Нептун и Вулкан. Математика между открытием и вымыслом
- -
- 100%
- +
Стоит разобрать, что именно сделала запись. Она отбросила танцовщицу: её рост, вес, лицо, усталость в тот вечер, манеру держать голову. Она сохранила то, что способна исполнить другая танцовщица: какая нога, куда, в каком порядке, одновременно ли с рукой. Тело было переведено в знак, и знак оказался долговечнее тела. Такую запись естественно назвать кодом: движение закреплено в носителе, который переживает исполнителя и который может прочитать кто-то другой. Числа в ней нет, если не считать номеров страниц. Всесильной запись не была. Руки и манеру она фиксирует скупо, многое приходилось восполнять по фотографиям и догадкам, и о том, насколько восстановленный спектакль совпадает с премьерой, специалисты спорят до сих пор. Но и сам этот спор возможен лишь потому, что есть с чем сверять.
С архитектурой можно проделать опыт, не выходя из воображения. Допустим, мы поднялись на Акрополь и идём вдоль колоннады Парфенона, построенного в середине V века до нашей эры. Храм кажется образцом прямоты: ровное основание, отвесные колонны, строгая линия карниза. Ощущение покоя возникает сразу, до всякой мысли, и не отпускает, пока идёшь вдоль стены. Между тем прямых линий здесь почти нет. Основание, на котором стоят колонны, слегка выгнуто вверх к середине каждой стороны. Колонны чуть наклонены внутрь, их стволы сужаются кверху не по прямой, а с едва заметной выпуклостью, угловые колонны массивнее остальных. Подъём основания так мал, что с земли его почти не разглядеть, а наклон колонн — без отвеса. Ничего этого глаз не замечает, и именно в этом замысел. Зато тело замечает другое: шаг сам собой становится размеренным, колонны задают ему ритм, и идущий подстраивается под этот ритм, хотя никто его не объявлял.
Римский архитектор, писавший о греческих храмах спустя четыре века, объяснял эти отклонения тем, что длинная горизонталь кажется глазу провисшей, а угловая колонна, которую со всех сторон обступает воздух, — тоньше остальных. Строители исправляли не камень, а впечатление: гнули линию, чтобы человек увидел прямую. Нынешние исследователи спорят, только ли в этом дело, но ради нашего вопроса спор можно оставить открытым. Кривизну Парфенона по-настоящему измерили лишь в 1830—1840-е годы, когда храм взялись обмерять европейские архитекторы. Больше двух тысяч лет люди поднимались к нему, проходили вдоль колоннады и чувствовали его равновесие всем телом, не подозревая, на чём оно держится. Никто из них этих отклонений не вычислял, и знание о них, когда оно наконец появилось, самого переживания не изменило.
Здесь напрашивается возражение, и оно не из слабых. Художники, отказавшиеся от предмета, не были наивны: Малевич сопровождал свои холсты брошюрами, Кандинский написал целый трактат, Мондриан годами излагал теорию своей решётки. У Баха любители тайнописи находят числовую символику, хотя насколько она там есть, судить трудно. А строители Парфенона, чтобы выгнуть основание храма, должны были рассчитать каждый блок, иначе камни не сошлись бы. Выходит, что за каждым моим примером всё-таки стоят теория и счёт, только за сценой, и абстракция без чисел оказывается абстракцией, у которой числа спрятаны.
Отчасти это так, и я не стану делать вид, будто искусство рождается из одного чувства. Но возражение говорит о том, как вещь сделана, а тезис — о том, от чего в ней отвлеклись и что осталось. Теории художников написаны словами, и расчётов в них нет: Кандинский рассуждает о звучании цвета, Малевич — о нуле форм, и зритель, не читавший ни строчки, всё равно видит фигуру на фоне. Расчёт строителей Парфенона остался в мастерской и служил глазу: число было инструментом каменотёса, а не содержанием того, что переживает идущий вдоль колоннады. Если у Баха и есть тайные числа, слушатель их не слышит, и фугу он слушает не ради них. Возражение не отменяет тезиса, а уточняет его: абстракция может опираться на счёт в ремесле, но не обязана оканчиваться числом.
