Олимпиадные задачи по математике. Тренировочные варианты (6-8 класс)

олимпиадные задачи

по математике

Подготовка к школьной и городской олимпиаде по математике

(для учащихся 6, 7 и 8 классов)

Аннотация

Раскройте математический потенциал вашего ребенка с нашим уникальным сборником олимпиадных задач!

Этот сборник — настоящий кладезь для юных математиков 6–8 классов, стремящихся к новым вершинам. Мы составили и собрали олимпиадные задачи, охватывающие весь спектр сложности: от легких разминок до по-настоящему головоломных испытаний. Каждая задача разработана так, чтобы стимулировать нестандартное мышление и предлагать разнообразные пути решения

Особое внимание уделено задачам с геометрическим уклоном, выходящим за рамки стандартных школьных тем. Здесь ваш ребенок научится не только работать с фигурами, но и применять уникальные методы решения, которые откроют ему новые горизонты в геометрии.

Кроме того, мы включили множество увлекательных текстовых задач – на проценты, движение, работу, возраст и другие, где для успеха потребуются оригинальные подходы и хитроумные приемы. Логические задачи, задания на делимость, комбинаторику и выявление закономерностей в числовых последовательностях помогут расширить практическое применение математических знаний и развить аналитические способности.

Сборник структурирован по 9 ключевым темам, каждая из которых сопровождается кратким, но емким теоретическим блоком: определения, основные свойства и формулы – все, что нужно для уверенного старта.

Мы предлагаем два формата задач:

Задачи для самостоятельного решения: Здесь вы найдете подробные, пошаговые решения, которые помогут разобраться в тонкостях и освоить эффективные методы. Это идеальный инструмент для отработки навыков и закрепления материала.

Задачи с ответами: Эти задания, взятые из тренировочных работ, позволят проверить свои силы и подготовиться к реальным олимпиадам.

Этот сборник – не просто набор задач, а полноценный курс опережающего обучения. Он разработан для того, чтобы ученики могли самостоятельно исследовать темы, находить решения и, при необходимости, обращаться к подробным объяснениям. Мы уверены, что представленные приемы и способы решения станут надежными инструментами в арсенале каждого юного математика, подобно тому, как качественные инструменты помогают мастеру создавать шедевры.

В сборник также включены 10 тренировочных работ, которые можно использовать как на уроках, так и для самостоятельной подготовки. Эти мини-олимпиады, сгруппированные по темам, станут отличным подспорьем для тех, кто увлечен математикой и стремится к победам на олимпиадах.

Подарите своему ребенку возможность раскрыть свой математический талант и достичь новых высот!

Содержание

Признаки делимости натуральных чисел на 3, на 4, на 5, на 6, на 8, на 9, на 11, на 25. Задачи для самостоятельного решения 5-11

Алгоритм Евклида. НОД и НОК. Задачи для самостоятельного решения 12-14

Текстовые задачи. Проценты. Совместная работа. Движения. Смеси и сплавы. Возраст. Задачи для самостоятельного решения 15-19

Комбинаторика. Перестановки, размещения и сочетания. Маршруты. Задачи для самостоятельного решения 20-26

Принцип Дирихле. Принцип крайнего. Задачи для самостоятельного решения 26-28

Разрезания. Переливание. Задачи для самостоятельного решения 28-30

Инварианты. Игры. Турниры. Задачи для самостоятельного решения 31-34

Отрезки. Углы. Треугольники. Задачи для самостоятельного решения 34-37

Последовательности. Задачи для самостоятельного решения 37-38

Решение и указания к задачам для самостоятельного решения (1.1 - 1.40) 39-65

Решение и указания к задачам для самостоятельного решения (2.1 - 2.18) 66-78

Решение и указания к задачам для самостоятельного решения (3.1 - 3.20) 79-95

Решение и указания к задачам для самостоятельного решения (4.1 - 4.20) 96-109

Решение и указания к задачам для самостоятельного решения (5.1 - 5.14) 110-113

Решение и указания к задачам для самостоятельного решения (6.1 - 6.13) 114-118

Решение и указания к задачам для самостоятельного решения (7.1 - 7.21) 118-126

Решение и указания к задачам для самостоятельного решения (8.1 - 8.19) 127-145

Решение и указания к задачам для самостоятельного решения (9.1 - 9.6) 146-148

Тренировочные варианты 149-158

Ответы 158-161

1. Признаки делимости свойства натуральных чисел.

