Электрические цепи на бумаге. 14 разборов с задачами

Сначала схема, потом числа

На рисунке три резистора. Два выглядят стоящими рядом, третий — отдельно. Можно ли по этому виду сразу складывать сопротивления? Нет: важна не близость прямоугольников на странице, а то, какие их выводы соединены. Ошибка часто появляется раньше первой арифметической операции — в момент, когда читатель выбирает не ту модель.

Эта книга учит читать простую цепь как набор связей. Вначале мы договоримся о величинах и единицах. Затем перейдём от узлов к последовательным, параллельным и смешанным соединениям. Наконец посмотрим на приборы, разрыв, перемычку, мощность и изменение одного элемента. Для каждой ситуации потребуется не только получить число, но и объяснить, почему оно подходит именно этому участку цепи.

В книге 14 полностью разобранных примеров и 36 самостоятельных заданий: четыре входных, по два после каждого разбора и четыре итоговых. У самостоятельных заданий есть отдельные подсказки, решения и проверки. Прежде чем открыть решение, попробуйте записать, какие два узла ограничивают рассматриваемый участок и что на этом участке известно.

Ошибочные утверждения выделены прямо словами. Их задача — показать место сбоя, а не научить запоминать неверный ответ. Если собственное решение не совпало с ответом, найдите первый расходящийся шаг: неверно распознанные узлы, подставленный общий ток вместо тока ветви, перепутанные единицы или обычная арифметика требуют разных исправлений.

Условия со схемами полностью заданы и словами. Буквы на рисунках — имена узлов, а не размеры и не физическое расположение деталей. Если маленький экран затрудняет чтение подписи, используйте словесную запись. Переходы к подсказкам и обратно дополнены номерами заданий; при неточном переходе читалки нужный раздел можно найти в оглавлении.

Модель и её границы

Все задачи решаются на бумаге. Источники напряжения идеальны: поддерживают заданную разность потенциалов независимо от допустимой в задаче нагрузки. Это не описание возможностей настоящей батарейки. Каждый обычный резистор имеет положительное постоянное сопротивление. Нагрев, изменение сопротивления, внутреннее сопротивление источника, ёмкость и индуктивность не рассматриваются.

Мы разбираем установившийся постоянный ток: величины не меняются со временем внутри одного состояния схемы, заряд в узлах не накапливается. Когда условие сравнивает две схемы, оно задаёт два стационарных состояния. Книга не рассчитывает, что происходит в промежутке между ними.

Идеальный провод имеет нулевое сопротивление, поэтому все точки одного непрерывно соединённого провода имеют одинаковый потенциал. Вся такая область называется здесь узлом. Узлом может быть и соединение двух элементов: не требуется, чтобы в каждой отмеченной точке непременно сходились три ветви. Точка соединения ветвей — частный, особенно полезный случай.

Идеальный амперметр в данной схеме имеет нулевое падение напряжения и показывает ток своего пути. Идеальный вольтметр показывает разность потенциалов пары узлов, а ток через него равен нулю. Это определения идеализации, не характеристики настоящих приборов. Подключения реального измерителя и выбор его режима в книге не обсуждаются.

Ни одна схема не является предложением собрать устройство. Здесь нет инструкций по монтажу, ремонту, работе с розеткой, выбору проводов или защиты. Небольшое напряжение в условии выбрано для удобства арифметики и ничего не обещает о безопасности реального опыта. Для практической электротехники нужны отдельное обучение и соответствующие правила безопасности.

Ненулевой идеальный источник напряжения нельзя без противоречия соединить напрямую идеальным проводом: источник требует ненулевую разность потенциалов, а провод — нулевую. Такую пару требований нельзя исправить ответом «бесконечный ток». В основном примере разбора 11 между источником и перемычкой остаётся положительное сопротивление; упражнение 11.2 отдельно показывает противоречивую модель прямого провода между выводами источника.

Язык величин и рисунков

Ток I измеряется в амперах (А). Это скорость переноса заряда через выбранное сечение, а не запас заряда в резисторе. Направление тока принято по движению положительного заряда. В наших резистивных ветвях ток направлен от большего потенциала к меньшему. Если для расчёта выбрана обратная стрелка, отрицательный ответ означает обратное направление относительно этой стрелки.

