Олимпиадные задачи по математике. Тренировочные варианты (6-8 класс)

2.14.Наибольший общий делитель для двух четырёхзначных чисел А и В равен 264. Найдите эти числа, если

НОК(а,b) - это наименьшее общее кратное двух натуральных чисел а и b.Это наименьшее число, которое делится на каждое из данных чисел без остатка.

Пример: НОК(36 и 45)=180

36=3322, 45=533 , тогда НОК(36 и 45)= 33225=180.

Пример: НОК(341 и 495)=?

341=3111, 495=53311, тогда НОК(36 и 45)= 1133531=15345.

Свойства: 1)

2.15. Игорь получил за год несколько оценок по русскому языку, всего их было меньше 70. Третья часть из них - пятёрки, шестая часть - четвёрки, одиннадцатая часть - двойки. А сколько Игорь получил троек?

2.16. Найдите такие последовательные натуральные числа: а, b, c и d если

НОК(а,b) - НОК(с,d)=102.

2.17. Найдите такие последовательные натуральные числа: а, b, c и d если

НОК(а,c) - НОК(b,d)=219.

2.18. Найдите такие натуральные числа а и b, если

НОК(а,b) = 3311, НОД(а,b)=43, a>43 и b>43.

3.Текстовые задачи. Проценты. Работа. Движения. Смеси и сплавы. Возраст. Задачи для самостоятельного решения.

. 3.1. После сушки винограда процентное содержание воды в нем уменьшилось в 5 раз, а масса содержащейся в винограде воды уменьшилась в 21 раз. Во сколько раз масса винограда больше массы изюма, полученного при сушке?

3.2. Имеется два сплава с разным содержанием меди. Из них получили третий сплав, в котором процентное содержание меди в 2,5 раза больше, чем во втором сплаве, и в 1,2 раза меньше, чем в первом. Масса чистой меди во втором сплаве в 9 раз меньше массы чистой меди в первом. Во сколько раз масса третьего сплава больше массы второго?

3.3. В физико-математической школе №2332 в конце учебного года процент учащихся, изучающих китайский язык, был в 2,5 раза меньше процента учащихся, изучающих английский язык, и в 4 раза больше процента учащихся, изучающих арабский язык. К началу нового учебного года 0,1 от числа учащихся, изучавших английский язык, перешли в гимназию №2112, а из других школ в физико-математическую школу пришло некоторое число учеников, изучающих китайский язык. В итоге число учащихся, изучающих английский язык, стало в 1,35 раза больше числа учащихся, изучающих китайский язык. Определите, во сколько раз количество учащихся, изучающих китайский язык, больше количества учащихся, изучающих арабский язык, в новом учебном году.

3.4. В питомнике №1 выращивают цветы для магазинов «Ф24». В феврале процент роз от общего числа цветов в питомнике был в 4 раза больше процента хризантем и в 2 раза больше процента орхидей. В марте, после того как 0,2 всех роз из питомника №1 отправили на продажу, а в питомнике №2 приобрели некоторое количество молодых орхидей, число роз стало в 1,28 раза больше числа орхидей. Определите, во сколько раз число орхидей больше числа хризантем в питомнике №1 в марте.

3.5. Имеется два раствора соли. Масса первого раствора в 2 раза больше массы второго; также известно, что процентное содержание соли во втором растворе в 3,2 раза меньше, чем в первом. Если смешать эти растворы и добавить чистую воду, масса которой равна массе первого раствора, получится третий раствор с концентрацией соли m%. Если же смешать исходные растворы, но вместо воды добавить раствор, масса которого равна массе первого, а процентное содержание соли в 3,7 раза больше, чем во втором, получится раствор с концентрацией n%. Найдите отношение m: n.

3.6. Прямоугольник разбит на равные квадраты. Квадраты раскрасили либо в жёлтый цвет, либо в оранжевый, либо в зелёный, либо в белый. Известно, что процент числа жёлтых квадратов в 2,5 раза меньше процента числа зелёных и в 1,(1) раза больше процента числа оранжевых квадратов. Если шестую часть всех белых квадратов перекрасить в оранжевый цвет, то процент числа оранжевых квадратов будет в 2 раза больше процента числа белых. Во сколько раз число зелёных квадратов больше числа белых квадратов после перекраски?(Рис.11.)

