Музыкальная геометрия мира: музыка и мы. Игра-эксперимент «Узел» в письмах к М.

(Продолжение Истории о молотках и наковальнях)

Куда ведёт п о и с к?

Туда же, куда и тайна.

Прекрасная Лимма не принесла успокоения: « всё совершено, всё завершено». Наоборот, лишь раздразнила новыми обещаниями звуков неведомых, ещё не открытых, затаившихся в пространствах интервалов. Увлекла. Пифагора увлекла. А вслед – и Платона, и Боэция (того самого, что на фреске Рафаэля заглядывает в тайную книгу Пифагора через тысячу лет).

Что же пытался высмотреть Боэций в книге Пифагора? Ответ на какой вопрос он искал в этой книге? Боэций ведь был теоретиком музыки! В своей книге «Основы музыки» он написал загадочную фразу, которая стала головоломкой для многих учёных на много столетий вперёд. И фраза эта имела отношение к пифагоровым консонансам и свидетельствовала о том, что с этими консонансами дело обстояло далеко не так просто, как кажется вначале.

Вот что написал Боэций: «…quo sex toni superant diapason consonantia».

(Евгений Герцман, «Античное музыкальное мышление»,1986г.)

То есть, оказывается, что 6 тонов п р е в о с х о д я т диапазон консонансов, иначе – октаву. И превосходят на КОММУ (ещё одна красавица! Мало нам ЛИММЫ!).

Точное значение слова «комма» неизвестно. Известно только, что греки называли коммой что-то очень маленькое. Можно даже сказать «конечно маленькое», потому что у вокалистов, например, она означает конец звучания и время брать дыхание.

МИКРОИНТЕРВАЛ. Самый маленький интервал.

И эта крошка-комма перепрыгивала октаву?

Но если ознакомиться с принятой в наше время гипотезой пифагорова строя, то коммой там называют «увеличенную септиму БЕЗ октавы».

Кусочек таблицы пифагорова строя:

Рис. и пометки автора.

То эта комма «перепрыгивает», то «недопрыгивает»… Всю красивую картину консонансов ставит под вопрос. Из-за неё пифагоров строй стали считать незамкнутым – не кольцом, а спиралью.

А фраза Боэция как-то невольно подводит к мысли, что консонансы могли слегка фальшивить! На эту самую комму ( примерно на ¼ часть лиммы, то есть ¼ часть полутона, – так иногда представляют величину коммы).

Ещё эту комму пытаются рассчитывать так:

(3/2)¹² : (2/1)¹ = 531441/524288 ≈ 1,014

Но как бы её ни рассчитывали, просто не верится, что Пифагор мог допустить, чтобы лира Орфея или самого Аполлона звучала с фальшью!

…Платон обращал внимание на важность для Пифагора одной дроби: 73/72.

(73/72 = 1,0138888… ≈ 0,014)

Если ты был внимателен, когда рассматривал нашу ленту частот, которая привела к консонансам, ты не мог не заметить, что частоты интервалов пришли к согласию на отметке шкалы 72.

Вот в этом месте начинается самая захватывающая часть «детектива про комму»!

Что для Пифагора могла значить дробь 73/72?

Кажется, пришло время вспомнить нечто очень-очень-очень важное из жизни этого великого учёного-мыслителя. Кто он? – Он математик, философ и к о с м о л о г! Человек, обладавший глубоким знанием астрономии. В Греции, в свои юные годы, он получил эти знания из трудов тоже великого греческого мыслителя и астронома – Анаксимандра. «Научная экспедиция» в Египет длиною в два десятка лет отшлифовала эти знания и приблизила Пифагора к их истоку. Десяток лет в Вавилоне ввели его пытливый ум в соприкосновение с древней цивилизацией шумеров – «авторов» первых уравнений, первого земного календаря, 360˚ окружности, 3600 секунд времени, первой геометрии (с пентагоном и пентаграммой) и множества изобретений, включая арфу.