Потенциал φ точки задаётся относительно выбранного нуля. Напряжение между узлами A и B обозначаем U_AB = φ_A − φ_B. Перестановка букв меняет знак: U_BA = −U_AB. Фраза «на резисторе 6 В» в расчёте мощности обычно означает положительную величину падения напряжения по току. Там, где важен знак, порядок узлов указан явно.

Сопротивление обозначается R, единица — ом (Ом). Для нашего положительного резистора закон Ома можно записать как I_AB = U_AB/R, если ток считается от A к B. В формулах мощности P = UI используются напряжение-падение и ток в согласованном направлении для одного и того же резистора. Тогда мощность потребления положительна.

На схемах прямоугольник означает резистор, круг с плюсом и минусом — идеальный источник напряжения. Круг с A обозначает идеальный амперметр, с V — идеальный вольтметр. Сплошная линия означает идеальный провод; закрашенная точка отмечает соединение. Разрыв показан промежутком между незамкнутыми концами. Все соединения дополнительно перечислены в условии.

Запись R1 || R2 означает параллельное соединение, но вычисление не начинается с этого символа. Сначала надо установить, что оба элемента действительно включены между одной и той же парой узлов. Сопротивление заменяющей группы обозначено Rэкв или названо словами; такая замена сохраняет внешнюю связь напряжения и тока, но скрывает внутреннее распределение величин.

В десятичных числах используется запятая: 0,5 А. Приставка милли- означает одну тысячную, кило- — тысячу: 1 мА = 0,001 А, 1 кОм = 1000 Ом. Символ В — вольт, Вт — ватт. Энергия E измеряется в джоулях (Дж); при постоянной мощности E = Pt, если время t выражено в секундах.

Задание В1

В1. Переведите 0,024 А в миллиамперы, а 2,5 кОм — в омы. Объясните, в какую сторону меняется численное значение при каждой замене единицы.

Подсказка — Задание В1

Решение — Задание В1

Задание В2

В2. Без десятичного округления вычислите 1/6 + 1/3, затем найдите число, обратное полученной сумме. Почему второй ответ не равен сумме обратных исходным слагаемым?

Подсказка — Задание В2

Решение — Задание В2

Задание В3

В3. Относительно одного нуля φ_A = 10 В и φ_B = 4 В. Найдите U_AB и U_BA. Изменятся ли они, если к обоим потенциалам прибавить 3 В?

Подсказка — Задание В3

Решение — Задание В3

Задание В4

В4. Решите уравнение 12/x = 0,5 при x > 0. Две предложенные записи ответа: x = 6 и x = 24. Выберите правильную, не полагаясь только на перенос символов.

Подсказка — Задание В4

Решение — Задание В4

Разбор 1. Число без единицы ещё не ответ

Задача: Научиться читать приставки в единицах тока и сопротивления и проверять напряжение двумя независимыми способами.

Умножение десятичных дробей и смысл равенства.

Обозначения I для тока, U для напряжения и R для сопротивления.

Для положительного постоянного сопротивления закон Ома связывает напряжение между концами резистора с током через него: U = IR. Если положительным выбран ток от A к B, то в этой записи U означает U_AB — потенциал A минус потенциал B. Формула описывает именно резистор; её нельзя без разбора переносить на любой элемент или разрыв.

Ампер, вольт и ом образуют согласованный набор: 1 А · 1 Ом = 1 В. Приставка относится к единице, а не является декоративной буквой. Милли означает одну тысячную, кило — тысячу. Поэтому 18 мА = 0,018 А, а 0,5 кОм = 500 Ом. Число меняется, но сама величина остаётся прежней.

Можно переводить всё в амперы и омы, а можно заранее проверить произведение единиц. Произведение мА · кОм равно В, потому что множители 1/1000 и 1000 сокращаются. Зато мА · Ом даёт мВ. Удобный короткий путь работает только при той паре приставок, для которой сокращение действительно выполнено.

Размерность ловит не всякую ошибку. Даже результат с подписью «В» может быть неверным в тысячу раз. Поэтому после вычисления полезно сделать обратную проверку: разделить найденное напряжение на сопротивление и сравнить ток с условием. Все числа в этой книге относятся к расчётной модели и не являются указанием собирать настоящую цепь.

Между узлами A и B находится один резистор R = 0,5 кОм. Через него от A к B проходит ток I = 18 мА. Найдите U_AB и объясните, почему ответ 0,009 В неверен. Других элементов для этого локального расчёта не требуется.

