Очевидно. Но неверно

Разбор 5. Рукопись с характером

Ответ. Глеб отправил черновик.

Предположим, что действовал Антон. Тогда реплика №1 ложна; реплика №2 истинна; реплика №3 истинна; реплика №4 ложна. Получается истинных реплик: 2. Условие требует 1, поэтому этот вариант исключаем.

Предположим, что действовал Борис. Тогда реплика №1 ложна; реплика №2 истинна; реплика №3 истинна; реплика №4 ложна. Получается истинных реплик: 2. Условие требует 1, поэтому этот вариант исключаем.

Предположим, что действовал Вадим. Тогда реплика №1 истинна; реплика №2 ложна; реплика №3 истинна; реплика №4 истинна. Получается истинных реплик: 3. Условие требует 1, поэтому этот вариант исключаем.

Предположим, что действовал Глеб. Тогда реплика №1 ложна; реплика №2 истинна; реплика №3 ложна; реплика №4 ложна. Получается истинных реплик: 1. Это ровно требуемые 1; предположение проходит проверку.

Измените вопрос: можно ли определить виновного, если известно только, что хотя бы одна реплика правдива?

Числа истинных реплик по порядку подозреваемых: 2, 2, 3, 1. Оставляем все положительные числа. Получается 4 допустимых вариантов. Формулировка «хотя бы одна» слабее формулировки «ровно столько-то»: лишняя правда перестаёт быть основанием для исключения.

Протокол после одной поправки

Если только свидетель №1 заменит свою фразу противоположной, а требование «ровно 1 истинных» сохранится, по кандидатам Антон, Борис, Вадим, Глеб получатся счётчики 3, 3, 2, 2. Ни одного допустимого кандидата не останется: такой исправленный протокол внутренне противоречив.

Если только свидетель №2 заменит свою фразу противоположной, а требование «ровно 1 истинных» сохранится, по кандидатам Антон, Борис, Вадим, Глеб получатся счётчики 1, 1, 4, 0. Останутся допустимыми: Антон, Борис. Единственность исчезла.

Если только свидетель №3 заменит свою фразу противоположной, а требование «ровно 1 истинных» сохранится, по кандидатам Антон, Борис, Вадим, Глеб получатся счётчики 1, 1, 2, 2. Останутся допустимыми: Антон, Борис. Единственность исчезла.

Если только свидетель №4 заменит свою фразу противоположной, а требование «ровно 1 истинных» сохранится, по кандидатам Антон, Борис, Вадим, Глеб получатся счётчики 3, 3, 2, 2. Ни одного допустимого кандидата не останется: такой исправленный протокол внутренне противоречив.

Разбор 6. Ненужная кнопка

Ответ. Вадим нажал кнопку.

Предположим, что действовал Антон. Тогда реплика №1 ложна; реплика №2 ложна; реплика №3 ложна; реплика №4 ложна. Получается истинных реплик: 0. Условие требует 1, поэтому этот вариант исключаем.

Предположим, что действовал Борис. Тогда реплика №1 истинна; реплика №2 истинна; реплика №3 истинна; реплика №4 ложна. Получается истинных реплик: 3. Условие требует 1, поэтому этот вариант исключаем.

Предположим, что действовал Глеб. Тогда реплика №1 ложна; реплика №2 ложна; реплика №3 истинна; реплика №4 истинна. Получается истинных реплик: 2. Условие требует 1, поэтому этот вариант исключаем.

Измените вопрос: можно ли определить виновного, если известно только, что хотя бы одна реплика правдива?

Числа истинных реплик по порядку подозреваемых: 0, 3, 1, 2. Оставляем все положительные числа. Получается 3 допустимых вариантов. Формулировка «хотя бы одна» слабее формулировки «ровно столько-то»: лишняя правда перестаёт быть основанием для исключения.

Протокол после одной поправки

Если только свидетель №1 заменит свою фразу противоположной, а требование «ровно 1 истинных» сохранится, по кандидатам Антон, Борис, Вадим, Глеб получатся счётчики 1, 2, 2, 3. Останутся допустимыми: Антон.

Если только свидетель №2 заменит свою фразу противоположной, а требование «ровно 1 истинных» сохранится, по кандидатам Антон, Борис, Вадим, Глеб получатся счётчики 1, 2, 2, 3. Останутся допустимыми: Антон.

Если только свидетель №3 заменит свою фразу противоположной, а требование «ровно 1 истинных» сохранится, по кандидатам Антон, Борис, Вадим, Глеб получатся счётчики 1, 2, 0, 1. Останутся допустимыми: Антон, Глеб. Единственность исчезла.

