- -
- 100%
- +
Для наглядности вообразим два способа посылать световые сигналы. В одном случае они настолько различны, что приёмник уверенно узнаёт каждый. В другом — сигналы близки, а шум ещё больше затрудняет различение. Если получатель пытается немедленно угадать каждый отдельный символ, он может терять часть доступной информации. Квантовая теория допускает совместное измерение целой последовательности систем. Вместо отдельных букв получатель различает кодовые слова целиком. Такой способ может извлекать больше информации, чем последовательное распознавание каждого сигнала по отдельности.
Полезно различить верхний предел и достижимую скорость. Одной верхней оценки мало: она запрещает надёжную передачу быстрее порога, но не показывает, какая скорость достижима. Теорема кодирования должна связать обе стороны: установить ограничение и показать существование способов передачи, приближающихся к нему в определённых условиях.
Работа Холево установила такую связь для канала с произвольными, в том числе смешанными, сигнальными состояниями. Смешанное состояние возникает, когда квантовая система описывается не одним чистым состоянием, а статистическим распределением возможностей. Это позволяет включить в теорию важные проявления неопределённости и шума, а не ограничиваться идеализированными чистыми сигналами.
Для расчёта используют энтропию — меру неопределённости квантового состояния. Сначала мысленно объединяют все возможные сигналы с учётом того, как часто отправитель выбирает каждый символ: получается среднее состояние, доступное получателю до расшифровки. Его энтропию сравнивают с той неопределённостью, которая в среднем остаётся в сигналах, когда переданный символ уже известен. Разность этих двух энтропий показывает, сколько классической информации можно передать на одно использование такого канала в пределе длинных кодовых слов. Затем выбирают наиболее выгодные частоты использования входных символов.
За словами «достижимая скорость» скрывается важное условие. Теорема относится к длинным кодовым последовательностям и предельному режиму: по мере увеличения длины можно уменьшать вероятность ошибки. Она не обещает, что короткое сообщение в сегодняшнем приборе немедленно достигнет этого предела. Реальному устройству нужны подходящие источники, память, измерения и вычисления. Математическая возможность и инженерная осуществимость здесь разделены вполне конкретными требованиями.
Такие результаты задают ориентиры для работы с квантовыми каналами. Без них трудно понять, вызвана ли неудача несовершенством приёмника или фундаментальным ограничением природы. Улучшать устройство имеет смысл по-разному в этих двух случаях. Инженер может заменить детектор, но не отменить доказанную границу одним удачным техническим решением.
Когда обсуждают квантовую связь, внимание часто достаётся защищённости или необычности отдельных частиц. Теоремы Холево возвращают разговор к проверяемому вопросу: какую информацию, при каких сигналах и с какой точностью действительно можно получить. В этой постановке квантовая механика становится строгим языком возможностей связи.
Источники к главе 10
11. 1997. Умножение, в котором важен порядок
1997 — препринт; 2003 — журнальная публикация. Рубрика: Уроженцы России и СССР в мировой науке. IHÉS, Бюр-сюр-Иветт, Франция. Максим Концевич.
Пять, умноженное на семь, равно семи, умноженному на пять. Такая свобода менять множители местами настолько привычна, что кажется свойством умножения вообще. Но операции устроены разнообразнее. Сначала надеть носки, потом обувь — не то же самое, что выполнить действия в обратном порядке. Эта бытовая последовательность не объясняет квантовую механику, зато помогает принять её математическую особенность: порядок может входить в содержание результата.
В классической механике измеряемые величины можно описывать функциями состояния системы. Для частицы состояние задаётся, например, положением и импульсом. Перемножение значений двух функций не зависит от порядка. В квантовом описании физическим величинам соответствуют операторы, и их последовательное действие в общем случае переставлять нельзя.
Как пройти от одного описания к другому? Для отдельных простых систем существуют знакомые способы. Но математику интересует общий вопрос: можно ли построить квантовое правило умножения для широкого класса классических систем, чтобы оно было внутренне согласованным и в подходящем пределе возвращало привычное умножение?
Этот подход называется деформационным квантованием. Деформация здесь означает изменение математической операции. Новое произведение представляют как старое плюс последовательность поправок с формальным параметром. В физических приложениях этот параметр связан с постоянной Планка, задающей масштаб квантовых эффектов. При формальном переходе параметра к нулю поправки исчезают. Так в самой записи сохраняется связь с классическим случаем.
