Нептун и Вулкан. Математика между открытием и вымыслом
- -
- 100%
- +
То же видно далеко от Месопотамии. Майя вели одновременно ритуальный цикл в двести шестьдесят дней и год в триста шестьдесят пять, и по ритуальному циклу определяли, какой день пригоден для обряда, а сочетание двух циклов повторялось лишь раз в пятьдесят два года. Поверх них шёл длинный счёт дней от мифической даты творения, и в его записях стоит особый знак, похожий на раковину, отмечающий пустой разряд, то есть знак нуля. Египетские жрецы, следившие за Сириусом, вавилонские писцы при Эсагиле и майяские хранители циклов делали одно: предсказывали, когда что наступит, и через это решали, когда что делать. Счёт становится технологией предсказания, а предсказание оказывается формой власти, религиозной и политической сразу.
Вернёмся к письму Хаммурапи. Во второй его половине говорится не о небе, а о людях: подать, которая должна прийти в Вавилон двадцать пятого Ташриту, пусть придёт двадцать пятого второго Улулу. Вставной месяц поправил счёт, а заодно заставил переписать срок. Ташриту теперь наступал на месяц позже, и подать, назначенная на его двадцать пятое, опоздала бы на целый месяц; поэтому царь назначает её на день, которого до письма не существовало, и те, кто вёз подать, повезли её в этот день.
Сдвигается и всё, что стоит в календаре дальше: Нисан наступит на месяц позже, чем наступил бы без вставки, и вместе с ним новогодний праздник, так что весь следующий год разом переезжает для всех, кто по нему живёт. Так же подчиняются календарю праздники, выход на поля, сроки аренды и долгов: всё, что назначено на число, происходит тогда, когда это число наступает в записи. Календарь не только описывает время, он организует жизнь общества, и общество живёт так, как записано в коде.
Этот механизм принадлежит не одному календарю, а всякому коду, по которому живёт много людей сразу. Сначала в коде появляется запись: такой-то день такого-то месяца. Затем её читают многие люди и сверяют с ней свои действия, каждый в расчёте на то, что остальные сделают то же. Наконец, поведение совпадает с записью, но не потому, что запись угадала что-то в мире, а потому, что все действовали по ней. День подати не открыт в природе, его производит календарь вместе с теми, кто им пользуется. Там, где территория состоит из пользователей кода, карта переделывает территорию: код не только описывает социальную реальность, но и производит её.
Но у этой власти есть предел, и проходит он внутри того же календаря. Небо календарю не подчиняется. Сезоны не сдвигаются оттого, что записано в коде, и потому код исправляют; праздники и подати сдвигаются, и потому общество живёт так, как записано. В письме Хаммурапи обе стороны уместились в двух фразах: первая уступает небу, вторая назначает людям срок. Отбор и производство социальной реальности действуют в одном коде, и вставной месяц стоит ровно на их пересечении: ввели его из-за неба, а соблюдать его будут потому, что так записано.
Выходит, что дочисловой код, едва пройдя путь от тела через зарубку к календарю, уже стоит к миру в двух отношениях: перед небом он отвечает, перед людьми распоряжается. Граница между открытием и вымыслом проходит неодинаково в разных областях, и теперь видно, что она делит уже один и тот же календарь. Счёт старше числа, но уже в этом возрасте жест и метка перестают быть частным делом. Метка, которая на кости лишь отмечала «было», в календаре предписывает, когда праздновать, когда сеять и когда платить подать. От «было/отмечено» до власти считающих оказалось не так далеко.
На конкретном материале впервые видно напряжение, которое не снимается ни календарём, ни зарубкой. Метка сама по себе пуста, значим только ряд, а код из таких меток небо исправляет, и исправляет не произвольно, а по возвращению весны: ряд пустых меток, оказывается, может ошибаться. Чему же тогда соответствует код, прошедший отбор? Ответить на это пока нечем, и торопиться с ответом не стоит.