Если только свидетель №4 заменит свою фразу противоположной, а требование «ровно 1 истинных» сохранится, по кандидатам Антон, Борис, Вадим, Глеб получатся счётчики 1, 4, 2, 1. Останутся допустимыми: Антон, Глеб. Единственность исчезла.

Разбор 7. Премия за скромность

Ответ. Антон переложил грамоту.

Предположим, что действовал Антон. Тогда реплика №1 ложна; реплика №2 ложна; реплика №3 ложна; реплика №4 истинна. Получается истинных реплик: 1. Это ровно требуемые 1; предположение проходит проверку.

Предположим, что действовал Борис. Тогда реплика №1 истинна; реплика №2 ложна; реплика №3 ложна; реплика №4 истинна. Получается истинных реплик: 2. Условие требует 1, поэтому этот вариант исключаем.

Предположим, что действовал Глеб. Тогда реплика №1 истинна; реплика №2 истинна; реплика №3 ложна; реплика №4 ложна. Получается истинных реплик: 2. Условие требует 1, поэтому этот вариант исключаем.

Мы проверили все четыре допустимые личности, а не только нашли удобного подозреваемого. Подходит один вариант: Антон. Это и даёт единственность ответа. Обратите внимание: виновный мог сказать правду, а невиновный — ошибиться или солгать; обратного в условии не обещали.

Измените вопрос: можно ли определить виновного, если известно только, что хотя бы одна реплика правдива?

Числа истинных реплик по порядку подозреваемых: 1, 2, 3, 2. Оставляем все положительные числа. Получается 4 допустимых вариантов. Формулировка «хотя бы одна» слабее формулировки «ровно столько-то»: лишняя правда перестаёт быть основанием для исключения.

Протокол после одной поправки

Если только свидетель №1 заменит свою фразу противоположной, а требование «ровно 1 истинных» сохранится, по кандидатам Антон, Борис, Вадим, Глеб получатся счётчики 2, 1, 2, 1. Останутся допустимыми: Борис, Глеб. Единственность исчезла.

Если только свидетель №2 заменит свою фразу противоположной, а требование «ровно 1 истинных» сохранится, по кандидатам Антон, Борис, Вадим, Глеб получатся счётчики 2, 3, 4, 1. Останутся допустимыми: Глеб.

Если только свидетель №3 заменит свою фразу противоположной, а требование «ровно 1 истинных» сохранится, по кандидатам Антон, Борис, Вадим, Глеб получатся счётчики 2, 3, 2, 3. Ни одного допустимого кандидата не останется: такой исправленный протокол внутренне противоречив.

Если только свидетель №4 заменит свою фразу противоположной, а требование «ровно 1 истинных» сохранится, по кандидатам Антон, Борис, Вадим, Глеб получатся счётчики 0, 1, 2, 3. Останутся допустимыми: Борис.

Разбор 8. Чайник повышенной секретности

Ответ. Антон выключил чайник.

Предположим, что действовал Антон. Тогда реплика №1 ложна; реплика №2 ложна; реплика №3 истинна; реплика №4 ложна. Получается истинных реплик: 1. Это ровно требуемые 1; предположение проходит проверку.

Предположим, что действовал Борис. Тогда реплика №1 истинна; реплика №2 ложна; реплика №3 истинна; реплика №4 ложна. Получается истинных реплик: 2. Условие требует 1, поэтому этот вариант исключаем.

Предположим, что действовал Вадим. Тогда реплика №1 истинна; реплика №2 истинна; реплика №3 ложна; реплика №4 ложна. Получается истинных реплик: 2. Условие требует 1, поэтому этот вариант исключаем.

Предположим, что действовал Глеб. Тогда реплика №1 истинна; реплика №2 ложна; реплика №3 истинна; реплика №4 истинна. Получается истинных реплик: 3. Условие требует 1, поэтому этот вариант исключаем.

Измените вопрос: можно ли определить виновного, если известно только, что хотя бы одна реплика правдива?

Числа истинных реплик по порядку подозреваемых: 1, 2, 2, 3. Оставляем все положительные числа. Получается 4 допустимых вариантов. Формулировка «хотя бы одна» слабее формулировки «ровно столько-то»: лишняя правда перестаёт быть основанием для исключения.

Протокол после одной поправки

Если только свидетель №1 заменит свою фразу противоположной, а требование «ровно 1 истинных» сохранится, по кандидатам Антон, Борис, Вадим, Глеб получатся счётчики 2, 1, 1, 2. Останутся допустимыми: Борис, Вадим. Единственность исчезла.