Число делится на 3, тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Например: число 2031 делится на 3 без остатка, так как сумма его цифр 2 + 0 + 3 + 1= 6, 6 делится на 3, а число 1022 не делится на 3, так как сумма его цифр 1 + 0 + 2 + 2= 5, а 5 не делится на 3.

Число делится на 4, тогда и только тогда, когда две его последние цифры нули или образуют число, делящееся на 4.

Например: 9724 делится на 4 без остатка, так как 24 делится на 4, а число 8442 не делится на 4, так как 42 не делится на 4.

Задачи для самостоятельного решения

1.1. Найдите наибольшее четырехзначное число, сумма цифр которого равна 17 и которое делится без остатка на 4.

1.2. Найдите наименьшее четырехзначное число, сумма цифр которого равна 21 и которое делится без остатка на 4.

1.3. Найдите наибольшее пятизначное число с неповторяющимися цифрами, сумма которых равна 19, делящееся без остатка на 4.

1.4. Найдите наибольшее пятизначное число с неповторяющимися цифрами, сумма которых равна 12, делящееся без остатка на 3.

1.5. Найдите наименьшее шестизначное число с неповторяющимися цифрами, сумма которых равна 18, делящееся без остатка на 3.

1.6. Найдите наименьшее семизначное число, в записи которого используются только три цифры (0, 3, 5), делящееся без остатка на 4.

1.7. Найдите наименьшее семизначное число, в записи которого используются только три цифры (0, 1, 3), делящееся без остатка на 3.

1.8. Кирилл записал на доске несколько чисел: 3524, 3568, 3704, 3748, …, 9876 — и назвал их «фиолетовыми». Числа 1065, 4275, 5274, 6352, 7744, … «фиолетовыми» не являются. Найдите наименьшее «фиолетовое» число, которое больше 5184.

1.9. Егор записал в своей тетради несколько четырёхзначных чисел: 2133, 2139, 2241, 2247, 2355, …, 2799, 4155, 4263, …, 6393, …, 8199. Одноклассник Максим увидел этот ряд и сказал: «Всего чисел, имеющих такие же свойства, двадцать восемь». Установите, прав ли Максим.

1.10. Николай Васильевич, учитель математики в 5 классе, записал на доске несколько чисел: 183012, 132916, 104636, …, 719120, … — и сказал ученикам: «Найдите наименьшее и наибольшее числа, которые имеют те же свойства, что и данные». Ученик Семён, недолго думая, назвал числа 101000 и 789012. Установите, верно ли Семён назвал эти числа.

1.11. На доске написаны две нечётные цифры и цифра 2. Михаил, используя только эти три цифры, составил четырёхзначные числа, делящиеся на 4. Затем он нашёл сумму всех этих чисел и получил 31120. Какие две нечётные цифры были написаны на доске?

1.12. На доске написаны две нечётные цифры и цифра 6. Александр, используя только эти три цифры, составил четырёхзначные числа, делящиеся на 4. Затем он нашёл сумму всех этих чисел и получил 31060. Какие две нечётные цифры были написаны на доске?

1.2. Признаки делимости натуральных чисел на 6, на 8, на 9, на 11, на 25

Число делится на 6, тогда и только тогда, когда это число одновременно делится и на 2 и на 3. Например: 49314 делится на 6 без остатка, так как 4 последняя цифра чётная, и сумма цифр равна 21, а 21 делится на 3.

Число делится на 8, тогда и только тогда, когда три его последние цифры нули или образуют число, делящееся на 8.

Например: 97352 делится на 8 без остатка, так как 352 делится на 8,

а число 84442 не делится на 8, так как 442 не делится на 8.

Число делится на 9, тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Например: число 7092 делится на 9 без остатка, так как сумма его цифр 7 + 0 + 9 + 2= 18 , 18 делится на 9, а число 2055 не делится на 9, так как сумма его цифр 2+ 0 + 5 + 5= 12, а 12 не делится на 9.

