Нептун и Вулкан. Математика между открытием и вымыслом

Если попросить случайного собеседника привести пример абстракции, он, скорее всего, назовёт число, формулу или пропорцию — что-то, что нельзя потрогать, но можно вычислить. Этот ответ не ошибочен. Число действительно отбрасывает всё, кроме одного, и делает это с точностью, которой больше нигде нет. Трудность в другом: такой ответ называет число, но не объясняет, что делает абстракцией само число. Уберём число и посмотрим, что останется.

Останется, как ни странно, почти всё. Живопись, которая перестала изображать и не превратилась от этого в пятна. Музыка, в которой нет ни одного предмета, но есть порядок, слышный любому. Танец, где рисунок движения важнее того, кто его исполняет. Здание, чьё равновесие ощущают ногами, не заглядывая в чертёж. В любом разговоре о таком ряде рано или поздно всплывает «Чёрный квадрат» — холст, на котором, кажется, нечего разглядывать.

Тогда общее у этих случаев придётся искать не среди вещей. Абстракция, возможно, вообще не вещь, а действие, и сразу возникает вопрос, чем такое действие закреплено: нервами, телом, договорённостями культуры. От ответа зависит, что мы вообще имеем в виду, когда говорим, что мир можно описать.

1.1. Отношения и пропорции: интуиция, с которой всё началось

Попробуем представить долгую дорогу на машине. Радио давно замолчало, за окном третий час тянется одинаковый лес, и отец, чтобы разогнать скуку, начинает петь — что-нибудь простое, известное всем, вроде песни из старого мультфильма. На втором куплете к нему присоединяется сын лет шести. Голос у отца низкий, чуть хрипловатый, у мальчика — тонкий и звонкий, и поют они вовсе не одними и теми же звуками: мальчик забирается туда, куда отцу не добраться, а отец поёт там, куда мальчику не спуститься. И всё же ни мать за рулём, ни бабушка на заднем сиденье не скажут, что в машине звучат две разные песни. Они скажут, что отец и сын поют вместе.

Язык здесь точнее, чем кажется. Мы говорим, что люди поют «в один голос», хотя голосов заведомо два и они не совпадают ни в одной точке. Хор, где мужчины и женщины ведут одну мелодию, тоже поёт в один голос, и никто из слушателей не чувствует в этом натяжки. Совпадение есть, его слышит каждый, включая бабушку, которая никогда не училась музыке, и мальчика, который ещё не умеет читать. Но стоит спросить, что именно совпало, и ответ ускользает. Не звуки — они другие. Не слова — ту же песню можно промычать без слов, и её всё равно узнают. Что-то третье, на что нельзя показать пальцем и что нельзя записать, не прибегая к особым знакам.

Здесь мне важно не разгадать эту загадку, а заметить её. Главное в ней то, что узнавание приходит раньше всякого объяснения и вовсе в нём не нуждается. Никто в машине не останавливает песню, чтобы проверить, та ли это мелодия. Люди слышат тождество там, где звуки различны, и делают это так легко, что обычно не замечают самого факта. Это первое бытовое свидетельство того, что принято называть абстракцией: от конкретного отвлеклись, а нечто сохранилось, и сохранилось настолько прочно, что его узнаёт шестилетний ребёнок.

Второй случай ещё привычнее. В семейном альбоме лежит фотография пятилетней девочки, и кто-нибудь из гостей, взглянув, говорит: «Отцовский нос». Нос девочки меньше отцовского раза в три, кожа другая, ракурс другой, снимок чёрно-белый и выцвел. Совпадает не размер и не цвет. Совпадает что-то в том, как нос стоит на лице, как он соотносится со лбом и подбородком, насколько далеко от него посажены глаза. Мы узнаём друга на снимке величиной с почтовую марку и на рекламном щите высотой в дом, а хороший карикатурист тремя линиями делает лицо узнаваемее фотографии, хотя в его рисунке нет ни одной верной величины.

У этого случая интуиция уже нашла слово, и слово это — пропорция. Его подсказывают со школы. На уроке рисования учитель объясняет, что глаза у человека находятся на середине головы, а не у макушки, как на детских рисунках, и что между глазами помещается ровно ещё один глаз. Ребёнок не верит, проверяет на соседе по парте и убеждается, что так и есть. Лицо, оказывается, складывается не из отдельных черт, а из того, как они друг к другу относятся. Соблазнительно сразу перенести этот ответ на песню в машине, но торопиться не стоит: у лица есть линейка, у песни её пока нет, и то, что годится для одного, не обязано годиться для другого.

Третий случай — самый ранний. Ребёнок четырёх лет, который считает до десяти с ошибками, уже говорит «вдвое больше». Говорит о башне из кубиков: моя вдвое выше твоей. О конфетах, которые разделили нечестно. О старшем брате, который «в два раза большой». И, конечно, о любви: «а я тебя люблю вдвое больше», на что взрослый обязательно отвечает «а я — в сто раз». Никто специально не объяснял ребёнку, что «вдвое» одинаково годится для всего этого. Он переносит слово с предмета на предмет без малейшего затруднения, словно оно никогда не принадлежало ни одному из них. Отношение для него оказалось подвижнее вещей, между которыми оно проведено.