Число ещё не отделено от того, что считают. Оно место на теле, зарубка в ряду, месяц, который начинается с увиденного серпа и без луны не существует. Даже в письме Хаммурапи число привязано к своему предмету: двадцать пятое Ташриту есть день, а не величина, которую можно сравнить с другими. Но та же подать, которую письмо переносит на месяц, состоит из вещей, и их тоже нужно пересчитать, сложить, сравнить с должным. Здесь числу придётся сверяться уже не с небом, а с зерном, скотом и серебром, и не у храмового писца, а у каждого, кто отдаёт и получает. Как число отрывается от вещи и почему к этому отрыву толкает практическая нужда, а не созерцание, — вопрос уже не ритуального счёта, а хозяйственного.
Глава 5. Торговля, земля и рождение абстрактного числа
Принято думать, что число принадлежит созерцанию: мудрец смотрит на мир и находит в нём порядок. История подсказывает другое. Число отрывалось от вещей там, где этого требовала нужда, и почти всегда в руках людей, которым было некогда созерцать. Тому, кто вёл учёт, приходилось сравнивать зерно с маслом и скотом, и для этого понадобилась мера, общая для всех трёх. Землемер каждый год заново находил границы полей, которые смыла река, и умел это делать задолго до того, как кто-то объяснил, почему его приёмы работают. Труднее всего пришлось тем числам, за которыми не стоит ничего осязаемого, — нулю и отрицательным числам: им сопротивлялось не только воображение, но и уставы тех, кто вёл счёт. Пять овец можно показать пальцами, но «пять» само по себе, без овец, показать уже нельзя: палец всегда указывает на что-то. История абстрактного числа и есть история того, что нельзя показать пальцем.
5.1. Шумерская бухгалтерия: число, отделяющееся от вещи
Представим маленький глиняный конус размером с фалангу пальца. Его слепили, чуть подсушили или обожгли и положили в кучку таких же. Рядом лежат шарики, плоские диски, цилиндры, яйцевидные комочки. Археологи находят эти предметы на Ближнем Востоке в слоях, которые датируют примерно от 8000 до 3000 года до н. э., то есть на протяжении пяти тысяч лет, от первых земледельческих деревень до первых городов. Долгое время их принимали за игрушки, фишки для игры или амулеты, а чаще просто описывали как предметы неясного назначения. Но у них было вполне будничное дело. Когда в хранилище поступала мера зерна, к кучке добавляли конус. Одна фишка — одна мера зерна. Десять мер — десять конусов. Хочешь узнать, сколько зерна, пересчитай глину.
Здесь мне важно, как устроено число в таком счёте. Его нет отдельно от вещи. Пять мер зерна — это пять конусов, и показать «пять», не показав при этом зерна, невозможно: каждый кусочек глины несёт сразу и количество, и то, что сосчитано. Для другого добра нужна другая фигурка. Конус годится для зерна, но не для овец; для скота, по реконструкции, служили цилиндры и линзовидные диски. Число растворено в предмете, как вкус в блюде: его можно почувствовать, но нельзя вынуть и положить рядом. И такой код работал. Тысячелетиями его хватало, чтобы деревня помнила, кто сколько сдал в общий запас. Даже когда с первыми городами появились фигурки сложнее, с насечками и проколами (предположительно для масла, тканей и других изделий), принцип остался прежним: одна вещь, одна фишка своего вида.
Второй шаг сделан в городах. К середине IV тысячелетия до н. э. в Уруке на юге Месопотамии и в Сузах на юго-западе нынешнего Ирана хозяйство уже не помещалось в одну деревенскую память: зерно, масло и скот переходили из рук в руки, от хозяйства к хозяйству, от работника к храмовому складу. Фишки стали запечатывать в полые глиняные шары, умещающиеся в ладони. Археологи называют их буллами, а по смыслу это конверты. Внутрь клали фишки, соответствующие поставке, шар заклеивали и прокатывали по поверхности цилиндрическую печать владельца. Получатель мог разбить конверт и сверить содержимое с тем, что пришло. Печать указывала, кто отвечает за поставку, а целый шар ручался, что по дороге ничего не подменили. Но у конверта был очевидный недостаток: пока он цел, не видно, что внутри. Часть конвертов дошла до нас нераспечатанной, и в последние годы некоторые из них просвечивают томографом, чтобы не разбивать: неудобство древнего получателя досталось и нынешним исследователям.
