Нептун и Вулкан. Математика между открытием и вымыслом

В 628 году тридцатилетний астроном Брахмагупта, живший, по-видимому, в Бхилламале на северо-западе Индии, закончил трактат «Брахмаспхута-сиддханта», что переводят как «Исправленное учение Брахмы». Это книга о движении светил, затмениях и календаре, но в ней есть главы об арифметике и алгебре, и в них, насколько позволяют судить сохранившиеся тексты, впервые изложены правила всех четырёх действий с нулём и отрицательными числами. Числа у Брахмагупты бывают «имуществом» и «долгами» (на санскрите dhana и ṛṇa), и правила звучат как наставление счетоводу. Долг минус ноль — долг. Имущество минус ноль — имущество. Ноль минус ноль — ноль. Долг, отнятый от нуля, становится имуществом, а имущество, отнятое от нуля, долгом. Произведение или частное двух долгов — имущество, произведение или частное долга и имущества — долг. Не всё здесь выдержало позднейшую проверку: там, где речь заходит о делении на ноль, Брахмагупта даёт ответы, которые математика потом отвергла. Но правила знаков, изложенные в VII веке, в школе учат до сих пор.

Здесь абстракция снова растёт из бухгалтерии. Храмовый склад Урука уже записывал, кто кому и сколько должен отдать, но долг оставался там пометой при числе: столько-то зерна за таким-то работником. У Брахмагупты долг сам становится числом, над которым можно действовать. Показать его пальцем нельзя: нет вещи, на которую можно указать, есть только недостача, обязательство, запись. Зато записать его можно, и учёт давно знал, как с такой записью обращаться. Что долг, прибавленный к долгу, даёт долг больший, а прощённый долг равен подарку, всякий должник проверял на себе задолго до того, как это стало правилом знаков. Непоказуемое получило смысл тем же путём, каким почти за четыре тысячи лет до того его получило отдельное «пять»: через запись в учёте. Даже ноль по-санскритски назывался «пустым» (śūnya): не ничто вообще, а пустое место, которое надо где-то отметить.

Второй сюжет переносит нас во Флоренцию. Цифры, пришедшие из той же Индии через арабских математиков, к концу XIII века были в Италии уже не новостью: за столетие до того сын пизанского купца издал «Книгу абака», учебник счёта для торговцев (Леонардо Пизанский, известный как Фибоначчи, 1202 год), и в итальянских городах появились школы, где будущих купцов учили считать новыми знаками.

В 1299 году устав флорентийского цеха менял и банкиров, Arte del Cambio («Цех обмена»), запрещает его членам записывать суммы в торговых книгах «способом или письмом абака». Писать следовало «открыто и полностью, буквами» (в латинском тексте — «per modum vel licteram abbachi» и «aperte et extense… per licteram»; устав издан Дж. Камерани Марри в 1955 году). Причину устав не называет (на это обращает внимание историк К. Ф. Э. Нотхафт в статье 2020 года). Обычно её видят в опасении подлога: новые цифры якобы легче подделать, ноль нетрудно дописать до шестёрки или девятки, к единице приставить ещё один знак. Предосторожность оказалась долговечной: на банковском чеке сумму до сих пор пишут и цифрами, и прописью.

Здесь сопротивление устроено иначе, чем в теле. Запрет не касался счёта, он касался книги. Цех не утверждал, что новыми знаками неудобно считать или что их невозможно понять: ему мешало, что торговая книга — не черновик, а документ. По ней решали споры, взыскивали долги, её предъявляли в цеховом суде, и всякая перемена в способе записи становилась переменой в правилах доверия. Это сопротивление коду по институциональным, а не когнитивным причинам. Код уже существует, его преподают и им пользуются, но его не пускают туда, где запись превращается в обязательство. На табличках Урука отдельный знак числа прижился отчасти потому, что с ним запись становилась короче. Флорентийский цех требует обратного: вместо короткой записи длинную, словами, лишь бы её труднее было исправить.

