Школьная программа для взрослых. Вспомним главное

Арифметика — это первый класс математической школы. Сложение, вычитание, умножение, деление. Всё, что дальше, так или иначе к ним сводится.

Но есть в арифметике две темы, на которых спотыкаются даже те, кто в школе учился неплохо. Это проценты и дроби. Почему-то именно они вылетают из головы первыми, хотя в жизни встречаются чаще всего.

Проценты

Слово «процент» происходит от латинского pro centum — «на сотню». Изначально это была просто удобная запись: вместо «34 из 100» стали писать «34%». Постепенно процент превратился в универсальный инструмент сравнения. Почему именно сотня? Потому что сотня — это удобно. 1% — это просто одна сотая, 25% — это четверть, 50% — половина, 75% — три четверти. Всё красиво и наглядно.

В XVI веке, когда в Европе развивался торговый капитализм, проценты стали необходимостью. Купцам нужно было считать прибыль, убытки, доли в предприятиях. И здесь проценты оказались идеальным инструментом: они позволяли сравнивать сделки разного размера. Сказать «я получил 1000 дукатов прибыли» ни о чём не говорит, если неизвестны вложения. А сказать «прибыль составила 15%» — говорит сразу. С тех пор проценты правят миром.

Когда нам говорят «инфляция 8%», мы понимаем, что цены выросли. Но что стоит за этой цифрой? Инфляция — это усреднённый показатель. Статистическое ведомство берёт корзину товаров и услуг — от хлеба до бензина и коммунальных услуг, — смотрит, как изменились цены за год, и выводит среднее. Но среднее — штука коварная. Если гречка подорожала на 50%, а телевизоры подешевели на 10%, в среднем может получиться скромные 5–6%. При этом гречку вы покупаете каждую неделю, а телевизор — раз в пять лет. Для вашего личного кошелька инфляция может оказаться совсем другой.

То же с ростом экономики. ВВП вырос на 3% — звучит неплохо. Но если население выросло на 1%, то на душу населения рост составил примерно 2%. А если при этом выросло неравенство, то большая часть этих 2% досталась тем, у кого и так было много.

Проценты позволяют говорить о числах на понятном всем языке. Но, как любой язык, они требуют понимания контекста. Просто 8% — ни о чём не говорит. Важно знать: 8% от чего? За какой период? С учётом чего?

Рассмотрим несколько ситуаций. Ипотека под 20%. Что это означает? Вы берёте деньги в долг у банка, а он говорит: «Я даю тебе 5 миллионов сегодня, а ты мне за это будешь платить годовой процент, который рассчитывается от остатка твоего долга». При этом итоговый платёж банк рассчитывает так, чтобы зафиксировать его на весь срок и к концу полностью обнулить ваш долг. Из-за этого в первые годы, когда вы должны почти все 5 миллионов, практически вся сумма ежемесячного платежа уходит на оплату процентов. Ближе к концу, когда основного долга остаётся немного, проценты становятся копеечными. Итоговая переплата за весь срок оказывается вовсе не 20% от суммы кредита, а заметно больше.

Ещё один пример — товар сначала подорожал на 20%, а потом подешевел на 20%. На первый взгляд кажется, что цена вернулась к исходной. Но это не так. Если товар стоил 100 рублей, после повышения он стал стоить 120 рублей. А 20% от 120 рублей — это уже 24 рубля. После снижения цена станет 96 рублей. Второй процент считался не от исходной, а от уже изменившейся суммы. Именно поэтому проценты нельзя просто складывать или вычитать — они всегда считаются от текущей базы.

Кешбэк 5% — это не подарок, а комиссия за пользование платёжной системой. Банк берёт с магазина 2–3% за каждую транзакцию, часть отдаёт вам. Вы получаете свои же деньги, которые магазин заложил в цену. Кешбэк — это просто возврат части переплаты, замаскированный под бонус.

Дроби

Дроби обычно пугают даже сильнее процентов. А зря. Дроби — это просто запись деления. Когда мы говорим «три четвёртых», мы имеем в виду «3, разделённые на 4». Или, если угодно, «три части из четырёх».

В Древнем Египте использовали только дроби с единицей в числителе — так называемые аликвотные дроби: 1/2, 1/3, 1/4. Всё остальное они записывали как суммы таких дробей. Например, 3/4 у них было бы как 1/2 + 1/4. Представляете, как они мучились с расчётами?