Слово «формальный» существенно. На этом этапе исследователь изучает согласованность ряда и его коэффициентов; он не обязан доказать, что при любом подставленном физическом числе бесконечная сумма сойдётся. Разные вопросы — существование алгебраической конструкции, её аналитические свойства и пригодность для конкретного эксперимента — требуют разных доказательств.
Разницу между порядком действий и расстановкой скобок можно увидеть на обычных действиях над числом. Возьмём тройку, прибавим единицу, затем удвоим результат: получится восемь. Удвоим тройку сначала и лишь затем прибавим единицу: получится семь. Порядок действий важен. Но если порядок длинной цепочки сохранён, соседние действия можно заранее объединять в составные операции — итог от такой расстановки скобок не меняется.
Главное препятствие квантования тоже связано со скобками. Если множителей три, расстановка скобок должна оставаться согласованной: результат последовательного умножения не должен зависеть от того, какую пару объединили первой. Это свойство называется ассоциативностью. Свободу менять порядок множителей мы уже потеряли, но терять ещё и возможность непротиворечиво перемножать длинные выражения было бы слишком дорого. Поправки идут по степеням параметра: первой, второй, третьей и далее. Добившись ассоциативности с точностью до первой степени, можно столкнуться с нарушением на уровне второй. Исправление на этом уровне ставит задачу для следующего. Нужно доказать, что согласованную цепочку можно продолжать сколь угодно далеко.
В 1997 году Максим Концевич представил решение для любого конечномерного пуассонова многообразия. За термином стоит пространство состояний, снабжённое правилом — скобкой Пуассона, — которое связывает изменение одних физических величин с другими. Например, скобка координаты с функцией энергии системы задаёт скорость изменения этой координаты. Концевич доказал существование нужного квантования и более общую теорему формальности, связывающую соответствующие математические структуры.
Концевич родился в Химках в 1964 году, в РСФСР, СССР. В период этой работы он был профессором французского Института высших научных исследований, IHÉS. Результат относится к его работе во Франции. Квантование пуассоновых многообразий было названо среди его достижений при присуждении Филдсовской медали в 1998 году. Журнальная публикация появилась позднее, в 2003-м.
В построении участвуют графы — схемы из вершин и соединяющих их рёбер. Они помогают организовать множество взаимосвязанных членов формулы. Это способ строгого учёта: определённой схеме соответствует определённое выражение и вес. Суммирование устроено так, чтобы выполнялись требуемые алгебраические отношения.
Вместо отдельных удачных рецептов появилось единое основание. Теперь для указанного класса объектов вопрос существования получил ответ; можно исследовать конкретные реализации и связи с другими областями. При этом доказательство не утверждает, что любой математически построенный квантовый мир физически существует.
В построенном умножении порядок множителей влияет на результат, а расстановка скобок — нет.
Источники к главе 11
12. 1997. Кто разрешает иммунитету поднять тревогу
1997. Рубрика: Уроженцы России и СССР в мировой науке. Йельский университет, США. Руслан Меджитов, Пола Престон-Хёрлберт, Чарльз Джейнуэй.
Способность распознать чужую молекулу ещё не объясняет, почему иммунная система начинает действовать. Организм постоянно встречается с веществами пищи, собственной микрофлорой и безвредными частицами среды. Если каждый контакт вызывает полномасштабную атаку, защита сама становится угрозой. Требуется не только узнавание, но и решение о том, когда включать сильный ответ.
У иммунной системы есть взаимосвязанные уровни. Врождённая защита реагирует на характерные признаки определённых угроз и повреждений. Адаптивная использует огромный набор более специализированных рецепторов и способна формировать иммунную память. Эти различия не означают, что системы работают в отдельных помещениях организма. Между ними нужны сигналы, которые согласуют действия.
В 1997 году Руслан Меджитов, Пола Престон-Хёрлберт и Чарльз Джейнуэй описали человеческий белок, родственный рецептору Toll плодовой мушки. Незадолго до этого выяснилось, что у мушки Toll участвует в защите от грибковой инфекции. Сходство белков давало основание искать похожий механизм включения иммунной защиты у человека. Меджитов родился в Ташкенте в 1966 году, в Узбекской ССР, СССР. Исследование выполнено в Йельском университете в США. Оно стало важной частью объяснения того, как древние механизмы распознавания связаны с запуском специализированного иммунитета.
Рецептор — молекула, которая позволяет клетке отвечать на определённое воздействие. Его можно условно сравнить с датчиком, но белок не просто выдаёт электрический сигнал. Связывание и изменение структуры запускают цепь молекулярных взаимодействий. В итоге меняется активность других белков и работа генов.
