Население Земли как растущая иерархическая сеть

Количественная классическая математическая потенциальная и актуальная бесконечность как нечто недостижимое или невозможное

В математике различают потенциальную и актуальную бесконечность. Когда говорят о том, что некоторая величина бесконечна потенциально, то имеется в виду, что она может быть неограниченно увеличена. Актуальная бесконечность рассматривается как реально существующая «здесь и сейчас» величина, не имеющая конечной меры. Такое разделение бесконечности на два типа было сделано еще Аристотелем.

Второй постулат Евклида утверждает не бесконечность длины прямой линии, а всего лишь то, что прямую можно непрерывно продолжать, – это потенциальная бесконечность; если же рассмотреть всю, уже начерченную бесконечную прямую, то она даёт пример актуальной бесконечности.

Понятие потенциальной бесконечности возникает при построении натурального числового ряда. Если мы построим натуральное число n, то ничто не мешает нам построить число n + 1. Если мы дошли до шага k > n, то можно сделать и шаг k + 1. Ограничено ли заранее число таких шагов? Нет. Конечно, у нас может не хватить сил, физических возможностей, т. е. ресурсов на шаге t для того, чтобы сделать следующий шаг t + 1. Но если от этих ресурсных ограничений абстрагироваться, то получаем понятие потенциальной бесконечности.

Потенциальная бесконечность есть бесконечный процесс построения объектов, процесс, у которого нет последнего шага. В элементарной математике он ассоциируется с доказательством по методу математической индукции, в теории вычислимости – с проблемой остановки работы заданного алгоритма, у которой, согласно Тьюрингу, нет решения. По причине входа в бесконечный цикл иногда зависает компьютер. (Здесь и далее – по материалам статей Л.Н. Победина: «О бесконечном». [51])

Под актуальной бесконечностью понимается бесконечная совокупность, построение которой завершено и все элементы которой наличествуют одновременно. Например, мы будем иметь дело с актуальной бесконечностью, если пересчитаем весь натуральный ряд полностью. Другой пример – бесконечная совокупность точек отрезка, которая предстаёт перед нами в законченном виде.

Актуальная бесконечность представляет собой весьма сильную идеализацию. Действительно, она допускает не только возможность построения последующего объекта, если построен предыдущий, но и постулирует, что все возможные объекты уже построены и имеются в наличии (существуют одновременно).

Немецкий математик и философ XIX столетия Георг Кантор развил идеи Аристотеля. Актуально бесконечным Кантор называл такое количество, которое, с одной стороны, не изменчиво, но определенно и неизменно во всех своих частях и представляет собой истинную константу, а с другой, в то же время превосходит по своему значению  всякую конечную величину того же вида. Согласно Кантору, потенциально бесконечное означает переменную конечную величину, растущую сверх всяких конечных границ.

Альтернативная естественная математическая бесконечность как нечто неопределенное и конечное

В существование актуально бесконечных множеств верит большинство математиков. Более того, математики пытаются внушить веру в эту догму и нематематикам. Однако в реальном физическом мире бесконечности мы не обнаруживаем. И роль, которую это понятие может играть в математике, определяется лишь той пользой, которую оно может принести нашему мышлению.

Согласно Гильберту, «Идеальные бесконечно удаленные элементы приносят лишь ту пользу, что делают систему законов и знаний возможно более простой и обозримой». В основании всех разделов современной математики лежит канторовская теория множеств, в которой имеет «право на жизнь» не только потенциальная, но и актуальная бесконечность.

Эта «наивная» теория множеств наряду с ее важными для самой математики достижениями приводит также и к многочисленным парадоксам, избавиться от которых можно лишь с помощью некоего искусственного приема, что не страхует ее от новых парадоксов.

Состояние, в котором находятся основания математики, базирующиеся на классической теории множеств, можно охарактеризовать как вяло текущий кризис. Этот кризис, связанный с понятием актуальной бесконечности, возник еще в начале прошлого века.

Кризис ещё не пройден, хотя и затух. Большинство математиков не работают на уровне аксиоматических систем. Во всех разделах практической математики математические парадоксы, связанные с понятием актуальной бесконечности, не играют никакой роли.

В классической теории множеств все числа натурального числового ряда имеют «равные права». Она, например, принципиально не отличает число 10 и число всех атомов во Вселенной. Приложимость такой теории к физическим моделям, в которых изучаются новые эффекты, возникающие при различных конечных порядках, весьма проблематична.

