Нептун и Вулкан. Математика между открытием и вымыслом

Счёт старше числа: задолго до всякого понятия он был движением руки, касанием, насечкой на дереве или кости. Число в этом возрасте не мыслят, а делают. Его показывают на собственном теле, оставляют меткой на внешнем предмете, отсчитывают по лунам, и уже тогда выясняется, что сделанным числом кто-то распоряжается. Кто ведёт счёт месяцев, тот знает, когда сеять, когда праздновать и когда нести подать; кто в счёте ошибся, того поправляет небо. Жест и метка кажутся слишком малым началом для самого успешного из культурных кодов. Но всё, что потом назовут математикой, по-прежнему держится на них: на различении, которое кто-то провёл рукой и закрепил там, где его можно увидеть снова.

4.1. Счёт тела: пальцы, суставы, следы жеста в языке числительных

Попробуем представить счёт, для которого не нужно ни одного слова, кроме названий частей собственного тела. Коснитесь большого пальца одной руки: это один. Указательный палец — два, средний — три, безымянный — четыре, мизинец — пять. Пальцы на этом кончаются, но рука нет: запястье — шесть, предплечье — семь, локоть — восемь, мышца над локтем — девять, плечо — десять. Дальше шея — одиннадцать, ухо — двенадцать, глаз — тринадцать. Нос, середина лица и середина всего пути, — четырнадцать. Отсюда счёт спускается по другой стороне тем же маршрутом в обратном порядке: второй глаз — пятнадцать, второе ухо — шестнадцать, потом шея, плечо, мышца над локтем, локоть, предплечье, запястье, а за ними пальцы другой руки, от большого до мизинца, которому достаётся двадцать седьмое место.

Так считают оксапмин, народ, живущий в горах провинции Сандаун на западе Папуа — Новой Гвинеи. Их счёт подробно описал психолог, работавший там с конца 1970-х годов (Джеффри Сакс; его статьи вышли в 1981 и 1982 годах, а итог полевых работ 1978—2001 годов подведён в книге «Культурное развитие математических идей», написанной вместе с Индиго Эсмонд в 2012 году). Числом у оксапмин служит само название части тела, и назвать число значит показать его, коснувшись нужного места. Слово «глаз» означает и тринадцать, и пятнадцать; какое из двух имеется в виду, решает сторона тела, а в речи — слово тан, «с другой стороны». Двадцать седьмой точкой путь не обрывается: если нужно больше, счёт поворачивает назад и снова идёт вверх по той же руке, начиная с запястья. А когда пройдено всё тело целиком, это отмечали особо: поднятыми кулаками и возгласом фу, который значил, что круг замкнулся.

Традиционно этот счёт ничего не складывал и не вычитал, он перечислял. Положение изменилось, когда в горы пришли деньги: сначала австралийские фунты и шиллинги, по двадцать шиллингов в фунте, потом новая валюта. Тот же исследователь проследил, как телесный счёт приспосабливали к монете, прежде всего у прилавков торговых лавок (об этом статья Сакса и Эсмонд 2005 года). Фунт нашёл себе место на теле сам: показывают на локоть другой руки, двадцатую точку пути, и говорят фу, то есть «полный». Позже фу стало означать удвоение: назвать точку и прибавить фу значит взять её дважды. Никто не садился изобретать для оксапмин новую арифметику. Её нащупывали у прилавка, отсчитывая сдачу, и старый код менялся на ходу.

Что такое тринадцать для человека, который считает так? Не количество, отвлечённое от вещей, и даже не слово в ряду других слов, а точка на пути, который проходит его собственная рука. Глаз сам по себе ничего не считает. Тринадцатым его делает то, что до него уже были двенадцать касаний, а пятнадцатым то, что путь успел перевалить через нос. Чтобы узнать, сколько перед тобой предметов, их перебирают по одному, на каждом касаясь следующей точки, и ответом становится место, где пришлось остановиться: если последним оказался локоть, предметов восемь. Одна и та же часть тела становится разными числами в зависимости от того, откуда к ней пришли, и перестаёт быть числом, если к ней не приходить вовсе. Число здесь буквально место на теле: позиция на маршруте, который известен всем, кто так считает.