Рис.11.

3.7. На день рождения ученице 6 класса Вике подарили набор шоколадных конфет. Недолго думая, она все их раздала своим подружкам: Тане, Маше, Оле и Кате, особо не подсчитывая, кому сколько. И оказалось, что процент числа конфет у Тани в 2 раза больше процента числа конфет у Маши и в 1,5 раза меньше процента числа конфет у Оли. Так как Катя увидела, что у Маши намного меньше конфет, чем у остальных, то восьмую часть своих конфет она передала Маше — тогда число конфет у Оли стало в 2 раза больше, чем у Маши. Определите отношение количества конфет, которые остались у Кати, к количеству конфет, которые получила Таня от Вики.

3.8. В семье Николаевых только три сына. Известно, что отец старше младшего сына в 8 раз и старше среднего сына на 31 год. Через сколько лет старший сын в семье Николаевых будет младше отца в 2 раза, если в семье Николаевых дети рождались через каждые четыре года?

3.9. В семье Сергеевых только четыре сына. Известно, что отец старше младшего сына в 7 раз и старше его на 36 лет. Через сколько лет старший сын в семье Сергеевых будет младше отца в 2 раза, если в этой семье дети рождались через каждые три года?

3.10. В семье Виноградовых только двое детей. Мама старше дочери в 5 раз и старше сына на 44 года. Через сколько лет мама в семье Виноградовых будет старше сына в 3 раза, если сыну в данное время больше 2 лет, но меньше 8 лет?

3.11. По течению реки Николай на моторной лодке по реке «Быстрой» проплыл некоторое расстояние за t часов, а на обратный путь он затратил времени в 2 раза больше. Определите, во сколько раз собственная скорость моторной лодки, на которой плыл Николай больше скорости течения реки «Быстрой».

3.12.Два велосипедиста Егор и Кирилл выехали одновременно навстречу друг другу из пунктов Р и Т. Егор выехал из пункта Р и прибыл в пункт Т через часов после встречи, а Кирилл, выехал из пункта Т и прибыл в пункт P через часов после встречи. Найдите отношение Если Егор, затратил на весь путь 21 час, ещё известно, что и -натуральные числа.

3.13. Три велосипедиста — Матвей, Сергей и Николай — на тренировочных сборах проводили тренировку на круговой трассе. Известно, что Сергей сделал 12 кругов, а Матвей — 16 кругов. Николай сделал 20 кругов и затратил в 1,(09375) раза больше времени, чем Матвей на 16 кругов. Определите, во сколько раз Николай затратил времени больше на 20 кругов, чем Сергей на 12 кругов, если известно, что средняя скорость Матвея больше средней скорости Сергея на 2 км/ч и на 2 км/ч меньше, чем средняя скорость Николая.

3.14. Организаторы водного туризма на горной реке Белой, проверяя трассу, проходят путь на моторной лодке два раза: по течению реки и против течения. Расстояние между пунктами А и В равно расстоянию между пунктами С и B. Скорость течения реки между пунктами A и B в 2 раза меньше, чем скорость течения между пунктами В и С. Расстояние между пунктами С и D в 2 раза больше, чем расстояние между пунктами А и В, а скорость течения реки там в 2,5 раза больше, чем между пунктами А и В. Время, затраченное на путь между пунктами А и В по течению реки и обратно, в 1,(03125) раза меньше, чем время, затраченное между пунктами B и C по течению и обратно. Во сколько раз время, затраченное на путь между пунктами C и D по течению и обратно, больше, чем время, затраченное между пунктами А и В по течению и обратно, если собственная скорость моторной лодки всегда одинакова?

3.15. На рисунке 12 показана геометрическая фигура, которая состоит из 7 маленьких равных квадратов и двух больших (разных размеров). Известно, что площадь самого большого квадрата составляет 46% от площади всей фигуры. Если к данной фигуре добавить ещё один квадрат среднего размера (Рис. 13), то его площадь составит 20% от площади всей новой фигуры. Найдите отношение площади 10 маленьких квадратов к площади всей третьей фигуры, если ко второй фигуре добавить ещё 3 маленьких квадрата (Рис. 14).