Современная запись дробей пришла к нам из Индии через арабов. А линию между числителем и знаменателем придумал итальянский математик Фибоначчи в XIII веке. До этого писали просто числа друг над другом.

Математики называют числа, которые можно записать в виде дроби, рациональными. От латинского ratio — отношение, счёт. Это все целые числа, ведь 5 — это 5/1, и все конечные десятичные дроби, например 0,5 — это 1/2. Даже бесконечные периодические дроби вроде 0,33333… — это тоже дроби, 1/3.

А есть числа, которые дробью не запишешь. Корень из двух, число π, число e. Их называют иррациональными. Они существуют, их можно вычислить с любой точностью, но точной дробью не выразить. Это отдельная вселенная чисел. В быту мы с ними почти не встречаемся, но без них не было бы ни физики, ни инженерии.

В быту дроби повсюду. Половина зарплаты, четверть пиццы, треть стакана муки — мы постоянно делим целое на части, даже не задумываясь. Дроби — это просто способ сказать «не целое, а часть».

Самое интересное начинается, когда дроби превращаются в десятичные. Мы привыкли к десятичной системе, поэтому 0,5 нам понятнее, чем 1/2. Но 1/3 в десятичном виде — это бесконечная 0,33333…, с которой неудобно работать. Поэтому в инженерии и финансах дроби часто оставляют в обычном виде — так точнее.

Процент — это частный случай дроби. 1% = 1/100, 50% = 50/100 = 1/2. Поэтому проценты легко превращать в дроби и обратно. Это просто разные языки описания одного и того же.

Арифметика — это про числа. Про то, сколько у нас яблок, денег или километров. Но мир не стоит на месте. Яблоки съедаются, деньги тратятся, километры преодолеваются. Для такого описания одной арифметики мало. В арифметике мы ищем ответ на вопрос «сколько?». В алгебре спрашиваем «как?». Как меняется одно, когда меняется другое? Алгебра — это язык, на котором математика говорит о переменах и зависимостях. И если арифметика учит нас считать, то алгебра учит мыслить.

Переменные

Главный страх перед алгеброй начинается с букв. В арифметике были только цифры — понятные, знакомые. А тут появляются какие-то x, y, z. Кажется, что математика превращается в абстракцию, оторванную от жизни. На самом деле ничего страшного: буквы в алгебре — это просто переменные. Как имена. «Если Петя зарабатывает 100 000, а Маша — 80 000, то вместе они получают 180 000». Петя + Маша = 180 000. Петя и Маша здесь — те же переменные, просто с именами вместо букв. Математики для удобства используют латинские буквы, а смысл тот же. Переменная — это просто ячейка, куда можно положить число. Какое именно — зависит от задачи.

Уравнения

Уравнение — это история с неизвестным. Есть некое равенство, в котором что-то спрятано. Наша задача — найти спрятанное. Выглядит это так: 2x + 3 = 7. Переводим с математического на человеческий: «Если к удвоенному неизвестному прибавить три, получится семь. Найди неизвестное». Решение — это цепочка логических шагов. Мы знаем, что 2x + 3 = 7. Значит, 2x = 7 − 3 = 4. Значит, x = 4 / 2 = 2. Мы провели расследование и нашли преступника — число 2.

В жизни таких ситуаций — миллион. Вы приходите в магазин, набираете продуктов, на кассе вам пробивают чек на 1500 рублей. Вы точно помните, что сыр стоил 450, колбаса 600, а хлеб 50. Сколько стоили пельмени, ценник на которые вы не заметили? Получается уравнение x + 450 + 600 + 50 = 1500. Решаем: 1500 − (450 + 600 + 50) = 400. Это и есть x — стоимость пельменей. Вы только что решили уравнение, даже не заметив.

Более сложный пример. Вы едете из Москвы в Петербург. Расстояние — 700 км. Вы выехали в 10 утра, едете со скоростью 90 км/ч и планируете сделать остановку на полчаса. Во сколько вы будете на месте?

Обозначим время в пути за t. Тогда расстояние, которое вы проедете, равно скорости, умноженной на время: 90 × t = 700. Отсюда t = 700 / 90 ≈ 7,78 часа. Но это только время движения. Добавляем полчаса остановки — общее время в пути 7,78 + 0,5 = 8,28 часа. Переводим 0,28 часа в минуты: 0,28 × 60 ≈ 17 минут. Значит, в пути вы будете 8 часов 17 минут. Прибавляем к 10 утра — прибудете в 18:17.

