Los problemas de matemática en la práctica didáctica

Los problemas de matemática en la práctica didáctica

Bruno D’Amore

Prefacios de

Gérard Vergnaud y de Silvia Sbaragli

Título: Los problemas de matemática en la práctica didáctica

Autor: Bruno D’Amore

ISBN:978-958-20-1420-9

Primera Edición: 2021

Diagramación y portada: Jonnatha Moncaleano Ovalle

Traducción: Diana Rocío Pérez Blanco

© Cooperativa Editorial Magisterio

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Celular: (+57) 312 4354489

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Los destinatarios de este libro son los docentes de Matemática, cuyos alumnos tienen dificultad para resolver los problemas que les son planteados.

La investigación en Didáctica de la Matemática ha reflexionado mucho sobre cuáles podrían ser los factores que determinan este problema. Muchas de estas dificultades son de carácter psicológico y otras de carácter didáctico. En este libro se hace un largo y detallado análisis de este tipo de estudios, para mostrar a los docentes el origen y la causa de las dificultades de los alumnos. Se proponen varios ejemplos y muchas soluciones para ayudar a los alumnos superar esta dificultad.

Este libro está dedicado a los padres que ven a sus hijos sufrir al momento de resolver problemas de Matemática; es una fuente densa de ideas para ayudar a sus estudiantes y a los profesores en esta difícil pero necesaria tarea.

Este libro está destinado a los cultores de Didáctica de la Matemática, estudiantes universitarios de maestría y de doctorado, quienes desean profundizar en la bibliografía y los estudios críticos sobre este el tema, siendo esto este uno de los argumentos más estudiados a nivel mundial. La selección bibliográfica es notable y las citaciones son profundas y oportunas, clásicas y contemporáneas; tanto en el campo psicológico como en el campo didáctico

Bruno D’Amore es doctor en Investigación (PhD) en Mathematics Education; en 2013 la Universidad de Chipre le otorgó el doctorado de Investigación (PhD) honoris causa en Social Sciences and Education. Actualmente es profesor experto titular catedrático en el Doctorado Interinstitucional en Educación (DIE) (énfasis matemático), en la Universidad Distrital Francisco José de Caldas, Bogotá, Colombia, donde dirige tesis de doctorado y dicta seminarios para los estudiantes de doctorado.

https://es.wikipedia.org/wiki/Bruno_D’Amore

Wikipedia, The Free Encyclopedia. Bruno D’Amore. Recuperado de https://en.wikipedia.org/wiki/Bruno_D’Amore

La página web de: Bruno D’Amore y Martha Isabel Fandiño Pinilla. Bruno D’Amore e Martha Isabel Fandiño Pinilla. Recuperado de http://www.incontriconlamatematica.net/sitoufficialebm/

Gruppo di Ricerca e Sperimentazione in Didattica e Divulgazione della Matematica. Bruno D’Amore. Recuperado de https://rsddm.dm.unibo.it/chi-siamo/bruno-damore/

Incontri con la Matematica. Recuperado de http://www.incontriconlamatematica.org/ita/organizzazione.php

Dedico esto libro a Martha que discutió cada palabra conmigo

con inmensa competencia, cultura y disponibilidad

poniendo preguntas terribles que me obligaban a pensar por días

el autor

Contenido

Los problemas de matemática en la práctica didáctica

Prólogo

Prefacio

Premisa

1. Problemas, ejercicios y aprendizaje

1.1. Problemas y ejercicios

1.2. Resolución de problemas, formación de conceptos y “teoremas en acto”

1.3. Problem solving y problem posing

1.4. Problem solving, problem posing y descubrimiento

1.5. Tipos de aprendizaje

1.6. Aprendizaje operativo

1.7. Jerarquías de aprendizaje y problemas de “inmersión total”

2. El papel fundamental de la motivación

2.1. La motivación

2.2. Motivación y resolución de problemas

2.3. Motivación, volición y afectividad

2.4. El contrato didáctico en el laboratorio

3. La intuición

3.1. La capacidad de resolver problemas con un golpe de intuición

3.2. Entonces, ¿qué es la intuición?

3.3. ¿Se puede educar la intuición?