Рис.12.

Рис.13.

3.16. Борис и Кирилл готовились к школьной олимпиаде по математике и использовали сборник олимпиадных задач. По чётным дням Борис решал задачи 2 часа, а Кирилл — 3 часа. Каждый чётный день количество решённых задач составляло двенадцатую часть всех задач в сборнике. По нечётным дням Борис решал задачи 3 часа, а Кирилл — 1 час. Каждый нечётный день количество решённых задач составляло восемнадцатую часть всех задач в сборнике. Борис за один час решал больше задач, чем Кирилл. Определите, на сколько задач больше за один час решал Борис, чем Кирилл, если количество задач в этом сборнике больше 504, но меньше 543.

3.17 Егор и Сергей готовились к муниципальной олимпиаде по физике и использовали сборник олимпиадных задач. По чётным дням Егор решал задачи 3 часа, а Сергей — 2 часа. Каждый чётный день количество решённых задач составляло двадцать четвёртую часть всех задач в сборнике. По нечётным дням Егор решал задачи 4 часа, а Сергей — 3 часа. Каждый нечётный день количество решённых задач составляло восемнадцатую часть всех задач в сборнике. Егор за один час решал меньше задач, чем Сергей. На сколько задач больше за один час решал Сергей, чем Егор, если количество задач в этом сборнике больше 782, но меньше 802, и известно, что каждый из них за один час решал более 3 задач?

3.18 На рисунке 15 показана геометрическая фигура, которая состоит из 8 маленьких равных квадратов, двух самых больших равных между собой квадратов и ещё трёх средних равных между собой квадратов. Известно, что площадь самого большого квадрата составляет 30% от площади всей фигуры. Если к данной фигуре добавить ещё один квадрат среднего размера (Рис. 16), то его площадь составит 10% от площади новой фигуры. Найдите отношение площади 10 маленьких квадратов к площади третьей фигуры, если к первой фигуре добавить ещё 2 маленьких квадрата (Рис. 17).

Рис.15.

Рис.16.

Рис.17

3.19. Имеется три сплава: А, В и С. Процентное содержание меди в каждом сплаве соответственно равно 40%, 60% и 90%. Известно, что вся медь из этих сплавов составляет 4 кг. Установите соответствие сплава и его массы, если масса каждого сплава - целое число килограммов, и заполните таблицу.

МАССЫ СПЛАВОВ

1) 1кг 2) 4 кг 3) 2кг

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А

В

С

3.20. В фермерском хозяйстве № 23 имеется четыре поля: А, Б, В и Г, на которых выращивают зерновые культуры; на каждом поле посеяна пшеница. Процент площади под пшеницей на каждом поле соответственно равен 44 %, 22 %, 66 % и 90 %. В сентябре был собран весь урожай пшеницы на этих полях, и он составил 377,52ц. Укажите площадь второго поля (Б), если известно, что урожайность пшеницы на каждом поле была одинаковой и составляла 33ц/га, а площадь каждого поля равна целому числу гектаров.

1) 1га 2) 11га 3) 2га 3) 4га

Комбинаторика. Перестановки, размещения и сочетания. Задачи для самостоятельного решения.

Перестановки без повторений п элементов (объектов) - это способ их последовательного расположения с учётом порядка.

Их количество можно записать Рп и найти по формуле: Рk =k!

k! читается как «k под знаком факториала» (заметим, что 0!=1; 1!=1, 2!=1⋅2 =2, 3!=1⋅2⋅3=6, 4!=1⋅2⋅3⋅4=24, 5!=1⋅2⋅3⋅4⋅5=120, …). Например: nmk, nkm, mkn, mnk, knm, kmn

Пример 1

Сколько четырёхзначных чисел можно составить, если использовать только цифры: 3, 5, 7, 8 и цифры не повторяются?

Составляем четырёхзначные числа, используя только цифры 3, 5, 7, 8, при условии, что цифры не повторяются:

3578, 3587, 3758, 3785, 3875, 3857, 5378, 5387, 5738, 5783, 5873, 5837, 7538, 7583,

7358, 7385, 7835, 7853,8573, 8537, 8753, 8735, 8375, 8357: всего 24 числа.