Число делится на 10, тогда и только тогда, когда его последняя цифра 0

Например: 7930 делится на 10 без остатка, так как 0 последняя цифра, а число 9442 не делится на 10, так как последняя цифра 2.

Число делится на 11, тогда и только тогда, когда сумма цифр, стоящих на четных местах равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо эти суммы отличаются или на 11 или на 22, или на 33, или на 11n, где n - натуральное число. Например: число 792 делится на 11 без остатка, так как 7+ 2=9, 9=9. Число 91905 делится на 11 без остатка, так как разность сумм цифр (9 + 9 + 5)- (1+ 0)=23-1=22, а 22 делится на 11 без остатка.

Число делится на 25, тогда и только тогда, когда две его последние цифры нули или образуют число, делящееся на 25.

Например: 69775 делится на 25 без остатка, так как 75 делится на 25,

а число 48455 не делится на 25, так как 55 не делится на 25.

Задачи для самостоятельного решения

1.13. Найдите наибольшее четырехзначное число, сумма цифр которого равна 19, а само число делится без остатка на 8.

1.14. Найдите наименьшее пятизначное число, сумма цифр которого равна 23, а само число делится без остатка на 25.

1.15. Найдите наибольшее пятизначное число с неповторяющимися цифрами, сумма цифр которого равна 17, а само число делится без остатка на 11.

1.16. Найдите наименьшее пятизначное число с неповторяющимися цифрами, сумма цифр которого равна 22, а само число делится без остатка на 25.

1.17. Найдите наименьшее шестизначное число с неповторяющимися цифрами, сумма цифр которого равна 19, а само число делится без остатка на 25.

1.18. Найдите наибольшее семизначное число, в котором используются только цифры 0, 3 и 5, если это число делится без остатка на 9.

1.19. Максим записал несколько четырехзначных чисел в своей тетради: 1375, 1925, 2475, 3575, 4125, 4675, … Одноклассник Александр увидел этот ряд чисел и сказал: «Всего таких чисел, имеющих аналогичные свойства, — 17». Установите, прав ли Александр.

1.20. Екатерина Васильевна, учитель математики в 6 классе, записала на доске три цифры: 0, 3, 4 — и сказала ученикам: «Найдите наименьшее число, состоящее только из этих трех цифр, если сумма его цифр равна 29, само оно делится без остатка на 55, а также определите количество нулей в этом числе». Ученик Кирилл сообщил: «Это число содержит 11 нулей». Установите, верно ли Кирилл определил количество нулей.

1.21. На доске написано трехзначное число, которое делится на 11. Сумма его цифр равна 13, а произведение цифр делится на 18. Найдите это число.

1.22. На доске написано четырехзначное число, которое делится на 66. Сумма его цифр больше 22, две последние цифры составляют число, которое делится на 7, а все цифры в числе различны. Найдите это четырехзначное число.

1.23. На доске написано трехзначное число, которое делится на 22. Сумма его цифр равна 19, а произведение цифр делится на 9. Найдите это число.

1.24. На доске написано четырехзначное число, которое делится на 44. Сумма его цифр равна 26, а произведение цифр делится на 32. Найдите это число.

1.25. Дано семизначное число, первая цифра которого — 2. Если эту цифру перенести в конец, то получится новое семизначное число, делящееся на 4. Если к полученному числу прибавить исходное, то получится восьмизначное число 11 638 437. Найдите исходное семизначное число.

1.3. Свойства делимости натуральных чисел

Для любых натуральных чисел m, n и l, которые связаны равенством:

m+n = l выполняются свойства делимости:

Если m делится на k и l делится на k, то и n делится на k (где k- натуральное число)

Задачи для самостоятельного решения

1.26. На рисунке 1 показана геометрическая фигура, которая состоит из 12 маленьких, равных между собой квадратов и одного большого. Найдите периметр большого квадрата, если периметр всей фигуры равен 124 см и длины сторон квадратов принимают целые значения в сантиметрах.

Рис.1.