Похоже, шумеры были необычайно умны и невероятно любознательны. Сияющий сквозь тысячелетия огонь их Мысли был разжигаем вопросом: Что есть этот мир, в который они явились жить? Земляне искали ответа не только на Земле. О самóй Земле они вопрошали величественное, поражавшее красотой и волшебным сиянием светил Небо – космос, Вселенную. Ритмы Солнца, Луны и звёзд сплетались с ритмами их жизни.

Солнце, проплывая по волнам восходов и закатов, возвращалось к началу своего странствия среди звёзд примерно каждые 365 дней ( 365 волн/импульсов/доминант восходов-закатов – суток).

Луна плыла по волнам новолуний-полнолуний, возвращаясь к началу своего пути среди звёзд примерно каждые 355 ночей (суток).

А Земля кружилась посреди танца-кружения этих светил, между их притяжением, словно оказываясь в центре симметрии действия их могучих сил (Солнце – огромное и мощное, но очень далеко; Луна – маленькая в сравнении с Солнцем, но очень близко; силы уравновешивались).

В результате путь Земли между этими главными светилами казался замкнутым кольцом: согласие, созвучие движений всей этой космической триады (консонанс!) внутри сферы звёзд (четвёртый компонент) – всегда в одно и то же в р е м я; конец совпадал с началом, и всё повторялось из года в год.

Земля – посредине. Посредница. «Среднее арифметическое»: (365+355):2=360. 360 собственных «шагов» Земли в космических небесах, «шагов»-дуг по окружности её собственного движения-вращения.

360 г р а д у с о в.

(Градус – лат. gradus – «шаг», «ступень», «степень», «мера»).

Веками позднее египтяне эту мысль о космических ритмах жизни запечатлели в мифе о Времени.

Египетский миф о Времени.

Богиня справедливости Маат разделила год на времена:

Время разлива (Нила),

Время всходов,

Время урожая.

Все три времени года она поделила на месяцы – по четыре в каждом, и в каждом месяце – по 30 суток. А каждые сутки поделила поровну между Солнцем и Луной. Солнечный год был равен лунному: по 12 месяцев, 360 дней.

Хранительницей установленного порядка Маат назначила Луну. Но Луна не справилась со своей миссией, так как поневоле оказалась в центре ссоры между владыкой Вселенной – Великим Ра и своенравной богиней неба Нут.

Нут желала почитания, славы и могущества – не меньшего, чем у Ра.

Бог Вселенной разгневался и решил наказать тщеславную богиню неба.

«Я предаю проклятию все 360 дней года. Ни в один из этих дней ты не сможешь рожать детей и навсегда останешься бездетной!» – прогремел Ра.

Весь мир замер в страхе: что же будет?

Спасти ситуацию мог только бог мудрости (а также знаний и письменности) – Тот. Тот самый Тот, который всегда утверждал, что настоящая сила – ум.

Превратившись в ибиса, Тот полетел к хранительнице Времени Луне, удалившейся в пустыню и пребывавшей в великой печали.

Луна обрадовалась визиту дружелюбного гостя. Она желала, чтобы мгновения приятного общения с ним всё длились и длились. Не зная, чем удержать его, она вдруг предложила сыграть в шашки.

– А на что мы будем играть? – спросил Тот.

– У меня ничего нет, кроме света, которым я освещаю небо по ночам, – смутилась Луна.

– Будем играть на свет, – согласился Тот. – Не на весь, конечно. На часть.

В лунном году 360 дней. Возьми от каждого дня маленькую-маленькую часть, затем сложи эти части вместе – они и будут ставкой.

– Это невозможно, – огорчилась Луна. – Я хранительница Времени, я не могу отдать ни одного дня из лунного года.

– Не надо целого дня, – улыбнулся Тот. – Убавь от каждого дня всего по нескольку минут. 24/72 = 1/3 часа = 20 минут…

– Я убавлю от каждого дня маленький кусочек – всего 1/72 его часть, если ты, Тот, выиграешь. Даже никто не заметит, что лунные сутки стали короче, – согласилась Луна.