Здесь хорошо видно, что значит код, закреплённый в телесном носителе. Различения, из которых состоит этот счёт (палец не запястье, ухо не глаз, до носа не после носа), живут не на бумаге и не в отдельном словаре чисел, а в самом порядке касаний. Тело даёт счёту всё, что позже будут давать ему знаки: неизменный порядок, известное начало, середину, от которой видно, сколько пройдено, и возможность проверить себя, пройдя путь ещё раз. У такого кода есть и цена. Его нельзя оставить на столе и уйти, им неудобно считать чужими руками, а число в нём нельзя назвать, не указав, где оно на тебе находится. Но считать его черновиком «настоящего» счёта, который бросают при первой возможности, было бы ошибкой. Черновик выбрасывают целиком, а этот код, как показала история с фунтом, умел перестраиваться по частям: старые точки получали новую работу, маршрут оставался прежним, и тем, кто им пользовался, не приходилось переучиваться заново.

Путь оксапмин длинный, в нём двадцать семь остановок. Большинство человечества выбрало путь короче и остановилось там, где кончаются пальцы. Десятичные системы преобладают среди языков мира, и объяснение ищут не в достоинствах числа десять, которое по делимости уступает двенадцати, а в руках. Пять — одна рука, десять — две, двадцать — руки вместе с ногами. Язык хранит этот выбор в словах: латинское digitus, «палец», дало английское digit, и английский до сих пор называет этим словом и палец, и цифру. Русское «пять» нередко сближают с «пястью», кистью руки, но эта связь спорна. Кто загибает пальцы, считая дни до отъезда, делает то же, что оксапмин, только по короткому маршруту и с привычкой начинать заново после десятого пальца.

Если пальцы рук дают десятку, то пальцы рук и ног вместе дают двадцатку, и её следы слышны в языках, где давно никто не считает на ногах. Француз, называя восемьдесят, говорит quatre-vingts, «четыре двадцатки», а девяносто у него — quatre-vingt-dix, четыре двадцатки и десять. Весь отрезок от шестидесяти до сотни французский проходит шагами по двадцать: семьдесят — soixante-dix, «шестьдесят-десять», семьдесят один — soixante et onze, «шестьдесят и одиннадцать», а девяносто девять — «четыре двадцатки и девятнадцать».

В старофранцузском счёт двадцатками шёл и за сотню (six-vingts, «шесть двадцаток», значило сто двадцать), и одна такая форма дожила до наших дней в названии: парижская больница для слепых, которую Людовик IX основал около 1260 года на триста мест, до сих пор зовётся Кэнз-Вен, «пятнадцать двадцаток». Откуда во французском эта двадцатка, спорят: одни видят в ней наследство кельтского языка галлов, другие влияние норманнов, и ни одна версия не доказана. Бельгийцы и швейцарцы, говорящие по-французски, обходятся прямыми septante и nonante, «семьдесят» и «девяносто», а в части Швейцарии и huitante, «восемьдесят».

Датский язык прячет двадцатку глубже. Пятьдесят по-датски halvtreds, и в этом коротком слове свёрнута длинная старая формула halvtredsindstyve: «половина третьей, раз двадцать». Русскому читателю её проще всего понять через «полтора», которое когда-то было «пол-втора», то есть одна целая и половина второй. Старый русский счёт знал и «полтретья», два с половиной, и датское пятьдесят устроено ровно так: полтретья двадцатки. Шестьдесят по-датски tres, три двадцатки; семьдесят — halvfjerds, полчетвёртой; восемьдесят — firs, четыре; девяносто — halvfems, полпятой. Датчанин произносит эти слова, не раскладывая их, так же как мы говорим «полтора», не вспоминая о «втором».