1. Сначала определим, что относится к одному и тому же элементу. Ток 18 мА проходит через данный резистор, а искомое напряжение измеряется между его концами. Поэтому можно использовать U_AB = IR. Если бы был указан общий ток нескольких ветвей, подставить его вместо тока резистора было бы нельзя.

2. Переведём ток: I = 18/1000 А = 0,018 А. Теперь сопротивление: R = 0,5 · 1000 Ом = 500 Ом. Две записи сохраняют первоначальные величины; перевод единиц не означает изменение состояния цепи.

3. Подставим согласованные единицы: U_AB = 0,018 А · 500 Ом = 9 В. Знак положителен, поскольку направление положительного тока совпадает с направлением от A к B, а сопротивление положительно.

4. Повторим расчёт без длинной записи: 18 мА · 0,5 кОм = 9 мА · кОм = 9 В. Числовой результат тот же. Это не отдельный физический закон, а тот же закон Ома с сокращением приставок.

5. Откуда берётся 0,009? Так получается произведение 0,018 · 0,5. Но первое число уже выражено в амперах, а второе всё ещё относится к килоомам. Полная запись дала бы 0,009 А · кОм = 0,009 кВ = 9 В. Ошибка состоит в замене получившейся единицы на вольт без пересчёта.

6. Проверим отвергнутый ответ по его следствию. При U_AB = 0,009 В и R = 500 Ом ток равнялся бы 0,000018 А = 0,018 мА. Это в тысячу раз меньше заданных 18 мА. Значит, неверное напряжение не может описывать указанное состояние резистора.

Ответ: U_AB = 9 В. Запись 0,009 В теряет множитель 1000 при работе с килоомами.

Проверка: Обратный расчёт: 9 В / 500 Ом = 0,018 А = 18 мА. Одновременно 9 В / 18 мА = 500 Ом = 0,5 кОм.

Ошибочное утверждение: Достаточно перемножить написанные числа, а единицу «В» дописать в конце.

Числовое значение зависит от выбранной единицы. У одного сопротивления записи 0,5 кОм и 500 Ом имеют разные числа. Если менять число, забывая о единице, можно получить сколько угодно несогласованных результатов.

Как исправить: До подстановки выберите согласованные единицы или явно сократите приставки. Затем восстановите исходную величину обратным действием.

Вычисляйте величины вместе с единицами. Сокращение приставок и обратный расчёт помогают обнаружить ошибку, которую аккуратная арифметика сама по себе не замечает.

К маршруту по разборам

Упражнение 1.1

У резистора между A и B напряжение U_AB = 15 В, а ток от A к B равен 30 мА. Восстановите сопротивление и запишите его и в омах, и в килоомах. Какой из ответов — 0,5 Ом или 0,5 кОм — согласуется с условием?

Подсказка — Упражнение 1.1

Решение — Упражнение 1.1

Упражнение 1.2

В решении для резистора с током 6 мА и сопротивлением 2 кОм написано: «U = 6 · 2000 = 12 000 В». Не решая задачу только одним способом, найдите место ошибки и восстановите правильное напряжение.

Подсказка — Упражнение 1.2

Решение — Упражнение 1.2

Разбор 2. Что удерживает идеальный источник

Задача: Различать заданное источником напряжение и ток, который определяется остальной моделью цепи.

Закон Ома для положительного постоянного сопротивления.

Деление и сравнение положительных чисел.

Идеальный источник напряжения в наших задачах задаёт разность потенциалов своих узлов. Если указано U_AB = 8 В, именно эта величина остаётся равной 8 В при рассматриваемой смене сопротивления. Слова «идеальный» не означают, что источник одновременно удерживает любой заранее названный ток.

Для одного резистора между теми же узлами напряжение на нём уже известно: оно равно U_AB. Ток находится как I = U_AB/R. Источник задаёт одно условие, резистор — другое; состояние должно удовлетворять им вместе. Такой порядок чтения условия надёжнее попытки угадать, какая величина «идёт первой» во времени.

При неизменном положительном напряжении увеличение сопротивления уменьшает ток. Это сравнение следует из деления на большее число. Но утверждение имеет условие: напряжение должно быть тем же. По одному лишь изменению сопротивления в произвольной сети нельзя заключить, как изменится ток отдельной ветви.

Мы сопоставляем две законченные стационарные модели, а не описываем процесс замены детали или переходный режим. У реальных источников есть дополнительные свойства и ограничения, которые здесь не рассматриваются. Нулевое сопротивление между выводами ненулевого идеального источника также не является допустимым продолжением этой задачи.