4. Aprendizaje, desarrollo y problemas

4.1. Relación entre desarrollo y aprendizaje 1

4.2. Relación entre desarrollo y aprendizaje 2

4.3. Relación sobre desarrollo y aprendizaje 3

4.4. Relación entre desarrollo y aprendizaje 4

4.5. Capacidades iniciales, condiciones del aprendizaje y problemas

4.6. ¿Es útil hacer varias veces el mismo ejercicio?

4.7. Sobre los aprendizajes de base que se poseen con anterioridad

5. La resolución de problemas: actitudes al respecto

5.1. Tiempo de latencia y actitud de los profesores

5.2. Estudios sobre las estrategias de resolución

5.3. Resolución de un problema y formas de aproximación al mismo

5.4. Otras condiciones al respecto

6. Problemas

6.1. Introducción

6.2. Problemas

6.3. Más sobre los problemas

7. Problemas y lenguaje

7.1. La importancia de los aspectos lingüísticos

7.2. Una experiencia sobre el texto de los problemas

7.3. Una clasificación semántica y clásica de los problemas verbales

8. Modelos, campos conceptuales y resolución

8.1. Siempre «5+7», pero (...)

8.2. El campo conceptual de las estructuras multiplicativas

8.3. Otras clasificaciones de los problemas de multiplicación y división

8.4. Números-medida y números-transformación

8.5. Modelos intuitivos en la multiplicación y en la división

9. Conflictos y obstáculos antes de la resolución

9.1. ¿En qué fase se manifiesta el fracaso?

9.2. Modelos mentales de las operaciones aritméticas básicas

9.3. Un primer acercamiento al problema de la metacognición

10. Conflictos y obstáculos durante la resolución

10.1. Leer el texto del problema

10.2. Representar el texto del problema

10.3. Cómo transformar la solución de un problema en un algoritmo

11. Procesos metacognitivos y actividades de reflexión

11.1. Importancia de las reflexiones sobre su propio trabajo

11.2. Redefinición de un problema, creación de la pregunta

11.3. Problemas y fórmulas

12. Modelos en y de los procedimientos de resolución

12.1. Modelos adecuados y modelos formados

12.2. Modelos normativos y modelos descriptivos

12.3. Cómo ayudar a imaginar modelos

12.4. Modelos para la didáctica de los problemas

12.5. Modelos mentales

13. Problem solving

13.1. Las fases y las condiciones “externas”

13.2. Las condiciones internas y las diferencias individuales

13.3. Enfoques psicológicos sobre el estudio y la investigación en el problem solving. La Gestalt

13.4. La contribución de Polya

13.5. Enfoque psicométrico y conductista

13.6. El enfoque conocido como informático y la teoría de las redes semánticas

13.7. Imágenes y representaciones mentales

13.8. Conclusión (…) circular

Referencias bibliográficas

Prólogo

El aprendizaje de la matemática se ha convertido en una necesidad para todos los jóvenes de hoy. Los retos a los cuales son llamadas las sociedades contemporáneas han llevado progresivamente a elevar el nivel de la educación hasta los 16 años, después hasta los 18 y aún más allá. En esta educación la parte de la ciencia, de la técnica y de la matemática no ha hecho más que crecer. En dos generaciones se pasó del modelo de la escuela primaria al de la educación superior: ya no basta con saber leer, escribir y hacer cuentas, es oportuno saber expresarse oralmente y por escrito sobre temas complejos y en condiciones de discusión delicadas; es oportuno también comprender técnicas sofisticadas, para las que se requieren conocimientos matemáticos concernientes a las grandes estructuras de la aritmética, el álgebra, el análisis y la geometría, que hace un siglo estaban reservadas un estrecho círculo.

Así, es cada vez menos posible, y será imposible para un alumno de los años futuros, afirmar que la matemática no tiene nada que ver con nosotros directamente.

El fracaso en matemática no es una fatalidad. Cuando se enseña bien, la matemática interesa a todos los alumnos; no se llegará al punto de darles la vocación de convertirse en matemáticos naturalmente, pero sí lo suficiente para darles la fuerza y el deseo de obtener la cultura de base que es necesaria hoy en día. La didáctica y la psicología de la matemática nacieron a partir de la preocupación por entender mejor las dificultades encontradas por los alumnos y por ayudarlos a superarlas. La competencia profesional de un profesor no radica solo en el conocimiento de su materia o de las materias que enseña: radica también en su cultura general y en sus conocimientos en cuanto a la psicología, la pedagogía y la didáctica.