Поставим четыре случая рядом. В каждом повторяется движение, уже знакомое по песне в машине и по старой фотографии: конкретное отбрасывается, а нечто сохраняется и узнаётся. Только на этот раз число не стоит в конце ни одного из них. В живописи это граница между фигурой и фоном, в фуге — путь одной темы через голоса, в балете — запись, по которой чужое тело находит чужие шаги, в храме — прямота, которую ощущают, не измеряя. Интуиция, связавшая абстракцию с числом и пропорцией, выросла на верном, но частном случае. Абстракция живёт и там, где никто не считал, и строгости в ней от этого не меньше.
Если спросить, что объединяет эти случаи, придётся смотреть не на материал, а на то, что с ним сделали. Малевич довёл живопись до различения, ниже которого она перестаёт быть живописью. Запись балета показала, что движение можно закрепить в знаке и передать тому, кто его никогда не видел. Похоже, ни в краске, ни в звуке, ни в теле, ни в камне абстракция не лежала готовой. Её каждый раз приходилось добывать: отбрасывать, отделять, записывать, выкладывать в камне так, чтобы её можно было узнать снова. Число оказалось не корнем абстракции, а одной из её ветвей.
1.3. Рабочая гипотеза: абстракция как акт различения, а не как объект
На мокром песке у самой кромки воды девочка лет пяти ведёт палкой неровную замкнутую линию, больше похожую на картофелину, чем на круг, и объявляет: «Это мой дом». Младшему брату велено стучаться, прежде чем войти. Брат, разумеется, не стучится, а перешагивает черту, и начинается спор, в котором обе стороны совершенно серьёзны. Посмотрим, что здесь, собственно, произошло. Песок внутри линии тот же, что снаружи: те же песчинки, та же влажность, те же отпечатки босых ног. Палка ничего не прибавила к пляжу и ничего от него не отняла, если не считать бороздки глубиной в палец. И всё же пляж стал другим. В нём появились «внутри» и «снаружи», «войти» и «выйти», появилось правило, которое можно нарушить и из-за которого можно всерьёз обидеться.
Через полчаса набежит волна, и дома не станет. Никто его не разрушит: просто сотрётся черта, которая его отделяла, и песок снова станет песком. В этой сцене есть всё, что встречалось нам в выставочных комнатах 1915 года и в балетных тетрадях, только в масштабе детской игры. Где был дом до того, как девочка взяла палку? Ответ «нигде» звучит грубо, но другого у меня нет. Дом не лежал в песке, дожидаясь, пока его обведут, так же как фигура не лежала в холсте, пока Малевич не отделил чёрное от белого. Он появился в тот момент, когда сплошное поделили надвое, и существует ровно столько, сколько держится деление.
Отсюда рабочая гипотеза книги, и я сформулирую её сразу, чтобы дальше было что проверять. Абстракция — это операция отвлечения от конкретного ради структуры: от песка отвлеклись, чтобы получить «внутри» и «снаружи», от танцовщицы — чтобы получить порядок шагов. Операция, а не объект — и от этой перестановки меняются сами вопросы. Об объекте спрашивают, где он лежит и из чего сделан, и на эти вопросы у абстракции ответа никогда не находилось. О действии спрашивают другое: кто его совершает, в чём оно закреплено и насколько надёжно держится, а на это ответить уже можно.
Для того, что при этом совершают, слово у нас уже есть, и теперь его пора закрепить. Различением я буду называть действие, которым сплошное делят на «это» и «не это» так, чтобы деление можно было найти снова. Тогда гипотеза звучит так: абстракция — акт различения, а не сущность, ждущая формы; вне кода ей нечего кодировать.