1.27. На рисунке 2 показана геометрическая фигура, которая состоит из 8 маленьких равных квадратов и двух больших, равных между собой. Найдите периметр большого квадрата, если периметр всей фигуры равен 126 см и длины сторон квадратов принимают целые значения в сантиметрах.

Рис.2.

1.28. На рисунке 3 показана геометрическая фигура, которая состоит из 5 маленьких равных квадратов и трёх больших, равных между собой квадратов. Найдите периметр большого квадрата, если периметр всей фигуры равен 150 см и длины сторон квадратов принимают целые значения в сантиметрах.

Рис.3.

1.29. На рисунке 4 показана геометрическая фигура, которая состоит из 7 маленьких равных квадратов и двух больших, но разных размеров. Найдите площадь всей фигуры, если периметр этой фигуры равен 88 см и длины сторон квадратов принимают целые значения в сантиметрах.

Рис.4.

1.30. На рисунке 5 показана геометрическая фигура, которая состоит из 9 маленьких равных квадратов и трёх больших, равных между собой квадратов. Найдите периметр большого квадрата, если периметр всей фигуры равен 125 см и длины сторон квадратов принимают целые значения в сантиметрах.

1.31. На рисунке 6 показана геометрическая фигура, которая состоит из 11 маленьких равных квадратов и четырёх больших, равных между собой квадратов. Найдите периметр большого квадрата, если периметр всей фигуры равен 324 см и длины сторон квадратов принимают целые значения в сантиметрах.

1.32. На рисунке 7 показана геометрическая фигура, которая состоит из 7 маленьких равных квадратов и шести больших, равных между собой квадратов. Найдите площадь всей фигуры, если периметр этой фигуры равен 408 см и длины сторон квадратов принимают целые значения в сантиметрах.

1.33. На рисунке 8 показана геометрическая фигура, которая состоит из 8 маленьких равных квадратов и четырёх больших, равных между собой квадратов. Найдите площадь большого квадрата, если периметр всей фигуры равен 300 см и длины сторон квадратов принимают целые значения в сантиметрах.

1.34. На рисунке 9 показана геометрическая фигура, которая состоит из 8 маленьких равных квадратов, четырех больших равных между собой квадратов и еще трех больших равных между собой квадратов. Найдите площадь всей фигуры, если периметр этой фигуры равен 510 см и длины сторон квадратов принимают целые значения в сантиметрах.

Рис.9.

1.35. На рисунке 10 показана геометрическая фигура, которая состоит из 6 маленьких равных квадратов, 5 больших равных между собой квадратов и еще пяти средних по величине равных между собой квадратов. Найдите площадь всей фигуры, если периметр этой фигуры равен 336 см и длины сторон квадратов принимают целые значения в сантиметрах.

1.36. Таня, ученица 6 класса, в магазине канцелярских товаров «РТ» купила несколько общих тетрадей, карандашей и фломастеров. За всю покупку Таня заплатила 252 рубля. Определите, сколько общих тетрадей купила Таня, если одна общая тетрадь стоила 28 рублей, карандаш — 7 рублей, а фломастер — 22 рубля, и еще известно, что карандашей она купила не больше 4.

1.37. Владислав, вожатый в летнем школьном лагере, отвечающий за спортивные занятия, в спортивном магазине «Мячи для игры и не только…» купил несколько гантелей по 3 кг, теннисные шарики и волейбольные мячи. За всю покупку Владислав заплатил 19 030 рублей. Определите, сколько волейбольных мячей купил Владислав, если комплект из двух гантелей по 3 кг стоил 880 рублей, набор из 45 теннисных шариков — 495 рублей, а один волейбольный мяч стоил 1400 рублей.

1.38. На складе компьютерной техники имеются три вида клавиатур: мембранная, механическая и ножничная. Они хранятся на специальных стеллажах и занимают несколько полок. Мембранная клавиатура хранится на отдельном стеллаже на 71 полке, причем на каждой полке находится равное количество клавиатур данного вида. Механическая клавиатура хранится на 45 полках другого стеллажа, а ножничная — на 90 полках третьего стеллажа. Всего на этом складе компьютерной техники насчитывается 6075 клавиатур. Определите количество мембранных клавиатур на одной полке, если известно, что для каждого вида клавиатур предусмотрено свое число штук на полке, и на каждой полке лежит не меньше 20 клавиатур.

