Олимпиадные задачи по математике. Тренировочные варианты (6-8 класс)

5.Принцип Дирихле. Принцип крайнего. Задачи для самостоятельного решения.

Принцип Дирихле:

Если k+2 элемента разбиты на k+1 множеств, то хотя бы одно множество содержит не менее двух элементов.

Пример №1

В коробке лежат 12 красных карандашей, 13 синих, 10 зеленых. Наугад из коробки достают k карандашей. Какое наименьшее число карандашей, необходимо взять из коробки, чтобы среди них было не менее 7 карандашей одного цвета;

Решение:

Так как по условию задачи всего 3 цвета карандашей, то достаточно, взять 19 карандашей, среди которых как минимум 7 карандаша будут одинакового цвета.

Заметим, что k=19 наименьшее число, при котором условие выполняется, но если взять по шесть карандашей каждого цвета 6+6+6=18, условие задачи не выполняется, а если взять ещё любой один карандаш из коробки, то какие-то 7 карандашей будут одного цвета.

Ответ:19.

Принцип крайнего в олимпиадной математике - это подход, который использует свойства объектов с экстремальными (наибольшими или наименьшими) значениями для решения задач.

5.1. В городе К 11 школ, между ними распределяют 56 интерактивных досок. Докажите, что обязательно найдутся две школы, получившие одинаковое количество интерактивных досок.

5.2. В коробке лежат 14 красных карандашей, 11 синих, 12 зеленых. Наугад из коробки достают k карандашей. Какое наименьшее число карандашей необходимо взять из коробки, чтобы среди них было не менее 9 карандашей одного цвета?

5.3. За пропуски занятий 82 студентам предложили сдать дополнительный зачёт по четырём проверяемым темам. За каждую проверяемую тему ставилась одна из оценок: или «2», или «3», или «4». Верно ли, что найдутся 2 студента, получившие одинаковые оценки по 4 проверяемым темам?

5.4. Кирилл хочет написать 609 трёхзначных последовательных натуральных чисел, среди которых имеется 304 пары чисел, сумма каждой из которых делится на 11. Сможет ли он это сделать?

5.5. Можно ли выбрать шесть натуральных чисел n1, n2, n3, n4, n5,n6 и записать их в ряд так, чтобы либо одно из них делилось на 6, либо сумма нескольких рядом стоящих чисел делилась на 6?

5.6. В городе Р 56 детских библиотек, между ними распределяют 1541 новую книгу «Справочник для школьника». Докажите, что обязательно найдутся две библиотеки, получившие одинаковое количество «Справочников для школьника».

5.7. В финальной игре школьного городского турнира по баскетболу выиграла команда «Ураган» гимназии № 2888, набрав в финальной игре 67 очков. В команде «Ураган» 12 юных баскетболистов. Докажите, что как минимум двое юных баскетболистов принесли своей команде в финальной игре одинаковое число очков.

5.8. В коробке-трансфомере лежат 11 разных кусочков большой пиццы. Всегда ли можно разрезать один из них на две части так, чтобы полученные 12 кусочков делились на две порции равной массы по 6 кусочков в каждой?

5.9. Можно ли число 329 записать как сумму семи различных натуральных чисел так, чтобы сумма любых двух слагаемых делилась на 7, и при этом среди семи слагаемых были два таких, что одно больше другого в 9 раз?

5.10. Можно ли на окружности записать семь различных натуральных чисел так, чтобы разность любых соседних чисел делилась на 9, сумма всех чисел была равна 664, и при этом среди этих семи чисел были два таких, что одно больше другого в 19 раз?

5.11. Можно ли в вершинах выпуклого шестиугольника записать различные натуральные числа так, чтобы разность любых соседних чисел делилась на 11, сумма всех чисел была равна 1789, и при этом среди этих шести чисел были два таких, что одно больше другого в 23 раза?

5.12. Можно ли по кругу записать шесть различных натуральных чисел так, чтобы сумма любых двух соседних чисел делилась на 3, сумма всех чисел была равна 69, а среди этих шести чисел нашлись два, одно из которых больше другого в 62 раза?

