серия не давала ни того, ни другого, и разошлись они не по качеству мысли, а по тому, какая сторона выпала следующей.

Колесо не было должно ничего и никому. Оно не знало, что уже выдало двадцать пять чёрных, и в двадцать шестой раз решало ту же задачу с нуля: восемнадцать тридцать седьмых на красное, ровно столько же, сколько в первый раз и сколько будет в двадцать седьмой.

Ошибка была не в оценке вероятности. Один раз из ста тридцати семи миллионов — оценка верная, и человек, произнёсший её тем вечером, не ошибся бы ни в одной цифре. Ошибка в том, к чему эта цифра относится. Она относится к двадцати шести розыгрышам, взятым вместе и заранее, до того как состоялся хотя бы один из них. После того как двадцать пять состоялись, они перестали быть предсказанием и сделались обстоятельством; предсказывать остаётся один розыгрыш, и он стоит восемнадцать тридцать седьмых, как любой другой на свете. Невероятность серии была израсходована ровно в тот момент, когда серия произошла, — и продолжала числиться в уме у стоящих вокруг, принимавших её за сведения о будущем.

Убеждение, стоившее денег, было не арифметическим. Оно состояло в том, что у последовательности есть память и совесть: что взятое сверх меры возвращают и что затянувшееся исправляется. Ни одного из этих свойств у колеса нет. Оно не располагает даже тем минимумом, который требуется, чтобы быть несправедливым, — сведениями о том, что было.

Сбой, стало быть, помещается не в подсчётах, а прежде них. Он лежит в самом представлении о том, как выглядит случайность, и увидеть его проще всего на монете, у которой нет ни ячеек, ни нуля, ни выгоды.

Человек, которого просят написать сто выпадений монеты из головы, не бросая при этом никакой монеты, выдаёт последовательность легко опознаваемого вида. Орёл и решка чередуются в ней чаще, чем полагалось бы; длинных однородных участков нет; семи одинаковых знаков подряд там не появляется почти никогда. Семь одинаковых выглядят уликой, и рука, ведущая строку, обходит их сама, без всякого умысла и без всякого сознания того, что она их обходит.

То же самое обнаруживается с другой стороны. Человек, которому показывают две записи по сто знаков — одну полученную монетой, другую составленную из головы, — и предлагают указать подлинную, чаще всего указывает на составленную: она выглядит честнее. Настоящая кажется ему слишком сбитой в комки, слишком неровной, слишком похожей на то, что делалось с умыслом. Подлинное опознаётся как поддельное по той самой причине, по которой поддельное изготовлялось, — по представлению о том, что случайное обязано быть равномерным.

Равномерность поддаётся счёту. В сотне бросков есть девяносто девять переходов от одного знака к следующему, и у честной монеты каждый из них меняет знак с вероятностью одна вторая; в среднем смен выходит сорок девять с половиной. Рука, пишущая из головы, кладёт их заметно больше, и кладёт не по недосмотру, а из добросовестности: смена знака ощущается как случайность, повторение — как её отсутствие.

Честная монета пишет семь одинаковых подряд в половине случаев с лишним. В ста бросках серия длиной не меньше семи встречается примерно в пятидесяти четырёх случаях из ста; серия не меньше шести — примерно в восьмидесяти одном; серия не меньше пяти — в девяноста семи. Самая длинная серия в сотне бросков в среднем равна семи; в одной сотне из шести она доходит до девяти, в одной из двенадцати — до десяти. Сотня без единой серии из семи не странность и не редкость; сотня, в которой ничто не повторилось пять раз подряд, встречается меньше чем в трёх случаях из ста.

Поэтому подделка опознаётся не по тому, что в ней есть, а по тому, чего в ней нет. Слишком ровное чередование и отсутствие мест, где одно и то же пришлось подряд, — всё то, что писавший считал признаками случайного, и есть подпись. Наша версия случайности отличается от случайности в одну сторону: она приличнее.

Объяснения требует не наличие полосы, а её отсутствие.

Полосы, которые мы наблюдали не на колесе, а у себя, устроены не иначе. Год, когда удавалось всё, и год, когда не удавалось ничего, мы помним раздельно и объясняем по отдельности. Между ними у нас есть дата: месяц, разговор, поступок, на который отнесена перемена. Двадцать шестое чёрное тоже имело дату, и дата ничего в нём не объясняла. Шва между ними нет: это два участка одной последовательности, и участок означает здесь ровно то же, что означал он в тринадцатом году, — место, где одинаковое пришлось подряд.