Уравнения — это просто способ не держать всё в голове. Записал условие — и можно спокойно рассуждать дальше, не боясь забыть, что откуда взялось.

Функции

Функция — одно из самых важных понятий в математике. Оно описывает главное свойство мира: зависимость. В бытовом смысле функция — это когда одно зависит от другого. Время полёта — от скорости, количество бензина — от пройденного пути, зарплата — от отработанных часов, налог — от дохода.

Математически функция записывается так: y = f(x). Читается: «игрек равен эф от икс». Означает: есть правило f, которое превращает икс в игрек. Например, правило «умножить на 2» — это функция. Подставили 3 — получили 6, подставили 10 — получили 20, а подставили −5 — получили −10. А правило «взять квадрат» — тоже функция: тройка даёт 9, десятка — 100, а минус пять — 25 (потому что минус на минус даёт плюс). В школе над функциями измывались, заставляя строить графики и находить области определения. Но суть проста: функция — это машина, которая перерабатывает одни числа в другие по определённому рецепту.

Графики

График — это способ нарисовать функцию. По горизонтали откладываем икс, то, что подаём на вход, по вертикали — игрек, то, что получаем на выход. Соединяем точки — получается линия. Эта линия может рассказать о функции всё, не прибегая к формулам. Резко идёт вверх — значит, прирост быстрый. Пологая — медленный. Идёт вниз — убывание. Колеблется — значит, периодичность.

В новостях, в отчётах компаний, в приложениях банков мы постоянно видим графики. Курс доллара, динамика цен на нефть, рост ВВП, статистика заболеваемости — всё это графики реальных зависимостей, которые мы можем наблюдать, даже если не знаем их точных формул. Просто вместо икса — время, а вместо игрека — то, что мы измеряем.

Графиками легко манипулировать. Если сжать шкалу по вертикали, даже резкий рост будет выглядеть пологой линией. Если растянуть — любое колебание покажется катастрофой. Если начать шкалу не с нуля, а с какого-то числа, разница в несколько процентов превратится в гигантский скачок. Поэтому, глядя на график, полезно посмотреть на оси.

Линейные и нелинейные графики

Самый простой вид зависимости — линейная. Это когда игрек равен иксу, умноженному на какое-то число, плюс возможно ещё что-то. График такой функции — прямая линия. В жизни линейных зависимостей довольно много, пока мы не выходим за определённые пределы. Пройденный путь при постоянной скорости — линейная функция от времени. Стоимость бензина — линейная функция от количества литров. Зарплата при почасовой оплате — линейная функция от отработанного времени.

Но мир в основном нелинеен. Сложный процент в банке — это не линейный рост, а экспоненциальный. Зависимость тормозного пути от скорости — квадратичная. Распространение вирусов или слухов — тоже не по прямой. Нелинейность означает, что на малых значениях всё может быть незаметно, а на больших — выстрелить. Именно поэтому нельзя экстраполировать линейно: если в этом году цены выросли на 10%, это не значит, что каждый следующий год они будут расти так же. Из-за нелинейности результат через 10 лет может быть как 50%, так и 200%.

Степени

Степень — это многократное умножение числа само на себя. 2³, то есть два в третьей степени, — это 2 × 2 × 2 = 8. Названия «вторая степень — квадрат» и «третья — куб» напрямую связаны с геометрией. Площадь квадрата равна стороне, возведённой в квадрат, а объём куба — стороне, возведённой в куб. Это важно понимать в строительстве, логистике да и просто в жизни. Например, когда вы выбираете коробку для переезда: если увеличить каждое её линейное измерение (длину, ширину и высоту) в два раза, то вещей внутрь влезет не в два, а в целых восемь раз больше.

Это важно понимать в строительстве, логистике, да и просто в жизни. Например, когда выбираете коробку для переезда. Если взять коробку со сторонами вдвое больше, вещей влезет не в два, а в восемь раз больше.

Экспоненциальный рост

Особый случай — показательная функция, где переменная стоит в показателе степени. Например, 2ⁿ. При n = 1 это 2, при n = 2 — 4, при n = 3 — 8, при n = 4 — 16, при n = 5 — 32. Казалось бы, рост как рост. Но дальше начинается магия. 2¹⁰ = 1024, 2²⁰ ≈ 1 000 000, 2³⁰ ≈ 1 000 000 000. Это называется экспоненциальный рост.