Третий шаг решил эту трудность самым простым способом. Прежде чем запечатать фишки в шар, их вдавливали в мягкую глину снаружи. Конус оставлял клиновидный след, шарик оставлял круглую ямку. Теперь на одном предмете лежали две записи одного и того же: внутри сами фишки, снаружи их отпечатки. Среди находок из Суз есть конверт около 3300 года до н. э., на поверхности которого оттиски соответствуют фишкам, запечатанным внутри. Это похоже на опись, приклеенную к ящику. Опись удобнее ящика, её можно прочесть, ничего не ломая. Но опись — уже не вещь, а знак вещи. Число впервые держится не на куске глины, который можно взять в руку, а на следе, который можно только увидеть.
И тогда выяснилось, что внутренность больше не нужна. Если снаружи и так видно всё, прятать фишки в шар и разбивать его при каждой проверке незачем. Примерно к 3200 году до н. э. место конвертов заняли плоские глиняные таблички, похожие на маленькие подушечки, с оттисками тех же фишек. Самих фишек в этих табличках нет. Однако я предлагаю заметить, чего ещё не произошло. Клиновидный след по-прежнему означает «малая мера зерна», а круглый — «большая мера зерна». Пять мер — это по-прежнему пять клиньев. След оторвался от фишки, но число ещё не оторвалось от зерна: оно всё ещё рассказывает, что именно сосчитано.
Последний шаг приходится примерно на 3100 год до н. э. Писцы начинают не вдавливать фишку, а процарапывать её изображение заострённой палочкой, и так появляются знаки вещей: кувшин масла, овца, мера зерна. А количество теперь пишут отдельно, рядом. В одном из разобранных примеров тридцать три кувшина масла записаны знаком «кувшин масла» и перед ним тремя кружками и тремя клиньями. Эти кружки и клинья не новы. Это те самые оттиски шарика и конуса, которые прежде значили меры зерна, а теперь получили второе значение: «десять» и «один». То же произошло со скотом: «пять» стало писаться отдельно от «овец». Вместо пяти знаков овцы появились знак «пять» и знак «овца». Этот момент, около 3100 года до н. э., — рождение абстрактного числа.
Что случилось с числом, когда у него появился собственный знак? Знак «пять» перестал принадлежать овцам. Его можно поставить перед кувшином, перед мерой зерна, перед работником, и он будет значить одно и то же. Число стало тем, что переносится с вещи на вещь, не принося с собой ни одной из них. Две записи о пяти овцах теперь можно сложить, не пересчитывая ни овец, ни глины: складываются знаки. С числом становится возможно то, чего нельзя было сделать с фишкой: действовать над ним самим. Одна строка на табличке показывает это яснее любого трактата: слева количество, справа то, что сосчитано, и между ними граница, которой раньше не было. Хочется спросить, где было это «пять» все пять тысяч лет, пока его носили в себе конусы и диски.
Цепочка «фишка → конверт → оттиск → числовой знак» — самая наглядная иллюстрация тезиса 1 во всей книге: «Абстракция — акт различения, а не сущность, ждущая формы; вне кода ей нечего кодировать». На каждом шаге проводится новое различение и закрепляется в новом носителе: вещь и её глиняный заместитель, заместитель и его след, след и знак вещи, наконец знак вещи и знак количества. Абстрактное число не ждало внутри фишек, когда для него придумают знак. Оно появилось на последнем шаге, вместе с отдельным знаком, и это узкая, проверяемая версия тезиса: точная абстракция существует как культурный код. При этом цепочка показывает, как число стало писаться, но не отвечает на вопрос, была ли в мире структура, которую этот код однажды уловил. Этот вопрос я здесь оставляю открытым.
Всю эту цепочку собрала археолог Дениза Шмандт-Бессера. В конце 1960-х и в 1970-е годы она изучала раннее использование глины и стала раз за разом встречать в музейных собраниях одни и те же невзрачные фигурки, описанные как предметы неясного назначения. Сопоставив находки из десятков поселений, она предложила видеть в них единую систему учёта, а в конвертах и табличках — мост от этой системы к письму. Итог работы изложен в двухтомнике «Before Writing» («До письма»), вышедшем в 1992 году (издательство Техасского университета в Остине; первый том называется «От счёта к клинописи», второй — каталог ближневосточных фишек). Из её же работ взят и пример с тридцатью тремя кувшинами масла.