Или по формуле: Рk =k!, Р4 =4!=1⋅2⋅3⋅4=24 (всего 24 числа)

Их количество

можно записывать, как

и найти по формуле:

Пример 4

Сколько трёхзначных чисел можно составить, если использовать только две цифры: 5, 7 .

Составляем трёхзначные числа используя только цифры 5 и 7:

557, 575, 555, 577, 755, 757, 777, 775: всего 8 чисел.

Или используем формулу:

(всего 8 чисел).

Или используем правило произведения:

Пусть трёхзначное число вместо каждой буквы можно поставить только 2 цифры,

(5 или 8), тогда получим: 2⋅2⋅2=8 (всего 8 чисел).

Сочетания без повторения из n объектов по k элементов. Эти числа показывают, сколькими способами можно составить комбинацию по k элементов из

элементов n типов, и которые отличаются хотя бы одним элементом

(элементы в комбинации не повторяются, и порядок их не важен).

Их количество можно записать, как и найти по формуле:

Сочетания имеют определённые свойства:

Пример 5

В коробке 7 стандартных деталей. Сколькими способами можно взять 4 стандартные детали?

Используем формулу:

Пример 6

В коробке 4 красных и 3 синих карандашей. Сколькими способами можно взять 3 красных и 2 синих карандаша?

Три красных из 4 красных можно взять: (способами),

Два синих из 3 синих можно взять: (способами),

5 карандашей, из которых 2 синих можно взять:(способами).

Сочетания с повторениями из n объектов по k элементов. Эти числа

показывают, сколькими способами можно составить комбинацию по k

элементов из элементов n типов (элементы в комбинации могут повторяться, но при этом порядок их не играет роли).

Их количество можно записать, как и найти по формуле:

Пример 7

В кондитерской №1 продают пирожки трёх видов с курагой, яблочным джемом и мясом. Сколькими способами можно купить 5 пирожков в кондитерской №1?

Количество способов, находим по формуле:

Или просто перебираем варианты: {к; к; к; к; к},{к; к; к; к; я},{к; к; к; я; я} {к; к; я; я; я}, {к; я; я; я; я},{я; м; м; м; м},{я; я; м; м; м},{я; я; я; м; м},{я; я; я; я; м}, {я; я; я; я; я}, {м; м; м; м; м},{м; м; м; м; к},{м; м; м; к; к},{м; м; к; к; к},{м; к; к; к; к},{м; к; к; к; я}, {к; м; м; м; я}, {к; я; я; я м},{я; я; к; м; м}, {к; к; я; я; м} {к; к; м; м; я},

заметим, что порядок здесь не играет роли, и всего получили 21 способ.

Задачи для самостоятельного решения.

4.1. Сколько существует трехзначных натуральных чисел, которые имеют хотя бы одну чётную цифру?

4.2. Сколько существует пятизначных натуральных чисел, которые имеют хотя бы одну чётную цифру?

4.3. Сколько существует шестизначных натуральных чисел, которые имеют хотя бы одну нечётную цифру?

4.4. Петя записал все натуральные числа от 1 до 1000, в записи которых нет ни одной цифры 3 ни одной цифры 5 ни одной цифры 7. Сколько чисел записал Петя?

4.5. Егор записал все натуральные числа от 1 до 1000, в записи которых нет ни одной цифры 3 ни одной цифры 5 ни одной цифры 7, ни одной цифры 9. Сколько чисел записал Егор?

4.6. На рисунке 18 показан один из маршрутов из пункта А в пункт В. Сколько маршрутов ведут из пункта А в пункт В? Покажите все маршруты из пункта A в пункт В, если маршрут можно прокладывать только по линиям клеток.

Рис.18.

4.7. На рисунке19 показан один из маршрутов из пункта К в пункт М. Сколько маршрутов ведут из пункта К в пункт М? Покажите все маршруты из пункта К в пункт М, если маршрут можно прокладывать только по линиям клеток.

Рис.19.

4.8. На рисунке 20 на координатной плоскости показан один из маршрутов из точки А в точку В, который проходит через точку К . Сколько всего маршрутов ведут из точки А в точку В, и которые проходят через точку К, если А(1;1), В(7;6) и К(5;2)? (7-8)

Рис.20.