В трёх случаях повторяется одно движение. Высота голоса, размер лица, башни и конфеты — всё конкретное меняется или отбрасывается, а что-то остаётся и узнаётся. Для лица и для башни у этого оставшегося есть готовое имя — пропорция или отношение, а на языке школы число: половина головы, в два раза, в три раза. Для песни такого имени нет, и подбирать его наспех я не стану: что совпало в двух голосах, пусть пока будет загадкой. Но двух случаев из трёх хватает, чтобы возникло равенство, которое кажется очевидным почти каждому: абстрактное — значит математическое. Откуда у нас такая уверенность?

Отчасти её даёт школа, и даёт буквально. В старых русских учебниках арифметики различали числа именованные и отвлечённые. Пять метров или семь вёрст — число именованное, при нём есть наименование, привязка к вещи. Пять без всего — число отвлечённое. «Отвлечённый» и есть русский перевод латинского слова, от которого происходит «абстракция»: отвлекать, оттаскивать в сторону. Ребёнок встречает абстракцию впервые в тот момент, когда из задачи уходят яблоки и остаётся голое пять, и школа прямо называет эту операцию её собственным именем. Потом в алгебре уходят и сами числа, их заменяют буквы, и каждая следующая ступень отвлечения выглядит как следующий класс. Неудивительно, что слово прирастает к предмету, на котором его выучили.

Обыденный язык закрепляет то, что начала школа. «Это слишком абстрактно» говорят о рассуждении, которое трудно понять и нельзя применить. «Давай конкретнее» просят, когда разговор ушёл от дела. Про абстрактную картину в музее говорят «я ничего не понимаю» тем же тоном, что и о формуле на чужой доске. В этих оборотах слиты сразу три значения: сложное, далёкое от жизни и математическое. Абстракция оказывается чем-то холодным и трудным, чем с неохотой занимаются отличники, а число — самым чистым её образцом. Мало кто, произнося слово «абстрактный», вспоминает песню, которую пел отец.

При этом интуиция, которую так укрепили школа и язык, верна. Во всех трёх случаях действительно происходит отвлечение от конкретного, а в двух из них, у лица и у башни, в нём явно участвует отношение. Учитель рисования не лжёт, когда говорит о середине головы, ребёнок не ошибается, когда говорит «вдвое». Число и пропорция — самые точные из известных нам способов удержать то, что остаётся после отвлечения, и самые переносимые: половину можно найти у лица, у башни и у пирога. Если бы понадобилось выбрать один образец абстракции, число было бы честным выбором, и пренебрегать им я не собираюсь.

Но образец — ещё не определение. Вспомним, кто в наших трёх сценах считал. Никто. Бабушка, узнавшая песню, не измеряла высоту голосов. Гость, узнавший отцовский нос, не прикладывал к фотографии линейку, и никакая линейка не помогла бы ему объяснить, почему он узнал. Даже ребёнок, говоря «вдвое», не мерил башню: он видел, что она выше настолько, что хочется сказать именно так. Число, где оно вообще появилось, пришло потом, как слово для того, что уже произошло, и пришло не ко всем. Отвлечение состоялось до того, как кто-нибудь начал считать.

Поэтому я назвал бы эту интуицию верной, но частной. Она берёт самый известный и самый точный случай абстракции и принимает его за всю абстракцию. Так человек, знающий о воде только по водопроводу, не ошибается: вода действительно течёт из крана, но дождь, море и пар над чайником в его представление не помещаются. Если отвлечение от конкретного может закончиться числом, а может — узнанной мелодией или узнанным лицом, то число указывает лишь на один из его исходов и молчит об остальных.

Я предлагаю считать эту интуицию не ответом, а отправной точкой. Она верно указывает, что абстракция существует и что это не туман, а что-то строгое и узнаваемое. Она неверно указывает, где абстракцию искать. Наши три случая, если присмотреться, уже подсказывают поправку: пропорцию у лица и «вдвое» у башни нашли задним числом, когда понадобилось назвать или объяснить увиденное, а для двух голосов в машине объяснения так и не нашлось. Отец и сын ничего не искали и не объясняли, и песня от этого не становилась ни менее той же самой, ни более математической. Они просто пели.

1.2. Абстракция вне математики: живопись, музыка, танец, архитектура

В декабре 1915 года в Петрограде, в выставочных комнатах на Марсовом поле, посетитель, войдя, мог не сразу понять, куда смотреть. Картины висели плотно, от пола почти до потолка, и одна из них помещалась высоко в углу, наискосок, там, где в крестьянской избе висит икона. Угол этот называют красным, и всякий, кто вырос в России, знает, что в нём полагается видеть. На холсте был чёрный четырёхугольник на белом поле, и больше ничего: ни лица, ни пейзажа, ни предмета, за который мог бы зацепиться взгляд. В каталоге выставки, которая называлась «Последняя футуристическая выставка картин 0,10» (читается «ноль-десять»), работа так и значилась — «Четырёхугольник». Позже её станут звать «Чёрным квадратом», хотя строгим квадратом она не является: стороны у неё не вполне равны и не вполне параллельны. Выверять их никто, похоже, не собирался.