Вторая половина этой фразы весит больше первой, и ради неё придётся определить ещё одно слово. Различению нужна опора, иначе оно пропадает, едва проведённое. Черта на пляже живёт в песке до первой волны. Край чёрного и белого у Малевича держится в краске, которой больше ста лет. Запись «Спящей красавицы» хранилась в тетрадях, переплывших океан. Но не всякий носитель лежит снаружи. Когда отец и сын пели в машине, тождество двух голосов удерживала не бумага, а нервная система слушателей. Ноги танцовщицы помнят шаги, которых она не смогла бы описать словами. Одна черта ещё не код; код начинается там, где различения связаны между собой и опираются друг на друга, как «внутри», «снаружи», «войти» и «постучать» в игре на песке. Поэтому определение кода будет таким: система различений, закреплённая в каком-либо носителе — нейронном, телесном или культурном.
Нейронный носитель стоит в этом определении не для полноты. Глаз отделяет фигуру от фона раньше, чем человек находит для неё слово, и отрицать, что это различение где-то закреплено, было бы странно. Младенец узнаёт лицо матери среди чужих лиц задолго до первого слова: он уже отвлёкся от освещения, поворота головы и выражения и удерживает то, что остаётся. Если бы определение знало один культурный носитель, пришлось бы сказать, что младенец ничего не различает, а это явная неправда. Как именно нервная система удерживает свои различения, — вопрос других наук, и уходить в него мы не станем: нам достаточно того, что она их удерживает. С этого места слова «код» и «различение» означают только то, что сказано выше.
Теперь я должен признаться в слабости, которую легко проглядеть именно потому, что определение вышло удобным. Если кодом называется любая система различений, удержанная хоть в нервах, хоть в теле, хоть в книге, а абстракция и есть различение, то тезис «нет абстракции без кода» следует почти из самих слов. Опровергнуть его нечем. Найдётся абстракция без культуры — назовём её нейронным кодом; найдётся без нервов — телесным. Любой пример, который мог бы тезис поколебать, он заранее поглощает. А утверждение, которое не может оказаться неверным, ничего не сообщает о мире: оно лишь договаривается о том, как употреблять слова. Отказываться от широкого тезиса я при этом не стану: он задаёт язык, на котором удобно говорить и о песке, и о фуге, и о нервах. Но язык ещё не утверждение, и спорить с ним так же бессмысленно, как спорить с таблицей мер.
Поэтому книга будет проверять не широкий тезис, а его узкую версию, которая вполне может не выдержать: точные абстракции — число, фигура, нотация — существуют только как культурные коды. Точность здесь означает простую вещь. Не «много», а ровно семнадцать. Не «что-то круглое», как дом на песке, а круг, все точки которого одинаково удалены от центра. Не «примерно такое движение», а знак на нотном стане, по которому танцовщица, родившаяся почти через век после премьеры, выполнит то же движение. Узкая версия утверждает, что такая точность не вырастает сама ни в нервах, ни в мышцах: её нужно изобрести, записать, выучить и передать. Башня «вдвое выше» из детского спора обходилась без всякой мерки; точное «вдвое» начинается там, где у башни появляется линейка, а у линейки — деления, о которых люди договорились. Опровергнуть это можно, и в этом ценность узкой версии. Достаточно показать точную абстракцию, которую держат одни нервы, без всякого знака, придуманного людьми.
Сам ход мысли, начинающий с различения, а не с вещи, придуман не для этой книги. В 1969 году английский математик Джордж Спенсер-Браун выпустил небольшую книгу «Законы формы». Её первое построение начинается с команды, которую после пляжа трудно не узнать: «Проведи различие» (в оригинале Draw a distinction). По собственному рассказу автора, толчком к ней послужила вполне земная работа: на рубеже пятидесятых и шестидесятых годов он как инженер занимался переключательными схемами для британских железных дорог. Отвлечённое исчисление выросло из задачи, в которой ток либо идёт, либо не идёт.
Кроме самой идеи различения, автор не берёт ничего готового: ни чисел, ни предметов, ни логики. Он вводит один знак, обозначающий черту и переход через неё, и два правила. Назвать одно и то же дважды — всё равно что назвать однажды. Пересечь черту дважды — всё равно что не пересекать её вовсе: брат, шагнувший в песчаный дом и тут же вышедший, стоит там же, где стоял. Из этих двух правил Спенсер-Браун выводит целое исчисление, которое можно прочитать как обычную алгебру логики, со всеми её «и», «или» и «не».