4.9. На рисунке 21 на координатной плоскости показан один из маршрутов из точки А в точку В, который проходит через точку Р . Сколько всего маршрутов ведут из точки А в точку В, и которые проходят через точку Р, если А(-5;1), В(5;6) и Р(-2;4)?

Рис.21.

4.10. Тридцать девять шестиклассников и семиклассников - обменялись рукопожатиями. Известно, что каждый шестиклассник пожал руку 14 семиклассникам, каждый семиклассник пожал руку 12 шестиклассникам. Сколько было шестиклассников и сколько было семиклассников?

4.11. В школе №2999 два спортивных класса «юные хоккеисты» 11 х и «юные футболисты» 11 ф, всего в двух классах 45 учащихся (все юноши). Известно, что на выпускном вечере каждый «юный хоккеист» пожал руку 15 «юным футболистам», а каждый «юный футболист» пожал руку 12 «юным хоккеистам». Сколько было учеников в 11 х, и сколько было учеников 11 ф?

4.12. У Кати есть 12 книг о народах мира, а у Лены - 10 книг. Всего 22 книги о народах мира и все они разные. Сколькими способами они могут обменяться пятью книгами (то есть дать пять книг в обмен на пять книг)?

4.13. У Максима есть 7 книг «о морях и океанах», а у Егора - 8 книг. Всего 15 книг

«о морях и океанах», и все они разные. Сколькими способами они могут обменяться двумя книгами (то есть дать две книг в обмен на две книги)?

4.14. Два пятых класса на каникулах ходили в музеи: музей имени Врубеля М. А. и музей «Технического творчества», известно, что из тех, кто ходил в музей имени Врубеля М. А. 20% ходили еще и в музей «Технического творчества», а из тех, кто ходил в музей «Технического творчества», 25% ходили ещё в музей имени Врубеля М. А . Сколько всего учащихся в этих двух пятых классах, если их число больше 39, но меньше 49, и ещё известно, что 7 учащихся из этих пятых классов на каникулах уехали в другой город и музеи не посещали?

4.15. При формировании десятого химико-биологического класса провели опрос, и получили следующую информацию, что из тех кто интересуется химией 25% ещё интересуются биологией, а из тех кто интересуется биологией 20% ещё интересуются химией, а еще двое Кирилл и Николай честно признались, что этими предметами не интересуются, а записались в этот класс, так как в этом классе все их друзья. Сколько всего учащихся записались в десятый химико-биологический класс, если их число больше 31, но меньше 39?

4.16. Учитель математики на координатной плоскости показал три маршрута из точки А в точку В, из точки М в точку N, и из точки Н в точку Р. Затем, он сказал: «Посмотрите внимательно и сообщите дополнительную информацию об этих маршрутах». Отличник Кирилл предположил, что наибольшее число маршрутов можно построить из точки М в точку N, несмотря на то, что сумма горизонтальных и вертикальных линий (число сторон клеток) на каждом маршруте одинаковая, равна 8. Установите прав ли Кирилл, если А(-5;1), В(-2;6) и М(1;2), N(5;6), H(-7;-3), Р(0;-2), и ещё маршруты можно прокладывать только по линиям клеток ? (Рис.22.)

Рис.22.

4.17. Сколько четырёхзначных чисел можно составить, если использовать только цифры: 0, 5, 7, 8 и цифры не повторяются ?

4.18. Сколько двухзначных чисел можно составить, если использовать только цифр 2, 3, 4, 5, 7, 9 при условии, что цифры не повторяются?

4.19. В кондитерской №3 продают булочки четырёх видов с курагой, яблочным джемом, с клубникой, и с вишней. Сколькими способами можно купить 6 булочек в кондитерской №3?

4.20. Искусственному интеллекту был задан вопрос: «Сколько натуральных чисел от 1 до 100000 включительно, в десятичной записи которых нет ни одной цифры 6, ни одной цифры 7, ни одной цифры 8, ни одной цифры 9»?. Искусственный интеллект через 2 минуты выдал ответ 7776. Верно ли искусственный интеллект вычислил?