В своей работе авторы исследовали человеческий гомолог Toll и показали, что его специально активированная форма запускает сигнальный путь NF-κB. Это важный регулятор клеточного ответа. Вслед за включением пути возникали воспалительные сигналы и повышалось производство B7.1 — молекулы, помогающей активировать Т-клетки. Эти лимфоциты участвуют в адаптивном иммунном ответе. Так обнаружилась конкретная связь между ранним распознаванием и условиями активации адаптивной защиты.
Т-клетке для активации обычно недостаточно распознать антиген — молекулярный признак, предъявленный ей другой клеткой. Нужен дополнительный сигнал, называемый костимуляцией; его может передавать B7.1. Значит, ответ Т-клетки мог зависеть не только от того, что она распознала, но и от состояния клетки, предъявившей антиген.
До выяснения подобных связей можно было подробно знать части иммунного ответа и всё же не понимать их согласования. Работа дала механизм, способный объяснять, почему молекулярное обнаружение определённых структур помогает организму перейти к следующему уровню защиты. Рецептор стал частью причинной цепи, а не просто ещё одним белком в длинном каталоге.
Но история требует аккуратной датировки. Статья 1997 года не завершила расшифровку всех Toll-подобных рецепторов и всех их природных активаторов. Эксперимент с активированной формой показал, на что способен сигнальный путь, но не отвечал сразу на каждый вопрос о естественном распознавании. Последующие исследования разных коллективов уточняли, какие молекулы и при каких условиях запускают конкретные рецепторы.
Это различие между возможностью и природной функцией важно для всей биологии. Если искусственно включённый белок меняет поведение клетки, обнаружена существенная связь. Но затем необходимо выяснить, когда белок включается в организме, какие партнёры ему нужны и что ограничивает ответ. Только несколько таких уровней вместе создают полноценное объяснение.
Понимание врождённого распознавания повлияло на исследования инфекций, воспаления и способов направлять иммунный ответ. Из одного открытия не следует универсальная лечебная рекомендация: слишком слабый ответ опасен, слишком сильный тоже. Тревога организма перестала выглядеть чёрным ящиком между встречей с чужеродным материалом и мобилизацией защитных клеток.
Источники к главе 12
13. 1998. Как ссылки научились взвешивать страницы
1998 — научное описание системы. Рубрика: Уроженцы России и СССР в мировой науке. Стэнфордский университет, США. Сергей Брин, Ларри Пейдж и коллеги.
Найти страницу, на которой есть нужное слово, и найти полезный ответ — разные задачи. Если слово встречается на миллионе страниц, простое совпадение почти ничего не решает. А если автору выгодно подняться в выдаче, он может повторять желательный текст снова и снова. Поиску требуется признак, который не сводится к содержимому одной страницы.
Сеть уже хранила такой дополнительный материал: ссылки. Один документ направляет читателя к другому. Это можно рассматривать как свидетельство внимания, рекомендацию или указание на источник. Разумеется, ссылки бывают случайными, рекламными и критическими. Но в большом масштабе их структура содержит информацию, которой нет в одиночном тексте.
Сергей Брин и Ларри Пейдж использовали её в поисковой системе, описанной в статье 1998 года. Брин родился в Москве в 1973 году, в РСФСР, СССР. Систему создавали в Стэнфордском университете. Отдельное описание алгоритма PageRank связано также с Радживом Мотвани и Терри Виноградом; научную историю нельзя свести к двум именам основателей компании.
Самая простая идея — считать входящие ссылки. Но тогда ссылка с малоизвестной страницы и ссылка с крупного справочного ресурса оказываются равными. PageRank взвешивает ссылку с учётом авторитета её источника. Страница получает вес от ссылающихся на неё страниц, а те получают вес от своих источников.
Возникает круг. Чтобы узнать важность страницы A, нужно знать важность B; чтобы узнать B, нужно знать A. В обычном разговоре такая зависимость выглядела бы порочным рассуждением. В математике она может стать системой уравнений. Нужно найти согласованные значения сразу для всех участников сети.
Полезно представить пользователя, который переходит по ссылкам, иногда оставляя текущую цепочку и выбирая новую страницу. Нас интересует, какую долю долгого путешествия он проведёт на каждой странице. Эта доля и задаёт вес страницы в модели: чем чаще такое блуждание приводит на неё, тем больше её PageRank. Возможность нового старта важна: иначе замкнутая группа ссылок способна удерживать всё путешествие внутри себя.