В грузинском двадцатка не спрятана, а выставлена наружу. Двадцать — оци, сорок — ормоци, «два-двадцать», шестьдесят — самоци, «три-двадцать», восемьдесят — отхмоци, «четыре-двадцать». Всё, что между ними, строится прибавлением к двадцаткам: тридцать — оцдаати, «двадцать и десять», а девяносто девять — отхмоцдацхрамети, «четыре-двадцать и девятнадцать». Пятьдесят по-грузински ормоцдаати, «два-двадцать и десять»: то самое число, которое датчанин называет половиной третьей двадцатки, грузин собирает из двух двадцаток и десятка, то есть приходит к нему другим маршрутом, но тем же шагом. Здесь двадцатеричный счёт не пережиток в нескольких словах, а рабочая схема, по которой строится вся первая сотня. И поверить, что за ней стоят руки и ноги считающего, очень легко.

Именно эта лёгкость требует осторожности. Этимология числительных — область, где красивые объяснения появляются быстрее доказательств, и мне не хочется выдавать одно за другое. Двадцатка в языке остаётся следом, а не доказательством. Никто не видел, как предки французов или датчан считали на пальцах ног; счёт двадцатками мог прийти в язык от соседей, с рынка, из денежного счёта, как пришёл к оксапмин фунт в двадцать шиллингов. Можно лишь отметить то, что остаётся после всех оговорок: языки, далёкие друг от друга, раз за разом останавливаются на пятёрке, десятке и двадцатке, то есть на числах, которые помещаются на теле.

Тело — естественная первая система координат для числа: у него есть начало, порядок и середина, и оно всегда при себе. Счёт существовал задолго до понятия числа. Оксапмин проходили свой путь, не нуждаясь в слове «число», а лавочники перестроили этот путь под фунт, не дожидаясь, пока кто-нибудь сформулирует для них правила сложения. Это первый случай закономерности, которая шире и оксапмин, и счёта: практика систематически опережает теорию, код чаще нащупывают пробами, а объяснение достраивают задним числом. Внутри самой математики это тоже верно, но здесь мы застаём закономерность в самом начале, когда объяснять ещё нечем, а считать уже нужно.

У такого числа нет существования отдельно от жеста: оно есть, пока рука идёт по телу, и исчезает, когда рука опускается. Названия частей тела остаются, маршрут остаётся, но само число всякий раз приходится проходить заново. Если французская двадцатка и датское «полтретья» действительно остались от таких маршрутов, то остались именно так: жест давно забыт, а слово его пережило. Прежде чем стать понятием, число было дорогой.

4.2. Зарубки и кость Ишанго: метка как след различения

Кость длиной около десяти сантиметров, тёмно-коричневая, отполированная так, будто её долго носили в руке. Она легко уложилась бы в ладонь, как огрызок карандаша. В один её торец вставлен острый осколок кварца, и, по-видимому, когда-то это была рукоять небольшого орудия. Но смотрят на неё не из-за кварца. По всей длине кости идут короткие параллельные насечки, собранные в группы, а группы выстроены в три столбца вдоль кости. Одни группы плотные, другие реже, между ними оставлены промежутки, и кажется, что рука, которая их делала, знала, где остановиться. Больше на кости нет ничего: ни рисунка, ни фигуры, ни знака, который можно было бы прочесть как слово.

Её нашёл в 1950 году бельгийский геолог Жан де Энзелен де Бракур на раскопках у Ишанго, на берегу озера Эдуард, там, где из него вытекает река Семлики. Тогда это было Бельгийское Конго, теперь Демократическая Республика Конго (отчёт о раскопках де Энзелен издал в 1957 году, а популярный рассказ о находке напечатал в журнале Scientific American в 1962-м). Кость лежала среди остатков стоянки, где жили у воды и делали из кости наконечники гарпунов. По общему мнению, это малоберцовая кость павиана, хотя по обработанному и обточенному обломку животное определить непросто. Сегодня находка хранится в Брюсселе, в Королевском бельгийском институте естественных наук. Всего зарубок на ней сто шестьдесят восемь.

Если пересчитать их по группам, каждый столбец складывается в ряд чисел. В одном идут одиннадцать, тринадцать, семнадцать и девятнадцать зарубок: все простые числа между десятью и двадцатью, и в сумме шестьдесят. В другом одиннадцать, двадцать одна, девятнадцать и девять, то есть десять с лишней единицей, двадцать с лишней, двадцать без одной, десять без одной; сумма снова шестьдесят. В третьем столбце восемь групп: три, шесть, четыре, восемь, десять, пять, пять и семь, всего сорок восемь. Бросается в глаза, что рядом стоят три и шесть, четыре и восемь, пять и десять, как будто число и его удвоение. Совпадения ли это, никто не знает, но пересчитать их может каждый.

