Геометрия смыслов. Сборник философских эссе

Гений Пифагора: почему в рекурсивно-вычисляемом клеточном автомате Вселенной наше сознание бессмертно?

Философская идея о математическом происхождении Вселенной своими корнями восходит к древнегреческому мыслителю Пифагору. В процессе поиска теоретических основ музыки и создания первого в своём роде музыкального строя Пифагор обнаружил, что звуки струн, чьи длины соотносятся друг с другом определённым образом, созвучны друг другу. Соотношение длин струн один к двум даёт октаву, пропорция два к трём — квинту, три к четырём — кварту, восемь к девяти — тон.

Звуки, отстоящие друг от друга на интервал октавы, квинты, кварты или тона, при одновременном звучании образуют консонанс — приятное слуху созвучие. Одновременное звучание звуков отстоящих друг от друга на иные интервалы даёт диссонанс — неблагозвучие. Правильное сочетание консонансов и диссонансов образует гармонию. Науку о правильном сочетании противоположностей в музыке Пифагор назвал гармоникой.

Один из поздних последователей пифагорейского учения Никомах Герасский писал:

Гармония всегда рождается из противоположностей, ведь гармония — это единение многосмешанных и согласие разногласных

Размышления над ролью математики в музыке привели Пифагора к идее о том, что математика лежит в основе не только музыки, но и всего мироздания, и Вселенная строится на числовых отношениях. Даже движение звёзд и планет по ночному небу Пифагор рассматривал как некий танец, строго подчиняющийся законам математики. Это его учение известно как гармония сфер.

Пифагорейцы, представители основанной Пифагором философской школы, почитали числа и поклонялись Солнцу. Священными считались единица, как символ общего корня мироздания, и двойка, как символ разделения мира на противоположности. Именно с этими двумя числами связано священное изображение пифагорейцев — монада, о которой мы поговорим чуть позднее.

Теорию Пифагора о небесной гармонии развил в своём трактате «Мировая гармония» средневековый астроном Иоганн Кеплер. Он обнаружил, что орбиты планет и правда соотносятся друг с другом в пропорциях подобно тому, как соотношения длин струн порождают музыкальные интервалы. Кеплер вывел три закона движения планет в Солнечной системе, третий из которых гласит, что квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей орбит планет.

Солнечную систему Кеплер под влиянием идей Пифагора рассматривал как своего рода огромный небесный оркестр, в котором каждая планета — это музыкальный инструмент, играющий свою партию. А закончил свой трактат об астрономии Кеплер словами о том, как он, согретый тёплым напитком из кубка Пифагора, засыпает под звуки небесной музыки…

Земля поет ми, фа, ми: вы можете даже из этих звуков сделать вывод, что в нашем доме господствуют несчастья и голод.

Иоганн Кеплер, «Harmonices Mundi»

На пифагорейской музыкальной теории была построена вся античная и средневековая музыка. Единственной проблемой пифагорова строя была комма — небольшой зазор между звуком через двенадцать квинт и звуком через семь октав от исходного. Этот незначительный разрыв между звуками полного оборота колеса октав и колеса квинт не давал построить идеальное звучание. Пифагорейцы трактовали комму как трещину в мировой гармонии, несовершенство мира, знак того, что математика и жизнь не всегда совпадают идеально. Это стало первым сокрушительным ударом по учению Пифагора о гармонии мира.

Избавиться от этого несовершенства музыканты смогли только в эпоху Ренессанса, пожертвовав математической чистотой ради музыкальной красоты. Немецкий органист и теоретик музыки Андреас Веркмейстер придумал, как равномерно «размазать» комму по квинтам и октавам так, чтобы каждая октава и каждый квинт звучали чуть-чуть неидеально, но зато попадали точно в тот же звук через полный оборот музыкального круга. Так появился хорошо темперированный строй. Этот новый строй, звучащий гораздо гармоничнее пифагорова, был немедленно введён в оборот великим немецким композитором Иоганном Себастьяном Бахом. Его «Хорошо темперированный клавир» стал началом культурного взрыва симфонической музыки…

Но давайте вернёмся к Пифагору и его идеям. Рассмотрение числовых соотношений в качестве фундамента мироздания привело Пифагора к множеству математических открытий, главное из которых — это, несомненно, знаменитая геометрическая теорема о равенстве суммы квадратов длин катетов квадрату длины гипотенузы в прямоугольных треугольниках, названная именем этого выдающегося древнегреческого мыслителя. И как раз эта теорема нанесла по философии Пифагора второй сокрушительный удар.