Ссылка передаёт не весь вес страницы каждому адресату. Если исходящих направлений много, соответствующий вклад распределяется между ними. Возьмём две страницы одинакового веса: с одной ведут сто ссылок, с другой — одна. Каждая ссылка первой страницы передаст меньший вклад, чем единственная ссылка второй. Веса пересчитывают по всей сети снова и снова, пока их изменения не станут достаточно малы.
PageRank сам по себе не знает, о чём спросил человек. Высокий общий вес страницы ещё не делает её подходящей для запроса о редком лекарстве или конкретной математической формуле. В описанной системе этот показатель сочетался с другими признаками, включая текст и особенности ссылок. Важным результатом стало соединение идеи ранжирования с работающей архитектурой большого поискового сервиса.
Ссылочную структуру в те же годы исследовали и другие. Например, Джон Клейнберг предложил HITS, различающий авторитетные страницы и страницы, собирающие ссылки на них.
Здесь полезно отделить два уровня. Научно-технический вклад — способ использовать структуру гиперссылок и организовать поиск в большой сети. Коммерческая судьба Google — дальнейшая история компании. Успех бизнеса не доказывает каждую гипотезу статьи, а математическая ценность метода не измеряется только стоимостью корпорации.
Есть и граница доверия. Алгоритм оценивает связи между документами; он не проверяет истинность каждого утверждения. Авторитетный сайт может ошибиться, популярное заблуждение — получить множество ссылок, а важный новый результат — ещё не успеть обзавестись ими. Это ограничение следует из природы самого признака, а не только из качества программирования.
Работа Брина, Пейджа и коллег показала, что огромный массив документов можно читать в двух измерениях смысла: что написано внутри и как устроены отношения между текстами. Связи между страницами помогли там, где одного текста уже не хватало: совпадающих по словам страниц стало слишком много.
Источники к главе 13
14. 1998. Словарь между частицами и гравитацией
1998. Рубрика: Уроженцы России и СССР в мировой науке. Принстонский университет, США. Стивен Габсер, Игорь Клебанов, Александр Поляков.
Физическое уравнение может быть известно, а его решение — почти недоступно. Особенно трудно вычислять поведение квантовых полей, когда взаимодействие между их возбуждениями сильно. Привычный путь — сначала решить простую задачу, затем добавлять всё меньшие поправки — перестаёт надёжно работать, если поправки уже не малы.
В конце 1990-х возникла необычная возможность: перевести некоторые такие задачи на язык гравитации. В 1997 году Хуан Малдасена предложил соответствие между определёнными квантовыми теориями поля и теориями струн в пространствах особой геометрии. В некоторых режимах трудная задача с сильным взаимодействием получала более доступное гравитационное описание.
Но предположение об эквивалентности нуждается в правилах использования. Если в одной теории задана измеримая величина, чему она соответствует во второй? Как сравнивать ответы? В феврале 1998 года Стивен Габсер, Игорь Клебанов и Александр Поляков предложили важнейшую часть такого словаря. Работа была выполнена в Принстоне. Поляков родился в Москве в 1945 году; Клебанов также родился в СССР. Оба продолжали исследования в американской научной среде.
Авторы связали корреляционные функции одной теории с зависимостью действия другой теории от граничных условий. Корреляционные функции описывают, как связаны изменения поля в разных точках и как система откликается на внешнее воздействие. Действие — математическая величина, из которой выводят уравнения гравитационной теории.
Представим регулятор слабого внешнего воздействия. Нас интересует не только ответ системы в одном положении регулятора, но и изменение ответа при небольшом повороте. В формулах квантовой теории такой вспомогательный регулятор называют источником; отдельного прибора за ним может не быть. В предложенном соответствии источнику отвечают граничные значения поля в гравитационном описании. Меняя их и вычисляя изменение действия на решении, получают сведения об отклике квантовой системы. Так трудный расчёт переводится в определённую задачу с граничными условиями.
Чтобы представить смысл граничных условий, достаточно вспомнить задачу о температуре внутри тела. Температуры на поверхности помогают определить распределение внутри. В квантовой и гравитационной задаче математика значительно сложнее, но разделение между внутренним объёмом и условиями на его границе сохраняет значение.
Это не означает, что учёные заменили объёмную Вселенную обычной плоской картинкой. В рассматриваемом соответствии гравитационное описание имеет дополнительное пространственное измерение. Изменению положения вдоль этого измерения на стороне квантовой теории соответствует изменение масштаба: переход между описаниями более мелких и более крупных деталей системы. Геометрическая граница здесь — математический объект, а не экран, установленный где-то в космосе.