В реальности экспоненциально растут вклады со сложным процентом, когда проценты начисляются на проценты, популяции в благоприятных условиях, пока нет ограничений, эпидемии на ранних стадиях, интернет-мемы и многое другое. Экспонента коварна тем, что сначала всё выглядит безобидно. Первые сто человек заболели, потом двести, потом четыреста, потом восемьсот. Вроде терпимо. А ещё через несколько шагов — миллионы. Человеческий мозг не приспособлен чувствовать экспоненту, поэтому мы постоянно опаздываем с реакцией на эпидемии и «пузыри» на рынках.

Корни

Корень — операция, обратная возведению в степень. Квадратный корень из 9 — это число, которое в квадрате даёт 9. То есть 3. Квадратный корень из 2 — это число, которое в квадрате даёт 2. Его нельзя точно записать десятичной дробью, оно иррационально, примерно 1,4142. В жизни корни появляются там, где нужно по площади восстановить сторону, по объёму — ребро, по мощности сигнала — расстояние. Но в быту мы редко сталкиваемся с корнями напрямую — калькулятор делает это за нас.

Арифметика учит нас считать. Алгебра — мыслить связями и зависимостями. А геометрия — это про пространство и форму.

Слово «геометрия» пришло из древнегреческого: «гео» — земля, «метрия» — измерять. Изначально это было буквально искусство измерять земельные участки. Каждый год Нил разливался и смывал границы между наделами, и египтянам приходилось заново делить поля. Для этого нужны были правила: как сравнить площади, как разделить участок поровну, как восстановить прямые углы.

Греки подхватили эти практические знания и превратили их в науку. Они поняли, что за измерением земли стоит нечто большее — законы, по которым устроено пространство. Евклид собрал их в «Началах» — книге, которая была учебником геометрии две тысячи лет. До сих пор то, что изучают в школе, называется евклидовой геометрией.

Геометрия — это математика, которую можно увидеть. Прямые линии, окружности, углы, треугольники, квадраты — всё это есть вокруг нас.

Точка, линия, плоскость

В геометрии, как и в языке, есть свой алфавит. Точка — это место. Ни длины, ни ширины, просто «здесь». Линия — след движущейся точки. Плоскость — как бесконечный лист бумаги, уходящий во все стороны.

Из этих простых элементов собираются все фигуры. Квадрат — это четыре линии, концы которых соединены под прямым углом. Окружность — это линия, все точки которой равноудалены от центра.

Углы

Угол — это то, насколько одна линия повёрнута относительно другой. Прямой угол, 90 градусов, — это четверть полного оборота. Острый — меньше, тупой — больше.

В жизни углы повсюду. Стены комнаты — под прямым углом к полу и друг к другу, если строители не схалтурили. Лестница — под определённым углом к горизонту, чтобы по ней было удобно подниматься. Крыша дома — под углом, чтобы снег и вода не задерживались.

Градус как единица измерения углов пришёл из Вавилона. Вавилоняне любили число 60 и делили круг на 360 частей, 60 × 6. Почему 360? Есть версия, что это приблизительное число дней в году. Солнце за сутки смещается примерно на градус относительно звёзд — вот и получился круг в 360 градусов.

Есть ещё одно полезное понятие — биссектриса. Это луч, который делит угол пополам. Если угол 60°, то биссектриса проведёт его так, что получится два угла по 30°. В геометрии биссектриса часто помогает находить равные части и доказывать разные хитрости, но в жизни она пригождается разве что при раскрое ткани или резке плитки, когда нужно сделать ровный скос.

Треугольник

Треугольник — одна из важнейших фигур в геометрии. Из всех многоугольников только треугольник обладает свойством жёсткости. Квадрат можно сложить, потянув за противоположные углы, — он превратится в ромб. Треугольник сложить нельзя. Если стороны фиксированы, углы тоже фиксированы.

На этом свойстве держится вся строительная механика. Фермы мостов, кранов, вышек — это конструкции из треугольников. Крыши домов — треугольные стропильные системы. Даже табуретка, если у неё четыре ножки, может качаться. А если три — никогда.

