Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни

У вас есть выбор. Есть очевидный маршрут, долгий и утомительный, на котором ничего красивого по пути не увидишь. Путешествие по нему займет массу времени и оставит вас совершенно без сил, но рано или поздно вы все-таки доберетесь до места назначения. Но есть и другая дорога. Найти, где она ответвляется от основного пути, совсем не просто – причем кажется, что она уводит вас прочь от цели, а не приближает к ней. Но затем вы замечаете указатель с надписью «шорткат»[1]. Он обещает быстрый переход по пересеченной местности, который позволит вам добраться до цели за меньшее время и с минимальными затратами усилий. Возможно, по пути даже встретятся захватывающие виды. Однако, чтобы не сбиться с этого пути, вам придется все время быть настороже. Выбор за вами. Эта книга направляет вас по второму пути. Это ваш шорткат к лучшему мышлению, которое понадобится вам, чтобы пройти по этому нестандартному маршруту и попасть именно туда, куда вам хочется.

Именно шорткаты заманили меня в математику. Будучи довольно ленивым подростком, я всегда старался добраться до цели самым рациональным путем. Не то чтобы я пытался жульничать. Мне просто хотелось получать результат, затрачивая как можно меньше сил. Поэтому, когда мой учитель математики рассказал мне, двенадцатилетнему, что в том предмете, который мы изучаем в школе, больше всего ценятся именно такие шорткаты, это меня чрезвычайно заинтересовало. Все началось с простой истории о девятилетнем мальчике по имени Карл Фридрих Гаусс. Рассказ учителя перенес нас в 1786 год, в класс этого мальчика в школе расположенного недалеко от Ганновера города Брауншвейга, в котором рос юный Гаусс. Город был невелик, и в местной школе был всего один учитель, герр Бюттнер, которому нужно было каким-то образом учить сотню городских детей в одной-единственной классной комнате.

Мой собственный учитель, довольно угрюмый шотландец мистер Бейлсон, был сторонником строгой дисциплины, но по сравнению с герром Бюттнером даже он казался добряком. Учитель Гаусса прохаживался между рядами парт, размахивая хлыстом, которым он и поддерживал дисциплину в непослушном классе. Сама классная комната, которую я впоследствии посетил, совершая своего рода математическое паломничество, была мрачным помещением с низким потолком, плохим освещением и неровным полом. Мне она показалась похожей на средневековую тюрьму, и режим Бюттнера, по-видимому, вполне гармонировал с ее обстановкой.

Так вот, рассказывают, что однажды на уроке арифметики Бюттнер решил задать своим ученикам какую-нибудь трудоемкую задачу, которая надолго заняла бы их, чтобы сам он смог немного вздремнуть. «Класс… я хочу, чтобы вы сложили на своих досках все числа от 1 до 100, – сказал Бюттнер. – Когда закончите, сдайте доски мне».

Не успел учитель закончить это предложение, как Гаусс уже вскочил на ноги и положил ему на стол свою аспидную доску, объявив по-нижненемецки: «Ligget se» – «Готово». Бюттнер взглянул на мальчика, пораженный его дерзостью. Его рука уже было сжала хлыст, но он все же решил подождать, пока остальные ученики тоже сдадут свои работы, а уж потом заняться воспитанием юного Гаусса. В конце концов весь класс закончил решать задачу, и на столе Бюттнера образовалась гора аспидных досок, покрытых записанными мелом вычислениями. Учитель начал проверять работы, начав с доски, лежавшей на самом верху. Ответы большинства были неверными: где-нибудь в процессе вычислений ученики допускали те или иные арифметические ошибки.

В конце концов Бюттнер добрался и до доски Гаусса. Он заранее готовился распечь юного выскочку, но, взяв его доску, увидел на ней правильный ответ – 5050. Никаких вычислений на доске не было. Бюттнер был поражен. Как мальчику удалось так быстро найти ответ?

Утверждается, что не по годам развитый ученик обнаружил шорткат, который позволил ему не заниматься трудоемкими и объемными арифметическими расчетами. Он понял, что при сложении чисел по парам:

1 + 100

2 + 99

3 + 98

…

каждая такая сумма оказывается равной 101. А общее число пар – 50. Следовательно, решение задачи сводится к

50 × 101 = 5050.

Я помню, как взбудоражила меня эта история. Идея Гаусса, которая помогла ему найти шорткат, избавляющий от ужасно нудной и трудоемкой работы, была для меня настоящим откровением.

Хотя в этом рассказе о школьных годах Гаусса, вероятно, больше легенды, чем правды, он тем не менее изящно описывает одно важное обстоятельство: суть математики – не в громоздких вычислениях, как кажется столь многим, а в стратегическом мышлении[2].

– Это, дорогие мои ученики, и есть математика, – провозгласил мой учитель. – Искусство шортката!

