Решение 19 1-10 задач ЕГЭ. Математика, профиль ФИПИ, 36 вариантов

Глава 1

19 - 1 - 2026

Ивана Ильича есть коллекция монет. Если все его монеты разложить в одинаковые большие кляссеры*, то потребуется kкляссеров, причём 5 ячеек в одном кляссере останутся пустыми. Если же их разложить в одинаковые маленькие кляссеры, то потребуется k+2 кляссеров и также 5 ячеек в одном кляссере останутся пустыми. Известно, что в большом кляссере больше 150, но меньше 160 ячеек, а в маленьком больше 100, но меньше 120 ячеек.

1) Может ли kбыть равно 3?

2) Какое наименьшее количество монет может быть в коллекции у Ивана Ильича?

в) Какое наибольшее количество монет может быть в коллекции у Ивана Ильича?

* Кляссер — альбом (папка) для коллекционирования марок, монет.

Решение.

Обозначим S- общее количество монет у Ивана Ильича, а) Пустьk= 3.

Тогда учитывая вместимость больших кляссеров,Sдолжно быть больше, чем 150·3 – 5 = 445 и меньше, чем 160·3 – 5 = 475.

Но учитывая вместимость маленьких кляссеров, S должно быть больше, чем 100·5 – 5 = 495 и меньше, чем 120·5–5= 595.

Получили, чтоSдолжно быть одновременно больше 495 и меньше 475. Значит, kне может быть равно 3.

2) Аналогично доказанному в пункте а), kне может быть равно 1 (тогдаSдолжно быть одновременно больше 295 и меньше 155) и k не может быть равно 2 (тогда S должно быть одновременно больше 395 и меньше 315). Если А = 4, то, учитывая вместимость больших кляссеров, S должно быть больше, чем 150·4 – 5= 595, и меньше, чем 160·4 – 5 = 635; а учитывая вместимость маленьких кляссеров, Sдолжно быть больше, чем 100·6 – 5 = 595, и меньше, чем 120·6 – 5 = 715.Значит, при к = 4 получили, что 596 S+ 5 было кратно и k, и k+2. Наименьшее число, кратное и 4, и 6 из промежутка [601; 639], это 612.Значит, S= 607 и в большом кляссере 153 ячейки, а в маленьком – 102.

3) Предположим, что k>=8, то есть k= р+ 8 , где р>=0 .Тогда, учитывая вместимость больших кляссеров, Sдолжно быть больше, чем 150(р+ 8) – 5 = 1195 + 150ри меньше, чем 160(р+ 8) - 5 = 1275 + 160р. Но, учитывая вместимость маленьких кляссеров, Sдолжно быть больше, чем 100(р+ 10) –5 = 995 +100ри меньше, чем 120(р+ 10) –5= 1195 + 120р. Получили, что 1195 +150р<S<1195 + 120р, откуда р <0. Значит, k<= 7.

Рассмотрим k= 7. Учитывая вместимость больших кляссеров, Sдолжно быть больше, чем 150·7 – 5 = 1045, и меньше, чем 160·7 – 5 = 1115; а учитывая вместимость маленьких кляссеров, Sдолжно быть больше, чем 100·9 – 5 = 895, и меньше, чем 120·9 – 5 = 1075. Значит, при k= 7 получили, что 1046 <= S<=1074. Чтобы условия задачи были выполнены, необходимо, чтобы S+ 5 было кратно и k, и k + 2 . Наибольшее число, кратное и 7, и 9 из промежутка [1051;1079], это 1071.

Значит, S= 1066 и в большом кляссере 153 ячейки, а в маленьком – 119.

Ответ: а) нет; б) 607; в) 1066.

Глава 2

19-2-2026

У Петра Львовича есть коллек

Конец ознакомительного фрагмента.

Текст предоставлен ООО «Литрес».

Прочитайте эту книгу целиком, купив полную легальную версию на Литрес.

Безопасно оплатить книгу можно банковской картой Visa, MasterCard, Maestro, со счета мобильного телефона, с платежного терминала, в салоне МТС или Связной, через PayPal, WebMoney, Яндекс.Деньги, QIWI Кошелек, бонусными картами или другим удобным Вам способом.