Название AdS/CFT сохраняет след этой конструкции. AdS обозначает пространство анти-де Ситтера с определённой отрицательной кривизной. CFT — конформную теорию поля, обладающую особой симметрией преобразований масштаба и геометрии. Эти условия существенны. Перенести полученные правила на любую физическую систему без дополнительного обоснования нельзя.
В том же феврале Эдвард Виттен независимо развил точное соответствие между наблюдаемыми величинами и гравитационным описанием. Поэтому история складывается из нескольких работ: гипотезы Малдасены и конкретных рецептов Габсера, Клебанова, Полякова и Виттена. Совпадения рассчитанных характеристик стали количественными проверками предложенной связи.
Если две очень разные теории описывают одну структуру, трудность вычисления может зависеть от выбранного языка. Геометрия способна сделать видимым то, что скрыто в сумме бесчисленных квантовых взаимодействий. И наоборот, квантовая теория помогает задавать вопросы о гравитации.
При этом соответствие не стало прямым экспериментальным доказательством теории струн или утверждением, что реальная Вселенная целиком устроена по этой конкретной модели. Внутри определённых теорий связи сформулированы строго и подкреплены проверяемыми расчётами. Работа 1998 года дала способ обращаться к этим связям как к вычислительному инструменту: ставить вопрос на одном языке и искать ответ на другом.
Источники к главе 14
15. 1999. Красная метка внутри живой клетки
1999. Рубрика: Результаты в России. Москва, Институт биоорганической химии РАН и другие российские учреждения. Михаил Мац, Аркадий Фрадков, Юлий Лабас, Александр Савицкий, Сергей Лукьянов и коллеги.
Под микроскопом можно увидеть клетку, но далеко не всегда понятно, где находится интересующий белок и куда он перемещается. Окрасить ткань после фиксации полезно, однако тогда движение уже прекратилось. Для наблюдения живого процесса нужна метка, которую сама клетка сможет производить и носить вместе с нужным объектом.
Такую возможность дали флуоресцентные белки. Их известнейший ранний представитель — зелёный белок GFP из медузы. В работе 1999 года Михаил Мац, Аркадий Фрадков, Сергей Лукьянов и коллеги расширили эту идею: выделили и описали родственные белки из коралловых полипов — кораллов и их родственников, не обладающих биолюминесценцией. Среди них оказался красный белок, получивший широкую известность как DsRed.
Здесь необходимо различать флуоресценцию и собственное свечение. Флуоресцентный белок получает энергию от внешнего света, а затем испускает часть её в виде света другой длины волны. Он похож на крошечный преобразователь цвета. Без подходящего освещения яркой метки не будет. Это отличается от биолюминесценции, где свет возникает за счёт химической реакции.
Почему появление красного цвета стало научным событием? Если все наблюдаемые объекты помечены одинаково, трудно понять, кто с кем взаимодействует. Несколько цветов позволяют различать белки, клеточные структуры или разные популяции клеток. Пример из обычной жизни — карта транспорта: обозначения маршрутов становятся полезнее, когда линии можно отличить друг от друга.
Но биологическая метка сложнее цветного значка. Чтобы клетка изготовила её сама, в неё вводят соответствующую генетическую инструкцию. Можно соединить инструкцию для исследуемого белка с инструкцией для флуоресцентного партнёра. Получится общий продукт, положение которого видимо под микроскопом. При этом необходимо проверять, что добавленная часть не испортила работу исследуемой молекулы.
Именно здесь обнаружилось ограничение первоначального DsRed: его молекулы склонны объединяться в группы по четыре. Сцепляясь по четыре, молекулы метки могут стягивать вместе и белки, к которым они присоединены, меняя их поведение. Удобный цвет ещё не делает природную молекулу идеальным инструментом. Понадобилась последующая белковая инженерия — изменение аминокислотной последовательности с проверкой получившихся свойств.
В 2002 году Роберт Кэмпбелл и соавторы из лаборатории Роджера Циена в Калифорнийском университете в Сан-Диего описали мономерный красный белок mRFP1, происходивший от DsRed. Его отдельная молекула сохраняла флуоресценцию без обязательного объединения в четвёрку. Это была самостоятельная зарубежная работа, развившая инструментальную линию, начатую российским открытием. Научная история здесь напоминает эстафету: обнаружить природную возможность, понять недостаток, изменить конструкцию и проверить применение.
Флуоресцентные белки не превращают клетку в прозрачную схему. Свет рассеивается, метки могут выгорать, а их созревание занимает время. Интенсивность сигнала зависит не только от количества интересующего вещества. Поэтому изображение остаётся измерением, требующим контроля, а не фотографией всей биологии без искажений.