«Ага! – подумал я, двенадцатилетний. – А ну-ка поподробнее!»

Дальше, больше, быстрее

Люди все время пользуются шорткатами. Ничего другого нам не остается. Нам нужно принимать решения за короткое время. Нам нужно решать сложные задачи, используя ограниченные умственные способности. Одной из первых стратегий, которые мы разработали для преодоления сложных препятствий, была идея эвристики – процесса, в котором мы упрощаем задачи, игнорируя, сознательно или бессознательно, часть информации, поступающей в мозг.

Проблема заключается в том, что эвристические методы, к которым прибегают люди, по большей части приводят к неверным суждениям и предвзятым решениям и, как правило, не подходят к тем целям, для которых их применяют. Зная что-либо из собственного опыта, мы склонны экстраполировать это знание на любые другие задачи, сравнивая их с тем, что нам уже известно. Мы судим о глобальном, опираясь на свое знание локального. Пока наш мир не слишком далеко выходил за пределы небольшого участка саванны, на котором мы жили, в этом не было ничего страшного. Но по мере расширения области нашего обитания эти эвристические методы перестали давать нам правильное понимание того, как устроены вещи, выходящие за пределы наших локальных знаний. Начиная с этого момента мы стали разрабатывать все более действенные шорткаты. Эти приспособления и образуют то, что мы называем сегодня математикой.

Чтобы обнаружить удобный шорткат, нужно подняться над тем ландшафтом, который собираешься пересечь. Когда находишься внутри ландшафта, часто приходится ориентироваться лишь по тому, что видишь вокруг себя. Хотя направление каждого следующего шага кажется правильным, получающийся в результате маршрут может вести к цели длинным окольным путем, а то и вовсе уводить совершенно в другую сторону. Поэтому люди разработали лучшие методы мышления – способность абстрагироваться от мелких подробностей решаемой задачи и понимать, что где-то может существовать неожиданный путь, который приведет к цели эффективнее и быстрее.

Именно так поступил с задачей, которую задал классу учитель, Гаусс. Пока другие ученики корпели, складывая числа, прибавляя каждый раз по одному следующему числу, Гаусс обозрел задачу целиком и придумал, как можно с выгодой для себя использовать начало и конец процесса ее решения.

В математике чрезвычайно важна способность применять мышление высокого уровня, позволяющее увидеть структуру там, где на первый взгляд видны лишь случайные извивающиеся тропки. Подняться над ландшафтом и оглядеть его с большой высоты, чтобы понять истинное положение вещей. Создание такой карты задачи и приводит к возникновению шорткатов. А когда мы получили способность видеть мысленным взором структуры, с которыми мы не встречались в физическом мире, эта способность к абстрактному мышлению стала залогом поразительных достижений человеческой цивилизации на протяжении многих веков.

Путь к лучшему мышлению начался 5000 лет назад на берегах Нила и Евфрата. Люди хотели найти более совершенные способы строительства городов-государств близ этих рек. Сколько каменных блоков потребуется для возведения пирамиды? Какого размера участок земли нужно отвести под злаки, чтобы прокормить город? Какие изменения высоты воды в реке говорят о приближающемся наводнении? В этих зарождающихся обществах возвышались те, у кого были средства, позволяющие находить шорткаты к решению таких задач. Успехи математики в качестве шортката к быстрому развитию первых цивилизаций превратили эту дисциплину в мощное орудие тех, кто желал добиться большего, причем как можно быстрее.

Новые математические открытия снова и снова приводили к радикальным изменениям цивилизации. Взрывное развитие математики в эпоху Возрождения и после нее, давшее нам, в частности, математический анализ, открыло перед учеными поразительные шорткаты к рациональным инженерным решениям. Сегодня математика лежит в основе всех алгоритмов, которые работают в наших компьютерах, помогая нам не заблудиться в цифровых джунглях, – в буквальном смысле прокладывая шорткаты к нашим целям, от веб-сайтов, лучше всего соответствующих тому, что мы ищем в интернете, до лучших партнеров для путешествия длиной в жизнь.

Однако интересно отметить, что первым научился использовать возможности математики для выработки лучших способов преодоления препятствий вовсе не человек. Задолго до нашего появления природа уже оперировала математическими шорткатами к решению задач. Многие из законов физики основаны на том принципе, что природа всегда находит кратчайшие пути. Свет распространяется по траектории, обеспечивающей самое быстрое достижение цели, даже если для этого ей приходится изгибаться вокруг крупных объектов – например, Солнца. Мыльная пленка образует формы, требующие наименьших затрат энергии: мыльные пузыри получаются сферическими, потому что эта симметричная форма имеет наименьшую площадь поверхности[3] и, следовательно, наиболее выгодна энергетически. Пчелы строят шестиугольные соты, потому что на постройку шестиугольника, охватывающего заданную площадь, уходит меньше всего воска. Наши тела нашли способ ходьбы, позволяющий переместиться из пункта А в пункт Б с наименьшими энергетическими затратами.