Если только свидетель №2 заменит свою фразу противоположной, а требование «ровно 1 истинных» сохранится, по кандидатам Антон, Борис, Вадим, Глеб получатся счётчики 2, 3, 1, 4. Останутся допустимыми: Вадим.

Если только свидетель №3 заменит свою фразу противоположной, а требование «ровно 1 истинных» сохранится, по кандидатам Антон, Борис, Вадим, Глеб получатся счётчики 0, 1, 3, 2. Останутся допустимыми: Борис.

Если только свидетель №4 заменит свою фразу противоположной, а требование «ровно 1 истинных» сохранится, по кандидатам Антон, Борис, Вадим, Глеб получатся счётчики 2, 3, 3, 2. Ни одного допустимого кандидата не останется: такой исправленный протокол внутренне противоречив.

Разбор 9. Звонок без повода

Ответ. Антон позвонил.

Предположим, что действовал Борис. Тогда реплика №1 ложна; реплика №2 истинна; реплика №3 истинна; реплика №4 истинна. Получается истинных реплик: 3. Условие требует 1, поэтому этот вариант исключаем.

Предположим, что действовал Вадим. Тогда реплика №1 истинна; реплика №2 ложна; реплика №3 ложна; реплика №4 истинна. Получается истинных реплик: 2. Условие требует 1, поэтому этот вариант исключаем.

Предположим, что действовал Глеб. Тогда реплика №1 ложна; реплика №2 ложна; реплика №3 ложна; реплика №4 ложна. Получается истинных реплик: 0. Условие требует 1, поэтому этот вариант исключаем.

Измените вопрос: можно ли определить виновного, если известно только, что хотя бы одна реплика правдива?

Числа истинных реплик по порядку подозреваемых: 1, 3, 2, 0. Оставляем все положительные числа. Получается 3 допустимых вариантов. Формулировка «хотя бы одна» слабее формулировки «ровно столько-то»: лишняя правда перестаёт быть основанием для исключения.

Протокол после одной поправки

Если только свидетель №1 заменит свою фразу противоположной, а требование «ровно 1 истинных» сохранится, по кандидатам Антон, Борис, Вадим, Глеб получатся счётчики 2, 4, 1, 1. Останутся допустимыми: Вадим, Глеб. Единственность исчезла.

Если только свидетель №2 заменит свою фразу противоположной, а требование «ровно 1 истинных» сохранится, по кандидатам Антон, Борис, Вадим, Глеб получатся счётчики 2, 2, 3, 1. Останутся допустимыми: Глеб.

Если только свидетель №3 заменит свою фразу противоположной, а требование «ровно 1 истинных» сохранится, по кандидатам Антон, Борис, Вадим, Глеб получатся счётчики 2, 2, 3, 1. Останутся допустимыми: Глеб.

Если только свидетель №4 заменит свою фразу противоположной, а требование «ровно 1 истинных» сохранится, по кандидатам Антон, Борис, Вадим, Глеб получатся счётчики 0, 2, 1, 1. Останутся допустимыми: Вадим, Глеб. Единственность исчезла.

Разбор 10. Список отсутствующих

Ответ. Антон взял список.

Предположим, что действовал Антон. Тогда реплика №1 истинна; реплика №2 ложна; реплика №3 истинна; реплика №4 ложна. Получается истинных реплик: 2. Это ровно требуемые 2; предположение проходит проверку.

Предположим, что действовал Вадим. Тогда реплика №1 истинна; реплика №2 истинна; реплика №3 истинна; реплика №4 истинна. Получается истинных реплик: 4. Условие требует 2, поэтому этот вариант исключаем.

Предположим, что действовал Глеб. Тогда реплика №1 ложна; реплика №2 истинна; реплика №3 истинна; реплика №4 истинна. Получается истинных реплик: 3. Условие требует 2, поэтому этот вариант исключаем.

Измените вопрос: можно ли определить виновного, если известно только, что хотя бы одна реплика правдива?

Числа истинных реплик по порядку подозреваемых: 2, 3, 4, 3. Оставляем все положительные числа. Получается 4 допустимых вариантов. Формулировка «хотя бы одна» слабее формулировки «ровно столько-то»: лишняя правда перестаёт быть основанием для исключения.

Протокол после одной поправки

Если только свидетель №1 заменит свою фразу противоположной, а требование «ровно 2 истинных» сохранится, по кандидатам Антон, Борис, Вадим, Глеб получатся счётчики 1, 2, 3, 4. Останутся допустимыми: Борис.

Если только свидетель №2 заменит свою фразу противоположной, а требование «ровно 2 истинных» сохранится, по кандидатам Антон, Борис, Вадим, Глеб получатся счётчики 3, 2, 3, 2. Останутся допустимыми: Борис, Глеб. Единственность исчезла.