Сколько кости лет, сказать труднее. Первая оценка отводила ей от восьми с половиной до одиннадцати тысяч лет. Позже возраст слоёв, в которых её нашли, пересмотрели, и сейчас чаще называют около двадцати тысяч лет, но оценки расходятся. Считается, что вулканическая активность по соседству нарушила соотношение изотопов углерода, по которому датируют такие находки, и уверенности здесь меньше, чем хотелось бы (пересмотренную датировку опубликовала в 1987 году археолог Элисон Брукс с соавтором; чаще всего её передают как 18—20 тысяч лет назад). Даже меньшая из цифр означает, что кость почти вдвое старше египетских пирамид. Большая переносит её в разгар последнего оледенения, когда север Европы лежал подо льдом, а до первых записанных слов оставалось ещё около пятнадцати тысяч лет.

Ишанго не единственная кость такого рода и даже не самая древняя. В горах Лебомбо, на границе ЮАР и Эсватини, в пещере Бордер-Кейв нашли малоберцовую кость павиана с двадцатью девятью насечками, которой, по разным оценкам, больше сорока тысяч лет, а в моравском Дольни-Вестонице кость волка (её описал в 1937 году чешский археолог Карел Абсолон) с полусотней с лишним зарубок, будто собранных по пять. Её возраст около тридцати тысяч лет, и он тоже оспаривается, а число зарубок и их группировку в публикациях передают по-разному. Все они говорят одно и то же и одинаково мало: кто-то проводил черту, потом ещё одну, и считал нужным, чтобы их было столько, а не другое число.

О том, что считал человек из Ишанго, спорят с тех пор, как кость была найдена. Сам де Энзелен увидел в зарубках арифметическую игру: простые числа, удвоения и счёт десятками. В 1970-е годы американский исследователь (Александр Маршак, книга «Корни цивилизации», 1972) рассмотрел насечки под микроскопом и предложил лунный календарь примерно на полгода: шестьдесят дней — два месяца, сорок восемь — около полутора. Скептики отвечают, что насечки могли нарезать для того, чтобы рукоять не скользила в ладони, или что это обычная счётная бирка, на которой отмечали что угодно без всякой теории, а простые числа нашли в ней те, кто их искал. Разрешить этот спор я не возьмусь, и для дальнейшего его исход не нужен. В любом из прочтений каждая зарубка остаётся тем, чем была: чертой, которую кто-то намеренно провёл.

Попробуем посмотреть на одну такую черту без всякой гипотезы. Что она сообщает? Пока её не было, поверхность кости была однородной: одно место ничем не отличалось от другого. Резец прошёл, и поверхность разделилась на здесь и не здесь, на то, что отмечено, и всё остальное. Больше черта не говорит ничего, но меньше сказать уже нельзя: она утверждает, что нечто было и что это нечто отмечено. «Было/отмечено» — самое бедное сообщение, какое вообще может нести знак, и именно поэтому метку разумно считать минимальной единицей кода. Разбить её на части нельзя: половина зарубки остаётся зарубкой. Всё, что строится дальше, строится из таких единиц и из порядка, в котором они стоят.

Тезис, с которого книга начала разговор об абстракции, звучит так: «Абстракция — акт различения, а не сущность, ждущая формы; вне кода ей нечего кодировать». На кости Ишанго это утверждение можно потрогать пальцем. Зарубка буквально проведённое различие, прорезанное в материале на глубину в доли миллиметра. Всё, что человек отмечал, будь то дни, добыча или долги, существовало для счёта ровно в той мере, в какой было превращено в такие черты. «Сколько» не предшествует насечкам и не ждёт, пока его запишут: оно появляется вместе с рядом и держится, пока ряд цел. Код в определении книги — система различений, закреплённая в носителе, и у этого кода носитель виден невооружённым глазом.