Идеальный источник поддерживает U_AB = 8 В. Между A и B находится единственный резистор R = 4 Ом, других путей между узлами нет. Сравните этот расчёт с другой моделью, где тот же источник имеет то же напряжение, а единственный резистор равен 8 Ом. Найдите токи от A к B.

1. В первой модели концы резистора совпадают с узлами источника A и B. Поэтому напряжение резистора равно 8 В. Здесь нет промежуточного элемента, на котором могла бы приходиться какая-то часть заданного напряжения.

2. Используем закон Ома для первой модели: I = 8 В / 4 Ом = 2 А. Это одновременно ток единственной резистивной ветви и общий ток, поступающий из источника в неё; разветвления в условии нет.

3. Во второй модели сохраняется условие источника U_AB = 8 В. Сопротивление теперь R′ = 8 Ом. Штрих лишь различает два расчёта; он не вводит новую физическую величину и не означает производную.

4. Новый ток I′ = 8 В / 8 Ом = 1 А. Сопротивление увеличилось в два раза, а ток уменьшился в два раза. Этот вывод получен при фиксированном напряжении, а не является правилом для любого изменения элемента в любой цепи.

5. Можно проверить отношение без повторного деления: I′/I = R/R′ = 4 Ом / 8 Ом = 1/2. В таком отношении единицы сокращаются; его значение не равно току и не нуждается в подписи «А».

6. Если оставить после изменения ток 2 А, резистору 8 Ом потребовалось бы напряжение 2 А · 8 Ом = 16 В. Оно несовместимо с заданными 8 В. Поэтому нельзя одновременно сохранить ток первого расчёта и напряжение источника при новом сопротивлении.

Ответ: При R = 4 Ом ток I = 2 А; при R′ = 8 Ом ток I′ = 1 А. В обеих моделях U_AB = 8 В.

Проверка: Первый резистор: 2 А · 4 Ом = 8 В. Второй: 1 А · 8 Ом = 8 В. Оба результата удовлетворяют одному условию источника.

Ошибочное утверждение: Раз в первом расчёте источник давал 2 А, он должен давать 2 А при любом сопротивлении.

Ток 2 А был найден из сочетания 8 В и 4 Ом; он не был задан как неизменное свойство источника. Сохранить ток можно было бы только при иных условиях, которых в этой задаче нет.

Как исправить: Отдельно выпишите неизменное условие источника и новое сопротивление. Затем заново найдите ток, не перенося старый ответ в новую модель.

Сначала выясните, что задано неизменным. Идеальный источник напряжения удерживает напряжение, а ток через единственный резистор находится из его сопротивления.

К маршруту по разборам

Упражнение 2.1

В первой модели единственный резистор 4 Ом находится между выводами идеального источника 8 В. Во второй модели тот же источник и один неизвестный положительный резистор дают ток 3 А. Ученик утверждает: «Ток вырос на половину, значит, сопротивление тоже выросло на половину». Восстановите сопротивление и проверьте утверждение.

Подсказка — Упражнение 2.1

Решение — Упражнение 2.1

Упражнение 2.2

В таблице стационарной модели записаны U_AB = 8 В, единственный резистор между A и B равен 4 Ом, ток через него равен 0 А. Все соединения целы, источник идеален. Можно ли согласовать эти данные, просто выбрав положительное направление тока от B к A?

Подсказка — Упражнение 2.2

Решение — Упражнение 2.2

Разбор 3. Узлы важнее формы рисунка

Задача: Узнавать последовательные и параллельные соединения по концам элементов, даже если схема нарисована непривычно.

Понимание идеального провода как соединения без падения напряжения.

Умение проследить непрерывный путь между обозначенными точками.

Узел — вся область, соединённая непрерывным идеальным проводом. У неё один потенциал. Узел может быть длинным, изогнутым или обозначенным несколькими буквами до упрощения. Число углов и точек на линии не увеличивает число электрических узлов.

Два резистора параллельны, если один конец каждого принадлежит одному общему узлу, а второй — другому общему узлу. Тогда у них одно напряжение между концами. Расположение на листе несущественно: нарисованные рядом элементы могут не быть параллельными, а расположенные далеко — быть.