Если только свидетель №4 заменит свою фразу противоположной, а требование «ровно 2 истинных» сохранится, по кандидатам Антон, Борис, Вадим, Глеб получатся счётчики 3, 2, 3, 2. Останутся допустимыми: Борис, Глеб. Единственность исчезла.

Разбор 11. Сахар в отделе критики

Ответ. Глеб переставил сахарницу.

Предположим, что действовал Антон. Тогда реплика №1 истинна; реплика №2 истинна; реплика №3 истинна; реплика №4 ложна. Получается истинных реплик: 3. Условие требует 1, поэтому этот вариант исключаем.

Предположим, что действовал Борис. Тогда реплика №1 истинна; реплика №2 истинна; реплика №3 ложна; реплика №4 истинна. Получается истинных реплик: 3. Условие требует 1, поэтому этот вариант исключаем.

Предположим, что действовал Вадим. Тогда реплика №1 истинна; реплика №2 истинна; реплика №3 истинна; реплика №4 ложна. Получается истинных реплик: 3. Условие требует 1, поэтому этот вариант исключаем.

Предположим, что действовал Глеб. Тогда реплика №1 ложна; реплика №2 ложна; реплика №3 истинна; реплика №4 ложна. Получается истинных реплик: 1. Это ровно требуемые 1; предположение проходит проверку.

Измените вопрос: можно ли определить виновного, если известно только, что хотя бы одна реплика правдива?

Числа истинных реплик по порядку подозреваемых: 3, 3, 3, 1. Оставляем все положительные числа. Получается 4 допустимых вариантов. Формулировка «хотя бы одна» слабее формулировки «ровно столько-то»: лишняя правда перестаёт быть основанием для исключения.

Протокол после одной поправки

Если только свидетель №1 заменит свою фразу противоположной, а требование «ровно 1 истинных» сохранится, по кандидатам Антон, Борис, Вадим, Глеб получатся счётчики 2, 2, 2, 2. Ни одного допустимого кандидата не останется: такой исправленный протокол внутренне противоречив.

Если только свидетель №2 заменит свою фразу противоположной, а требование «ровно 1 истинных» сохранится, по кандидатам Антон, Борис, Вадим, Глеб получатся счётчики 2, 2, 2, 2. Ни одного допустимого кандидата не останется: такой исправленный протокол внутренне противоречив.

Если только свидетель №3 заменит свою фразу противоположной, а требование «ровно 1 истинных» сохранится, по кандидатам Антон, Борис, Вадим, Глеб получатся счётчики 2, 4, 2, 0. Ни одного допустимого кандидата не останется: такой исправленный протокол внутренне противоречив.

Если только свидетель №4 заменит свою фразу противоположной, а требование «ровно 1 истинных» сохранится, по кандидатам Антон, Борис, Вадим, Глеб получатся счётчики 4, 2, 4, 2. Ни одного допустимого кандидата не останется: такой исправленный протокол внутренне противоречив.

Разбор 12. Табличка на свободном месте

Ответ. Борис поставил табличку.

Предположим, что действовал Антон. Тогда реплика №1 истинна; реплика №2 ложна; реплика №3 ложна; реплика №4 ложна. Получается истинных реплик: 1. Условие требует 2, поэтому этот вариант исключаем.

Предположим, что действовал Борис. Тогда реплика №1 истинна; реплика №2 ложна; реплика №3 ложна; реплика №4 истинна. Получается истинных реплик: 2. Это ровно требуемые 2; предположение проходит проверку.

Предположим, что действовал Вадим. Тогда реплика №1 ложна; реплика №2 ложна; реплика №3 ложна; реплика №4 истинна. Получается истинных реплик: 1. Условие требует 2, поэтому этот вариант исключаем.

Предположим, что действовал Глеб. Тогда реплика №1 истинна; реплика №2 истинна; реплика №3 истинна; реплика №4 истинна. Получается истинных реплик: 4. Условие требует 2, поэтому этот вариант исключаем.

Мы проверили все четыре допустимые личности, а не только нашли удобного подозреваемого. Подходит один вариант: Борис. Это и даёт единственность ответа. Обратите внимание: виновный мог сказать правду, а невиновный — ошибиться или солгать; обратного в условии не обещали.

Измените вопрос: можно ли определить виновного, если известно только, что хотя бы одна реплика правдива?

Числа истинных реплик по порядку подозреваемых: 1, 2, 1, 4. Оставляем все положительные числа. Получается 4 допустимых вариантов. Формулировка «хотя бы одна» слабее формулировки «ровно столько-то»: лишняя правда перестаёт быть основанием для исключения.