Интуиция, не написавшая семи одинаковых, не признаёт их и тут. Ей требуется объяснение, и объяснение находится всегда: характер, форма, усилие, наказание. Каждое из них применяется к своему участку и к нему подходит.

Рассказ, который мы ведём о себе, аккуратнее последовательности, из которой он сделан, — ровно настолько, насколько сотня, написанная из головы, аккуратнее сотни, брошенной честно.

3.3. Хороший проигрывает год, плохой выигрывает месяц

Среди распространённых игр покер понадобился здесь ради одного свойства: качество решения существует в нём отдельно от исхода, поддаётся измерению и известно играющему заранее. У колеса решения нет вовсе — есть ставка, и ожидание у неё одно на всех, независимо от того, кто её сделал и что при этом думал. В покере ожидание принадлежит человеку. Преимущество не встроено в механизм и не одинаково для сидящих вокруг: один и тот же розыгрыш приносит одному в среднем прибыль, другому в среднем убыток, и разница между ними не мнение, а величина, которую оба способны назвать.

Измеряется она в обязательных ставках — тех, что вносятся до сдачи, — на сотню рук. Сильный игрок имеет пять обязательных ставок на сотню — пять сотых ставки за руку. Это не скромная величина, а результат человека, который живёт игрой и понимает, чем занят. Слабый имеет те же пять со знаком минус и обыкновенно тоже об этом осведомлён: собственное ожидание в этой игре знает всякий, кто дал себе труд записывать достаточно долго.

Обе величины к тому же выражены в одном и том же: и качество решения, и качество результата считаются в обязательных ставках, и потому их можно положить рядом и сравнить напрямую. В большинстве прочих занятий этого сравнения не получается: там либо нет единицы, в которой измерялось бы решение, либо нет числа, с которым его можно было бы сопоставить, и разрыв между тем и другим остаётся предметом спора. Здесь он остаётся предметом счёта.

Дальше покера разговор не пойдёт: ни одна рука здесь не будет разобрана и ни одно решение не будет названо верным или ошибочным. Игра взята как препарат, и другой роли у неё здесь нет.

О времени стоит договориться заранее: арифметика идёт в руках, а живёт человек в месяцах. В живой игре сдают около тридцати рук в час; рабочий день в семь часов даёт чуть больше двух сотен. Положим двести. Двадцать рабочих дней составляют месяц — четыре тысячи рук. Двести пятьдесят рабочих дней составляют год — пятьдесят тысяч.

Теперь вторая величина, без которой первая ничего не значит. Разброс результата на той же сотне рук составляет около ста обязательных ставок — в двадцать раз больше преимущества. Сотня рук сильного игрока приносит в среднем пять ставок и отклоняется от этих пяти на сотню в ту или другую сторону; преимущество на таком отрезке незаметно, оно тонет в собственном разбросе, и это никого не удивляет. Дальше две величины растут с разной скоростью. Преимущество складывается прямо: вдвое длиннее дистанция — вдвое больше ожидаемая прибыль. Разброс складывается медленнее: чтобы он удвоился, дистанцию нужно увеличить вчетверо; чтобы он вырос вдесятеро, её нужно увеличить в сто раз.

Отсюда всё и считается. Десять тысяч рук — это сто сотен: преимущество выросло в сто раз и составляет пятьсот ставок, разброс вырос в десять раз и составляет тысячу. Преимущество вдвое меньше разброса. Игрок, не сделавший за эти десять тысяч рук ничего, что следовало бы поправить, заканчивает отрезок в минусе примерно в тридцати одном случае из ста — почти каждый третий раз.

Пятьдесят тысяч рук, то есть год. Преимущество составляет две с половиной тысячи ставок, разброс — около двух тысяч двухсот: дистанция удлинилась впятеро, преимущество выросло впятеро, разброс — чуть больше чем вдвое. Преимущество наконец обогнало разброс, и обогнало его примерно на одну восьмую. Год заканчивается в минусе примерно в тринадцати случаях из ста, то есть один год из восьми.

Сто тысяч рук, то есть два года. Преимущество — пять тысяч ставок, разброс — около трёх тысяч двухсот: дистанция вдесятеро длиннее десяти тысяч, преимущество вдесятеро больше, а разброс — чуть больше чем втрое. Два года, взятые вместе, заканчиваются в минусе примерно в шести случаях из ста — один раз из восемнадцати.

Один год из восьми. Человек, играющий двадцать лет, проводит в убытке два или три из них, и это не сбой и не спад формы, которому задним числом находят назначение. Это укладывается в честный расчёт без единого допущения в свою пользу. Поправлять в его игре нечего; всякая поправка, внесённая по итогам такого года, ухудшит её, потому что исправлять будут то, что и так работало.