Третий сюжет разыгрывается внутри самой математики. В 1544 году в Нюрнберге выходит «Arithmetica integra» («Полная арифметика») Михаэля Штифеля, одно из самых основательных руководств по арифметике и алгебре в Европе того века (её напечатал Иоганн Петрей). Штифель не противник нового: книга напечатана новыми цифрами, в ней много алгебры, он сопоставляет ряды, в которых числа растут прибавлением и умножением, и это сопоставление потом назовут подступом к логарифмам. Отрицательные числа он тоже не обходит молчанием. Однако имя он им даёт недвусмысленное: numeri absurdi, «абсурдные числа». Возникают они, по его объяснению, когда настоящее число отнимают от ничего, и сами оказываются вымышленными, лежащими ниже ничто (numeri ficti infra nihil). Человек, который умеет с ними обращаться, отказывает им в полноправии.

Если поставить три даты рядом, они сами скажут, что значит «мучительно поздно». В 628 году правила действий с долгом и нулём записаны в Индии. В 1299 году цифры, пришедшие из той же Индии, не пускают в торговые книги Флоренции. В 1544 году европейский математик, который свободно пишет этими цифрами, называет отрицательные числа абсурдными. Между первой датой и последней больше девятисот лет, и всё это время код, уже записанный и объяснённый, существовал на правах подозрительного гостя.

Объяснение складывается из двух причин, и называть их нужно вместе: телесная неинтуитивность плюс институциональная инерция — причина задержки. Первая действует в воображении. Число, выросшее из пальцев и фишек, привыкло быть количеством чего-то, и «ничего» или «меньше ничего» не находят в этой привычке места; штифелевское «абсурдные» — её голос, и он звучит у того, кто владеет предметом. Вторая действует в правилах. Флорентийский сюжет служит противовесом первой: менялам не нужно было ничего воображать, их стесняло не тело, а устав. Одной телесной неинтуитивностью задержку не объяснить: трудное для воображения осваивают за поколение. Надолго задерживает то, что вокруг старой записи уже выстроены доверие, суд и навык.

Формулу стоит проверить на прочность. Можно возразить, что её половины плохо сходятся с фактами. Телесная неинтуитивность не мешала торговым рукам: новыми знаками считали в школах абака и на черновиках ещё тогда, когда в книги их не допускали. А институциональная инерция не остановила код, а только задержала его: запрет касался одного цеха, и всё же новые цифры стали преобладать в европейском письме лишь около 1500 года. Возражение справедливо и сужает формулу: она объясняет задержку, а не отказ. Есть и предел тоньше. Итальянский купец вёл счёт в две стороны, «дать» и «иметь», и долг жил у него не числом меньше нуля, а записью в другой графе. Учёт, который у Брахмагупты дал отрицательному числу смысл, в Европе позволял без него обходиться: нужду закрывал другой код. Инерция держится не только на уставе, но и на удобстве того, что уже работает.

Практическая нужда, оторвавшая число от вещи, работает в обе стороны: она рождает новый код, и она же его держит. Во Флоренции тормозят не философы, а менялы и банкиры, люди того же ремесла учёта, из которого на складах Урука родилось абстрактное число, и причина у них тоже практическая: подлог, доверие, суд. Институциональная инерция — это инерция той же практики. Те же руки, что вырастили код, придерживают его, и по тем же соображениям пользы.

Абстрактное число начиналось с того, что можно было взять в руку: одна фишка — одна мера зерна. Ноль и долг нельзя ни взять в руку, ни показать пальцем. Ноль — пустое место, на которое палец мог бы указать только как на отсутствие. Долг — обязательство, у которого нет тела. Путь от фишки к долгу и есть отрыв числа от вещи, пройденный до конца: от глины, в которой количество было растворено, к записи, за которой вещи нет совсем.