Существенна здесь не техника исчисления, а порядок, в котором оно построено. У Спенсер-Брауна различение не свойство мира, которое мы замечаем, а первое действие, до которого говорить не о чем: предмет, знак, истина и ложь появляются потом, как следствия проведённой черты. Нельзя указать на что-либо, не отделив его от всего остального. Тезис этой книги стоит в той же линии (Спенсер-Браун в ней не одинок: почти одновременно с ним к тому же порядку, только с другой стороны, от теории информации, пришёл антрополог Грегори Бейтсон, назвавший в «Экологии разума» элементарную единицу информации «различием, создающим различие»), но берёт из неё только порядок, без знаков и правил «Законов формы», и кое-что добавляет от себя: то, что Спенсер-Брауна почти не занимало. Его команда обращена к кому угодно, но исполнить её можно лишь в чём-то: в песке, в нервах, в нотной тетради, и черта, которую не удержал никакой носитель, исчезает вместе с жестом, которым её провели.
Теперь вопрос можно поставить прямо: что такое абстракция, если не число? Число при этом никуда не исчезает, оно лишь меняет место. Интуиция, с которой всё началось, была верной: число действительно абстракция, и самая точная из известных. Но оно не синоним абстракции, а один из её точных случаев, и потому гипотеза, уведя разговор от числа к песку, краске и шагам, к числу же и возвращается. Узкая версия касается точных абстракций, и число среди них первое. Там, где абстракцию легче всего принять за готовый предмет, лежащий в мире, её и придётся проверять: из всех различений число меньше всего похоже на сделанное и больше всего — на найденное. А на сам вопрос отвечает смена части речи: абстракция — не существительное, а глагол.
Лёгкой эта проверка не будет, потому что у гипотезы есть противник, и противник сильный. Похоже, что человек схватывает количество ещё до слов и до всякого обучения счёту, как если бы какое-то чувство числа было дано нам вместе со зрением. Если так, то число, к которому гипотеза только что вернулась, уходит корнями туда, где никакого культурного кода ещё нет, и узкая версия получает удар ровно в ту точку, которую сама выбрала для проверки. Отмахнуться от этого нельзя: тезис, назначивший себе поле испытания, обязан встретить на нём и сильнейшего противника. Прежде чем гипотеза сделает следующий шаг, чувству числа нужно дать слово и выслушать его всерьёз, не заготовив ответа заранее.
Глава 2. Культурные коды как носители абстракции
Слово «носитель» звучит скучно, почти по-канцелярски: носитель информации, носитель языка. Но в нём спрятан весь вопрос о том, где живёт абстракция. Если она — действие различения, то это действие должно где-то совершаться и на чём-то держаться: на нейронах, на теле, на слове, на рисунке, на рассказе. Код и есть различение, у которого появился носитель. И сразу вырастает сомнение, которое стоит принять всерьёз: бывает ли различение, которое ещё ни на чём не держится, — смысл, уже готовый, но пока ни во что не облечённый? Культура на первый взгляд отвечает без колебаний, потому что сама состоит из носителей: всё, что она знает об опыте, уложено в слова, образы и рассказы, и даже наука, как бы далеко она ни ушла от мифа, хранит знание в кодах, а не где-то рядом с ними. С числом всё сложнее. Приблизительное чувство количества есть и у тех, кого никакая культура ему не учила.
2.1. Кодирование против абстракции: есть ли смысл без формы
Это ощущение знакомо каждому. Фамилия актёра из старого фильма, название улицы, где прошло детство, слово для оттенка, который только что видел: оно где-то совсем рядом, почти на губах, и не даётся. При этом мы вовсе не в пустоте. Мы точно знаем, что ищем, и уверенно отбрасываем подсказки: не то, и это не то. Иногда в голову настойчиво лезет чужое слово, похожее по звуку, и мешает, как посторонний, вставший в дверях. Потом, через минуту или через час, когда мы думаем о другом, слово приходит само, и вместе с ним — короткое, почти телесное облегчение. По-русски говорят, что слово вертится на языке; в большинстве языков, где это выражение сравнивали, то же состояние описывают через тот же образ: язык или его кончик, реже рот или горло.