Из теоремы Пифагора следует, что длина гипотенузы прямоугольного равнобедренного треугольника с длиной катета в единицу равна корню из двух. Гиппас из Метапонта, ученик пифагорейской школы, доказал, что корень из двух — это иррациональное число, которое невозможно представить в виде дроби из двух натуральных чисел. В философию Пифагора вписывались натуральные числа и рациональные числа, то есть дроби, образованные отношением натуральных чисел, но никак не вписывались иррациональные, то есть такие, которые нельзя представить в виде соотношения двух натуральных. По легенде, за это открытие Пифагор изгнал или даже утопил своего ученика.

До конца своей жизни Пифагор страдал от несогласованности его учения о фундаментальности числовых соотношений в архитектуре Вселенной с его собственными величайшими творениями — теорией музыки и теоремой о прямоугольных треугольниках. Однако, даже несмотря на это, Пифагор вошёл в историю как величайший древнегреческий философ и затмил своей славой даже своего идейного наследника Платона, о котором мы поговорим чуть позже. А пока я хотел бы рассказать о важнейшей философской концепции Пифагора — монаде.

Монада была главной «иконой» пифагорейской школы — основанного Пифагором на юге Италии философско-математического сообщества. Изображение монады было тесно связано с почитанием пифагорейцами единицы в качестве символа единства мира и двойки в качестве символа разделения мира на противоположности. Монада изображалась в виде обведённой окружностью точки.

Точка в центре круга обозначала фундаментальное единство корня мироздания, а окружность — бесконечность двойственных противоположностей. Подумайте, на окружности лежит бесконечное количество точек, но у каждой из них есть ровно одна противоположная, лежащая на той же окружности симметрично относительно центра круга.

Похожий образ передан и в главной «иконе» древнекитайской философии даосизма — Инь и Ян. Единое начало разделяется на две противоположности — белое и чёрное, мужское и женское, Инь и Ян. Но в чёрном присутствует капля белого, а в белом — капля чёрного. Это символизирует, что причина одной противоположности лежит в другой, а причина второй — в первой.

В главном трактате даосов «Дао дэ дзин» Лао Цзы сказано:

Когда все в Поднебесной узнают, что прекрасное является прекрасным, появляется и безобразное. Когда все узнают, что доброе является добром, возникает и зло. Поэтому бытие и небытие порождают друг друга, трудное и легкое создают друг друга, длинное и короткое взаимно соотносятся, высокое и низкое взаимно определяются, звуки, сливаясь, приходят в гармонию, предыдущее и последующее следуют друг за другом.

Древнеиндийская философия в лице Будды вторит Пифагору и Лао-цзы. Согласно буддизму все явления в мире взаимозависимы и взаимообусловлены. Свет и тьма, день и ночь, любовь и ненависть, левое и правое, статика и динамика, родитель и ребенок, правда и ложь появляются в ходе самого процесса различения. Сами по себе все сущности пусты, то есть у них нет никакой собственной природы. Есть только порождающий их процесс различения, создающий эти бинарные оппозиции. Согласно Будде, даже само разделение на «Я» и внешний мир — это иллюзия, появляющаяся в момент различения, а на глубинном уровне мы и мир — неразрывное целое.

Идеи Пифагора, Лао-цзы и Будды развивает великий немецкий философ Гегель. По его мнению, весь мир порождается единством и борьбой противоположностей. Он приходит к этому выводу из рассуждения о том, что из себя представляет чистое бытие. Рассуждает Гегель так. Бытие — это свойство всего, что существует. Именно это свойство отличает существующие вещи от несуществующих, происходящие события и явления от непроисходящих. Но что представляет из себя бытие в чистом виде?