Тот кивнул, и игра началась.

…Тот выиграл.

Убавив от каждого дня всего несколько минут, Луна, как оказалось, получила значительный проигрыш. Когда Тот сложил эти минуты, вышло целых 5 суток! Отныне в лунном году осталось 355 дней.

А выигранные 5 дней Тот прибавил к солнечному году, в результате чего в солнечном году стало 365 дней.

В чём была хитрость Тота? – Выигранные им у Луны 5 дней не были преданы проклятию Ра! Ведь Ра проклял 360 дней, а не 365.

И выигранные дни Тот посвятил самому Ра. – Не станет же Владыка проклинать дни, посвящённые ему самому.

А Нут в эти 5 дней в конце года родила пятерых детей: Осириса, Гора Бехдетского, Сета, Исиду и Нефтиду, – тоже богов.

(И.В. Рак. Мифы и сказки древнего Египта.)

/Пересказ автора/

Эту самую 1/72 часть можно получить, если разделить окружность в 360˚ на 5 частей: по 72˚ каждая часть. И 1/72 часть каждой пятой части окружности будет равна 1˚. В пересчёте на дни 1˚ = 1 день. 5˚= 5дням.

Рис. автора.

Лунный год будет выглядеть разомкнутым кольцом, а солнечный год – намёком на спираль. При этом получается, будто в каждой пятой части пятиугольника должен бы «набегать» один лишний градус – 73-й. А «по-лунному» – в каждой части 71 градус.

Рис. автора.

Замечательно то, что в ЦЕЛОМ и в каждой пятой части этого ЦЕЛОГО отношения остаются одинаковыми:

365/360 = 1, 0138888… 73/72 = 1, 0138888…

360/355 = 1, 0140845… 72/71 = 1, 0140845…

То есть, в данном случае в ЧАСТИ отражается ЦЕЛОЕ настолько полно, что даже можно поставить знак равенства.

Какие чудесные перспективы сулило это обстоятельство для Мысли Пифагора!

Звуковые консонансы – той же природы, что и космические! Вот она, пифагорова «музыка сфер»! Сферы небесных тел (Солнца, Земли, Луны, «неподвижных звёзд») в своём гармоничном согласии/созвучии подобны музыке! А музыка – рождена космосом, Вселенной! Всё – единый узел.

«10» – священное число! (Земля между Солнцем и Луной внутри звёздной сферы.)

И в самом деле, это ведь число двойного узла: правого и левого. Их совмещение рождает Пентаграмму – само совершенство Золотого сечения (хотя Пифагор не употреблял этого термина, как ты знаешь; но он постиг саму с у т ь этого явления, пронизывающего великое во Вселенной и малое на Земле). Это – взаимодействие квинт, прародительниц музыкального строя (квинт и их перевёртышей-кварт).

Да, всего лишь разница-разность между солнечным и лунным годом на Земле (10 дней – 10 градусов) и – поразительное совпадение звуковых консонансов в «пункте 72» плюс-минус крошка-комма.

«10» для Пифагора – число, к тому же, особое ещё и потому, что т р е у г о л ь н о е. Странно?

Если в д у м а т ь с я – то не странно.

Равносторонний треугольник знаменует собою идею совершенства-равенства: равенства сторон-отрезков и углов. Он подобен явлению «градуса» – меры, которой измеряют и углы, и дуги (углы и отрезки окружности).

В равносторонний треугольник вписывается само число «10» в виде точек-«узелков», скрепляющих внутренние подобные малые треугольники:

Рис. автора.

А теперь давай ещё разочек взглянём на уже известную нам таблицу гармоник, на ту её часть, где представлены совершенные консонансы в виде волн, бегущих туда-обратно:

Рис. автора.

Совместим геометрический и волновой образы:

Рис. автора.

Попробуем совместить так, чтобы узлы совпадали. (У бегущих туда-обратно звуковых волн есть у з л ы и так называемые п у ч н о с т и. Об этом ты можешь узнать из книги проф. А.Г.Белявского «Теория звука в приложении к музыке»). Так нам треугольник покажет именно частоты или длины волн интервалов-консонансов в виде отношений/пропорций/дробей.