Природа ленива, как и человек, и стремится находить низкоэнергетические решения. Как писал живший в XVIII веке математик Пьер Луи де Мопертюи, «природа экономна во всех своих действиях». Она чрезвычайно хорошо умеет вынюхивать шорткаты. У каждого такого решения неизменно есть математическое объяснение. И шорткаты, найденные человеком, часто материализуются в результате наших исследований решений, которые нашла природа.

Предстоящее путешествие

В этой книге я хочу поделиться с вами тем арсеналом шорткатов, который математики, подобные Карлу Фридриху Гауссу, разрабатывали на протяжении многих столетий. В каждой главе речь пойдет о том или ином шорткате особого, отличного от других вида. Но все они предназначены для одного: превратить вас из того, кто корпит над решением задачи, в того, кто может сдать свою аспидную доску с ответом раньше всех остальных.

Нашим спутником в этом путешествии я выбрал Гаусса. С его успеха на уроке началась карьера, которая, на мой взгляд, сделала его достойным звания принца шорткатов. Более того, множество революционных открытий, которые он совершил в течение своей жизни, связаны и с многими из разных шорткатов, о которых я буду говорить в этой книге.

Я надеюсь, что изложенные здесь истории о шорткатах, накопленных математиками за долгие годы, составят инструментарий, который пригодится всем тем, кто захочет сэкономить время, уходящее на одно занятие, чтобы можно было уделить больше времени чему-то другому, более интересному. Очень часто эти шорткаты оказываются применимы и к задачам, на первый взгляд не имеющим ничего общего с математикой. Однако математика – это образ мышления, позволяющий разбираться в сложном мире и находить пути с одного берега на другой.

Поэтому математика вполне заслуженно занимает центральное место в образовательной программе. Не потому, что всем и каждому абсолютно необходимо решать квадратные уравнения. По правде говоря, кому они нужны! Важный навык, используемый в решении такой задачи, – это понимание могущества алгебры и алгоритмов.

Я начну это путешествие к лучшему мышлению с одного из самых важных шорткатов, разработанных математиками, – паттернов[4]. Паттерн часто бывает лучшим из всех шорткатов. Увидев паттерн, можно найти шорткат, позволяющий экстраполировать данные в будущее. Такая способность выявлять фундаментальные правила образует основу математического моделирования.

Роль шортката очень часто состоит в понимании основополагающего принципа, объединяющего кажущиеся несвязанными друг с другом задачи. Прелесть шортката Гаусса в том, что даже если учитель решит усложнить задание и предложит сложить числа до тысячи или до миллиона, шорткат по-прежнему будет работать. Последовательное сложение чисел будет занимать все больше времени, но на прием Гаусса это никак не повлияет: чтобы сложить числа от единицы до миллиона, нужно просто по-прежнему разбить их на пары и получить 500 000 пар, сумма членов каждой из которых равна 1 000 001. Перемножим эти два числа, и – бинго! – ответ готов. Представьте себе туннель, образующий короткий путь сквозь гору: если даже гора каким-то образом станет выше, на дороге это никак не отразится.

Способность создавать и изменять язык тоже оказывается очень эффективным шорткатом. Алгебра помогает нам распознавать фундаментальные принципы, лежащие в основе широкого спектра совершенно не похожих друг на друга задач. Язык координат позволяет выразить геометрию в числах и часто выявляет шорткаты, которых не видно на геометрических чертежах. Создание языка может быть поразительным средством понимания. Я помню, как боролся с необычайно сложной системой, описание которой требовало огромного множества условий. Откровением стал для меня совет научного руководителя: «Дайте ей название». Это позволило мне создать шорткат для размышлений.

Каждый раз, когда я заговариваю об идее шортката, мои собеседники неизменно считают, что речь идет о каком-то жульничестве. Что я пытаюсь срезать какие-то углы. Поэтому очень важно с самого начала научиться отличать шорткаты от срезания углов. Я ищу более рациональный путь к правильному решению. Меня не интересуют всякие некачественные приблизительные ответы. Я хочу добиться полного понимания, но избежать ненужной тяжелой работы.

При этом некоторые шорткаты сводятся к приближениям, достаточно точным для решения насущных задач. В некотором смысле сам язык – это тоже шорткат. Например, слово «стул» – шорткат к целой группе разного рода вещей, на которых можно сидеть. Но придумывать по отдельному слову для каждого конкретного стула было бы нерационально. Язык – это очень хитрое низкоразмерное представление окружающего нас мира, которое позволяет нам эффективно общаться друг с другом и облегчает наше существование в многогранном мире. Не будь у нас шорткатов – слов, каждое из которых обозначает множество предметов, – мы тонули бы в шуме.