Гегель перебирает все известные ему вещи, явления, свойства в попытках найти бытие. Краснота — это бытие? Нет. Вес это бытие? Нет. Яблоко — это бытие? Нет. Форма — это бытие? Нет. Запах — это бытие? Нет. Существование мнения о чём-то — это бытие? Нет. И так далее. Гегель приходит к выводу, что бытие отлично от любой существующей вещи и любого явления на свете, при том, что все существующие вещи обладают бытием, так как существуют. Гегель в этом поиске подобен рыбе, которая не может понять, что такое вода. В итоге, Гегель приходит к выводу, что раз бытие отличается от любых вещей и явлений на свете, то есть от всего, что служит ответом на вопрос «Что это?», то значит бытие есть чистое ничто. Эти две противоположности едины. Полная пустота в основе всего сущего.

Отсюда появляется знаменитая диалектика Гегеля. Согласно «Науке логике» Гегеля, человек мыслит бинарными оппозициями — тезисами и антитезисами, а правильные ответы на фундаментальные вопросы бытия представляют из себя не борющиеся противоположности тезисов и антитезисов, а нахождение их единства — синтез тезиса и антитезиса. По Гегелю, Вселенная появилась в ходе великого разделения — абсолютный дух в попытке познать самого себя разделяется на две противоположности — «Я» и «не Я» — изучающий субъект и изучаемый объект. Это познание из-за этого разделения никогда не удаётся довести до конца, так как при изучении меняется изучающий, что приводит к тому, что изменяется изучаемое. Эта борьба единых в своём генезисе противоположностей приводит к появлению и развитию Вселенной.

Похожая концепция присутствует в индийской философии адвайты-веданты. Согласно адвайте, каждое индивидуальное сознание, Атман — это осколок великой мировой души, Брахмана. Атман и Брахман полностью эквивалентны, то есть Бог как бы наблюдает сам себя триллионами любопытных глаз всех живых существ. Наблюдающий есть наблюдаемое, как писал Джидду Кришнамурти.

Эти идеи находят отклик даже в математике и физике. Первую идею, о которой я хочу рассказать, я почерпнул в посте у Ивана Гришаева. Это идея о пустой истине. В науке логике, не гегелевской, а обычной, существуют предикаты. Это по сути вопросы, на которые можно дать бинарный ответ — да или нет. Например, «это белый?» — это предикат. В логике первого порядка существуют общие предикаты — например, «для всех X верно» и «существует X, для которого верно». В математике они обозначаются перевернутыми буквами А (∀) и Е (∃) по первым буквам английских слов «all» и «exists».

С точки зрения математики, эти общие предикаты — это функции, которые принимают два параметра, список объектов и обычный предикат, и редуцируют множество логических результатов в один. Например, если на столе лежит три белых камня, то выражение «все камни — белые» вернет истину. Если один — тоже истину. Если сто белых и один черный — ложь. А что случится, если камней нет? Предикат ∀ «для всех X верно» также вернёт истину.

Этот случай называется пустой истиной. И самое интересное то, что какой бы предикат ни вставить в «для всех X верно», он вернёт истину. На столе лежит 0 камней. Все камни на столе белые? Да. Все камни на столе чёрные? Да. Все камни на столе — красные? Да. Пустая истина — поэтический образ плодородности пустоты. Чистое ничто порождает всё.

Если погрузиться чуть глубже в математику, то можно понять, что пустая истина возникает из-за того, что предикат «для всех X верно» эквивалентен свёртке моноида бинарной операции логического «И», нейтральным элементом которому служит «истина». А вот предикат «существует X, для которого верно» эквивалентен свёртке моноида бинарной операции логического «ИЛИ», нейтральным элементом которому служит «ложь». Поэтому для лежащих на столе нуля камней, выражение «существует белый камень» ложно. Более подробно эта тема раскрыта в моём эссе «Язык мироздания — теория групп и теория категорий».

Вторая идея, аналогичная учению Гегеля о единстве и борьбе противоположностей, уже из физики, тоже связана с теорией групп и моноидами. Это теорема Нетёр о симметриях, в которой немецкий математик Эмми Нетёр с помощью теории групп доказала, что законы сохранения в физике прямо вытекают из симметрий физических сущностей. Так из однородности и симметричности времени вытекает закон сохранения энергии, из однородности и симметричности пространства — закон сохранения импульса, а калибровочной симметрии соответствует закон сохранения электрического заряда. А симметрия — это ведь и есть связь между противоположностями, их синтез.