Зачем числу понадобилось отделяться от вещи? Ответ лежит не в философии, а в хозяйстве. Пока у каждого добра своя фишка, зерно считают в конусах, а скот в цилиндрах и дисках, и сравнить одно с другим нельзя: пять конусов и пять дисков не складываются ни во что общее. Городское хозяйство Урука, одного из первых шумерских городов, жило обменом и распределением. Храмовый склад выдавал зерно работникам, принимал масло и скот, записывал, кто кому и сколько должен отдать. Сравнивать разнородные вещи можно только через общий эквивалент, и таким эквивалентом стал отдельный знак числа: «пять» при овцах и «пять» при кувшинах — одно и то же «пять». Абстрактное число родилось не в созерцании, а в бухгалтерии, за столом того, кто вёл учёт.
И всё же от одного соблазна лучше удержаться: он подстерегает всякого, кто рассказывает такую цепочку задним числом. Шаги цепочки выглядят как дорога к цели, но никто из тех, кто их делал, к абстрактному числу не шёл. Конверт придумали, чтобы поставку не подменили по дороге. Оттиски снаружи появились, чтобы не разбивать конверт ради каждой сверки. Табличка избавила от лишней работы: незачем лепить шар, если хватает отпечатка. Отдельный знак числа сократил запись: три кружка и три клина короче тридцати трёх знаков кувшина. Каждый шаг решал свою хозяйственную задачу, и только сложенные вместе они дали то, чего никто не заказывал.
Честность требует оговорки. Теорию фишек в деталях оспаривают. Спорят о том, что означали отдельные формы, особенно сложные фигурки с насечками; о том, насколько прямой была линия от неолитических деревень до табличек Урука; о том, насколько абстрактными были первые числовые знаки. По нынешним прочтениям, в ранних табличках Урука для разного добра использовались разные системы счёта, и один и тот же знак мог означать разное количество в зависимости от того, что считали (так их реконструируют П. Дамеров и Р. Энглунд; см. книгу Х. Ниссена, П. Дамерова и Р. Энглунда «Archaic Bookkeeping» — «Архаическая бухгалтерия», 1993). Входить в этот спор я не буду. Достаточно того, что в нём не оспаривается: знак количества вырос из учёта, из следов счётных предметов, и отделился от знака вещи в практике, а не в размышлении.
Абстрактное число — это то, что осталось от фишки, когда фишку убрали.
5.2. Геометрия как землемерие: практика раньше созерцания
Слово «геометрия» греческое, и перевод у него самый будничный: «измерение земли». Первая половина значит «земля», вторая идёт от глагола «мерить». Между тем наука, которая носит это имя, занята треугольниками без толщины, прямыми без концов и окружностями, которых не начертит ни одна рука. Её принято считать самым бесплотным из знаний: школьник, доказывающий равенство углов, не думает ни о поле, ни о межевом камне. И всё же язык сохранил другую родословную. Почему наука о фигурах, которые будто бы живут вне всякой материи, называется по работе человека, стоящего по щиколотку в мокром иле?
Попробуем представить долину Нила после того, как вода ушла. Каждый год река поднималась, заливала поля и, отступая, оставляла на них слой свежего ила. Этот ил кормил страну, но он же стирал её разметку: межевые знаки сдвигало течением или заносило, край участка мог уйти в реку, а соседний прирасти наносом. Для земледельца вопрос звучал просто: где кончается моя земля. Для казны он звучал иначе и не менее остро: сколько земли у каждого и сколько зерна с неё причитается. Подать зависела от площади и от урожая, и если река отнимала часть поля, требовалось понять, насколько меньше стало платить. Задача возвращалась с каждым разливом, и решать её приходилось руками, на месте, к сроку.