Estoy sorprendido por la importancia que Bruno D’Amore, un matemático, ha querido conferir, en esta obra, a cuestiones que no se refieren de hecho a la matemática sino a la psicología. Él consagra páginas muy interesantes a la teoría de la Gestalt, a las teorías del aprendizaje y del desarrollo cognitivo, a la psicología de la resolución de problemas. Y da al mismo tiempo un impresionante número de ejemplos que serán de utilidad para los profesores y quizás para algunos padres de familia. Leyendo el manuscrito, me sorprendí por la variedad y la riqueza de las fuentes de información a las que Bruno D’Amore cuidadosamente hace referencia. Este hecho hace de su obra a su vez una obra de referencia y una introducción a aquellos campos del conocimiento cuales la didáctica de la matemática y la psicología de la matemática.

No hay dominios que la ciencia no pueda penetrar, incluidos aquellos en los cuales el objeto de la investigación parece complejo, variable y poco perceptible. Es éste el caso del aprendizaje de la matemática. Hoy en día no es presuntuoso decir que se empieza a tener una idea relativamente clara del modo en el cual los niños aprenden y comprenden la matemática, desde las etapas que atraviesan, los errores en los que caen con bastante frecuencia, las dificultades que encuentran y la manera en la que llegan a superarlos, con la ayuda de los profesores.

Un concepto es un objeto complejo. Se forma en un largo periodo de tiempo; implica en general una diversidad de propiedades y está asociado a varios tipos de teoremas, algunos de los cuales pueden ser comprendidos también por niños de muy corta edad, mientras que algunos son estudiados con dificultad aún por jóvenes de 15 años. Sin las situaciones que le dan sentido y sin problemas para resolver, un concepto es casi nada. Sin embargo, el censo y la clasificación de los problemas a los que responde un concepto son difíciles y requieren una investigación profunda. Lo mismo en lo referente a los procedimientos a los que recurren los alumnos, espontáneamente o después del aprendizaje. Lo mismo también en lo que se refiere a las formas lingüísticas y no lingüísticas (gráficas, algebraicas) que les permiten expresar estos conocimientos. El trabajo sistemático de la investigación científica no es en absoluto una cosa fácil.

Bruno D’Amore ha estudiado y reflexionado mucho sobre todas estas cuestiones. Su obra hace un buen análisis sobre el estado de nuestros conocimientos al respecto.

Le deseo un gran éxito entre los profesores.

Gérard Vergnaud

Prefacio

Bruno D’Amore es una de las personas que en el curso de los años ha contribuido mayormente a convertir una didáctica disciplinaria, la didáctica de la matemática, en una disciplina propiamente dicha, reconocida en el ámbito académico; además ha insistido internacionalmente por más de cuarenta años para lograr que esta disciplina consienta una lectura crítica de las situaciones en el aula, convirtiéndose de tal manera en un poderoso instrumento en las manos de los profesores de todos los niveles escolares.

Un punto de partida verdaderamente certero para esta recopilación que se propone «presentar estudios y propuestas derivadas de la didáctica de diversas disciplinas con el fin de proporcionar a los profesores en etapa de formación inicial y en servicio, de todos los niveles escolares, una lectura útil para alcanzar profesionalismo e interpretar las situaciones del aula».

Recuerdo cuando el prof. D’Amore presentó este libro en su primera versión italiana en la Universidad de Bologna, una tarde, a los docentes de diversos niveles escolares, en un apasionante encuentro con la presencia de Franco Frabboni, noto pedagogo, quien mantuvo a todos entretenidos por un buen rato, mostrando la importancia pedagógica y didáctica de tal tratado. Para mí y para los otros presentes fue un momento importante para entender aún más el mundo de la didáctica, al cual empezaba a dedicarme profesionalmente.

Este libro ha representado por años un instrumento indispensable en las manos de quienes, como yo, se disponían a entrar en el mundo de la investigación en la didáctica de la matemática y por demás ha representado un instrumento útil para los profesores que cotidianamente deben interpretar lo que sucede en el salón de clase.

La fuerza de este libro está legada también a la capacidad de su autor de saber considerar e interpretar las contribuciones derivadas de otras disciplinas, como la pedagogía, la didáctica general y la psicología del aprendizaje, integrándolas al mundo de la matemática, con el fin de entender con más consciencia el delicado proceso de enseñanza/aprendizaje de la matemática. Competencias y fuerza que caracterizan ciertamente todo el trabajo llevado a cabo por Bruno D’Amore en todos estos años.