Таким образом, согласно философии и науке наша Вселенная представляет собой зеркало, отражающее само себя. Этот лабиринт отражений великолепно описывается в древней индийской метафоре о сети Индры:

Сеть Индры — это сеть из драгоценных камней, охватывающая собой весь мир. При этом каждый из каменьев отражает все остальные камни, и сам также отражается в них: все в одном, одно во всем, все во всем, одно в одном.

Идейным наследником Пифагора в философии стал другой великий древнегреческий философ — Платон. На самом деле, этого мыслителя звали Аристокл, а своё прозвище Платон, то есть «широкий», под которым он и вошёл в историю, мыслитель получил совсем не за широту взглядов, а за широту плеч. Будучи опытным борцом и гоплитом в греческой армии, он отличался богатырским телосложением.

Философия Платона, как и философия Пифагора, уходит своими корнями в математику. Изучение математики и философии в Древней Греции было неразрывно связано друг с другом, одно не мыслилось без другого. Над входом в основанную Платоном афинскую Академию им была начертана знаменитая фраза: «Не геометр да не войдёт».

Основной идеей философии Платона была сама «идея». Само слово «эйдос», преобразовавшееся в современном русском как «идея», было введено в оборот в текущем смысле именно Платоном. Идея об «идее» возникла у мыслителя при размышлении над математическими истинами.

Философ задумывался над вопросами о том, в каком виде существуют математические равенства. Например, дважды два равно четыре. Ведь даже в самом начале Вселенной, если считать, что у неё есть начало, дважды два было равно четырём, и сейчас дважды два равно четырем в любом её уголке, и в её конце, если она закончится дважды два будет равно четырём. А что было до появления Вселенной и что будет после её конца? Дважды два всё так же будет равно четырём, хоть считать было ещё нечего или будет уже нечего. Это значит, что равенство дважды двух четырём не зависит от существования материальной Вселенной. Это вечная истина.

Тут ученик Платона, великий Аристотель, спорит с учителем в том, что если нечего считать, то и равенство не имеет смысла, так как идеи неотделимы от своего материального воплощения. Более подробно этот спор я раскрываю в своём эссе «Nomina nuda tenemus: открываем ли мы математические законы или просто придумываем их?». Но давайте пока что продолжим следить за мыслью самого Платона.

Если равенство «дважды два четыре» независимо от существования материальной Вселенной, значит, оно существует в некоем ином смысле, нежели камень у нас под ногами или яблоко у нас в руке. Платон считал, что это равенство — это математическая идея, существующая в особом нематериальном мире идей. Наш материальный мир философ описывал как блёклую тень мира идей. Эту метафору он наиболее полно раскрывает в своём мифе о пещере.

Согласно мифу о пещере, люди подобны узникам, что прикованы к одной из стен пещеры и видят на противоположной стене лишь тени проносимых за их спиной предметов. Так Платон метафорически описывал, что материальные предметы представляют собой лишь тени их идей. Освобождение философ видел в том, чтобы вырваться из пещеры и увидеть Солнце, то есть разумом постичь свет чистых идей.

То, каким образом материальные предметы являются лишь тенями вечных идей, Платон раскрывает на примере идеи круга. В материальном мире существует множество круглых предметов: колёса, столы, пеньки, монеты. Но каждый из этих предметов немного несовершенен, или, можно сказать, не идеален, то есть отличается от идеи круга. А идеальный круг, чьи геометрические свойства мы рассматриваем разумом, существует лишь в незримом глазами мире идей. Само слово «идеальный» означает «существующий как чистая идея». Таким образом, все круглые материальные предметы — это несовершенные тени идеи круга. Именно с идеальными геометрическими формами мы работаем при доказательстве теорем и расчётах.

Другим излюбленным примером Платона были правильные многогранники, позже названные в честь философа платоновыми телами. По определению, правильный многогранник — это выпуклый многогранник, грани которого являются равными правильными многоугольниками, обладающий пространственной симметрией следующего типа: все многогранные углы при его вершинах правильные и равны друг другу. Современник и соотечественник Платона афинский геометр Теэтет привёл строгое доказательство, что правильных многогранников существует всего пять: тетраэдр, гексаэдр (куб), октаэдр, додекаэдр, икосаэдр. И даже всемогущие олимпийские боги не могут создать шестой точно так же, как не могут они сделать дважды два равным пяти. А это значит, что идеи не только вечные, но и неизменные.