Рис. автора.

Музыкальный (и космический, конечно же) треугольник!

Музыкальная «десятка»!

Особенность всех чисел, принимающих участие в этой «магии» такова, что при сложении они и образуют «десятку»: 1+2+3+4 = 10

О, как непросто всё было у Пифагора!

Всё связано со всем.

А как же Пифагор поступил с КОММОЙ?

Комма своим явлением словно намекала на солнечное время на Земле (спираль солнечного года). Согласно Боэцию, она п р е в ы ш а л а консонанс диапазона-октавы («перехлёстывала через край»). Как солнечное время на Земле «перехлёстывает» кольцо в 360˚ на 5˚ (дней). На 1/72.

(Вот ещё раз: Звук и Время на Земле – одной природы, – космической!)

Те, кто думают, что Пифагор остановился, преткнулся о тот факт, что реальный звук словно не желает строго подчиняться консонансу (торопится вслед за Солнцем), они говорят, что пифагоров строй подобен спирали.

Но давай вглядимся повнимательнее в измерительный прибор Пифагора – монохорд: ящик. На ящике – шкала с делениями. Струна. Один конец струны закреплён жёстко колком, похожим на гвоздь. А другой конец струны свисает свободно. Он перекинут через колёсико-блок, и к нему подвешен груз. Ещё есть передвижная перекладина ( её называют «кобылкой», – наверное, потому что бегает туда-сюда) для изменения пропорций струны – чтобы получать различные интервалы-звуки.

Но нас интересует свободный конец струны. Для чего так?

Воспитывать КОММУ! Сдерживать её слишком солнечный темперамент. Приучать её к к о н с о н а н с у.

Пифагор был тем ещё Тотом! Только поступил он противоположно, и благодаря этому Луна получила возможность отыграться – вернуть свою 1/72 долю. Как?

Если частота звука слегка зашкаливает, то есть чуть выше, чем необходимо для консонанса, эту частоту можно изменить: понизить, уменьшить, – изменив натяжение струны, чуть ослабив его. Струна станет толще, «массивнее», «ленивее», будет колебаться менее активно. И напряжение звуковой волны уменьшится, и звук понизится в тоне. И комма вернётся в рамки диапазона. Кольцо замкнётся.

Для этого придётся вернуть 1/72 долю шкалы консонансов ( на нашей ленте частот) Луне. 73/72-х станут 72/72.

Как мог действовать Пифагор?

Сама проблема с коммой, по-видимому, возникла, когда пришлось приводить к консонансу звучание нескольких струн, изначально настроенных в соответствии с расчётами интервалов. Для этой цели служил другой прибор: полихорд (греч. polys – «многий», множество, horda – струна).

На этом приборе мы видим четыре струны для основных консонансов: примы, октавы, квинты, кварты.

Примой может стать любой тон-звук. От него и будут выстраиваться все остальные соотношения звуков. Разница в комму проявит себя на октавной струне (73/72= 1,0138888…). Она натянута в два раза сильнее струны примы (если жильная струна), или в два раза тоньше (если металлическая). Её натяжение нужно уменьшить на 1/72 (0,0138888….) и ещё совсем чуть-чуть. Об этом «чуть-чуть», может быть, ещё поговорим, если не устанем.

То есть:

Идеальная шкала консонансов по расчёту должна быть 72/72. Но при этом мы слышим звук на 1/72 выше расчетного, – как если бы шкала была 73/72. Чтобы услышать консонанс 72/72, нам нужно спуститься до отметки 71 (ослабить натяжение струны) – «по Луне». Тогда мы опять услышим звук на 1/72 выше, над отметкой 71,– т.е. 72/72.

Струна квинты (если жильная) натянута в полтора раза сильнее струны примы ( как если бы мы растянули 72 деления на длину 108; 72х1,5=108), или толщина её (если струна металлическая) = 2/3 толщины струны примы.