Но такое свойство конечного проблематично и в самой математике,  когда говорят, например, что любое доказательство имеет конечную длину и его можно закодировать геделевским номером (некоторым натуральным числом). Все-таки доказательство длиной в 10 шагов и в 10 триллионов шагов качественно различаются, хотя оба они и конечны в канторовской теории.

В качестве примера можно привести великую теорему Ферма, проблему трех красок и гипотезу Пуанкаре. Для решения этих задач потребовались усилия нескольких поколений математиков. В таких и более сложных случаях возникает проблема ресурса. Не всякий ресурс может быть в реальности задействован; существуют задачи, требующие, хотя и конечного числа шагов, но столь большого количества ресурсов, что ответ на них так никогда и не будет получен.

На необходимость пересмотра аксиоматических основ теории множеств указывает П.К. Рашевский в обогнавшей свое время статье «О догмате натурального ряда», написанной еще в 1973 году[101].

Существуют различные пути выхода из кризиса, в котором находятся основания математики, но наиболее радикальной мерой является создание альтернативной теории множеств, т. е. новация на аксиоматическом уровне. Так, например, были построены все варианты неевклидовой геометрии. И вариант такой альтернативной теории, не отягощенный парадоксами классической теории множеств, уже существует.

Альтернативная теория множеств AST была создана в конце ХХ века чешским математиком П. Вопенка. В этой теории бесконечность возникает естественным путем из бытовых наблюдений и размышлений над такого рода вопросами как сколько песчинок находится на данном пляже? С одной стороны, понятно, что количество этих песчинок может быть выражено, хотя и очень большим, но конечным натуральным числом.

А, с другой стороны, какое это число, мы точно не знаем. Можно еще различить сто тысяч или миллион песчинок, но далее число песчинок все труднее поддается счету, и совокупность их становится нечеткой. Оказывается, что нечеткая совокупность и может играть роль бесконечного множества.

Альтернативная теория множеств Вопенка и его коллег разработана и признана (по крайней мере российскими математиками). Казалось бы, наличие в настоящее время двух теорий, двух точек зрения на бесконечное должно было вызвать бурные дискуссии, которые могли бы способствовать лучшему уяснению понятия бесконечность.

Однако этого не происходит. Причиной тому является тот факт, что основные идеи альтернативной теории множеств имеют явно парадигмальный характер, если под сменой парадигмы понимать изменение и переосмысление системы устоявшихся научных взглядов. Как показывает история, такой процесс никогда не проходит легко и безболезненно и зачастую требует отказа от привычных способов мышления и выработки новых.

Альтернативный взгляд на бесконечное не является только внутренним вопросом математики, а затрагивает мировоззренческие стороны естественных и гуманитарных наук и для того, чтобы его принять необходим серьезный философско-методологический анализ.

Схожая ситуация возникла с дарвиновской теорией эволюции. Необходимость смены эволюционной модели у честных ученых давно не вызывает сомнения, но вот только на ЧТО менять? – Ответа нет. Иное дело теория AST Вопенка: она существует, она признана и она, безусловно, предпочтительнее канторовской теории, множества в которой есть четко выделенные совокупности объектов.

Чего не скажешь о большинстве совокупностей реального мира, которые четко выделенными назвать никак нельзя. Например, не является таковой совокупность всех ныне живущих людей на Земле. (Как предствителей рода Homo, отличающихся от любого из ныне живущих или когда-либо живших представителя земной фауны.) Что представляется важным для теоретической демографии.

Ведь если бы мы должны были решить принадлежит ли к этой совокупности в данный текущий момент времени тот или иной человек, у нас возникли бы немалые сомнения. Так, например, можно ли причислить к этому множеству нерожденных детей, годовалых младенцев, не научившихся говорить, людей, находящихся под общим наркозом, в состоянии комы или клинической смерти?

То же можно сказать и о совокупности всех звезд во Вселенной, количество которых больше, чем число песчинок на всех пляжах мира. И множество которых также является нечетким, поскольку мы не только не в состоянии все их пересчитать, но даже не можем дать определенного ответа на вопрос: существует ли данная конкретная звезда в контрольный промежуток времени или она уже угасла, или взорвалась как сверхновая, или еще не зажглась в процессе сжатия газо-пылевого облака. Да и что считать звездой? Входят ли в это множество, например, нейтронные звезды и черные дыры?

Точно так же не является четко выделенной совокупность всех биологических видов, существующих в природе, съедобных блюд, интересных книг, красивых цветов. Иначе говоря, почти всегда, когда мы создаем в своем воображении множество объектов, обладающих тем или иным свойством, эта совокупность выделяется нечетко.