Решали её верёвкой. Египетская мерная верёвка была размечена узлами, завязанными через равные промежутки, и мерили ею в царских локтях, около 52 сантиметров каждый. Сто локтей составляли единицу длины, которую переводят как «шнур» или «жердь», около 52 метров; по одной из реконструкций, именно такой длины была мерная верёвка, с узлом через каждые десять локтей. Квадрат со стороной в сто локтей служил единицей площади, это чуть больше четверти гектара. Работа выглядела так: двое натягивают верёвку между кольями, третий отсчитывает узлы, писец записывает. Длина стороны поля — это то, сколько раз уложилась верёвка и сколько узлов осталось в последнем отрезке. Узел здесь — та же метка, что и зарубка: по отдельности узлы ничего не значат, значит только их счёт вдоль натянутой прямой.
Эту работу можно увидеть своими глазами. На стене гробницы Менны в фиванском некрополе, расписанной около 1400 года до н. э., изображены люди, которые несут свёрнутую верёвку через спелое поле, растягивают её поперёк колосьев, а рядом писцы с палетками ведут учёт (гробница TT69 в Шейх-Абд-эль-Курне, XVIII династия). Сам Менна носил титул писца полей: он отвечал за обмер земли, оценку урожая и расчёт подати. Верёвка была не только орудием чиновника. Закладка храма в Египте начиналась с обряда, который так и назывался, «натягивание верёвки»: царь вместе с богиней письма и меры Сешат вбивал колья по углам будущего здания и связывал их шнуром. Обряд известен с очень ранних времён: древнейшее его изображение относится ко II династии, а последние украшают храмы птолемеевской эпохи. Натянутая верёвка значила границу, а тот, кто её натягивал, эту границу устанавливал.
Греки, приезжавшие в Египет, запомнили этих людей по их орудию и называли гарпедонаптами, что можно перевести как «натягиватели верёвок». Слово дошло до нас в хвастливой фразе, которую поздний христианский автор приписывает Демокриту: в построении линий, будто бы говорил философ, его не превзошли даже египетские натягиватели верёвок (фразу приводит Климент Александрийский в «Строматах», I, 15, 69; подлинность фрагмента оспаривается). Сама похвала показывает, какой славой пользовалось их умение. С верёвкой часто связывают и другую историю. Будто бы на ней завязывали двенадцать узлов и складывали из неё треугольник, чтобы получить прямой угол. Это догадка историка XIX века, и никаких египетских текстов или изображений, которые бы её подтверждали, нет (её высказал немецкий историк математики Мориц Кантор в 1882 году). Как именно египтяне строили прямые углы на поле, источники не говорят, и честнее это признать, чем приписать им красивый приём.
Что делали с измеренными сторонами, показывают учебные задачи египетских писцов. Самый известный их сборник, папирус Ринда, переписан около 1550 года до н. э. с более древнего образца (хранится в Британском музее, переписчик — писец Ахмес). В одной из задач нужно найти площадь круглого поля поперечником в девять шнуров. Правило дано как рецепт: отними от поперечника девятую часть и полученное число умножь само на себя. Выходит шестьдесят четыре квадратные меры. Это расходится с точным ответом меньше чем на процент: такой ошибки ни один сборщик подати не заметил бы (правило равносильно тому, чтобы считать отношение длины окружности к поперечнику равным примерно 3,16 вместо 3,14).
Рядом стоят такие же рецепты для треугольного участка и для участка в форме треугольника со срезанной вершиной. Откуда взялось правило для круга, почему именно девятая часть, папирус не говорит. Он говорит «делай так», и в других задачах писец в конце проверяет, не ошибся ли он в счёте. Но проверяется арифметика, а не само правило: почему оно верно, не объясняется ни в одной задаче.
Тезис 6 звучит так: «Практика систематически опережает теорию: код чаще нащупывают пробами, а объяснение достраивают задним числом». У натягивателей верёвок был работающий код для фигур на земле: прямая — это натянутый шнур, длина — это число узлов, площадь — это то, сколько квадратов со стороной в шнур уложится на поле, а круглое поле считают по рецепту с девятой частью. Всё это нащупано пробами и проверено не рассуждением, а самой землёй: если после разметки соседи не спорят о меже, а казна получает своё зерно, приём верен. Счёт по телу существовал задолго до понятия числа; так и приёмы измерения появились раньше теории фигур. И поскольку речь идёт о геометрии, вторая фраза тезиса тоже оказывается на месте: это верно и внутри самой математики. Одна из её старейших ветвей началась с ремесла, а не с созерцания.