Что мы услышим? – Мы услышим звук тоже примерно на 1/72 выше нужного, т.е. не 108/72, а 109/72. Нам нужно ослабить натяжение струны до отметки 107 («по Луне»), и ещё чуть-чуть. Мы услышим то, что нужно: 0,0138888…х 108= 1,499…– «чуть-чуть».

Аналогично – со струной кварты.

Струна кварты (если жильная) натянута в 4/3 раза (примерно в 1,33333…. раза) сильнее струны примы (как если бы мы растянули 72 деления на на почти 96: 1,333333…х 72 = 95,999999…), или толщина струны (если струна металлическая) = ¾ струны примы.

Что мы услышим? – Мы услышим звук также примерно на 1/72 выше нужного, т.е. не 96/72, а 97/72. Нам нужно ослабить натяжение струны «по Луне», чтобы мы услышали необходимую высоту звука: 95/72 – «чуть-чуть».

Так можно поступать со струнами и для других интервальных звуков. На полихорде можно разместить и 6, и 7 струн для этих целей, – смоделировав таким образом лиру.

Странно ведёт себя звук. Мы слышим его «по Солнцу», а струны, чтобы получить консонансы, нужно настраивать «по Луне».

И здесь тоже не всё так просто, как в египетском мифе о Времени. Ведь солнечный год чуть больше 365 дней, за 4 года набегает своя «комма» примерно в одни сутки. Да и лунный год – не ровно 355 дней. Мы округляем, чтобы увидеть главные пропорции, увидеть структуру. Мы привыкли всё сводить к завершённости, к уравнениям. А движение существует благодаря неравенствам – пусть небольшим, с разницей в «чуть-чуть», но неравенствам.

Звук, как и Время, происходит из движения. Сами волны – это движение. Движение подразумевает какое-то неравенство. И конечно же, консонансы не могут быть идеальными. И наш слух готов мириться с небольшими неравенствами, которые держатся на «чуть-чуть». Мы их как будто не слышим – «округляем», как иррациональные числа мы склонны округлять.

Кстати, если ты когда-нибудь всё-таки заглянёшь в книгу А.Г.Белявского «Теория звука в приложении к музыке», ты узнаешь из рекомендаций настройщикам фортепиано, что чистые интервалы при настройке необходимо понижать – иначе консонансов не получится, настройка инструмента потерпит крах.

Пифагор об этом узнал из правил поведения космических объектов и обнаружил эти же правила в поведении звуков.

И Генрих Рудольф Герц, физик 19 века, «изобретатель» герца – единицы измерения частоты периодических процессов, в том числе волн, похоже, не противоречил Пифагору, соединившему космос, время, звук. Герц служит также единицей измерения времени.

Только в отношении звуковых волн Герц уточнил пифагорово «чуть-чуть». Например, интервал квинта определяется отношением частот не 1,5 или 1,499…(в переводе на десятичные дроби), а 1,498…

Может быть, потому что и сам солнечно-лунный календарь со времён Пифагора как-то уточнили… И поведение волн было более тщательно исследовано физиками: добавились параметры скорости, амплитуды, – всего того, что вносит коррективы в строгую зеркальную симметрию обычных дробей, выражающих обратность пропорций длин и частот волн : 2/1, 1/2;

3/2, 2/3; 4/3, 3/4 …

Рис. автора.

Из-за этих самых обычных дробей с их строго зеркальной симметрией Пифагора стало как-то принято (однако далеко не всеми теоретиками музыки, но всё-таки многими) «подозревать» в неточности. Но! Как-то забывается при этом о разработанной им с особой тщательностью системой настройки. Сторонники Пифагора как раз это учитывают.

Самое поразительное, что именно система настройки с помощью тех же самых простых дробей давала весьма точный результат на практике.

Если ты ещё не устал, давай-ка вспомним, из чего исходил Пифагор, обнаружив космическую связь между звуком и временем, временем и числом, числом и геометрией.