В простом последовательном участке через элементы проходит один ток, потому что между ними нет ответвления, по которому часть тока могла бы уйти. Для цепей этой книги достаточно проверить общий промежуточный узел и убедиться, что в нём нет третьего пути. Просто иметь один общий конец недостаточно.

Составная группа тоже может быть последовательна отдельному резистору. Тогда одинаковы ток резистора и суммарный ток всей группы, но не обязательно ток каждой внутренней ветви. После свёртки группы нужно помнить, какие элементы были спрятаны в её условном прямоугольнике.

Перерисовывание сохраняет цепь, если сохраняет принадлежность концов элементов узлам. Перенос линии идеального провода допустим; перенос конца резистора через другой резистор — уже изменение сети. Пересечение линий без электрического контакта не создаёт узел; в текстовом условии связь должна быть названа явно.

Источник задан между A и B; на рисунках он не показан. Резистор R1 соединяет A с C, R2 соединяет C с B, R3 также соединяет C с B. Других связей нет. На первом рисунке R1 расположен слева; на втором — сверху. Пары концов всех резисторов сохраняются. Определите соединения без числового расчёта.

Рисунок 1. Обе сети имеют связи A–R1–C, C–R2–B и C–R3–B. Между внешними узлами A и B на этом рисунке показана только резистивная сеть, без источника.

1. Отбросим сведения о направлении линий и выпишем пары концов: R1 имеет пару A–C, R2 — C–B, R3 — C–B. Это краткое описание топологии: оно говорит, какие элементы соединены, и не зависит от художественной формы схемы.

2. У R2 и R3 совпали оба узла. Поэтому они параллельны и имеют общее напряжение U_CB. Здесь совпадение одной буквы было бы недостаточным; решающим является совпадение всей пары C и B.

3. В узле C сходятся R1 и две резистивные ветви. Ток, пришедший через R1, распределяется между R2 и R3. Поэтому R1 и R2 нельзя назвать последовательной парой: в их общем узле имеется путь через R3.

4. Если мысленно заменить пару R2 и R3 одним двухполюсным блоком с концами C и B, между R1 и этим блоком не останется внешнего ответвления. R1 последователен всей параллельной группе. Через него проходит суммарный ток группы, а не заранее выбранный ток R2.

5. Во втором рисунке длинная линия узла C не добавляет нового элемента и нового узла. Все точки этого провода имеют один потенциал. Список пар концов остаётся тем же, значит, это та же электрическая сеть.

6. Числа не нужны для такого вывода: вид соединения определяется связями. Однако по одной топологии нельзя узнать числовые токи или утверждать, что токи R2 и R3 равны. Для равенства ненулевых токов этих параллельных резисторов понадобилось бы равенство их сопротивлений.

Ответ: R2 и R3 параллельны. R1 последователен их общей группе, но не каждому из них по отдельности. Оба описанных рисунка задают одну сеть из трёх узлов A, C и B.

Проверка: У обеих версий один список соединений: R1 — A–C, R2 — C–B, R3 — C–B. Ток R1 равен сумме токов двух ветвей при согласованном выборе направлений.

Ошибочное утверждение: R1 и R2 стоят на одной прямой, значит, они соединены последовательно.

Прямая на рисунке не запрещает ответвление в C. Через R3 может идти часть тока, поэтому ток R2 не обязан совпадать с током R1. Геометрическое соседство подменяет проверку соединений.

Как исправить: Назовите общий узел и перечислите все присоединённые к нему ветви. Для параллельности отдельно сравните обе пары концов элементов.

Читайте схему как перечень узлов и соединяющих их элементов. Сначала установите топологию, и только потом выбирайте формулу для сопротивления или тока.

К маршруту по разборам

Упражнение 3.1

Точки P, K и M соединены только идеальными проводами и образуют одну непрерывную область. Резистор X соединяет P с T, Y соединяет K с T, Z соединяет M с Q. Источник находится между Q и T; других связей нет. Сколько здесь различных узлов и какая группа последовательно соединена с Z?

Подсказка — Упражнение 3.1

Решение — Упражнение 3.1

Упражнение 3.2

В треугольной сети R1 соединяет A с B, R2 соединяет B с C, R3 соединяет C с A. Источник находится между A и B. К C больше ничего не присоединено. Ученик назвал все три резистора параллельными, потому что они окружают один треугольник. Найдите верную группировку и укажите, что изменится в рассуждении, если к C добавить ещё одну проводящую ветвь.

Подсказка — Упражнение 3.2

Решение — Упражнение 3.2