Школьная программа для взрослых. Вспомним главное

Мы уже сталкивались с отношениями, когда говорили о дробях и процентах. Но есть особая тема — пропорции. Это когда два отношения равны. Запись a/b = c/d читается как «a относится к b так же, как c относится к d». В жизни пропорции нужны постоянно, просто мы не всегда это осознаём.

Когда одна величина растёт, а вторая увеличивается во столько же раз — это прямая пропорциональность. Чем больше километров проехал, тем больше бензина сжёг. Чем больше килограммов яблок покупаешь, тем выше итоговая стоимость. Чем дольше работаешь, тем больше заработаешь при почасовой оплате. Формула здесь простая: y = kx, где k — коэффициент пропорциональности (например, цена за один килограмм или расход бензина на один километр).

А бывает наоборот — обратная пропорциональность, когда одна величина растёт, а вторая во столько же раз уменьшается. Если не брать в расчёт человеческий фактор, то чем больше рабочих строят дом, тем меньше времени им потребуется. Чем выше скорость автомобиля, тем меньше времени займёт путь. Чем выше цена товара, тем меньше штук можно купить на ту же сумму денег. Формула для этого случая: y = k/x.

Масштаб — это частный случай пропорции. Отношение размера на карте или чертеже к реальному размеру. Масштаб 1:100 000 означает, что одному сантиметру на карте соответствует 100 000 сантиметров в реальности. Значит, масштаб 1:100 000 — это 1 см на карте = 1 км на местности.

В новостях постоянно говорят о средних зарплатах, средних температурах, средних баллах. Но среднее бывает разным, и выбор способа усреднения может кардинально менять картину.

Среднее арифметическое — это когда мы складываем все значения и делим на их количество. Возьмём зарплаты пяти человек: 30, 30, 40, 50 и 500 тысяч рублей. Складываем: 30+30+40+50+500 = 650 тысяч. Делим на 5 — получаем 130 тысяч рублей. Но отражает ли эта цифра реальность? Четыре человека получают меньше 50 тысяч, а средняя — 130. Потому что одно большое значение, 500 тысяч, вытянуло всю статистику. Такие значения называются выбросами.

Медиана — это значение, которое находится ровно посередине, если выстроить все числа по порядку. В нашем примере с зарплатами: 30, 30, 40, 50, 500. Посередине стоит число 40 — это и есть медиана.

А что делать, если чисел в ряду чётное количество и чёткой середины нет? Всё просто: берут два центральных числа и находят их среднее. Например, для ряда 30, 30, 40, 50 медианой станет 35.

Медиана часто честнее отражает реальность, особенно когда речь идёт о доходах. Когда говорят «медианная зарплата в регионе — 45 тысяч», это значит: ровно половина людей получает меньше 45 тысяч, а вторая половина — больше. Экстремальные выбросы, вроде доходов редких миллионеров, на медиану вообще не влияют.

Бывает, что разные значения имеют разный вес. Например, в школе оценка за контрольную важнее, чем за домашнее задание. Итоговая оценка — это среднее взвешенное. Если контрольная идёт с коэффициентом 3, а домашняя работа — с коэффициентом 1, то при оценках 5 за контрольную и 3 за домашку считаем так: (5×3 + 3×1) / (3+1) = (15+3)/4 = 18/4 = 4,5. А простое среднее арифметическое дало бы 4.

Когда нам говорят «средняя зарплата по стране 80 тысяч», это ещё ни о чём не говорит. Нужно знать: это среднее арифметическое или медиана? Если среднее арифметическое, то оно может быть сильно выше того, что получает большинство. Когда вы видите график с плавным ростом, полезно спросить: а что усредняли и как?

У возведения в степень есть две обратные операции: корень и логарифм. С корнями мы разобрались, а логарифм — это когда мы ищем показатель степени. Запись выглядит так: log₂(8) = 3. Читается: «логарифм восьми по основанию два равен трём». Вопрос был: «в какую степень возвести 2, чтобы получить 8?», ответ — 3.