En esta ocasión, el autor ha revisado todo el texto original italiano, eliminando párrafos superados, agregando muchos nuevos, enriqueciendo la bibliografía que, entre 1993 y 2020, ha aumentado de manera considerable, en cantidad y en calidad. Por lo tanto, se trata de un libro absolutamente nuevo, moderno, que enfrenta la cuestión de la resolución de problemas de matemática en el aula desde una óptica muy actual, nueva y completa, mirando al futuro.

Leyendo el texto se despierta el interés de profundizar, de conocer, de ir más allá, de no detenerse en una primera lectura superficial de las respuestas de los alumnos, sino de querer sumergirse profundamente para lograr aprehender lo que se esconde detrás de una estrategia dada o de una aplicación fallida, qué se deriva, qué implica, y cómo todo varía dependiendo de la solicitud … Curiosidades que permiten a cualquier lector convertirse en interprete siempre más crítico de los procesos internos que se encuentran a la base de las elecciones de los alumnos y también y sobre todo en la base de sus propias metodologías didácticas.

El tema de los problemas de matemática en la práctica didáctica representa un argumento fundamental, ya que resolver problemas se constituye en una de las actividades más significativas del género humano, tal como afirma Polya. Para diversos autores, de hecho, el componente más importante y delicado del pensamiento y de la actividad matemática está relacionado con la capacidad de saber captar, comprender, interpretar y resolver situaciones problemáticas. De tal manera que el docente debe prestar particular atención didáctica a este tipo de aprendizaje, buscando la manera de aprovechar eficazmente los resultados que emergen del mundo de la investigación. Desde este punto de vista, D’Amore traslada e interpreta con absoluta y bien nota competencia los resultados derivados de numerosos estudios sobre este tema publicados entre los años 80 y los primeros dos decenios de este siglo XXI, logrando también abrir escenarios de reflexión actuales y de investigaciones futuras. Al mismo tiempo, este texto ofrece numerosas ideas didácticas absolutamente concretas a los profesores para reflexionar de manera crítica sobre las propuestas y los enfoques usados en clase cuando se enfrenta este tema, logrando así satisfacer plenamente las exigencias de la recopilación, es decir proveer una contribución con fuerte carácter tanto teórico como empírico que apunte hacia la reflexión investigativa, la que se transforma en herramientas eficaces para la construcción de “buenas” situaciones de enseñanza/aprendizaje.

Tengo plena certeza que este texto será utilizado con éxito tanto de los investigadores en didáctica de la matemática como de los profesores, que desean entender profundamente el complejo y fascinante mundo de la resolución de problemas de matemática en la praxis didáctica.

Silvia Sbaragli

Premisa

Con algo de titubeo me dispongo a presentar al público el argumento de la reflexión de estas últimas décadas. El titubeo está ciertamente legado al hecho que mi formación de base es la de matemático, mientras que los temas de investigación en los cuales me adentré están en los confines de la pedagogía y de la psicología. Por otro lado, ¿cómo es posible ocuparse de la didáctica y dejar por fuera la pedagogía y la psicología, como quisieran algunos? Me parece una posición un poco miope y deletérea. Sin embargo, hubiese podido reservar para mí el fruto de mis estudios y de mis reflexiones y no llegar a proponer estos resultados, si no hubiese motivos de fondo que me parecieran válidos y que expongo a continuación.

Los motivos que me llevaron a dedicar (mucho) tiempo a este volumen son tres.

Primer motivo, banalmente editorial. Mi proyecto Ma.S.E.1 tuvo en Italia un éxito tal en ventas que el pedido explícito, más de una vez, por parte de los lectores, de afrontar el tema “Problemas” no se podía eludir. En realidad, en el curso del Ma.S.E., hay más de una referencia a esta importante actividad. Pero hacía falta un discurso específico, lo más coherente y completo posible.

Segundo motivo, más profundo. No hay quien, ocupándose a cualquier nivel de la Didáctica de la Matemática, no reconozca en la actividad de resolución de problemas una característica “fuerte”, central: hacer Matemática es en primera instancia afrontar problemas. Por otro lado, el Núcleo de Investigación de la Matemática de Bolonia (del cual soy fundador y responsable director científico desde 1984 hasta hoy) hace años se ocupa de una sub-sección particular propia de esta problemática: la resolución de problemas con estrategias ingenuas (es decir no formales). Llegó el momento de exponer las ideas que se encuentran en la base de esta investigación y algunos resultados en forma explícita y difusa.