П. Вопенка назвал такие нечеткие совокупности классами, и главная идея AST заключается в том, чтобы возложить на эти нечеткие совокупности ту роль, которую играет понятие бесконечность в классической математике. Поэтому альтернативная (естественная) бесконечность Вопенка является чем-то неопределенно конечным и поэтому в AST нет места парадоксам классической теории множеств.

«Таким же естественным понятием AST является понятие горизонта. Каждый наш взгляд, куда бы он ни был направлен, всегда чем-то ограничен. Либо на его пути оказывается твердая граница, четко его пресекающая, либо он ограничен горизонтом, по направлению к которому утрачивается ясность нашего видения.

Например, наш взгляд на окружающее пространство, сосредоточенный на его размерности, четко ограничен тремя измерениями. Горизонтом ограничено наше видение вдаль, а также вглубь, т. е. при взгляде на все более мелкие предметы. Однако наш взгляд не есть только видение глазами – он понимается здесь в самом широком смысле этого слова.

По-видимому, можно говорить о горизонте нашего познания, нашего ума, нашей мысли. Четко преграждающие взгляд твердые границы нам представляются как нечто непреложное, как необходимые рамки, в которые заключен сам мир. Напротив, по направлению к горизонту мир для нас остается открытым.

Хотя сам горизонт мы признаем четким явлением, но то, что лежит перед горизонтом, выделено нечетко. Чем ближе к горизонту находится нечто, тем хуже мы его видим. То есть, при приближении к горизонту мы сталкиваемся с феноменом нечеткости. Чем ближе к горизонту, тем более ощутимо этот феномен проявляется. Но все нечеткое продолжается и дальше или плавно переходит во что-то иное.

Поэтому мир, лежащий перед горизонтом, должен продолжаться и за ним, но там он остается еще непознанным. Горизонт не занимает определенного положения в мире, он может перемещаться. Существующий горизонт можно нередко отдалить или „преодолеть“.

Но, строго говоря, попасть за горизонт мы не можем. Преодоление существующего горизонта означает лишь то, что перед горизонтом оказалось нечто, бывшее прежде за горизонтом. Сам по себе горизонт является непреложной границей, которою мы не можем пересечь, и которой ограничен наш взгляд.

Но поскольку мы понимаем, что мир продолжается и за горизонтом, постольку горизонт является для нас не границей мира, а лишь границей нашего взгляда на мир (по этой причине, замечает Вопенка, горизонт и не стал непосредственным предметом для европейской науки)». Л.Н. Победин: «О бесконечном».

Понятие математического горизонта AST хорошо соответствует представлению о космологическом горизонте как о той границе, за которой скорость хаббловского расширения пространства становится больше скорости света и до которой простирается вся наблюдаемая часть Вселенной.

Куда бы астроном ни направил свой телескоп он не может увидеть объекты, удаленные на расстояния большие, чем 46 млрд световых лет. Это расстояние примерно втрое больше 14 млрд световых лет, поскольку пространство, пересеченное фотоном, расширяется за время его движения.

Если бы мы жили в замедляющейся Вселенной космологический горизонт отодвигался бы от наблюдателя, и можно было бы наблюдать все большее и большее количество галактик. Однако наша Вселенная расширяется с ускорением, и пока так будет продолжаться, мы не можем наблюдать объекты, находящиеся за космологическим горизонтом.

Подходит ли такая естественная бесконечность, как ее называет П. Вопенка, на роль истинно бесконечного по Гегелю? Разумеется, альтернативная математическая бесконечность отличается от философской бесконечности Гегеля, которую он представлял как отрицание отрицания.

С другой стороны, она сходна с гегелевским понятием бесконечного тем, что не противостоит конечному, а непосредственно из него вытекает. В свою очередь, конечное не противостоит бесконечному и может быть конечным в одной модели и бесконечным в другой. Такой взгляд на бесконечное позволяет избежать противоречий в математике и плодотворно применять это понятие в естественных науках.

Здесь важно то, что альтернативная бесконечность Вопенка находится не в потустороннем, абстрактном, а в реальном, конечном мире – «она есть и она здесь», что, по мнению Гегеля, является основной характеристикой истинно бесконечного. Главный вывод таков:

Бесконечность классической теории множеств должна быть исключена даже из самой математики, не говоря уже о неприменимости этого понятия при описании совокупностей реального мира[102].

На эту роль гораздо более подходит естественная бесконечность Вопенка. Но даже и она, как идеальное математическое построение, не всегда может быть применена при описании совокупностей реального мира.

