Уравнения из текста. 18 задач с решениями

Зачем здесь задачи, а не пересказ правила

В теме «уравнения из текста» ошибка часто появляется не из-за сложной арифметики, а из-за неправильно прочитанного условия. Поэтому каждая глава начинается с маленькой ситуации и вопроса: что именно требуется найти и какие данные действительно участвуют в ответе.

Мы работаем с областью «короткие сюжетные условия» на коротких учебных примерах. Числа подобраны так, чтобы ход решения был виден без калькулятора, но при этом оставались ловушки: неверная база, лишний показатель, перепутанный порядок или слишком ранний вывод.

Задачи не копируют чужие учебники и не обещают оценку на контрольной. Это самостоятельный практикум: понять условие, записать модель, сделать вычисление, проверить смысл ответа и увидеть типичную ошибку.

Как читать решение

Сначала попробуйте решить задачу самостоятельно. Если ответ не находится, прочитайте только раздел «Метод»: он подсказывает направление, но не заменяет решение.

Затем сравните не только последнюю строку, но и рассуждение. Совпавшее число ещё не доказывает, что способ был правильным: иногда две ошибки случайно дают красивый результат.

После основной задачи выполните самостоятельную. Она похожа по приёму, но не является простой заменой имени или одного числа. Цель — перенести способ на соседнюю ситуацию.

Задача 1. Тетради в шкафу: составить уравнение

Сюжет: тетради в шкафу. К неизвестному количеству добавили 18, после чего стало 47. Это учебная задача на перевод текста в уравнение, а не на угадывание последнего действия.

Составьте уравнение с одной неизвестной, решите его и отдельно объясните, почему именно так выбрана неизвестная.

Назовите неизвестное не словом «ответ», а конкретной величиной из условия: начальное количество, одна одинаковая часть или меньшая из двух частей.

Запишите текст как цепочку действий над этой неизвестной. Только после этого выполняйте обратные действия в обратном порядке.

Искомое количество равно 29. Уравнение: x + 18 = 47; вычитаем добавленную часть.

Обозначаем начальное количество через x. В условии сказано не «было 47», а «стало 47 после добавления 18», поэтому действие в модели — прибавление.

Получается уравнение x + 18 = 47. Чтобы вернуть исходное значение, выполняем обратное действие: 47 − 18 = 29.

Проверка обязательна: если к 29 добавить 18, получится 47. Это совпадает с итогом из условия, значит модель не перепутана.

Типичная ошибка — решить арифметикой последнюю видимую операцию, не записав модель. Тогда легко перепутать исходное и итоговое число или взять две разные неизвестные там, где достаточно одной.

Составьте уравнение для похожей ситуации: к неизвестному числу добавили 21, стало 57.

Модель такая же: x + 21 = 57.

Вычитаем добавленную часть: 57 − 21 = 36.

x = 36.

Хорошее уравнение показывает историю числа: что с неизвестным сделали и какой итог получили. Если история записана верно, решение становится почти механическим.

Задача 2. Марки в альбоме: составить уравнение

Сюжет: марки в альбоме. Из неизвестного количества убрали 12, после чего осталось 35. Это учебная задача на перевод текста в уравнение, а не на угадывание последнего действия.

Составьте уравнение с одной неизвестной, решите его и отдельно объясните, почему именно так выбрана неизвестная.

Назовите неизвестное не словом «ответ», а конкретной величиной из условия: начальное количество, одна одинаковая часть или меньшая из двух частей.

Запишите текст как цепочку действий над этой неизвестной. Только после этого выполняйте обратные действия в обратном порядке.

Искомое количество равно 47. Уравнение: x − 12 = 35; возвращаем убранную часть.

Слово «осталось» часто заставляет сразу вычитать, но сначала нужно понять, из чего вычитали. Неизвестным является начальное количество.

Записываем уравнение x − 12 = 35. Чтобы найти x, прибавляем снятую часть обратно: 35 + 12 = 47.

Проверка: если из 47 убрать 12, останется 35. Это и есть число из условия, поэтому ответ согласован.

Типичная ошибка — решить арифметикой последнюю видимую операцию, не записав модель. Тогда легко перепутать исходное и итоговое число или взять две разные неизвестные там, где достаточно одной.

Из неизвестного числа убрали 16, осталось 40. Найдите начальное число.

Записываем x − 16 = 40.

Прибавляем убранное: 40 + 16 = 56.

x = 56.

Хорошее уравнение показывает историю числа: что с неизвестным сделали и какой итог получили. Если история записана верно, решение становится почти механическим.

Задача 3. Одинаковые коробки с карандашами: составить уравнение

Сюжет: одинаковые коробки с карандашами. Два одинаковых количества и ещё 7 дают общий итог 43. Это учебная задача на перевод текста в уравнение, а не на угадывание последнего действия.

Составьте уравнение с одной неизвестной, решите его и отдельно объясните, почему именно так выбрана неизвестная.

Назовите неизвестное не словом «ответ», а конкретной величиной из условия: начальное количество, одна одинаковая часть или меньшая из двух частей.

Запишите текст как цепочку действий над этой неизвестной. Только после этого выполняйте обратные действия в обратном порядке.

Одно одинаковое количество равно 18. Уравнение: 2x + 7 = 43.

Фраза «два одинаковых» означает две равные части, поэтому неизвестная часть входит в сумму два раза: 2x. Дополнительные 7 единиц не входят в одну коробку или полку.

Сначала убираем добавку: 43 − 7 = 36. Это сумма двух одинаковых частей. Потом делим на 2 и получаем 18.

Проверка: 2 × 18 + 7 = 43. Итог возвращается к 43, значит порядок действий выбран верно.

Типичная ошибка — решить арифметикой последнюю видимую операцию, не записав модель. Тогда легко перепутать исходное и итоговое число или взять две разные неизвестные там, где достаточно одной.

Две одинаковые части и ещё 12 дают 62. Найдите одну часть.

Уравнение: 2x + 12 = 62.