По сравнению со счётом, который ведут на собственном теле, меняется прежде всего носитель. Различение перенесено из движения в вещь. Кость можно положить и завтра взять снова, продолжив ряд с того места, где он оборвался; её можно передать другому, и другой увидит те же черты, не повторяя чужих движений; на ней можно считать, отложив в сторону память. Главное, что метка переживает жест и того, кто его сделал. Рука, прорезавшая эти насечки, исчезла тысячи лет назад, её имени и языка никто не узнает, а проведённые ею различения можно пересчитать в брюссельском музее, и счёт сойдётся.

Но стоит присмотреться к одной метке отдельно, и становится видно, как мало она держит сама. Все зарубки на кости одинаковы: одиннадцатая ничем не отличается от первой, а черта в группе из тринадцати та же, что в группе из семнадцати. Одинокая насечка на кости могла бы оказаться случайной царапиной, следом ножа, соскользнувшего при разделке. Меткой её делает соседка, группа, промежуток перед следующей группой. Даже этот промежуток работает как знак: в нём ничего не прорезано, и всё же он сообщает, что одна группа кончилась и начинается другая. Это тот же случай, что нулевой знак из третьей главы: знак, который значит только тем, что он есть, и сообщает лишь, что здесь что-то стоит. Метка держит место, а значение приходит к ней из ряда. Различие между одиннадцатью и тринадцатью не содержится ни в одной из зарубок; оно есть только в ряду, где их одиннадцать или тринадцать.

У ряда, однако, есть собственный предел, и кость Ишанго показывает его особенно ясно. Ряд хранит количество различений, но не хранит того, что различали. Порядок, группы, удвоения, суммы по шестьдесят дошли до нас в сохранности, а то, к чему всё это относилось, осталось у человека, который держал кость в руке. Сколько ни разглядывай её, пересчитывать придётся одни и те же черты, и смысла в них не прибавится.

Отсюда видно, чего не хватает такому ряду. Сам по себе он ни с чем не сверяется: ошибиться в нём можно, не узнав об этом. Если в группе из девятнадцати зарубок одна пропала, ряд превратится в восемнадцать и ничем не выдаст подмены. Проверить его можно лишь одним способом: приложить к чему-то, что тоже возвращается и тоже поддаётся счёту, но происходит без участия руки. Пока такой меры нет, ряд остаётся памятью одного человека, вынесенной наружу, и никому, кроме него, не может сказать, верен ли он. Кость Ишанго сохранила, быть может, двадцать тысяч лет то, что зарубка умеет лучше всего: различение, отделённое от различённого.

4.3. Ритуал, календарь и власть считающих

Вечер на исходе месяца, Вавилон, западный край неба сразу после заката. Писец смотрит туда, где только что село солнце, и ждёт тонкого серпа молодой луны. Если серп показался, с этого вечера начинается новый месяц; если его не видно, прошедший месяц продлевают ещё на день, и дольше тридцати дней ни один месяц не тянется. Так счёт времени каждый раз заново получает начало от неба: месяц в двадцать девять или тридцать дней не вычислен, а увиден. Двенадцать таких месяцев составляют год, и этот год, сложенный из наблюдений, выходит длиной около трёхсот пятидесяти четырёх дней. Каждый месяц в нём верен, каждый начат со своего серпа, и всё же год в целом неверен.

Солнечный год, по которому возвращаются весна, половодье и жатва, длиннее: около трёхсот шестидесяти пяти дней с четвертью. Лунный год отстаёт от него почти на одиннадцать дней, и за три года недостача перерастает в целый месяц. Для Вавилона это не отвлечённая разница. Новый год здесь отмечают праздником Акиту в месяце Нисан, рядом с весенним равноденствием, когда созревает ячмень. Если месяцы только отсчитывать по серпу, праздник начнёт уползать: через три года он придётся на исход зимы, а лет через шестнадцать весенний праздник окажется осенью. Названия месяцев останутся прежними, серп будет исправно появляться в свой вечер, а весна придёт в чужой месяц.