Теорема Пифагора

Теорема Пифагора — пожалуй, единственная школьная теорема, которую помнят все. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Коротко и запоминается на всю жизнь. Но что она на самом деле значит? Она связывает длины сторон прямоугольного треугольника. Если мы знаем две стороны, мы всегда можем найти третью. Это не просто формула — это фундаментальное свойство евклидова пространства. Оно работает потому, что пространство устроено именно так, а не иначе.

Вот задача для закрепления. Представьте, что вы собираетесь купить телевизор с диагональю 43 дюйма. Характеристики указывают диагональ, но не говорят, какой у него будет ширина и высота. Вам нужно понять, влезет ли он в нишу в стенке или на полку. Известно: диагональ 43 дюйма, один дюйм равен 2,54 см, соотношение сторон экрана — 16:9, это стандарт для современных телевизоров. Какова ширина и высота экрана в сантиметрах?

Соотношение сторон 16:9 означает, что если ширина экрана 16 частей, то высота — 9 таких же частей. Обозначим одну часть за x. Тогда ширина будет 16x, высота — 9x. Диагональ экрана, ширина и высота образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора получаем: (16x)² + (9x)² = 43². Считаем: 256x² + 81x² = 1849, то есть 337x² = 1849. Отсюда x² = 1849 / 337 ≈ 5,487, значит x ≈ √5,487 ≈ 2,34 дюйма. Теперь переводим в сантиметры: умножаем на 2,54 и получаем примерно 5,94 см. Осталось найти ширину и высоту: ширина = 16 × 5,94 ≈ 95 см, высота = 9 × 5,94 ≈ 53,5 см.

Площади и объёмы

Площадь круга — πr². Число π — это, пожалуй, самое знаменитое число в математике. Оно равно примерно 3,14 и обозначает отношение длины окружности к её диаметру. Длина окружности вычисляется по формуле: C = 2πr (или C = πd, где d — диаметр). Для любого круга, будь то монетка или колесо обозрения, длина окружности всегда в π раз больше диаметра. Число π иррационально, то есть у него бесконечное количество знаков после запятой — 3,1415926 и дальше без конца. Для бытовых расчётов хватает 3,14, а инженеры иногда используют 3,1416.

Объём куба — длина ребра, возведённая в куб. Объём шара — 4/3 πr³. Это уже сложнее, но в быту шары встречаются реже, чем коробки.

Главное, что нужно помнить про площади и объёмы: они растут быстрее, чем линейные размеры. Мы уже говорили об этом в разделе про степени на примере коробки для переезда: если взять коробку со сторонами вдвое больше, вещей влезет не в два, а в восемь раз больше. То же самое с площадью: увеличили сторону квадрата в два раза — площадь выросла в четыре.

Подобие

Две фигуры называются подобными, если одна получается из другой равномерным растяжением или сжатием. Квадрат 2×2 подобен квадрату 4×4. Любые круги подобны друг другу. Любые квадраты подобны.

В жизни подобие встречается на каждом шагу. Карта — это подобное изображение местности. Фотография — подобное изображение объекта. Модель самолёта в аэродинамической трубе — подобная копия настоящего. Закон подобия: если линейные размеры увеличить в k раз, площадь увеличится в k² раз, а объём — в k³ раз. Это тот же принцип, что мы уже рассматривали в разделе про степени на примере коробки для переезда.

Неевклидова геометрия

В школе нас учили: параллельные прямые не пересекаются. Это кажется очевидным. Настолько очевидным, что древнегреческий математик Евклид две тысячи лет назад сделал это одним из главных правил геометрии. Но веками учёные чувствовали подвох. Уж слишком это правило отличалось от остальных — простых и красивых. Многие пытались его доказать, но никто не мог.

А в XIX веке несколько математиков, среди них наш соотечественник Лобачевский, решили пойти от противного: а что, если этот постулат неверен? Что, если параллельные всё-таки пересекаются? И оказалось, что если это допустить, можно построить другую геометрию — неевклидову. В ней нет противоречий, она работает по своим правилам. Просто она описывает не плоский мир, а искривлённый.

Самый простой пример — поверхность глобуса. Возьмём экватор и меридиан. На глобусе это прямые линии. Они пересекаются под прямым углом. А другой меридиан, параллельный первому? На глобусе все меридианы пересекаются на полюсах. Параллельных просто нет. Или треугольник на глобусе. Если взять экватор и два меридиана от экватора до полюса, получится треугольник, у которого сумма углов больше 180 градусов. На плоскости такого не бывает.