В школе это проходят в старших классах, и многие искренне не понимают, зачем это нужно. Выглядит как игра ума ради игры ума. Но на логарифмах построены несколько важнейших шкал, с которыми мы сталкиваемся постоянно, просто не задумываемся.

Среди всех возможных оснований для логарифмов есть одно особенное — число e. Оно примерно равно 2,71828. Как и число π, оно иррационально и всплывает в самых неожиданных местах. Логарифм по основанию e называется натуральным и записывается как ln. Например, ln(7,389) ≈ 2, потому что e² ≈ 7,389.

Откуда взялось число e? Представьте, что вы положили в банк 1 рубль под 100% годовых. Через год у вас будет 2 рубля. А если проценты начисляют не раз в год, а чаще? Например, раз в полгода. Тогда через полгода у вас будет 1,5 рубля, потому что половина от 100% — это 50%, а ещё через полгода — 1,5 + 50% от 1,5 = 2,25 рубля. Уже лучше. Если начислять проценты каждый месяц, к концу года получится примерно 2,61 рубля. Каждый день — около 2,71 рубля. Каждую секунду — ещё ближе к 2,71828. Оказывается, если стремиться к бесконечно частому начислению процентов, сумма стремится к числу e. То есть e — это максимально возможный результат при непрерывном росте.

В природе и экономике много процессов растут именно так — непрерывно. Численность популяции при отсутствии ограничений, распад радиоактивных веществ, рост вклада под непрерывный процент — всё это описывается через e.

Когда говорят «землетрясение магнитудой 6 баллов», это логарифмическая шкала, шкала Рихтера. Давайте вспомним, что это значит математически. Магнитуда землетрясения, обозначим её M, вычисляется по формуле M = lg(A / A₀), где A — амплитуда колебаний, размах волны, которую зарегистрировал сейсмограф, а A₀ — некая эталонная амплитуда, самое маленькое колебание, которое ещё можно зарегистрировать. lg — это десятичный логарифм, логарифм по основанию 10, который можно записать как log₁₀.

Что означает эта формула на пальцах? Если магнитуда увеличилась на 1, значит, амплитуда колебаний увеличилась в 10 раз. Потому что логарифм как бы отматывает степень десятки. Проверим. Пусть A/A₀ = 10. Тогда lg(10) = 1. Магнитуда 1. Пусть A/A₀ = 100. Тогда lg(100) = 2. Магнитуда 2. Пусть A/A₀ = 1000. Тогда lg(1000) = 3. Магнитуда 3. Каждый шаг магнитуды вверх — это умножение амплитуды на 10. То есть землетрясение магнитудой 6 — это в 100 000 раз более сильные колебания, чем магнитудой 1.

С амплитудой разобрались. Но разрушительная сила землетрясения зависит от энергии, а она растёт ещё быстрее. Для энергии формула сложнее, но грубо: увеличение магнитуды на 1 означает увеличение энергии примерно в 32 раза. Поэтому от магнитуды 5 до 6 энергии становится больше в 32 раза, от 5 до 7 — в 32×32 = 1024 раза, от 5 до 8 — в 32×32×32 ≈ 33 000 раз. Вот почему 9 баллов — это катастрофа. Это не просто чуть-чуть больше 8, это в 32 раза мощнее по энергии.

Представьте, что мы сделали бы шкалу линейной. Тогда самое слабое землетрясение, которое регистрируют приборы, было бы 1, а самое сильное — с числом, где 20 нулей. Пользоваться такой шкалой невозможно. Логарифмы сжимают огромный диапазон в удобные цифры, например от 1 до 9.

Так же устроены децибелы — единица измерения громкости звука. Человеческое ухо способно воспринимать звуки, различающиеся по мощности в миллионы раз. Самый тихий звук, который мы можем услышать, и звук реактивного двигателя — это пропасть. Если бы мы измеряли громкость линейно, пришлось бы использовать огромные числа. Поэтому придумали логарифмическую шкалу — децибелы. Увеличение громкости на 10 дБ означает увеличение энергии звука в 10 раз. Шелест листьев — около 20 дБ, спокойный разговор — 50–60 дБ, оживлённая улица — 70–80 дБ, рок-концерт — 110–120 дБ, реактивный самолёт на взлёте — 130–140 дБ. Разница между 60 дБ и 120 дБ — в миллион раз по энергии звука, потому что каждые 10 дБ — это 10 раз, а 6 шагов дают 10⁶.