В диалоге «Теэтэт» Платон устами своего учителя Сократа так описывает своего друга:

Из всех молодых людей, с которыми мне когда-либо приходилось встречаться (а их довольно много бывало у меня), я не знал ни одного такой удивительной одарённости. Легко воспринимает учение, как редко кто другой, при этом необыкновенной мягкости характера и вместе с тем мужествен, как никто…

Кроме того, устами Сократа в своих диалогах Платон излагает учение о бессмертии души, унаследованное им от Пифагора. Дело в том, что Пифагор верил в переселение душ — концепцию метемпсихоза, очень близкую по своему смыслу к буддийской концепции реинкарнации. Как мы увидим позднее, эта концепция напрямую вытекает из идеи Пифагора о том, что «всё есть число». Сам Платон придерживался схожих взглядов.

Философ считал душу человека, то есть совокупность состояния ума, сознания, памяти, характера и убеждений, точно такой же нематериальной идеей, как круг, правильные многогранники и равенство дважды двух четырём. А раз душа — это идея, то, значит, она столь же вечна и неизменна, как и все другие идеи, и в некотором смысле вечно существует в том самом мире идей. Эта концепция вечной души Платона позднее легла в основу христианского учения о вечной жизни.

В платоновском диалоге «Федон» говорится, как незадолго до своего трагического конца Сократ совсем не страшится смерти, а излагает своим ученикам доказательства бессмертия души и заявляет:

Если бессмертное неуничтожимо, душа не может погибнуть, когда к ней приблизится смерть: ведь из всего сказанного следует, что она не примет смерти и не будет мёртвой.

Британский физик-теоретик Стивен Хокинг в своё время много размышлял о природе реальности. В своей книге «Краткая история времени» он задаётся вопросом о том, что будет, если мы откроем физическую «теорию всего»:

Даже если мы откроем полную теорию, это всё равно лишь набор правил и уравнений. Что же «вдыхает огонь» в эти уравнения, чтобы они описывали Вселенную? Почему существует именно та Вселенная, которую они описывают?

Этот вопрос сильно заинтересовал шведского астрофизика Макса Тегмарка. Размышления привели его к написанию книги «Наша математическая Вселенная». Согласно приведённым в этой книге рассуждениям, если выкинуть из наших теорий физики весь словесный описательный багаж, то там не останется ничего кроме формул, описывающих как одни абстрактные математические структуры взаимодействуют с другими. А раз ничего другого, кроме как привести список математических формул, мы о природе реальности сказать не можем, то значит эта самая природа реальности представляет собой чистую математику. Но почему же физический движок Вселенной содержит именно этот набор формул, а не какой-то другой?

Согласно рассуждениям Тегмарка, в этом нет ничего удивительного, достаточно просто применить к нашей Вселенной принцип Коперника, гласящий, что учёному имеет смысл считать, что место, где мы обитаем, абсолютно заурядно и существует огромное количество подобных ему. Применив этот принцип к своей теории, Тегмарк сделал вывод, что существует бесконечное количество разных математических вселенных, в каждой из которых свой набор базовых математических структур и свой список формул физических законов. В некоторых из этих миров возможно появление жизни, и там, где она появляется и развивается до разумной, существа задаются вопросом о том, почему в их мире именно такой набор физических законов, а не какой-то другой. Этот аргумент — пример аргументации через антропный принцип.

Если принять картину мира Макса Тегмарка, то можно сказать, что материальные предметы — это не тень вечных и неизменных математических идей, а они и есть эти самые чистые математические идеи. Мир по Тегмарку не делится на идеи и материю, а представляет собой взаимодействие чистых идей.

Задолго до Тегмарка похожие взгляды на мир высказывал американский физик Джон Уилер. Он считал, что в основе мира лежит информация и её обработка, и что основным кирпичиком мироздания служит наименьшая единица информации — бит. Слово «бит» образовано от английского словосочетания «binary digit», что означает двоичная цифра, так как в двоичной системе счисления числа записываются с помощью всего двух цифр 0 и 1. Ноль кодирует отсутствие сигнала, а единица его наличие. Свою философскую теорию Уилер поэтически назвал «it from bit». Можно заметить, что эта идея Уилера сильно напоминает философию Гегеля: ноль — это ничто, единица — это бытие, а их «борьба» порождает мир.