5.13. В лицее № 2555 28 юных хоккеистов были на тренировочных сборах и пропустили 12 уроков математики. Учитель математики Антон Кириллович предложил им сдать зачёт по трём темам. За каждую тему ставилась одна из оценок: «3», «4» или «5». Верно ли, что найдутся два хоккеиста, получившие одинаковые оценки по всем трём темам?

5.14. Тихон хочет написать 50 натуральных чисел, каждое из которых при делении на 4 даёт остаток 1, так, чтобы сумма всех чисел была равна 5750. Сможет ли он это сделать?

6. Разрезания. Переливание. Логические задачи. Задачи для самостоятельного решения.

6.1. На рисунке 23 на клетчатой бумаге изображён прямоугольник, в котором вырезаны четыре клетки. Разделите этот прямоугольник на две части так, чтобы из них можно было составить квадрат, а линия разреза шла по сторонам клеток.

Рис.23.

6.2. На рисунке 24 на клетчатой бумаге изображён прямоугольник, в котором вырезаны одиннадцать клеток. Разделите этот прямоугольник на две части так, чтобы из них можно было составить квадрат, а линия разреза шла по сторонам клеток.

Рис.24.

6.3. На рисунке 25 на клетчатой бумаге изображён прямоугольник, в котором вырезаны 6 клеток. Разделите этот прямоугольник на две части так, чтобы из них можно было составить квадрат, а линия разреза шла по сторонам клеток.

Рис.25.

6.4. На рисунке 26 на клетчатой бумаге изображён прямоугольник, в котором вырезаны 4 клетки. Разделите этот прямоугольник на две части так, чтобы из них можно было составить квадрат, а линия разреза шла по сторонам клеток.

Рис.26.

6.5. На рисунке 27 на клетчатой бумаге изображён прямоугольник, в котором вырезаны 3 клетки. Разделите этот прямоугольник на две части так, чтобы из них можно было составить квадрат, а линия разреза шла по сторонам клеток.

Рис.27.

6.6. На рисунке 28 на клетчатой бумаге изображена фигура, которая состоит из 64 клеток. Замостите эту фигуру фигурками (Рис.29.), каждая из которых состоит из 8 клеток. В каждой клетке записано одно число; на обратной стороне тоже записаны числа, и они совпадают. Найдите сумму чисел по диагонали AB.

Рис.28.

Рис.29.

6.7. На рисунке 30 на клетчатой бумаге изображена фигура, которая состоит из 80 клеток. Замостите эту фигуру фигурками (Рис. 31), каждая из которых состоит из 20 клеток. В каждой клетке записано одно число; на обратной стороне тоже записаны числа, и они совпадают. Найдите сумму чисел по диагонали AB.

Рис.30. Рис.31.

6.8. Как налить 4 литра воды из озера, если имеется в наличии 7-литровое ведро и 5-литровая банка?

6.9. Как налить 10 литров воды из озера, если имеется в наличии 9-литровое ведро и 2-литровая банка?

6.10. Как налить 71 литр воды в бочку из озера, если имеется в наличии бочка с водой объёмом 100 литров, 7-литровое ведро и 4-литровая банка?

6.11. На концерте молодых исполнителей встретились три однокурсника из одного музыкального училища: пианист Николаев, гитарист Сергеев и виолончелист Александров. Виолончелист сообщил: «Среди нас есть Александр, Николай и Сергей, но ни одно имя не совпадает с его фамилией». «Ты прав», — заметил Николай. Определите, как зовут гитариста?

6.12. На выставке молодых талантов подружились: скульптор из Омска, художник из Казани и мастер-краснодеревщик из Курска. Их имена: Никон, Елистрат и Порфирий. Порфирий сообщил: «Как известно, город Омск славится своими художниками и скульпторами, но на этой выставке из Омска только один Елистрат». «Да ты верно заметил это», — сказал мастер-краснодеревщик. Определите, как зовут художника?