Точно так же устроена шкала pH — мера кислотности среды. Чистая вода — pH 7. Кислоты — pH меньше 7, щёлочи — больше 7. И это тоже логарифмическая шкала. pH 6 означает, что концентрация ионов водорода в 10 раз выше, чем при pH 7. pH 5 — в 100 раз выше. Поэтому лимонный сок с pH около 2 — это очень кислая среда, хотя по ощущениям просто кисло. А pH 1, как у аккумуляторной кислоты, — это уже в миллион раз кислее чистой воды.

Везде, где диапазон измеряемой величины охватывает миллионы и миллиарды раз, используют логарифмические шкалы. Это удобно и наглядно.

Вероятность — это математика случайного. Мы живём в мире, где многое нельзя предсказать точно: выигрыш в лотерею, погода на завтра, успех стартапа. Но можно оценить шансы.

Проще всего объяснить вероятность на примере с шарами. В мешке 10 шаров, 3 белых и 7 чёрных. Если мы тянем один шар наугад, у нас 3 шанса из 10 вытащить белый. Вероятность равна 3/10 = 0,3, или 30%. Вероятность вытащить чёрный — 7/10 = 0,7, или 70%. Важное свойство: сумма вероятностей всех возможных исходов всегда равна 1, или 100%. Что-то обязательно произойдёт.

Комбинаторика

Комбинаторика — это раздел математики, который отвечает на вопрос «сколько вариантов?». Сколько разных паролей можно составить из букв и цифр? Сколькими способами можно выбрать трёх дежурных из класса? Сколько вариантов выпадения карт в покере?

Главное понятие комбинаторики — факториал. Обозначается восклицательным знаком: 5! означает произведение всех чисел от 1 до 5, то есть 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120. Факториал показывает, сколькими способами можно расставить n предметов в ряд. Пять книг на полке можно переставить 120 способами.

Другое важное понятие — число сочетаний. Оно отвечает на вопрос: сколькими способами можно выбрать k предметов из n, если порядок не важен? Например, сколькими способами можно выбрать двух дежурных из 20 учеников? Формула для этого: C(n, k) = n! / (k! × (n−k)!). Для двух дежурных из 20 это будет 20! / (2! × 18!) = 190 способов.

Комбинаторика нужна везде, где нужно оценить количество вариантов. Вероятность события часто считают как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов. А общее число исходов как раз считает комбинаторика. Без неё в теории вероятности никуда.

Математическое ожидание

Если вы играете в игру, где можно выиграть или проиграть деньги, полезно знать математическое ожидание — средний результат одной игры при большом количестве попыток.

Рассмотрим простой пример. Бросаем монетку. Орёл — вы выигрываете 100 рублей, решка — проигрываете 110. Стоит ли играть? Вероятность орла = 0,5, выигрыш +100. Вероятность решки = 0,5, проигрыш −110. Считаем математическое ожидание: (0,5 × 100) + (0,5 × (−110)) = 50 − 55 = −5 рублей. В среднем за одну игру вы будете проигрывать 5 рублей. Игра невыгодная. Если бросить монету 1000 раз, с большой вероятностью вы останетесь в минусе.

Почему казино всегда выигрывает

Рассмотрим европейскую рулетку. В ней 36 чисел и одно зеро (0). Всего 37 секторов. Вы ставите 100 рублей на число 13. Рассуждаете здраво: секторов 37, значит, шанс угадать — 1 из 37. В абсолютно честной игре, чтобы компенсировать такой риск, ваш выигрыш должен увеличивать ставку в 37 раз. То есть в случае удачи вы должны забрать со стола 3700 рублей: свою сотню назад и ещё 3600 рублей чистого выигрыша сверху.

Но казино так не считает. Оно говорит: «Выплата — 35 к 1». Это значит: при выигрыше вы получаете свою сотню обратно и ещё 3500 рублей сверху. Итого вы забираете со стола 3600 рублей.