Протокол после одной поправки

Если только свидетель №1 заменит свою фразу противоположной, а требование «ровно 2 истинных» сохранится, по кандидатам Антон, Борис, Вадим, Глеб получатся счётчики 0, 1, 2, 3. Останутся допустимыми: Вадим.

Если только свидетель №2 заменит свою фразу противоположной, а требование «ровно 2 истинных» сохранится, по кандидатам Антон, Борис, Вадим, Глеб получатся счётчики 2, 3, 2, 3. Останутся допустимыми: Антон, Вадим. Единственность исчезла.

Если только свидетель №3 заменит свою фразу противоположной, а требование «ровно 2 истинных» сохранится, по кандидатам Антон, Борис, Вадим, Глеб получатся счётчики 2, 3, 2, 3. Останутся допустимыми: Антон, Вадим. Единственность исчезла.

Если только свидетель №4 заменит свою фразу противоположной, а требование «ровно 2 истинных» сохранится, по кандидатам Антон, Борис, Вадим, Глеб получатся счётчики 2, 1, 0, 3. Останутся допустимыми: Антон.

Разбор 13. Два советника и один вопрос

Подсказка. Пусть один советник расскажет об ответе другого.

Ответ. Спросить: «На какую дверь указал бы другой советник, если бы я спросил, где выход?» Затем выбрать противоположную дверь.

Правдивый честно укажет ту дверь, которую выбрал бы лжец. Лжец на прямой вопрос о выходе указал бы кладовую. Поэтому правдивый тоже укажет кладовую — но как ответ другого, а не свой ответ о выходе.

Лжец должен исказить правдивый ответ о том, что сказал бы честный. Честный указал бы выход, значит, лжец укажет другую дверь, то есть кладовую. В обеих ветвях ответ указывает не туда, куда надо идти.

Условия о двух дверях и известном советникам ответе существенны. Когда альтернатив больше двух, требование солгать не задаёт единственного неправильного указания. Когда советник не знает расположения выхода, эта схема также не применима.

Где легко ошибиться. В вопросе должно быть ясно, чью реплику пересказывают. Небрежное «Что он скажет?» без точного вложенного вопроса не определяет нужного ответа.

Приём: одинаковое преобразование разных типов ответа. Мы не выясняем тип советника, а строим вопрос так, чтобы неизвестный тип не влиял на полезное действие.

Нужно ли после ответа определять, кто перед вами?

Нет. Стратегия специально избегает лишней цели. Она находит дверь, сохраняя неопределённость относительно личности советника.

Честность не измеряется громкостью

После дела о ватрушке Пётр Семёнович предложил заменить таблицу показаний одним вопросом: «Кто здесь самый честный?» Все подняли руки. Даже Федя, который в этот момент держал крошки.

— Видите, — сказал начальник, — коллектив здоровый.

— Вижу, что вопрос не различает версии, — ответила Варвара.

Это одна из самых полезных привычек: спрашивать не только о правдоподобии фразы, но и о том, что она исключает. Если реплика совместима с любым виновным, она может звучать впечатляюще и всё-таки не приближать решение. «Я всегда считал честность важной» — прекрасная фраза для торжественного собрания и слабая улика в истории с пропавшим ключом.

У нас есть ещё одна опасная склонность. Услышав ложь, мы начинаем считать ложным всё, что сказал этот человек. В сказочных задачах такое правило иногда прямо задано. В обычной логической истории оно не возникает автоматически. Лжец способен сообщить верную дату. Честный человек способен ошибиться в ней. Чтобы применить жёсткую классификацию, нужно иметь основание именно для неё.

— То есть даже мне нельзя верить без проверки? — уточнил начальник.

— Можно верить, — сказала Варвара. — Нельзя называть это проверкой.

Разница не обесценивает доверие. Она помогает не выдавать один способ отношения к словам за другой. В быту мы доверяем постоянно, иначе до завтрака пришлось бы доказывать существование чайника. Но там, где требуется единственный вывод из противоречий, доверие становится одной из гипотез, а не невидимым законом.

Таблица особенно хороша тем, что не обижается на фамилии. Подставьте имя приятного человека — она пересчитает истины. Подставьте неприятного — сделает то же самое. Эмоции могут подсказать, где искать, но не имеют права незаметно исправлять результат проверки.

В тот день ватрушку нашли на верхней полке. Её туда переложили до заседания. История со всеми подозреваемыми относилась к другой, учебной ватрушке. Пётр Семёнович возмутился недостатком реализма и съел вещественное доказательство. Варвара записала: «Противоречий больше нет. Есть крошки».

Глава 2. Кто здесь кем работает