1.39. В фруктовом саду имени И. В. Мичурина выращивают, кроме обычных сортов яблонь, еще колонновидные сорта: Мэйпол, Московское ожерелье, Васюган. Яблони каждого сорта растут на участках прямоугольной формы. На участке, где растут яблони сорта Мэйпол, в одном ряду 24 яблони; на участке с сортом Московское ожерелье в одном ряду 16 яблонь, а на участке с сортом Васюган в одном ряду 37 яблонь. Определите, сколько всего в этом фруктовом саду яблонь сорта Васюган, если общее число яблонь колонновидных сортов составляет 1056 штук, и известно, что число рядов на каждом участке не меньше 10.

1.40. Докажите, что количество натуральных чисел от 18 до 10 000, в которых нет ни одной цифры 3, ни одной цифры 4, ни одной цифры 5, ни одной цифры 6, делится на 11.

2.Алгоритм Евклида. НОД и НОК.

Алгоритм Евклида. При нахождении НОД(m,n), пусть m больше n:

Алгоритм Евклида нахождение наибольшего общего делителя двух чисел m и n

(НОД m,n): 1. Число m делим n (r 1 - остаток от деления); 2. Число n делим r 1 (r 2 - остаток от деления); 3. Число r 1 делим r 2 (r 3 - остаток от деления); 4. Число r 2 делим r 3 (r 4 - остаток от деления) и так далее, если число r n-1 r n , то НОД(m,n)= r n, но если m делится на n без остатка, то НОД(m, n)= n.

Рассмотрим алгоритм Евклида на примерах:

Пример 1. Найти наибольший общий делитель для чисел 27 648 и 25 600.

НОД (27 648, 25 600) = ? (используем алгоритм Евклида)

Большее из данных чисел поделим на наименьшее: при делении 27 648 на 25 600 получили, что неполное частное равно 1, а остаток от деления равен r1 = 2048.

Делитель 25 600 поделим на первый остаток 2048 (r1 = 2048) и получим, что неполное частное равно 12, а остаток от деления равен r2 = 1024.

Первый остаток 2048 поделим на второй остаток 1024 r2 = 1024 и получим, что частное равно 2, а остаток от деления равен r3 = 0.

Следовательно, наибольший общий делитель чисел 27 648 и 25 600 равен 1024, так как делили на 1024, а в остатке получили 0.

Ответ: НОД (27 648, 25 600) = 1024.

Пример 2. Найти наибольший общий делитель для чисел 123783 и 116281.

НОД (123783; 116281)= ? (используем алгоритм Евклида)

Большее из данных чисел поделим на наименьшее: при делении 123783 на 116281

получили, что неполное частное равно 1, а остаток от деления равен r1 = 7502.

Делитель 116281 поделим на первый остаток 7502 (r1 = 7502) и получим, что неполное частное равно 15, а остаток от деления равен r2 = 3751.

Первый остаток 7502 поделим на второй остаток 3751 r2 = 3751 и получим, что частное равно 2, а остаток от деления равен r3 = 0.

Следовательно, наибольший общий делитель чисел 123783 и 116281 равен 1024, так как делили на 1024, а в остатке получили 0.

Ответ: НОД (123783; 116281) =3751.

2.1. Вычислите:

2.2. Вычислите:

2.3. Вычислите:

2.4. Вычислите:

2.5. Вычислите:

2.6.Вычислите:

2.7. Вычислите:

2.8. Вычислите:

2.9. Вычислите:

2.10. Вычислите: 2.11.Вычислите:

2.12. Родительский комитет пятого класса закупил 203 мандарина и 957 конфет для детских новогодних подарков. Сколько учащихся в этом пятом классе, если все подарки одинаковые, если число подарков равно числу учащихся в этом пятом классе и сколько конфет в одном подарке?

2.13.В цветочном магазине «Флористика 24» имеется 1603 красных роз и 1832 белых лилий. Из этих цветов составляют одинаковые букеты. Какое наименьшее число таких букетов можно составить, если в одном букете всего цветов не больше 17? И ещё определите, сколько роз в одном букете.