Куда делись ещё 100 рублей? Это разница, которую казино по правилам игры оставляет в свою пользу. Происходит это потому, что зеро (0) в расчёте выплат просто игнорируется. Игрок рискует среди 37 секторов, а казино платит ему так, будто на колесе всего 36 номеров. Эта скрытая разница в 100 рублей с каждого выигрышного стола и есть источник дохода заведения.

Теперь считаем математическое ожидание — средний результат одной ставки. Вероятность выигрыша 1/37, чистый выигрыш 3500 рублей. Вероятность проигрыша 36/37, потеря 100 рублей. Получаем:

(1/37) × 3500 + (36/37) × (−100) = 3500/37 − 3600/37 = −100/37 ≈ −2,7 рубля.

С каждых 100 рублей вы в среднем теряете 2 рубля 70 копеек. Это и есть преимущество казино — те самые 2,7%. Мелочь, но на тысячах ставок получаются миллионы.

Закон больших чисел

Если подбросить монету 10 раз, может выпасть 7 орлов и 3 решки — такое бывает. Но если подбросить 1000 раз, соотношение будет очень близко к 500 на 500. Чем больше попыток, тем ближе результат к теоретической вероятности.

На этом основана работа страховых компаний. Они не знают, сгорит ли конкретный дом, но на тысячах домов могут довольно точно предсказать, сколько сгорит в среднем, и рассчитать страховые взносы так, чтобы остаться в плюсе.

Парадокс дней рождений

В группе из 23 человек вероятность того, что хотя бы у двоих совпадет день рождения, больше 50%. Интуитивно кажется, что должно быть гораздо меньше — ведь дней в году 365. Но интуиция подводит, потому что мы думаем о совпадении с конкретным днём, например со своим, а нужно считать вероятность совпадения любых двух людей в группе.

Проще считать наоборот: какова вероятность, что у всех дни рождения разные? Для первого человека — 365 вариантов из 365. Для второго — 364 из 365 (чтобы не совпасть с первым). Для третьего — 363 из 365. И так далее. Перемножаем эти дроби для 23 человек — и получаем примерно 0,493. То есть вероятность, что все дни рождения разные — около 49,3%. Значит, вероятность хотя бы одного совпадения — 100% − 49,3% = 50,7%.

Откуда берётся такая высокая вероятность? Количество возможных пар в группе из 23 человек вычисляется по формуле числа сочетаний: 23 × 22 / 2 = 253. Каждая из этих пар — потенциальное совпадение. При таком количестве пар шанс, что хотя бы одна из них совпала, оказывается больше половины. В группе из 60 человек вероятность совпадения превышает 99%.

Статистика — это наука собирать, обрабатывать и интерпретировать данные. Это одновременно и самый полезный, и самый опасный раздел математики, потому что статистикой можно доказывать что угодно. Всё зависит от того, кто, как и зачем её считал.

Корреляция и причинность

Корреляция — это когда две величины изменяются согласованно. Растёт одно — растёт другое, это положительная корреляция. Растёт одно — падает другое, это отрицательная корреляция.

Классический пример: продажи мороженого и количество утопленников положительно коррелируют. Летом продаётся больше мороженого и больше людей тонет. Но мороженое не вызывает утопления. Оба явления связаны с третьим фактором — жарой. В жару больше едят мороженого и больше купаются, отсюда и утопления.

Корреляция не означает причинно-следственную связь. Это главное правило, которое нужно помнить, когда вы видите заголовки вроде «Учёные выяснили, что употребление красной рыбы продлевает жизнь». Возможно, дело не в самой рыбе, а в том, что люди, которые могут регулярно покупать красную рыбу, больше зарабатывают, в целом ведут более здоровый образ жизни, чаще посещают врачей и имеют доступ к качественной медицине.

Выборка и репрезентативность

Чтобы делать выводы обо всех, не обязательно опрашивать всех. Достаточно опросить часть — выборку. Но выборка должна быть репрезентативной, то есть отражать структуру населения.