Принцип отказа от применения понятия бесконечность при описании множеств, существующих в реальности

Первым шагом при формулировании принципа отказа от применения понятия бесконечность классической теории множеств при описании существующих в реальности совокупностей каких-либо объектов (обозначим его для краткости принцип «-∞-») является отказ от применения классической актуальной бесконечности.

И это вполне естественно, т. к. в реальном мире не существует систем, количественные характеристики которых не имели бы конечной меры. Даже вся Вселенная в целом, в соответствии с современными научными данными, представляет конечную «флуктуацию» (или конечный «Проект»).

Второй шаг – это неприятие в указанном выше смысле потенциальной бесконечности. Эта бесконечность как символ, как эффективный прием в математических теориях, описывающих реальность, весьма полезна и ее применение можно было бы только приветствовать.

К сожалению, довольно часто такое абстрактно-математическое описание без всяких оговорок приписывается объективной реальности. Потенциальная бесконечность требует неограниченного количества ресурсов и поэтому не может быть реализована на практике.

Т. к. все процессы протекают во времени, она требует как минимум бесконечного времени, точнее, бесконечного количества хрононов: квантов времени.

Принцип «-∞-» не является какой-то новацией. Он давно известен и успешно применяется при решении ряда естественнонаучных проблем. Отечественный философ А.С. Кармин определяет его как методологическую установку философского уровня:

«Всякий раз, когда из теории следует вывод о бесконечности свойств и состояний, мы сталкиваемся на самом деле с границами ее применимости, выход за которые требует разработки новой, более широкой и общей теории. Например, вывод о бесконечно большой скорости передачи взаимодействий, вытекающий из ньютоновской теории тяготения, свидетельствует о ее ограниченности и был пересмотрен в теории относительности.

Точно также допускаемое в некоторых космологических теориях существование такого состояния материи, когда она обладает бесконечно большой плотностью, свидетельствует в действительности о существовании предела их применимости к отдаленному прошлому Вселенной, о необходимости создания новых теорий для его описания. Число подобных примеров можно умножить. А они показывают, что при предлагаемой постановке проблемы философия, не беря на себя решения естественнонаучных задач, может оказать естествознанию известную методологическую помощь» А.С. Кармин «К постановке проблемы бесконечности в современной науке».

Еще раз перечислим виды бесконечности, рассмотренные нами ранее:

1. Математическая бесконечность в двух ее формах: потенциальная и актуальная. При пересмотре аксиом теории множеств дурная канторовская бесконечность может быть заменена на естественную бесконечность Вопенка.

2. Философская бесконечность как бесконечность мироздания, существование которой невозможно ни опровергнуть, ни доказать – в нее можно только поверить. Очевидно, что философская бесконечность не имеет никакой практической ценности и не может быть перенесена в естествознание.

3. А.С. Кармин рассматривает физическую бесконечность (потенциальную и актуальную) как бесконечность, которая либо постулируется в естественнонаучных теориях, либо возникает в процессе экстраполяции физических, химических, демографических… каких-то иных законов на область значения переменных далекую от той, где эти законы были первоначально установлены. Эта бесконечность возникает, прежде всего, в физических теориях, например, в стандартной космологической модели, математический аппарат которой (ОТО) основан на наивной канторовской теории множеств.

4. К этому же списку следует добавить и так называемую «практическую бесконечность». Ее можно определить как нечто несравнимо (качественно) отличное по своим масштабам от того, с чем имеет дело данная конкретная теория.

Приведем пример, иллюстрирующий понятие «практическая бесконечность». Нашей Вселенной порядка 1010 лет. За это время она прошла длительный путь эволюции от бариона до человека. Причем скорость этой универсальной эволюции постоянно возрастала. Эпоха звезд, если исходить из современных научных теорий, может продолжаться не более, чем 1014 лет. После чего процесс эволюции, согласно существующим представлениям, завершится и начнется процесс деволюции.

Начиная с 10100 лет (гугол лет), наступит эпоха распада, эпоха черных дыр и эпоха вечной тьмы. Этот масштаб времени, гугол лет, возникающий в современных космологических моделях, несоизмерим с единственным доподлинно известным нам масштабом 1010 лет: временем, исчисляемым от Большого взрыва до наших дней. Невозможно представить себе такую бездну времени, как гугол лет. Но можно попытаться создать некий наглядный образ:

Представьте, что вы загораете на пляже. Солнце, море, песок… Что может быть лучше. Зачерпнем ладонью сухой, нагретый солнцем песок. Сколько там песчинок? – Трудно сказать, может быть, сотни, может быть, тысячи.