6.13. Конкурс робототехники каждый год проходит в разных городах России. В город Пермь привезли свои изобретения москвич Кирилл, уфимец Семён и новосибирец Николай. Изобретатели подружились.«Вы знаете, друзья, что имена роботов не соответствуют сфере их деятельности; имя робота из Новосибирска не связано с рыбной ловлей, но зато он отлично собирает фрукты, а моего робота — другие умения», — сказал Семён. Определите, как зовут робота, который умеет ловить рыбу и чьих рук это изобретение, если:

робот «А» умеет ловить рыбу на речке с помощью удочки;

робот «Б» умеет собирать съедобные грибы в лесу;

робот «В» умеет собирать фрукты в фруктовом саду, а имена роботов:

«Карасик», «Боровик» и «Персик»?

7. Инварианты. Игры. Турниры. Задачи для самостоятельного решения.

Инварианты - это задачи, в которых необходимо найти инвариант, то есть величину, которая не меняется при выполнении определенных действий.

7.1.В ряд растут 12 грушевых деревьев. Число груш на соседних деревьях отличается на 3.

Может ли на всех 12 грушевых деревьев всего быть 337 груш.

7.2.Ученик Максим разрезал лист бумаги на 5 частей, затем ещё каждый кусок он разрезал либо на 5, либо на 9 частей. Мог ли Максим в конце получить 2027 кусков?

7.3.На доске написаны четыре натуральных числа 5, 6, 10, 20. Кирилл записывает в своей тетради произведение каких-нибудь трёх из этих чисел, а на доске уменьшает четвёртое число на 1. С новыми четырьмя числами на доске он снова проделывает ту же операцию, и так далее до тех пор, пока одно из чисел на доске не станет нулем. Определите, какая сумма всех чисел будет в этот момент записана в тетради у Кирилла.

7.4.На доске написаны пять натуральных чисел 4, 5, 6, 10, 80. Семён записывает в своей тетради произведение каких-нибудь четырёх из этих чисел, а на доске уменьшает пятое число на 1. С новыми пятью числами на доске он снова проделывает ту же операцию, и так далее до тех пор, пока одно из чисел на доске не станет нулем. Определите, какая сумма всех чисел будет в этот момент записана в тетради у Семёна.

7.5. В трёх коробках А, В и С имеются карандаши, а в коробке D нет карандашей, число карандашей в коробках А и В вместе равно 2п карандашей, число карандашей в коробках В и С вместе равно 2п+13 карандашей, а число всех карандашей равно 4п+1. Из коробки А берут по два карандаша и перекладывают в коробку D. Может ли в какой-то момент в коробке А остаться один карандаш (если п>10)?

7.6. В трёх коробках А, В и С имеются карандаши, а в коробке D нет карандашей, число карандашей в коробке А больше, чем в коробке В на 3п карандашей. Число карандашей в коробке С, больше, чем в коробке В на 3п-12 карандашей, а число всех карандашей равно 6п+9. Из коробки А берут по три карандаша и перекладывают в коробку D. Может ли в какой-то момент в коробке А остаться один карандаш (если п>10)?

7.7. Егор и Семён играют в такую игру. Егор задумывает двузначное число и записывает его на доске. Семён записывает такое двузначное число на доске, чтобы сумма двух этих чисел делилась на 10. И так пять раз, числа не должны повторяться, и задумывать число кратное десяти нельзя. Если все пять сумм делятся на 10, выигрывает Семён. Если Семён не может подобрать такое число, чтобы сумма делилась на 10, выигрывает Егор. Кто гарантированно выиграет в этой игре при правильной игре?

Конец ознакомительного фрагмента.

Текст предоставлен ООО «Литрес».

Прочитайте эту книгу целиком, купив полную легальную версию на Литрес.

Безопасно оплатить книгу можно банковской картой Visa, MasterCard, Maestro, со счета мобильного телефона, с платежного терминала, в салоне МТС или Связной, через PayPal, WebMoney, Яндекс.Деньги, QIWI Кошелек, бонусными картами или другим удобным Вам способом.