Tercer motivo, más personal. En cuanto matemático profesional involucrado en la investigación en Didáctica de la Matemática, decidí graduarme en Pedagogía; por lo tanto ¡tenía que escribir una tesis de grado! Este tema tuvo una gran acogida por parte de un querido amigo mío, el famoso pedagogo Franco Frabboni quien fue mi director de tesis. Mi tesis de grado es un subconjunto (muy reducido) precisamente de este volumen2.

El Ma.S.E. ha tenido varias aplicaciones concretas, más allá de aquellas que he seguido en primera persona; es obvio que un producto editado en miles de copias se salga de las manos del autor y que cada lector se apropie de él a su manera.

Otro impulso decisivo llegó del sector didáctico en el cual se mueve el Núcleo de Bologna, es decir los “Laboratorios de Matemática”. Como ya he ampliamente escrito en otras ocasiones, también durante los laboratorios la actividad tiene como eje principal la resolución de problemas, por lo que una puntualización de tipo teórico se vuelve esencial3.

Buscaré inmediatamente un fundamento autorizado para dar importancia a este tema:

Una vez adquiridas ciertas reglas, el hombre puede usarlas con diferentes objetivos en su relación con el ambiente. Puede también hacer algo más importante: puede pensar. Esto significa fundamentalmente estar en capacidad de combinar las reglas aprehendidas a una gran variedad de reglas nuevas de orden superior. Esto se puede hacer por auto estimulación y también respondiendo a diversos tipos de estimulación del ambiente. Mediante el proceso de combinación de reglas viejas y reglas nuevas, la persona resuelve problemas que le son nuevos, adquiriendo así un patrimonio aún mayor de nuevas capacidades.

De esta manera se expresa R. M. Gagné (1973, p. 83). Y, del mismo modo, más adelante (p. 86):

El problem solving se resuelve a partir de la adquisición de nuevas ideas que multiplican la aplicabilidad de las reglas ya aprehendidas. Como sucede en otras formas de aprendizaje, ésta se funda sobre las capacidades ya obtenidas; y no se ubica en el vacío, en la ausencia de cada conocimiento ulterior. La condición más importante para impulsar al sujeto a pensar y asegurarse de tener algo en lo cual pensar. El aprendizaje mediante problem solving lleva a nuevas capacidades ulteriores del pensamiento.

Sin abandonar a este autor (pp. 257-58):

Ciertamente una de las mayores razones para aprender reglas es su uso en la resolución de problemas. La actividad de problem solving es de tal suerte una extensión natural del aprendizaje de reglas, en la cual la parte más importante del proceso se desarrolla al interior del sujeto. La resolución puede ser guiada por una cantidad mayor o menor de comunicación verbal, proveniente del exterior, pero las variables más esenciales son internas. Es particularmente importante notar que los componentes que parecen posibilitar el problem solving son las reglas obtenidas precedentemente. El problem solving puede ser concebido como un proceso de descubrimiento por parte del sujeto de una combinación de reglas ya notas que éste puede aplicar para alcanzar la solución de una situación nueva y problemática. Sin embargo, no se trata solo de aplicar las reglas ya sabidas. El proceso también genera un nuevo aprendizaje. El sujeto está bajo o se encuentra en una situación problemática y recuerda las reglas precedentemente aprehendidas en el tentativo de encontrar una “solución”. Durante este proceso del pensamiento, éste probará cierto número de hipótesis verificando su aplicabilidad. Cuando encuentra una combinación particular de reglas que se adaptan a la situación, no solamente ha “resuelto el problema”, sino que también ha obtenido algo nuevo.

“Regla” sin embargo se debe entender en este contexto en sentido más amplio del que puede comúnmente venir a la mente, como veremos difusamente a lo largo del libro. Todavía una citación de la misma fuente (p. 265):

[…] la resolución de un problema jamás surge de la nada, sino que depende siempre de la experiencia precedente del sujeto.

Por lo tanto, la resolución de los problemas (o, como se dice habitualmente, también en los países de idioma español, el problem solving) es una condición óptima para el aprendizaje. Ésta es la tesis que acepto, aunque tendré que entrar en particularidades delicadas para analizarla profundamente, lo que requerirá varias decenas de páginas.