Число оторвалось от вещи, но не от практики. Его по-прежнему сверяют с учётом, с землёй и верёвкой, с торговой книгой: рецепт для круглого поля верен, если казна получила своё зерно, правило долга верно, если сошлись счета. Сопротивление, которое ему пришлось преодолеть, тоже шло извне, от тела и от институтов. Код, который проверяют землёй и верёвкой, ещё не проверяет себя сам, и потому главный вопрос о нём пока не задан: сходится ли он сам с собой, когда рядом нет ни поля, ни должника. Этот вопрос возникает лишь у кода, оторванного уже не от вещи, а от самой практики, и тогда сопротивление может прийти не извне, а изнутри.

Глава 6. Книга природы

Инструмент редко замечают, пока он работает. Ещё труднее заметить минуту, когда его перестают считать инструментом. Код, выросший из счёта на пальцах, зарубок, верёвки землемера и складских табличек, однажды объявили не способом записывать мир, а тем, из чего мир сделан. Это не только позиция, которую философ волен принять или отвергнуть. Это событие, у него есть места, имена и даты, и его можно рассказать как историю.

Странность этой истории в том, что код ещё только объявляли устройством мира, а он уже не сходился сам с собой. Люди научились проверять его, не выходя за его пределы, и в то же время видели, как один и тот же код срабатывает там, где, казалось бы, нет ничего общего. Из этих совпадений и вырос образ мира как книги, написанной на языке математики. Книгу может читать тот, кто знает её алфавит, — и образ умалчивает о том, кто этот алфавит составил.

6.1. Монохорд: когда звук стал числом — и число не сошлось само с собой

Представим узкий деревянный ящик, над которым натянута одна струна, закреплённая на обоих концах. Под струной стоит подставка, её можно передвигать, и она делит струну на две части: звучит та, которую тронули. Проведём пальцем по всей струне — она даёт ровный низкий тон. Теперь поставим подставку точно посередине и тронем половину. Звук стал выше, но слух упрямо твердит, что это тот же самый звук, только поднятый. Так звучат мужчина и ребёнок, поющие одну песню на разной высоте, — с этой пары начинался разговор об абстракции, и тогда она была загадкой без чисел. Здесь у загадки появляется число: вся струна относится к своей половине как два к одному. Это октава. Никакого особого слуха для этого опыта не нужно: его повторит любой, у кого найдутся доска, два гвоздя, натянутая нить и что-нибудь, что можно под неё подложить.

Подвинем подставку так, чтобы звучали две трети струны. Новый звук не совпадает с исходным, но и не спорит с ним: сыгранные вместе, они сливаются, и ухо слышит в них согласие. Это квинта, и длины относятся как три к двум. Отодвинем подставку ещё, пусть звучат три четверти, — снова согласие, чуть более сдержанное: кварта, четыре к трём. Можно ставить подставку куда угодно, и в большинстве положений два звука будут тереться друг о друга, биться, и в этом слышно напряжение. Те созвучия, которые древнее ухо считало совершенными, лежат там, где длины относятся как самые маленькие целые числа. Октаве, квинте и кварте хватает первых четырёх чисел: одного, двух, трёх и четырёх. Если разметить струну на двенадцать равных делений, всё становится видно на линейке: октава звучит на шести делениях, квинта на восьми, кварта на девяти.

Этот прибор называется монохордом, «однострунником», и античная традиция связывает открытие его отношений с Пифагором и его учениками (рассказы об открытии дошли в изложениях поздних авторов и в деталях легендарны; сам прибор описан в греческих трактатах о гармонике, где его часто называют «каноном»). Здесь мне важно не имя, а то, что случилось с числом. До сих пор оно отвечало на вопрос «сколько»: считало овец и мешки зерна, мерило поля, записывало долги. На струне оно отвечает на совсем другой вопрос — хорошо ли два звука звучат вместе. Созвучие — чувственное качество, как вкус или цвет; его слышат раньше всякого счёта, и ребёнок отличает чистую октаву от фальшивой, не зная ни одного числа. И всё же ответ, который даёт ухо, даёт и число. Впервые чувственное качество оказывается заданным числом.