Стоит, однако, спросить, откуда вообще взялся рассказ о рождении геометрии из разлива. Главный его свидетель — Геродот. Во второй книге «Истории» он пишет, что египетский царь разделил землю между подданными на равные четырёхугольные участки и обложил каждый ежегодной податью, а если река отнимала у кого-то часть надела, царь посылал людей измерить, насколько участок уменьшился, чтобы подать шла с оставшегося. Отсюда, по мнению Геродота, и возникла геометрия, которая потом перешла к грекам («История», II, 109; царь назван там Сесострисом, и в этом имени греческая традиция, по-видимому, соединила нескольких фараонов).
Однако Геродот писал в V веке до н. э., примерно на тысячу лет позже гробницы Менны и больше чем на тысячу лет позже папируса Ринда. Он грек, который объясняет греческое слово египетской историей, и царь его рассказа — фигура полулегендарная. Греки вообще охотно выводили свои науки из Египта, и в этой родословной есть доля их собственной реконструкции. Сами египетские источники не говорят, что из обмера полей «родилась» наука, и измеряли египтяне не только поля, но и зернохранилища, стены, пирамиды.
Это возражение серьёзно, и оно сужает то, что можно утверждать. Красивая история о том, как из податей после разлива появилась геометрия, частично принадлежит грекам, и выдавать её за документ нельзя. Но тезис 6 держится не на Геродоте. Он держится на египетских свидетельствах, которые не зависят от греческого пересказа: на росписи гробницы, на единицах длины и площади, на задачах папируса, где рецепт дан без объяснения. Эти свидетельства показывают не момент рождения науки, а то, что до всякой теории фигур уже существовал точный и проверяемый код измерения. Греческая версия говорит скорее о другом: сами греки помнили, что их наука о фигурах пришла с поля.
У писца полей было всё, кроме ответа на вопрос «почему»: он знал, сколько узлов уложится вдоль межи, знал рецепт для круглого поля. Этого хватало на столетия. Папирус Ринда и сам устроен как способ передать такое знание без «почему»: ученик писца получал не довод, а образец, задачу с готовыми числами, которую нужно было повторить с числами своего поля. Код переходил из рук в руки, как переходит ремесло, от образца к образцу, и каждый новый разлив снова испытывал его на прочность. Объяснение, как и обещает тезис, достроят задним числом, и начнётся оно с того же предмета, который писец держал в руках: верёвку, которой мерили поле, однажды превратят в доказательство.
5.3. Ноль и отрицательные числа — то, что нельзя показать пальцем
Попробуем сосчитать на собственном теле так, как считают по точкам от большого пальца одной руки к носу и вниз по другой стороне. Каждое число здесь — место, до которого дошёл счёт: три — средний палец, шесть — запястье, четырнадцать — нос. Ноля на этом теле нет. Счёт начинается сразу с единицы, с первого прикосновения, и точки, где ещё ничего не сосчитано, у него нет. Ещё хуже обстоит дело с тем, что меньше нуля: тело не продолжается внутрь себя, и перед большим пальцем нет пальца «минус первого». Телесный счёт знает только то, что есть. Отсюда вопрос, который стоит задать всерьёз. Почему ноль и отрицательные числа, без которых сегодня не обходится ни одна квитанция, появились так мучительно поздно, а появившись, так долго не допускались в оборот?
Ноль придумывали не однажды и не в одном месте. Майя пользовались нулём в календарных записях, в том самом счёте дней, которым держатели календаря распоряжались временем, так что знак для пустого места возник и там из практической нужды, а не из созерцания. Я предлагаю посмотреть на три сюжета, разнесённых больше чем на девять столетий: индийский астроном, флорентийский цех и немецкий математик. По отдельности каждый похож на анекдот из истории идей. Вместе они показывают, откуда шло сопротивление новому коду и сколько оно длилось.