Состояние это изучали долго и тщательно. Оно знакомо большинству взрослых; по собственным подсчётам участников дневниковых наблюдений, оно случается примерно раз в неделю и с возрастом учащается. Самое интересное здесь — то, что человек знает об отсутствующем слове. Если попросить его назвать хоть что-нибудь, он часто правильно угадывает первую букву, число слогов, ритм; говорящие на языках с грамматическим родом нередко могут сказать, какого рода ускользнувшее существительное. Слова нет, а сведения о нём есть. Так мелкое неудобство ставит вопрос, от которого трудно отделаться. Что держит в голове человек, который знает, что хочет сказать, но не может: смысл, существующий без формы, или форму, только неполную?
Первый ответ кажется очевидным, и я предлагаю выслушать его всерьёз, потому что он опирается не на метафизику, а на тот же самый опыт. Смысл существует раньше слова; слово — лишь одежда, в которую смысл облекается, чтобы выйти к другим. Эту позицию называют платонической: идея есть до записи, запись может оказаться удачной или неудачной, но саму идею она не создаёт. В состоянии «вертится на языке» платоническая позиция видит почти лабораторный случай: смысл уже присутствует, а форма запаздывает. У этой позиции по меньшей мере четыре довода, и ни один из них не выглядит натяжкой.
Первый довод — сам поиск. Искать можно только то, что уже как-то дано. Человек, у которого слово вертится на языке, не перебирает словарь наугад. Он отвергает кандидатов с полной уверенностью, хотя правильного ответа у него нет, а значит, в нём есть мерка, по которой ложные слова отсеиваются, — и эта мерка сама не слово. Второй довод — узнавание. Когда нужное слово наконец приходит, его не приходится проверять: оно узнаётся сразу и целиком, с чувством, будто сошлись два края разорванного листа. А узнать, по-видимому, можно лишь то, что уже знал. Если бы смысл складывался только в ту минуту, когда найдена форма, этой мгновенной уверенности неоткуда было бы взяться.
Третий довод даёт перевод. Одну и ту же мысль можно высказать по-русски, по-французски и по-японски, и хороший переводчик скажет, что переводит не слова, а то, что за ними стоит. Он читает фразу, понимает её и только потом начинает искать, как сказать то же самое на своём языке, иногда подолгу, а иногда так и не находя. Его работа — то же «вертится на языке», растянутое на целые страницы. Если мысль способна перейти из одного языка в другой и остаться собой, естественно думать, что она не принадлежит ни одному из них.
Четвёртый довод самый хрупкий, и подавать его нужно осторожно. Мысль, по-видимому, возможна там, где речи нет. Неврологи описывают людей, которые после инсульта почти полностью потеряли способность говорить и понимать сказанное, но при этом решают логические головоломки, находят дорогу в незнакомом месте, понимают, чего от них хотят другие. Что именно у них сохраняется, спорят до сих пор, и делать здесь окончательные выводы рано. Платонической позиции, однако, достаточно и этого: если думать можно без слов, то слова мысль не создают, а только сообщают. Вместе четыре довода складываются в картину, от которой трудно отмахнуться: смысл предшествует форме, а мучительное «вертится на языке» — просто зазор между ними.
Вторая позиция читает тот же опыт иначе и, как мне кажется, внимательнее. Посмотрим ещё раз, что именно знает человек, у которого слово вертится на языке. Первую букву. Число слогов. Ритм. Грамматический род. Всё это не смысл, освободившийся от формы, а обрывки самой формы: звуковой, ритмической, грамматической. Даже неправильные слова, которые лезут в голову, приходят не откуда попало, а из ближайшего окружения искомого: они похожи на него звучанием или стоят рядом по значению. Выходит, мы держим не бесплотный смысл, а место в системе, очерченное со всех сторон, где не хватает одного различения. Мерка, которой отбраковываются ложные кандидаты, — это и есть контур этого места: форма уже есть, только неполная.
