Электрические цепи на бумаге. 14 разборов с задачами

Разбор 4. Один ток и два падения напряжения

Задача: Рассчитать последовательный участок и связать напряжения на элементах с потенциалами его узлов.

Закон Ома и распознавание последовательного соединения.

Смысл U_AB как разности потенциалов A и B.

В последовательном участке без ответвлений ток через все элементы одинаков. Это следствие сохранения заряда: в стационарной модели промежуточный узел не накапливает заряд, а уйти по третьему пути ему некуда. Одинаковость тока не означает одинаковость напряжений на разных сопротивлениях.

Для пути A–R1–C–R2–B разности потенциалов складываются: U_AB = U_AC + U_CB. Промежуточный потенциал C сокращается при сложении. Это равенство остаётся верным и для отрицательных значений напряжений; важно соблюдать порядок букв.

Поскольку ток I общий, U_AC = IR1 и U_CB = IR2. Тогда U_AB = I(R1 + R2), откуда R_экв = R1 + R2. Последовательная сумма разрешена после проверки отсутствия ответвления в C. Если из C уходит ещё одна проводящая ветвь, вывод об одном токе уже нельзя принять без анализа.

Нулевой потенциал — выбранная точка отсчёта, а не отсутствие электрических величин во всём узле. Если принять потенциал B равным 0 В, то потенциал C равен U_CB, а потенциал A — U_AB. При переносе нуля все потенциалы сдвигаются одинаково, но напряжения между узлами и ток не меняются.

При одном токе большему положительному сопротивлению соответствует большее падение напряжения. Можно использовать отношение U_AC/U_CB = R1/R2. Но такое деление напряжения относится к данному последовательному участку; оно не действует для двух произвольных резисторов, которые лишь нарисованы рядом.

Идеальный источник поддерживает U_AB = 12 В. Между A и B единственный резистивный путь A–R1–C–R2–B, где R1 = 4 Ом, R2 = 8 Ом. В C нет ответвлений. Найдите общий ток, напряжения U_AC и U_CB, а затем потенциалы A и C при потенциале B, равном 0 В.

Рисунок 2. R1 соединяет A и C, R2 — C и B. От C нет третьей ветви; оба резистора входят в один последовательный путь.

1. Узел C связывает только два резистора, поэтому R1 и R2 последовательны. Через них проходит один ток I, выбранный от A к B. Здесь этот ток также равен общему току источника, потому что другого резистивного пути от A к B нет.

2. Эквивалентное сопротивление пути R_экв = 4 Ом + 8 Ом = 12 Ом. Оно больше каждого отдельного сопротивления, как и должно быть для суммы двух положительных величин.

3. Напряжение 12 В относится ко всему пути, поэтому общий ток I = 12 В / 12 Ом = 1 А. Делить 12 В только на 4 Ом было бы ошибкой: на R1 приходится лишь часть общего напряжения.

4. Для первого резистора U_AC = 1 А · 4 Ом = 4 В. Для второго U_CB = 1 А · 8 Ом = 8 В. Ток у них один, а падения напряжения различаются в два раза вслед за сопротивлениями.

5. Примем потенциал B равным 0 В. Из U_CB = 8 В следует, что потенциал C равен 8 В. Из U_AB = 12 В следует, что потенциал A равен 12 В. Поэтому порядок потенциалов здесь A выше C, а C выше B.

6. Проверим первый перепад непосредственно по потенциалам: U_AC = 12 В − 8 В = 4 В. Если вместо B назначить нуль в C, потенциалы A и B станут соответственно 4 В и −8 В; оба напряжения на резисторах сохранятся.

Ответ: I = 1 А, U_AC = 4 В, U_CB = 8 В. При потенциале B = 0 В потенциал C = 8 В, потенциал A = 12 В.

Проверка: 4 В + 8 В = 12 В; 4 В / 4 Ом = 8 В / 8 Ом = 1 А. Проверки суммы напряжений и одинакового тока выполнены отдельно.

Ошибочное утверждение: Через оба резистора идёт один ток, значит, каждый получает половину напряжения источника.

Равенство токов не убирает множитель R в U = IR. При сопротивлениях 4 Ом и 8 Ом одинаковый ток создаёт разные падения напряжения. Половины возникли бы у двух равных сопротивлений.

Как исправить: Сначала найдите общий ток по сумме сопротивлений, затем умножьте его на сопротивление каждого элемента. Сложите полученные напряжения для проверки.

Для последовательного участка проверяйте две вещи: общий ток и сумму направленных напряжений. Потенциалы помогают увидеть знаки, но выбор нуля не меняет результат расчёта.

К маршруту по разборам

Упражнение 4.1

Источник задаёт U_AB = 15 В. Единственный путь имеет вид A–R1–C–R2–B без ответвления в C. Известны R1 = 2 Ом и U_AC = 3 В; R2 положительно и неизвестно. Восстановите R2 и общий ток. Объясните, почему сначала удобно рассмотреть R1, а не пытаться сразу найти сумму сопротивлений.

Подсказка — Упражнение 4.1

Решение — Упражнение 4.1

Упражнение 4.2

В модели A–R1–C–R2–B без ответвлений R1 = 2 Ом, R2 = 3 Ом, U_AB = 10 В. Выбран потенциал B = 0 В. Ученик указал потенциал A = 10 В и потенциал C = 12 В и заметил, что U_AC + U_CB всё равно равно 10 В. Достаточна ли эта проверка? Найдите правильный потенциал C.

Подсказка — Упражнение 4.2

Решение — Упражнение 4.2

Разбор 5. Общее напряжение и разные токи

Задача: Рассчитать две параллельные ветви и не спутать ток отдельного резистора с общим током источника.

Определение параллельного соединения через одинаковые пары узлов.

Закон Ома и сложение дробей.

Если два резистора соединяют одни и те же узлы A и B, напряжение U_AB одинаково для обоих. Оно не делится между ветвями на части: каждая ветвь начинается при потенциале A и заканчивается при потенциале B. Делятся потоки заряда, то есть общий ток распределяется по ветвям.

При выбранном направлении от A к B токи находятся отдельно: I1 = U_AB/R1 и I2 = U_AB/R2. Если U_AB положительно, оба тока положительны. Меньшее сопротивление при одном напряжении даёт больший ток, но это сравнение требует именно общего напряжения.

Конец ознакомительного фрагмента.

Текст предоставлен ООО «Литрес».

Прочитайте эту книгу целиком, купив полную легальную версию на Литрес.

Безопасно оплатить книгу можно банковской картой Visa, MasterCard, Maestro, со счета мобильного телефона, с платежного терминала, в салоне МТС или Связной, через PayPal, WebMoney, Яндекс.Деньги, QIWI Кошелек, бонусными картами или другим удобным Вам способом.