Выход находят простой: время от времени в год вставляют лишний, тринадцатый месяц. Его ставят либо в конце года, как второй Аддару, либо в середине, как второй Улулу. В старовавилонское время решение принимал царь. От XVIII века до нашей эры сохранилось письмо Хаммурапи наместнику одного из южных городов: «год имеет недостаток», и потому наступающий месяц пусть запишут как второй Улулу (письмо адресовано Син-иддинаму, наместнику Ларсы; английский перевод издал Леонард Кинг в 1898—1900 годах). Кто-то заметил, что счёт разошёлся с небом, и царская канцелярия дописала в код месяц, которого не было. Сами вставки в ту пору делали по мере надобности, когда отставание становилось заметным.

Позже вставки стали регулярными. В Вавилоне сложился цикл из девятнадцати лет, в который входят семь вставных месяцев: двести тридцать пять лунных месяцев почти точно равны девятнадцати солнечным годам, и ошибка составляет около двух часов на весь цикл. Чтобы она выросла до одного дня, нужно больше двух столетий. Когда именно цикл установился, оценки расходятся: чаще всего называют время между концом VI и IV веком до нашей эры, причём окончательно он закрепился, по-видимому, к IV веку (в греческом мире тот же цикл в 432 году до нашей эры предложил афинянин Метон, и в европейской традиции цикл носит его имя, хотя в Вавилоне его начали применять раньше). Решение, которое прежде принимали, глядя на небо и поля, стало вычисляться вперёд, и вставной месяц можно было назначить задолго до того, как отставание кто-нибудь заметит.

Я предлагаю задержаться на том, что здесь исправляют. Ошибки нет ни в одном месяце: каждый начат с увиденного серпа. Ошибка появляется только тогда, когда ряд месяцев прикладывают к другому ряду, к возвращению весны, которое происходит без участия руки и никакому писцу не подчиняется. Лунный счёт вполне последователен: будь его воля, он так и шёл бы без единого внутреннего противоречия. Его исправляют не потому, что в нём нашли противоречие, а потому, что весенний праздник по нему приходится на зиму, а потом и на осень. Код, который не сверяется с миром, перестаёт предсказывать сезоны, и его исправляют.

Здесь впервые виден механизм отбора. Календарь никто не получил готовым: его собирали из наблюдений, пробовали, подправляли, и в нём оставалось то, что сходилось с небом, а то, что не сходилось, переделывали. Если обобщить этот случай, получится тезис: математика — культурный код, прошедший отбор на соответствие структуре мира, а не откровение извне. Отбор здесь не означает, что правильный календарь существовал заранее и его наконец нашли. Он означает меньшее: расхождение с миром обходится дорого, и платят за него те, кто по коду живёт. И календарь, прошедший отбор, не становится от этого окончательным: он годен, пока его ошибка слишком мала, чтобы её заметить.

Отбор не всегда действует через исправление. Египетский гражданский год состоял из двенадцати месяцев по тридцать дней и пяти добавочных, всего триста шестьдесят пять, без лишнего дня раз в четыре года. От солнечного года он отставал на четверть суток ежегодно, и примерно за тысячу четыреста шестьдесят лет сезоны обходили по нему весь год, так что месяцы сезона, который назывался разливом, приходились то на сушь, то на жатву. Декрет 238 года до нашей эры, предписавший добавлять шестой день раз в четыре года, так и не прижился. Предсказывать разлив Нила такой год не мог, и эту работу взял на себя другой код: наблюдение первого утреннего восхода Сириуса, который возвещал подъём воды.

Кто держал такой счёт? В Вавилоне это были писцы-астрономы при храмах, прежде всего при Эсагиле, главном храме города. С середины VII века до нашей эры до I века до нашей эры они вели записи, которые сегодня называют астрономическими дневниками: ночь за ночью положение Луны и планет, а рядом цены на ячмень, финики и шерсть, уровень Евфрата и то, что случилось в городе (самый ранний датируемый дневник относится к 652 году до нашей эры; первые тома полного издания дневников выпустили Абрахам Закс и Герман Хунгер в 1988—1996 годах). Небо, рынок и река стоят в этих табличках одним рядом, как части одного знания. Знание неба давало право объявлять сроки, а объявленный срок становился обязательным для всех, кто его слышал. Жрецы-астрономы были «первыми математиками»: теорем они не доказывали, но держали счёт и умели продолжить его вперёд.