Пусть каждая песчинка отмечает 1010 лет или даже 1014 лет. Сколько песчинок нужно собрать в песочные часы, чтобы отсчитать 10100 лет? Очевидно, 10100/1014 = 1086. Но для этого не хватит песчинок на все пляжах мира. Для этого не хватит песчинок на всех пляжах планет земного типа во Вселенной.

Да что там песчинки! – Для этого не хватит всех атомов и даже всех барионов во Вселенной, которых «всего только» 1080. Что же получается? Выходит, что время эволюции Вселенной ничтожно, невообразимо ничтожно мало по сравнению со временем ее деградации.

Могут ли космологические модели, в которых появляется такой масштаб времени, как гугол лет, претендовать на истинность? Ведь та единственная Вселенная, которая нам известна и в которой мы существуем, эволюционирует и эволюционирует от простого к сложному, причем скорость этой универсальной эволюция постоянно возрастает.

Никаких других Вселенных мы не знаем. Это факт, с которым невозможно не считаться. Следовательно, все современные космологические модели, построенные на основе ОТО и квантовой теории, модели, в которых появляется такой масштаб времени и при этом претендующие на то, чтобы считаться научными – таковыми на самом деле не являются.

Нет сомнения в том, что времена порядка 10100 лет не должны появляться в космологических теориях. Кроме того, величины значительно большие 1080 не могут описывать совокупности реального мира. Их также можно считать практически бесконечными.

Отказ от применения актуальной и потенциальной бесконечности при описании совокупностей материальных объектов и реальных процессов вполне очевиден и вряд ли стоило заострять на нем внимание, если бы не следующее обстоятельство: если принцип «-∞-» применять в тех случаях, когда в процессе вычислений возникают «чрезвычайно большие» (как в приведенном примере) или «чрезвычайно малые» величины, т. е. величины практически бесконечно большие или практически бесконечно малые, – можно получить целый ряд важных следствий.

Такое усиление принципа «-∞-» касается, в частности, тех событий (или процессов), которые реализуются лишь при чрезвычайно редком стечении обстоятельств, т. е. в тех случаях, когда вероятность появления такого события очень и очень мала.

Такие события с «бесконечно малой» вероятностью могут быть связаны с «бесконечно большим» числом виртуальных или даже предположительно реальных миров, где это чрезвычайно редкое и в то же время очень важное, определяющее событие не произошло и их развитие пошло принципиально иным путем.

Насколько должна быть мала вероятность такого события, чтобы ее можно было «округлить» до нуля и считать допустимым применение принципа «-∞-»?

Один из создателей концепции разумного замысла математик и философ Уильям Дембски ввел понятие «определенной сложности». Если некоторый объект имеет определённый уровень сложности, то можно считать, что он был создан разумными силами, а не возник в ходе естественных процессов. Дембски считает, что к обладающим «определённой сложностью» относятся те системы, вероятность возникновения которых естественным путем меньше, чем 1/10150.

Ответ на этот вопрос в известной степени субъективен, что, разумеется, снижает ценность установки «-∞-» как эвристического принципа. Так, в обыденной жизни мы, безусловно, учитываем события, вероятность появления которых близка к единице.

Если прогноз осадков составляет 70 % – мы берем зонт. События, вероятность которых измеряется единицами процентов, также должны быть приняты во внимание. Если же вероятность какого-то события, которое может произойти или не произойти в единичном уникальном опыте равна 1/1000 – ею обычно пренебрегают.

Вероятность 10-6 уже настолько мала, что события, которым она отвечает, в реальности почти никогда не происходят. Поэтому, например, вряд ли стоит серьезно надеяться на большой выигрыш при покупке лотерейного билета.

Вероятность 10-9 появления некоторого события при проведении единичного опыта столь ничтожна, что ею уже точно можно пренебречь и считать равной нулю. Такова, например, вероятность случайного превышения в начальных условиях на момент начала ядерной эволюции (адронной эры) числа барионов над числом антибарионов, определившего нынешнюю барионную асимметрию Вселенной.

Еще в 1970 году Роджер Пенроуз сформулировал так называемый принцип «космической цензуры», который может быть представлен в следующей образной форме: «Природа питает отвращение к голой сингулярности». Из него следует, что сингулярности пространства-времени появляются в таких местах, которые, подобно внутренним областям чёрных дыр, скрыты от наблюдателей. Этот принцип есть не что иное, как завуалированный принцип «-∞-» в космологии.