Сама струна при этом ничего не решает. Возьмём другую — толще или тоньше, из жильной нити или из бронзы, натянутую слабее или туже. Исходный тон изменится, но половина снова даст октаву, а две трети — квинту. Держится не звук и не материал, а отношение длин. Поэтому число — не свойство одной вещи, вроде веса или цвета этой струны, а правило, которое без потерь переходит со струны на струну. Созвучие перестаёт быть капризом слуха или мастерством одного музыканта: его можно заранее отметить на дереве и воспроизвести где угодно.

Музыка и число — один код. То, что мелодия держится на отношениях, а не на отдельных звуках, здесь получает меру: отношения можно отложить на линейке. Из опыта со струной само собой напрашивается обобщение. Если даже то, что ухо принимает за красоту, оказывается числом, то где кончается власть числа и почему бы ей не простираться на движение светил, на устройство тела, на всё? Формулу «всё есть число», которую приписывают пифагорейцам, обычно пересказывают как учение закрытого братства с его запретами и мистикой. Я предлагаю прочитать её проще — как вывод, к которому легко прийти, проведя вечер у этой струны. Код, выросший из счёта, впервые заявляет, что он не мерит мир, а составляет его.

Теперь перейдём от слуха к зрению и начертим квадрат. Его сторона и диагональ — два отрезка, и если всё есть число, они должны относиться друг к другу как два целых числа, подобно частям струны. Это значит, что найдётся маленькая мерка, которая уложится целое число раз и в сторону, и в диагональ. Для струны такую мерку найти легко: треть длины укладывается три раза во всю струну и два раза в две трети. Для квадрата её нет. Попробуем десятую долю стороны, тысячную, миллионную: сторона делится нацело, а диагональ всякий раз оставляет остаток, и он не исчезает, как бы мелко мы ни дробили. Это не погрешность чертежа и не нехватка терпения. Греки доказали это строго. Диагональ квадрата несоизмерима со стороной: её нельзя выразить отношением целых чисел.

Удар приходится не по краю учения, а по самой его середине. В этом коде нет других чисел, кроме целых и их отношений, и диагональ записать нечем. Код, объявленный устройством мира, не покрывает простейшую фигуру — ту, что чертит на доске любой плотник. При этом ни одна из сторон не ошибается: целые числа прекрасно работают на струне, квадрат нарисован и никуда не делся. Они просто не сходятся. Назовём такое место швом: это место, где части кода, каждая исправная сама по себе, не сшиваются друг с другом. Греческий язык отметил удар по-своему: слово «алогос», которым стали называть такие величины, значило и «не имеющий отношения», и «неразумный».

По преданию, человек, открывший или разгласивший эту тайну, Гиппас из Метапонта, погиб в море, и одни рассказчики видели в этом кару богов, а пересказчики нового времени — расправу братства. Это легенда, и легенда поздняя: её записали через много веков после событий, и версии расходятся даже в том, что именно он выдал (рассказ известен прежде всего по Ямвлиху, писавшему на рубеже III—IV веков нашей эры: в одних версиях виновный гибнет в море, в других его изгоняют из братства, в некоторых речь идёт не о несоизмеримости, а о додекаэдре). Верить ей буквально незачем. Но одно она сохранила: открытие запомнилось не как ещё одна теорема, а как угроза всему зданию.

Конец ознакомительного фрагмента.

Текст предоставлен ООО «Литрес».

Прочитайте эту книгу целиком, купив полную легальную версию на Литрес.

Безопасно оплатить книгу можно банковской картой Visa, MasterCard, Maestro, со счета мобильного телефона, с платежного терминала, в салоне МТС или Связной, через PayPal, WebMoney, Яндекс.Деньги, QIWI Кошелек, бонусными картами или другим удобным Вам способом.