Если опросить 1000 человек у выхода из метро в центре Москвы и сделать вывод «москвичи думают так-то» — это ошибка. В центре Москвы преобладают работающие люди, но мало пенсионеров и жителей спальных районов. Выборка смещена. Если исследование финансирует компания, заинтересованная в определённом результате, есть риск, что выборка или вопросы будут подобраны так, чтобы получить нужный ответ. Поэтому всегда полезно знать, кто заказывал исследование и на какой аудитории его проводили.

Как читать графики

Мы уже говорили о манипуляции с осями. Если сжать шкалу по вертикали, даже резкий рост будет выглядеть пологой линией. Если растянуть — любое колебание покажется катастрофой. Если начать шкалу не с нуля, а с какого-то числа, разница в несколько процентов превратится в гигантский скачок.

Добавим ещё несколько приёмов. Сглаживание: на графиках часто показывают не реальные данные, а сглаженную кривую. Это может скрывать резкие скачки или провалы. Выбор периода: можно показать график за последний месяц — и увидеть рост. Можно показать за год — и увидеть падение. Оба графика будут правдивы, но выводы разные.

Данные могут быть представлены не в абсолютных числах, а в процентах от чего-то. «Число преступлений выросло на 50%» — звучит страшно. Но если было 2 преступления на миллион человек, а стало 3, то абсолютный рост незначителен.

В школе математика в основном про непрерывные величины. Но есть огромный пласт математики, который работает с дискретными объектами — теми, что можно пересчитать поштучно. Это дискретная математика.

Одно из главных её понятий — граф. Граф — это набор точек (вершин) и линий (рёбер), которые их соединяют. Схема метро — это граф. Станции — вершины, перегоны — рёбра. Карта дорог — граф. Социальные сети — тоже граф: люди (вершины) связаны дружбой (рёбрами).

Графы помогают решать практические задачи. Как проложить маршрут, чтобы объехать все нужные точки и не переплачивать за бензин? Это задача коммивояжёра. Как найти кратчайший путь в метро от одной станции до другой? Это алгоритм Дейкстры, который работает именно с графами.

Дискретная математика лежит в основе программирования, логистики, построения сетей, даже биоинформатики. Когда вы ищете дорогу в навигаторе или видите рекомендации друзей в соцсети, внутри работает математика графов.

Мы прошли немалый путь. От простого счёта — к переменным и функциям, от них — к пространственным формам, от форм — к пропорциям и средним величинам. А затем углубились в логарифмы, вероятность и статистику.

Математика оказалась не набором скучных правил, а языком описания мира. У этого языка есть разные диалекты. Арифметика даёт нам числа — кирпичики, из которых строится математика. Алгебра описывает связи и зависимости — как одно меняется вслед за другим. Геометрия отвечает за форму и пространство. Пропорции и масштаб помогают сравнивать и переносить размеры. Средние величины позволяют обобщать, но требуют осторожности. Логарифмы делают огромные числа удобными для измерения. Вероятность учит оценивать шансы в мире случайного. Статистика даёт инструменты, чтобы не быть обманутым цифрами.

В следующей главе мы применим этот язык к тому, как движется и взаимодействует всё вокруг. Переходим к физике.

Скажу сразу, эта глава получилась самой длинной в книге. И это не случайно: физика — самая объёмная из школьных наук. В учебном плане ей отведено больше часов, чем химии, биологии или истории. Здесь и механика, и электричество, и оптика, и строение атома. Мы не будем пытаться объять необъятное, но пройдём по главному — от падающих яблок до ядерных батареек. Если где-то станет слишком подробно — значит, там действительно стоит задержаться.

Физику в школе многие не любят даже сильнее, чем математику. Здесь начинаются эти непонятные формулы, векторы, силы, ускорения, атомы, излучения. Кажется, что это какой-то параллельный мир.

Но на самом деле физика — это о том, как всё вокруг работает. Почему самолёты летают, а камни падают. Отчего вода в чайнике закипает, а в холодильнике замерзает. Почему небо голубое, а трава зелёная.

Физика делится на несколько больших разделов, и мы пройдём по ним по порядку. Начинаем с самого простого — с описания движения. Это как раз тот случай, когда можно обойтись без сложных формул, но понять главное.

Кинематика. Движение тел