Идеальное годовое время Земли, её путь по окружности – 360˚. Это идеальное время/путь устанавливается как центр симметрии между солнечным годом на Земле в 365˚(дней) и лунным годом в 355˚(дней). + – 5˚, всего диапазон в 10˚(дней).

Рис. автора.

1/5 часть всей этой системы отношений воспроизводит в с ю эту систему, показывая те же самые отношения ( 1/5 от 360˚ – 72˚):

365/360 = 1, 0138888…. 73/72 = 1, 0138888…

360/365 = 0,9863013… 72/73 = 0,9863013…

360/355 = 1,0140845… 72/71 = 1,0140845…

355/360 = 0,9861111… 71/72 = 0,9861111…

Выходит, мы имеем дело с п о д о б и е м, и, какие бы операции мы ни совершали в этой 1/5 части всей системы, они будут отражением того, что происходит в ЦЕЛОМ. Система Солнце-Луна-Земля – ЦЕЛОЕ. 1/5 этого целого – система консонансов звуковых волн.

Диапазон 71-73 (с центром симметрии 72) в системе консонансов волн подобен диапазону «10» (365дней или градусов поворота минус 355 дней или градусов поворота, центр симметрии – 360 дней или градусов поворота) в космической системе.

Разница между отношениями 73/72 и 72/71 (как и между 365/360 и 360/355) равна: 1,0138888… – 1,0140845… ≈ – 0,0001957… ≈ – 0,0002

А теперь поступим опять же по подобию.

Как сама комма «набегает» из разницы в 0,0138888… в каждом делении шкалы волн (0,0138888… х 72 = 1,0138888…), так и в диапазоне «10» «набегает» своя микро-комма: – 0,0002 х 10 = – 0,002

То есть примерно в минус две тысячные: ≈ – 0,002

Это означает, что при настройке струн ( «по Луне») эта разница и учитывается и осуществляется.

Самым главным интервалом при настройке считается квинта. Наверное, ты уже догадываешься почему. – Это фундаментальный интервал, доминантный. «Первоинтервал», «кирпичик» (ещё говорят «краеугольный камень») музыкального строя.

Так вот, при настройке «по Луне» отношение 3/2, или 1,5 превращается в отношение 1,5 – 0,002.

Приблизительно, конечно, округлённо: ≈ 1,498…

…Когда Генрих Фердинанд Герц спустя почти 2,5 тысячелетия после Пифагора изобрёл свой герц, волны стали измерять этими самыми герцами. К а ж д ы й индивидуальный, особенный и неповторимый звук – в герцах. Но эти звуки-индивидуальности в музыкальном строе оказались верны тем

о б щ и м п р и н ц и п а м отношений между звуками, которые обнаружил первооткрыватель Пифагор.

Любопытно, очень любопытно взглянуть хотя бы на часть таблицы, где представлены звуки-индивидуальности с их неповторимым обликом/образом в герцах.

Если хочешь, поиграйся с отношениями между «индивидуалистами», взяв калькулятор.

Особенно интересно, как обстоит дело с квинтами.

Основная таблица – из Интернет источника.Википедия.

Конечно же, Пифагор на этом не успокоился.

Он действовал как великий скульптор-ваятель – но не отдельной какой-то вещи, а всего мира – Творец! И его материалом (или материей) был не вещественный какой-то материал (камень, дерево…), а само Время, явившее себя на Земле в ЗВУКЕ.

Он взял «первоатомы» мира – квинты/доминанты – как первозданную материю/Время. Сотворил из них что-то вроде отдельного существа – сущность – ОКТАВУ. Потом нашёл главные пропорции: отношение квинты и примы, октавы и квинты. Затем, используя найденные пропорции, стал делить крупные части сотворённой октавы на всё более мелкие. Так появились новые интервалы и звуки, их выражающие: терции и их отражения-перевёртыши сексты, секунды и их отражения-перевёртыши септимы.( О кварте же мы помним, что она – отражение-перевёртыш квинты.)