Казимир Малевич убрал с холста всё, чем живопись веками оправдывала своё существование: сюжет, сходство, перспективу, игру света и почти весь цвет. Если отвлечение от конкретного состоит в том, чтобы отбросить лишнее, здесь его довели до края, за которым отбрасывать уже нечего. Сам художник в брошюре, изданной к той же выставке, писал о «нуле форм». Но этот нуль не пуст. На холсте осталось то, без чего не бывает никакой картины: одно отделено от другого. Есть фигура и есть фон, чёрное и белое, внутри и снаружи. Всё остальное в живописи, от яблок до закатов, надстроено над этим различением, а «Чёрный квадрат» показывает его самого, без надстройки. Числа в нём нет ни в каком смысле: ни меры, ни пропорции, ни даже честного прямого угла.

В те же годы к беспредметной живописи шли и другие, каждый со своей стороны. Василий Кандинский пришёл к ней от цвета: ещё в 1911 году он писал, что краска действует на душу прямо, как звук, минуя изображённую вещь. Пит Мондриан пришёл через дерево. Его деревья, написанные между 1908 и 1912 годами, можно разложить в ряд, и крона на глазах превращается в сеть изогнутых линий, потом в решётку коротких штрихов, пока от дерева не остаётся только ритм пересечений. В поздних нью-йоркских работах он передвигал по холсту полоски цветной клейкой бумаги, пока их расположение не начинало устраивать глаз. Решётка Мондриана похожа на чертёж, но выверял её не циркуль, а взгляд.

Живописи понадобились века и громкий скандал, чтобы отказаться от предмета. Музыке отказываться было не от чего. Большая часть того, что звучит в концертных залах, ничего не изображает, и слушатель не требует от сонаты сюжета так, как зритель требовал его от холста. Поэтому абстрактность музыки почти не замечают: для неё это не исключение, а обычное состояние. Возьмём случай, где это состояние доведено до той же крайности, что и у Малевича, но за полтора с лишним века до него.

В последнее десятилетие жизни Иоганн Себастьян Бах работал над циклом, который после его смерти, в 1751 году, издали под названием «Искусство фуги». В цикле нет слов и нет программы. Нет даже указания, для какого инструмента он написан: каждый голос записан на отдельной строке, и цикл исполняют на органе, на клавесине, струнным квартетом, камерным оркестром. Всё это огромное сооружение вырастает из одной короткой темы. Она входит в одном голосе, её подхватывает другой, её переворачивают вниз головой, растягивают, сжимают, пускают навстречу самой себе. Слушатель, даже неподготовленный, следит не за историей и не за картиной, а за судьбой этой темы: где она появилась, чем её встретили, во что она превратилась. Другого содержания у этой музыки нет, и его хватает на целый вечер.

Что здесь отвлечено? Прежде всего предмет: фуга не рассказывает о буре и не подражает птицам. Отвлечён голос конкретного певца и даже определённый тембр, потому что Бах так и не указал, будут ли это трубы органа или струны. Остаётся строгость без изображения: линии, которые сходятся, расходятся, отвечают друг другу и нигде не сталкиваются случайно. Слушатель чувствует эту строгость так, как чувствуют ровно сложенную стену, не зная правил, по которым её клали. Правила контрапункта существуют, их учат годами, но для того, чтобы следить за темой, они не нужны, и считать тоже не приходится.

У танца положение труднее. Фуга записана и может ждать исполнителя веками, а танец живёт в теле и кончается вместе с вечером, когда его исполнили. Балеты передавались из ног в ноги: педагог показывал, ученик повторял, и каждое поколение, само того не замечая, что-то меняло. «Спящую красавицу» Мариус Петипа поставил в Мариинском театре в январе 1890 года. Через несколько десятилетий от неё оставалось то, что помнили танцовщики, а помнили они уже поздние редакции, наслоившиеся одна на другую.

Однако именно в этом театре и почти в те же годы пробовали дать танцу то, что давно было у музыки. Молодой артист императорской труппы, изучавший в Париже анатомию, издал там в 1892 году систему записи движений человеческого тела и положил её на нотный стан. Ноты на разных линейках обозначали ноги, руки, корпус и голову, а их длительности показывали, сколько длится движение. На рубеже веков режиссёры труппы записали по этой системе значительную часть репертуара, в том числе «Спящую красавицу». После революции тетради уехали в эмиграцию с одним из них и в конце концов оказались в театральном собрании Гарвардского университета. В 1999 году Мариинский театр восстановил по ним спектакль 1890 года, и артисты конца двадцатого века разучивали шаги, которые знали только по нотам.