Второй довод этой позиции — то, как по-разному языки делят мир. Русский различает синий и голубой как два отдельных цвета, английский обходится одним словом blue («синий», он же «голубой») и при нужде прибавляет «светлый» или «тёмный», а во многих языках одно слово покрывает и синий, и зелёный. Спектр один и тот же, глаз устроен одинаково, а граница проходит в разных местах. Русскому голубому в английском просто не отведено собственного места. Значение слова «синий» определяется не только тем, что оно называет, но и тем, какие у него соседи: уберите голубой, и синий сразу станет шире. Если бы смыслы существовали до языков в готовом виде, языки расходились бы в словах, но не в границах.
Эту мысль в начале прошлого века отчётливее других сформулировал швейцарский лингвист Фердинанд де Соссюр. Его «Курс общей лингвистики» ученики издали в 1916 году, посмертно, по записям женевских лекций. Главная идея книги в том, что в языке нет ничего, кроме различий: значение слова — это его место среди других слов, а не ярлык, приклеенный к заранее готовой вещи. Соссюр сам приводил пример с французским словом mouton («баран»): оно обозначает и живое животное, и мясо на столе, тогда как в английском эти значения разведены между sheep («овца») и mutton («баранина»). Слова вроде бы переводят друг друга, но значат разное, потому что соседи у них разные. Ещё он сравнивал язык с шахматами: потерянного коня можно заменить любым предметом, и игра не изменится, если новая фигура ходит как конь и отличается от остальных фигур. Значение фигуры задано её отличиями от других фигур, а не материалом, из которого она сделана.
Теперь можно вернуться к доводам первой позиции и не отбросить их, а перечитать. Поиск действительно предполагает, что искомое уже есть, но есть как очерченное место, а не как смысл без формы. Узнавание мгновенно потому, что найденное слово точно встаёт в контур, который мы держали, — так ключ узнают по замку. Перевод удаётся, но никогда не обходится без потерь и добавлений: переводчику с русского на английский придётся решить, что делать с различием синего и голубого, и любое решение что-то сдвинет. А мысль у человека, потерявшего речь, говорит против слов, но не против кода вообще: различения могут держаться и в другом носителе — в образе, в движении, в памяти о пройденном пути.
Сторонник первой позиции указывает на смысл, существующий до всякой формы. Но чтобы на него указать, ему приходится этот смысл от чего-то отличить: от соседнего смысла, от того, что им не является, «то» от «не того». Различение же, закреплённое хотя бы в памяти, и есть код. Попытка помыслить абстракцию уже оказывается актом кодирования; предъявить смысл до формы можно только средствами формы. Парадоксом это кажется, пока мы представляем код упаковкой для готового содержимого. Если же код — сама система различений, закреплённая в носителе, то вопрос о смысле, существующем до кода, теряет свой предмет: такой смысл нельзя ни предъявить, ни даже отличить от другого.
Поэтому я встаю на сторону второй позиции — структуралистской, как её называют по традиции, выросшей из идей Соссюра, — с двумя оговорками, которые важнее самого выбора. Первая: речь идёт о значении вообще — о словах, образах, жестах, о том, как культура делит мир на отдельные вещи. Вторая: это рабочая гипотеза, а не приговор. Она лучше объясняет, что человек знает о потерянном слове, почему языки расходятся не только в словах, но и в границах и почему перевод никогда не бывает прозрачным. Окончательно она платоническую позицию не опровергает, а лишь показывает, что для слов и образов можно обойтись без смысла, ждущего своей формы.
Есть область, где этот выбор даётся гораздо труднее. В математике доводы первой позиции звучат не как тонкие наблюдения за собой, а в полную силу. Найденное там не похоже на слово, которое вполне могло оказаться другим: оно ведёт себя так, будто его не сделали, а обнаружили, и никакая перестановка соседей его не сдвигает. Голубому может не найтись места в чужом языке, но культуру, где верное доказательство приводило бы к другому результату, вообразить куда труднее. Здесь структуралистский ответ не работает сам собой, его пришлось бы заслужить заново, и выслушать противника нужно так же внимательно, как в разговоре о словах.